常见数学思想方法试题选

常见数学思想方法试题选（题库）试题选分类：1. 函数思想试题选；2. 方程思想试题选；3. 换元思想试题选；4. 整体思想试题选；5. 逆反思想试题选；6. 特殊与一般试题选；7. 分类讨论试题选；8. 向量思想试题选；9. 数形结合试题选一、函数思想1 ．已知a ＞0，a ≠1，试求使方程)(log )(log 222a x ak x a a -=-有解的 k 的取值范围． .2．已知R c b a ∈,,,b a ,同号且a ＞b ．证明：ba b a b a b a b a b a -+≤-+≤+-ααsin sin 3．正数c b a ,,满足8=abc ．证明：2533≥+++++c b a c b a 4．已知c b a ,,为 △ ABC 的三边，证明：c c b b a a +++<+111 5.解不等式：x x x x +<-++5512)12(6.．已知.1|lg lg |≤-βα证明：10110≥+βααβ 7．已知)(,2Z k k k ∈≠+≠πβππα,且0cot tan 4tan )cot tan 3(33=++++βααβα证明：0cot tan 4=+βα8 ．已知 f ( x ）的定义域关于原点对称，证明： f ( x ）可以用一个奇函数与一个偶函数的和来表示，并试用x e 构造一个奇函数与一个偶函数． 9 ．设实数βα,满足553,1532323=+-=+-βββααα．求βα+的值． 10 ．设λ是正常数，且)(1)(1)(x f x f x f +-=+λ 试证 f ( x ）是周期函数，并求出它的一个周期．10.. f ( x ）为定义在 R 上的奇函数，且满足 f ( l )=2, f ( x + 4 )= f ( x ), 求f( 2007 ）的值．12 ．若 f ( x ）对一切实数 x 都有)1()()1(--=+x f x f x f ，且 f ( 0 )=1, ,f ( l )=2,求 f ( 2012 )13 ．已知. x , y , z 三实数都属于（ 0 , 1 ) ，证明：1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x14 ．若方程04)1(2=+++x m x 的两个根都比 1 大，求m 的取值范围． 15 ．设R c b a ∈,,，且022≤++b a ．证明：方程0)1(122=++++b x x a x x 至少有一个正实数解．16 ．已知1sin sin sin 222=++γβα．证明：22|2sin 2sin 2sin |≤++γβα17 ．求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值．18 设 x > 0 ，证明：212112++-≤++x x x x二、方程思想1 ．已知 f ( x ）为一次函数，且78)]}([{+=x x f f f ，求 f ( x ）的表达式．2 ．已知)0()1()(222>=+x x x f x f ，求3 ．已知)(2)23()32(22n m x x nf x mf ≠=-+-，求)(x f4 ．求332142021420-++的值5 ．已知d c b a ,,,为实数，且满足ab d c a b c =+=-2241,2．证明：b a = 6 ．锐角证明 A , B , C 满足 cos 2A + cos 2B + cos 2C + 2cosAcosBcosC = 1, 证明： A + B + C =π7.. 证明：n n n n n n n C C C C 21221202212+=+++- 8 ．在 △ ABC 中，3cot cot cot =++C B A 证明： △ABC 是正三角形．。

9 ．已知R x ∈，证明：61663222≤+-+-≤x x x x 10 ．在 △ ABC 中，B C A tan lg 2tan lg tan lg =+，证明：23ππ<≤B 11．求不超过6)37(+的最大整数．12 ．若正数βα,满足αββα=+,求βα+的最小值．13 ．设0>x ，试求111++-+xx x x 的最大值. 14 ．当 x 取何值时，x x y 41332-+-=有最大值？．15.求函数 1cos 3sin 21cos 2sin 3++++=x x x x y 的值域． 16．求 sin100sin300sin500sin700的值．17．化简： tan *)(2tan 22tan 22tan 2tan 1122N n n n ∈++++--αααα ．18.设 25cosA + 5sinB + tanC = 0 , sin 2B －4cosAtanC = 0 . 证明：tanC = 25cosA .19．在 △ABC 中，证明：)12tan 2(tan 2tan 42tan 2tan 2-≥C A A C B 20 ．已知πβα<<<0，且无论θ为何实数， sin 2θ + sin 2(θ+α) + sin 2（θ＋β）都为定值．求βα,及这个定值．三、换元思想1 ．已知c b a ,,是不为 1 的正数， x , y , z ∈R +，且有z y x c b a ==和yz x 211=+．证明：c b a ,,成等比数列． 2 ．设 △ ABC 与 △ A ′B ′C ′的三边长分别为c b a ,,及 a ' , b ' c'若c x b x a c bx ax '+'+'++22是与 x 无关的定值，证明： △ AB C ∽△△ A ′B ′C ′ 3 ．求1324321-+++++n nr r r y ，其中 r ∈R4 ．解方程 0251313522345=++--+x x x x x5 ．解方程 023432234=++--x x x x6 ．解不等式152+>+x x7 ．解方程333)2()()(x b a x b x a -+=-+-8 ．若 a , b ∈R +，且 a + b=1 ,并a ≠b ．证明：8144>+b a 。

9 ．若a z y x =++ ，证明：32222a z y x ≥++ 10．已知xx x x f 1)11(-=+-，求 f ( x ) .11．已知x x f 2cos 1)cos 1(+=+，求 f ( x )12．已知32)(2+-=x x e f x ．求 f ( x ）的最小值．13．已知11122=-+-a b b a ．证明：122=+b a .14．设点P （y x ,）是单位圆内（含圆周）的一点．，试求224y xy x -+的最大值和最小值15．已知122=-y x 求x y x212+的取值范围 · 16 ．实数y x ,满足x y x 4422=+．证明：5252+≤+≤-y x17．求函数 x x y -+=1的最大值和最小值．18 ．已知x x f 3cos )(cos =，求x x f sin )(sin =的解集．19 ．解方程02csc sec cot tan cos sin =++++++x x x x x x20 ．设实数c b a ,,满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+--066078222a bc c b a bc a 求a 的取值范围． 四、整体思想1 ．设01221111121262)1(a x a x a x a x a x x +++++=+-求0121112a a a a a +++++ 的值．2．若a =++-)12(log )122(log 27求)12(log )122(log 27-++的值．3．已知：方程02=+c bx ax 的两根之和为S 1，两根的平方和为S 2，两根的立方和为S 3，证明：0123=++cS bS aS4 ．求函数|cos |2sin |sin |2x x x y ++=的最大值与最小值．5 ．证明：1373213732133=-++， 6 ．已知等差数列｛n a ｝中，4116=a 求S 317 . sin200cos700 + sinl00sin500的值是（ ）（A ）41 （B ）23 （C ）21 （D ）438．求 Sinl00in300Sin500 Sin700的值．9．求178cos 173cos 172cos 17cos ππππ⋅⋅ 的值 10 ．三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且面积分别是 6m 2, 4m 2，和 3m 2，求它的体积．11．过圆外一点P （b a ,）引圆222r y x =+的两条切线，求经过两切点的直线方程．12．已知 A , B 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的两点，且线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点P （0x , 0 ) ．证明：ab a x a b a 22022-<<--。

13 ．已知中心在原点对称轴为坐标轴的二次曲线经过两点P )49,5(和Q )223,62(-，求此曲线方程。

14．已知22sin sin =+y x ，求y x cos cos +的取值范围。

15．方程4116)352()20113(22222++=--+--m m y m m x m m 表示双曲线，求实数 m 的取值范围．16 ．证明：]6,52[55)(22cos sin ∈+=x x x f 17 ．已知双曲线的中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程为 4x －3y=0，且双曲线经过点 A ( 8 ，340）, 求此双曲线的标准方程． 18 ．若点P （ 3 , 2 ）是椭圆1449422=+y x 内一点，过点P 的弦恰以P 为中点，求此弦所在直线方程．19 ．等差数列｛n a ｝的公差 d=21，且125100=S ，求99531a a a a ++++ 的值． 20 ．求经过圆0222=-+x y x 和直线 x + 2y －3=0 的交点，且和直线 x + 3y －4 =0 相切的圆的方程．五、逆反思想1．已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-02202222k y y k x x k y x ，求k 的值．2 ．证明： l ·3 · 5 ·…·（ 2n －l ）≤*)(N n n n ∈3 ．如图所示，在直三棱柱 AB C －A 1B 1C 1中，∠ABC=900，∠BAC=300, BC = l , AA 1＝6，M 是 CC 1的中点．证明： AB 1⊥A 1M4 ．数字 l , 2 . 3 , 4 ,5 可以组成多少个没有重复数字且数字 1 与 2 不相邻的五位数？5 ．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来．然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ） .( A ) 6 种 （ B ） 9 种 （ C ）11 种 （ D ）23 种 6 ，一个小组共有 10 名同学，其中 4 名是女同学， 6 名是男同学，要从小组内选出 3 名代表，其中至少有 1 名女同学．求一共有多少种选法？ 7 ．解方程01333223=-+++x x x8 ．解关于 x 的方程 02224=-++-a a x ax x9 . “若 a > 0 , b > 0 ，且 a ≠1，b ≠l ，则2log log ≥+a b ”是否正确？10 ．底面是正三角形、侧面是等腰三角形的棱锥一定是正棱锥吗？若是，予以证明；若不是，请举出反例．11 ．正方体内可以作出不同的内接四面体的个数是（ . ）. ( A )648-C （B ）48C （C ）848-C （D ）1248-C12“已知数列{n a }的项满足⎩⎨⎧+==+d ca a b a n n 11，其中1≠c ，则数列{n a }的通项公式为1)(1---+=-c d c b d bc a n n n ”是否正确？若正确，予以证明；否则举出反例． 13 . “已知 a , b , c 成等比数列，m 是b a ,的等差中项，n 是c b ,的等差中项，则2=+nb m a ”是否正确？若正确，予以证明；否则举出反例． 14 ．设二次函数)0()(2≠++=ac bx ax x f 中的c b a ,,均为整数，且 f ( 0 ) ，f ( 1 ）均为奇数，证明：方程． f ( x )=0无整数根．15 ．四面体 P －ABC 中三个面为直角三角形，则第四个面必为锐角三角形．(3题图)16 ．给定实数0,≠a a 且1≠a ．设函数R x ax x y ∈---(11且)1ax ≠，证明： (1)经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴；( 2 )这个函数的图象关于直线 y= x 成轴对称图形．六、特殊与一般 1 ．已知)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++对 x , y ∈R 都成立，且 f ( 0 )≠0．试判断函数 f ( x ）的奇偶性．2 ．证明：不论n m ,为何实数，方程 0)2(42222=--+--+n m ny mx y x 所表示的曲线必通过一定点，并求出此定点．3 ．设)1)((,1990)(,13)(10≥==-+=-n x f x x f x xx f n n ．求)(1995x f4 ．求和：∑+-+)sin(])1(sin[1βαβαk k · 5 ．现有 243 个小球，从外观上看完全相同，除一个小球略轻外，其余的小球重量均相等．现有满足各种操作要求的天平和砝码．问最少称几次，可保证将这个较轻的球找出？6 ．证明：空间中从同一点出发不在同一平面内的三条射线中，每两条所成角的平分线与第三条射线确定一个平面，如此所得的三个平面必相交于一直线．7 ．在长方体 ABC D －A 1B 1C 1D 1中， D 点在截面 ACD 1上的射影为 H ．证明： △ADD 1的面积是 △ACD 1和 △AHD 1的面积的比例中项．8 ．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）. ( A ) 1 个（ B ）2 个（ C ） 3 个（ D ）4 个9 ．已知｛n a ｝是公差不为零的等差数列．如果 S n 是｛n a ｝的前n 项和，那么 =∞→nn n S na lim _____________. 10 ，是否存在常数c b a ,,，使得等式))(1(121)1(32212222c bn an n n n n +++=+++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论．七、分类讨论1．解不等式0222>++ax x2 . 解不等式x x ->-213．设 p ∈R ，求关于x 的不等式>-++p px px 21120的解集． 4 ．解关于x 的方程b x a x -=- 5 ．已知 a > 0 , a ≠1，试求使方程)(log )(log 222x a ak x a a -=-有解的k 的取值范围．6 ．已知 k ∈R ，求方程x k x cos 2sin =在),0[π上的解．7 ．解关于x 的方程x )]32cos(1[)26sin(ππ++=-x b x8 ．设 a ∈R ，求函数x a x x a x a y 2222cos )1(cos sin 4sin )1(-+++=的值域． 9 ．求1sin 2sin 2++=x a x y 的最小值 g (a ) .10 ．已知集合 A =}121|{},0310|{2-≤≤+=≥-+m x m x B x x x ．当实数m 取何值时 A ∩B=∅．11 ．已知线段 AB 在平面α内， A C ⊥α , BD ⊥ AB 且与α成 300 角．又 AB=a , AC= BD= b ，求 C , D 两点间的距离．12 ．在椭圆12222=+by a x 上求一点P ，使P 到椭圆短轴端点B （0，－b ）的距离最大，并求此距离．13 ．已知二次方程074)12(22=-+-+a x a ax 中的a 为正整数，问a 取何值时此方程至少有一个整数根？14 ．若函数)62(4)2()(2-+--=m mx x m x f 的图象与x 轴有两个交点，其中至少有一个在x 轴的负半轴上，求实数m 的取值范围．15．当m 取什么实数值时，不等式022>++mx mx 对于一切实数 x 成立．l6．设0,1,0>≠>t a a ，比较t a log 21与21log 21+t a 的大小．并证明你的结论 17 ．设)0,0](1)(2[log 2221>>+-+=b a b ab a y x x x ，求使 y 为负值的 x 的取值范围．18 ．设1>a ，解关于 x 的不等式2|log ||log |2+<x ax a a19 . 4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 100 分，答错得－100 分；选乙题答对得 90 分，答错得－90 分．若 4 位同学的总分为 0 ，则这 4 位同学不同得分情况的种数是（ ） . ( 2005 年湖南卷， 9 )( A ) 48 ( B ) 36 ( C ) 24 ( D ) 1820 ．从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览．要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览．则不同的选择方案共有（ ） . ( 2005 年福建卷， 9 )( A ) 300 种 （ B ) 240 种 （ C ） 144 种 （ D ） 96 种八、向量思想1 ．已知,都是非零向量，且3+与57-垂直，4- 与27-垂直，求 与的夹角．2 ．已知)2,0(,πβα∈，并且23)cos(cos cos =+-+βαβα，求βα,的值． 3 ．求函数 y = sin 2x + 2sinxcosx + 3cos 2x 的最值．4 ．设P （y x , ）是椭圆116)1(25)2(22=++-y x 上的任一点，求2x －3y 的最值． 5 ．求函数x x y -++=43的最大值．6 ．已知 a > b >0，∈+≠k k ,2ππθZ ，证明：不等式ba b a b a b a b a b a -+≤-+≤+-θθsin sin 的 集为∅．7 ．在三棱锥 S －ABC 中，平面 SA C ⊥平面 ABC , SA ⊥AC ，B C ⊥AC , SA=6， AC=21， BC = 8 ，求 SB 的长．8 ．已知直线 AB 和l 所成的角为 300 ．分别过点 A 和点 B 作直线l 的垂线，垂足分别为 A '、B '，设 AB=a ，求A 'B '的长．9 ．如图所示，过 △OAB 的重心 G ，n m ====,,,证明：311=+nm10 ．如图所示，在棱长为 1 的正方体C A '中，过 BD 及C B ''的中点 E 作截面 BEFD 交D C ''于 F ．求点A '到平面 BEFD 的距离．11．已知∈c b a ,, R ，证明：2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++（第二届友谊杯国际数学邀请赛试题） .12 ．证明： ))(()(22222d c b a bd ac ++≤+13．在 △ABC 内求一点P 使222CP BP AP ++的值最小14．若 △ ABC 的三边c b a ,,成等差数列，且 c b a <<， I 为 △ ABC 的内心，O 是平面上任一点，证明：c b a c b a OI ++⋅+⋅+⋅= 15 ．已知点 A ( 2，－1)、 B ( 5 , 3 )，若直线l ：01=+-y kx 与线段 AB 相交，求 k 的取值范围。