第一章 章末复习

章末复习

学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．

1．四种命题及其关系

(1)四种命题

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

2．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)分类：

①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；

②充分不必要条件：p⇒q且q⇏p.

③必要不充分条件：p⇏q且q⇒p.

④既不充分又不必要条件：p⇏q且q⇏p.

3．全称命题与特称命题

(1)全称命题与特称命题真假的判断方法

①判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．

②判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．

(2)含有一个量词的命题否定的关注点

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．

4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断

可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假.

1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(√)

2．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(×)

3．已知命题p：存在x∈R，x－2＞0，命题q：对于任意x∈R，x2＞x，则命题p或(綈q)是假命题．(×)

类型一命题及其关系

例1(1)有下列命题：

①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；

②“矩形的对角线相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④不等边三角形的三个内角相等．

其中是真命题的是()

A．①②③B．②③④

C．①③④D．①③

考点四种命题的真假判断

题点利用四种命题的关系判断真假

答案 D

(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()

A．p或q B．p且q

C．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)

考点“p或q”形式的命题

题点判断“p或q”形式命题的真假

答案 A

解析由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p或q为真命题．

反思与感悟 1.互为逆否命题的两命题真假性相同．

2．“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．

跟踪训练1命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是()

A．若x2>1，则－1≤x≤1

B．若－1≤x≤1，则x2≤1

C．若－11

D．若x<－1或x>1，则x2>1

考点四种命题

题点四种命题概念的理解

答案 B

解析条件与结论交换位置，并且分别否定．

类型二充分条件与必要条件

命题角度1充分条件与必要条件的判断

例2(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()

A．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 考点 四种条件 题点 识别四种条件 答案 (1)B (2)C

解析 (1)∵x 2－3x >0⇏x >4， x >4⇒x 2－3x >0，

故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件． (2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，

∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件． 反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．

(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．

跟踪训练2 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．112

2

log log 0a b >>

C ．ln a >ln b >0

D ．x a >x b 且x >0.5

考点 四种条件 题点 识别四种条件 答案 C

解析 设条件p 符合条件，则p 是a >b >0的充分条件，但不是a >b >0的必然结果，即有“p ⇒a >b >0，a >b >0⇏p ”．

A 选项中，a 2>b 2>0⇏a >b >0，有可能是a

B 选项中，112

2

log log 0a b >>⇔0b >0，故B 不符合条件；