高中数学与椭圆有关的最值问题
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与椭圆有关的最值问题
圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。
1．定义法
例1。P(-2,3),F 2为椭圆116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2
︱的最大值
和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知
–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1
22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8
结论1：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意
一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
例2：P(-2,6),F 2为椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2
︱的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+
37
，最小值是
41。
结论2：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，
则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法
例3．求定点A(a,0)到椭圆122
22=+b
y a x 上的点之间的最短距离。
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。
解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2=(x-a)2+y 2 =(x-a)2
+1-
x 212
=2)2(2
1
a x -+1-a 2
由椭圆方程知x 的取值范围是[-
2,2]
（1） 若︱a ︱≤
2
2
,则x=2a 时︱P A ︱min =
2
1a -
（2） 若a>
2
2,则x=
2时︱P A ︱
min
=︱a －
2︱
（3） 若a <－
2
2,则︱P A ︱min =︱a+
2︱
结论3：椭圆122
22=+b
y a x 上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式
表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
例4：椭圆14
2
22=+y x 上的点M(x,y)到直线l ：x+2y=4的距离记为d,求d 的最值。
分析：若按例3那样d=5
4
2-+y x 转化为x 或y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆
的参数方程，即三角换元。
解：d=
5
4
2-+y x ∵
14
222
=+y x ∴令
()R y x ∈⎩
⎨
⎧==θθθ
sin cos 2 则
d=
5
4
sin 2cos 2-+θθ=
2
)4
sin(25
2-+
π
θ
当sin )4
(π
θ
+
=1时,d min =
5
10
254-, 当sin )4
(π
θ+
=﹣1时,d max =
5
10
254+
结论
4：若椭圆122
22=+b
y a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，
统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。令直线m ：x+2y+c=0 将x =﹣2y ﹣c 代入椭圆方程整理得8y 2+4cy+c 2-4=0，由△=0解得c =±22
,