高考数学 25个必考点 专题08 解三角形优质课件
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高中数学解三角形PPT课件
6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水 平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、 OE是视线，是仰角， 是俯角.
22
7.关于三角形面积问题
23
用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方 向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测 角仪的高度是b，求气球的高度.
6
7
考点2: 三角形中的三角变换
8
9
10
考点3 与三角形的面积相关的题
11
题型2:已知面积求线段长或角
12
13
2020/1/15
14
C
15
16
17
18
19
20
解三角形应用举例
1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理 求a、b
2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定 理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理 求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要 注意解可能有多种情况．
4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π， 求角C．
21
5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南， 北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
第四章 解三角形
正弦定理和余弦定理 内角和定理：
1
面积公式: 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
22
7.关于三角形面积问题
23
用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方 向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测 角仪的高度是b，求气球的高度.
6
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考点2: 三角形中的三角变换
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考点3 与三角形的面积相关的题
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题型2:已知面积求线段长或角
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C
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解三角形应用举例
1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理 求a、b
2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定 理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角．
3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理 求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要 注意解可能有多种情况．
4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C = π， 求角C．
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5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作 为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南， 北偏东××度， 北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.
第四章 解三角形
正弦定理和余弦定理 内角和定理：
1
面积公式: 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
2024版年度解三角形PPT精品课件
解三角形PPT精品课件•三角形基本概念与性质•解三角形方法概述•正弦定理及其应用目录•余弦定理及其应用•三角形面积计算公式及推广•解三角形综合问题探讨01三角形基本概念与性质三角形定义及分类三角形的定义三角形的分类三角形元素关系三角形三边关系三角形三角关系三角形重要性质三角形的稳定性三角形具有稳定性，常用于建筑、桥梁等结构中。
三角形的面积公式面积= 1/2 * 底* 高，其中底和高是相对的，可以选择三角形任意一边作为底。
三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
相似与全等三角形相似三角形的定义全等三角形的定义相似与全等的应用02解三角形方法概述010204使用测量工具（如卷尺、量角器等）直接测量三角形的边长和角度。
适用于实际生活中对三角形进行粗略测量。
优点：简单易行，快速方便。
缺点：精度较低，受测量工具限制。
0301020304图形变换法利用相似三角形或全等三角形的性质，通过图形变换求适用于解决复杂三角形问题。
代数运算法03正弦定理及其应用正弦定理公式$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} = 2R$，其中$a, b, c$为三角形三边，$A, B, C$为三角形三内角，$R$为三角形外接圆半径。
定理含义正弦定理揭示了三角形三边与其对应角的正弦值之间的比例关系，是解三角形的重要工具。
利用三角形外接圆性质证明利用三角形面积公式证明实际应用场景举例求解三角形边长或角度01判断三角形形状02解决与三角形相关的实际问题03注意事项与误区提示注意正弦定理的适用条件避免计算错误误区提示04余弦定理及其应用余弦定理公式文字表述在任何一个三角形中，任一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
向量法证明几何法证明坐标法证明030201实际应用场景举例求解三角形边长或角度01判断三角形形状02解决实际问题03适用条件误区二误区三误区一注意事项与误区提示05三角形面积计算公式及推广三角形面积计算公式最常用公式推导来源适用范围海伦公式及其推导过程推导过程海伦公式通过三角形边长与面积的关系，利用代数方法推导出海伦公式。
2024高中数学解三角形ppt课件
目录•三角形基本概念与性质•正弦定理及其应用•余弦定理及其应用•三角形面积公式及其应用•解三角形综合应用举例三角形基本概念与性质三角形的分类按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
三角形的定义与分类三角形内角和定理01三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。
02证明方法通过平行线的性质或者撕拼法等方法进行证明。
三角形外角性质三角形外角的定义三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形外角的性质三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
三角形边与角关系01正弦定理在任意三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
02余弦定理在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
03三角形的面积公式S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹角。
正弦定理及其应用正弦定理的推导与证明推导过程通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
证明方法利用三角形的面积公式和正弦函数的性质，证明正弦定理的正确性。
利用正弦定理求解三角形已知两边及夹角求第三边通过正弦定理计算出已知两边夹角对应的第三边的长度。
已知两角及夹边求其他元素利用正弦定理和三角形内角和定理，求出三角形的其他元素。
解决三角形中的角度问题通过正弦定理计算出三角形中的未知角度。
解决三角形中的边长问题利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
解决力学问题在力学中，正弦定理可用于解决涉及三角形的问题，如力的合成与分解等。
解决光学问题在光学中，正弦定理可用于解决涉及光的反射和折射等问题。
余弦定理及其应用余弦定理的推导与证明向量法推导余弦定理通过向量的数量积和模长关系，推导余弦定理的表达式。
几何法证明余弦定理利用三角形的面积公式和正弦定理，结合相似三角形的性质，证明余弦定理。
解三角形PPT演示课件
04 三角形在实际问 题中的应用
测量问题中的三角形解法
角度测量
通过测量三角形的两个角，利用 三角形内角和为180度的性质，可
以求出第三个角的大小。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况 下，可以通过构造三角形，利用已 知边长和角度，通过三角函数求解 未知距离。
高程测量
在测量地形高度时，可以通过构造 三角形并测量相关角度和距离，利 用三角函数求解未知高程。
物理学中的三角形解法
01 02
力的合成与分解
在物理学中，力是矢量，可以通过构造三角形来表示力的合成与分解。 例如，已知两个分力的大小和方向，可以构造三角形求解合力的大小和 方向。
运动学问题
在解决匀变速直线运动等问题时，可以通过构造速度、加速度和时间等 物理量的三角形关系，利用三角函数求解未知量。
03
解等腰三角形的方法
通过已知的两边和夹角，利用余弦定 理或正弦定理求解第三边和其余两个 角。
等边三角形的解法
等边三角形的定义和性质
01
三边长度都相等的三角形，三个内角均为60度。
解等边三角形的方法
02
通过已知的一边长度，利用三角函数或特殊角度的三角函数值
求解其余两边和三个角。
典型例题解析
03
展示一道等边三角形的求解问题，并详细解析解题步骤和思路
几何图形中的三角形解法
01
02
03
三角形面积计算
通过已知三角形的底和高 ，或者通过海伦公式等方 法，可以计算三角形的面 积。
三角形边长求解
在已知三角形部分边长和 角度的情况下，可以利用 正弦定理、余弦定理等方 法求解未知边长。
三角形形状判断
通过已知三角形的边长或 角度，可以判断三角形的 形状，如等边、等腰、直 角等。
解三角形ppt课件
解三角形中的最值问题
01
总结词
02
详细描述
03
示例
利用三角形性质和函数性 质，解决三角形中的最值 问题。
在解三角形问题中，常常 会遇到需要求最值的问题 。这类问题通常涉及到三 角形的边长、角度等性质 ，需要利用三角形的基本 性质和函数的基本性质进 行推理和求解。
在三角形ABC中，已知a 、b、c分别为角A、B、C 所对的边，且a = 2, b = 3, C = 60度。求三角形 ABC的面积的最大值。
航海定位问题
经验积累
解决航海定位问题需要丰富的经验积累，因 为在实际航行中会遇到各种复杂的情况。只 有通过不断实践和经验积累，才能熟练掌握 解三角形的方法，提高定位精度和航行安全
性。
建筑结构设计问题
结构设计基础
建筑结构设计问题是建筑学中的基础问题之一，涉及 到建筑物的稳定性和安全性。解三角形的方法可以用 来确定建筑物的结构形式和受力情况，保证建筑物的 质量和安全性。
测量距离问题
实践性强
解决测量距离问题需要很强的实践能力，需要具备一定的测 量和计算能力。同时，还需要对实际环境有足够的了解，能 够根据实际情况选择合适的解三角形方法。
航海定位问题
重要应用
航海定位问题在航海学中非常重要，因为准确的定位是保 证航行安全的前提。解三角形的方法可以用来确定船只的 位置和航向，保证航行路线的准确性。
解三角形ppt课件
contents
目录
• 引言 • 三角形的基本性质 • 解三角形的方法 • 实际应用案例 • 解三角形的进阶技巧 • 总结与展望
01
引言
三角形的定义与性质
三角形是由三条边和三个角构成的二 维图形。
三角形的边和角之间存在一定的关系 ，如两边之和大于第三边、内角和为 180度等。
《高中数学课件-解三角形》
如何利用三角函数求解三角形边长？
1
余弦定理
2
可以用已知角度的余弦值、已知角度、
另一条边，计算第三边。
3
正弦定理
可以用已知角度的正弦值、已知角度、 另一条边，计算第三边。
正切定理
可以用已知角度的正切值、已知角度、 另一条边，计算第三边。
如何应用海伦公式求解三角形面积？
公式
海伦公式：$\sqrt{s(s-a)(sb)(s-c)}$
如何解三角形在平面几何中的 应用？
可以用来计算各种图形的面积、周长、角度大小等，是很多数学问题的基础 和工具。
如何应用三角函数求解解决实 际问题？
可以用来求解各种实际问题，如测量高度、距离、角度大小、速度等。
含义
s是半周长，a、b、c是三 角形的三条边长。
优点不需要知道高或者角度，来自适用面较广。如何应用正弦定理、余弦定理判定三角 形形状？
正弦定理
三角形是锐角；两个边长和对应角度的正弦值 成正比。
余弦定理
三角形是直角、钝角；其中直角三角形满足勾 股定理；余角大小决定了所求角度，等于对应 锐角角度的补角。
如何利用三角函数公式求解各种角度和 边长？
1
正弦函数公式
${\sin x} = \frac{\text{对边}}{\text{斜
余弦函数公式
2
边}}$
${\cos x} = \frac{\text{邻边}}{\text{斜
边}}$
3
正切函数公式
${\tan x} = \frac{\text{对边}}{\text{邻 边}}$
如何求解等腰三角形的各个角 度和边长？
可以直接应用角度和及等腰三角形的性质求解。
如何求解等边三角形的各个角度和边长？
解三角形高考题PPT课件
教材回顾 夯实基础
1．正弦定理和余弦定理
定 正弦定理
理
余弦定理
内 容
_s_i_na_A__＝__si_n_b__B_＝ ___si_nc_C_ ＝2R(R 为△ABC 外接 圆半径)
a2＝___b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A_______； b2＝___c_2＋__a_2_－__2_c_a_c_o_s_B________； c2＝___a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C________
答
(2)已知△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)
＝0，a＝ 3，bc＝2，求△ABC 的周长．
第28页/共40页
规 范
[解] (1)由题知 f(x)＝－sin2x－ 3sin xcos x＋32
解 答
＝cos2x－ 3sin xcos x＋12＝cos2x＋π3＋1，
cos cos cos
b2＋c2－a2 A＝_____2_b_c___；
c2＋a2－b2 B＝_____2_c_a___；
a2＋b2－c2
C＝____2_a_b____
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A
第2页/共40页
教材回顾 夯实基础
2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)； (2)S＝12bcsin A＝___12_a_c_si_n__B__________＝12absin C； (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
4
3
A. 3 10 10
B. 10 C. 10 D. 3 10
10
10
1．正弦定理和余弦定理
定 正弦定理
理
余弦定理
内 容
_s_i_na_A__＝__si_n_b__B_＝ ___si_nc_C_ ＝2R(R 为△ABC 外接 圆半径)
a2＝___b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A_______； b2＝___c_2＋__a_2_－__2_c_a_c_o_s_B________； c2＝___a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C________
答
(2)已知△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 f(A)
＝0，a＝ 3，bc＝2，求△ABC 的周长．
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规 范
[解] (1)由题知 f(x)＝－sin2x－ 3sin xcos x＋32
解 答
＝cos2x－ 3sin xcos x＋12＝cos2x＋π3＋1，
cos cos cos
b2＋c2－a2 A＝_____2_b_c___；
c2＋a2－b2 B＝_____2_c_a___；
a2＋b2－c2
C＝____2_a_b____
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝sina
A
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教材回顾 夯实基础
2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)； (2)S＝12bcsin A＝___12_a_c_si_n__B__________＝12absin C； (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
4
3
A. 3 10 10
B. 10 C. 10 D. 3 10
10
10
解三角形_课件PPT
在△ABC 中，有 A＋B＋C＝π，即：sinA＝sin(B ＋C)， ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∵sinA≠0，∴cosB＝－12⇒B＝23π. (2)由余弦定理有： b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
19＝52－2ac(1－12)⇒ac＝6.
由aac＋＝c6＝5 ⇒ac＝＝32 或ac＝＝23.，
理 A＋B＋C＝π.利用公式 cosA＝b2＋2cb2c－a2， cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2，可将有 关三角形中的角的关系化为边的关系，然后充
分利用代数知识来解决问题．
例2 在三角形 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、 B、C 对边的长，且满足ccoossBC＝－2ab＋c. (1)求角 B 的值； (2)若 b＝ 19，a＋c＝5，求 a、c 的值．
例1 在△ABC 中，若bcccoossBC＝11＋＋ccooss22BC，试判 断三角形的形状． 【解】 由已知11＋ ＋ccooss22CB＝22ccooss22BC＝bcccoossBC，
∴ccoossCB＝bc.
以下可有两种解法．
法一：(利用正弦定理边化角)： 由正弦定理得bc＝ssiinnBC.∴ccoossCB＝ssiinnBC， 即 sinCcosC＝sinBcosB，即 sin2C＝sin2B， ∵B，C 均为△ABC 的内角， ∴2C＝2B，或 2C＋2B＝180°， ∴B＝C，或 B＋C＝90°， 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
同理，cos∠PAC＝723－x x， 由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 即3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372(km)． (2)作 PD⊥a，垂足为 D.在 Rt△PDA 中， PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋ 5x32＝3×13752＋32≈17.71 (km)．
解三角形完整版课件
1 2
c.
（1）求角 B 的大小；
B
3
.
（3）若 b 3 ，求△ABC 面积的最大值．
深度探究
四、横向拓展，发散思维
【例 2】在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c ，
且
b
cos C
a
1 2
c.
（1）求角 B 的大小；
B
3
.
（4）若 b 3 ，求△ABC 周长的最大值．
c.
（1）求角 B 的大小；
二、边角转化，学会分析
【例 2】在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、
c，且 bcosC a 1 c.
2
（1）求角 B 的大小；
【解析一】(角化边)由余弦定理，有 b
a2
b2 c2 2ab
a
1 c. 2
化简得 a2 c2 b2 ac.
a2 c2 b2 1
2
sin B cosC sin B C 1 sinC
2
sin B cosC cos B sinC 1 sinC. 2
即 cos BsinC 1 sinC ，又 C 0, ，所以 sinC 0,1 ，
2
于是 cos B 1 . 又因为 B 0, ，所以 B .
2
3
三、纵向引申、深度感知
一、尝试探究，初悟高考
【例 1】如图，在 ABC 中, B 45 , D 是
BC 边上一点, AD 5, AC 7, DC 3,
则 AB
.
？5 7
45°
3
一、尝试探究，初悟高考
【例 1】如图，在 ABC 中, B 45 ,D 是 BC 边上一点, AD 5, AC 7, DC 3,则 AB
解三角形PPT优秀课件1
b2 A
c2
a2
可得
2bc
（1）若a²=b²+c²，则A为直角；
（2）若a²<b²+c²，则A为锐角；
（3）若a²>b²+c²， 则A为钝角；
6、三角形面积：
S 1底 h 2
S 1absinC1acsinB1bcsinA
2
2
2
S
1、 A B C 中 ， A 4 5 , C 3 0 , c 1 0 ， 求 B , a , b . 解： B 1 8 0 A C 105
a
b
c
s i n A 2 R,s i n B 2 R,s i n C 2 R ,
a:b:c sinA: sinB:sinC.
正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
4、余弦定理：
a2=b2+c2－2bccosA b2= c2+a2－2cacosB
解：由 a b ，
sin A sin B
得 sin B b s in A 6 3 sin 30 3
a
6
2
B = 60或120，
a
∵ 在 ABC中,ab
C b
∴ ∠A < ∠B
A
B
B
B = 60或 120都 成 立 ，
当 B = 6 0时 C 9 0， 当 B = 1 2 0时 C 3 0。
cos A= 1 ,
2
∴∠B 2 3 sin 45 3
b
22
2
A=60或 120，ca,0 A90,
∴∠Ａ＝60°.
解三角形PPT教学课件
数值积分法
采用数值积分方法对定积分进行近 似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情 况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精 度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化 以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形 为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山 顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用 三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或 已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用
采用数值积分方法对定积分进行近 似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情 况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精 度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化 以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形 为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山 顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用 三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或 已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用
解三角形PPT课件
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解 法 三: a2 b2 c2 2bccos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
A. 0 a 4 3
B. a 6
C. a 4 3或a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
第15页/共40页
2 sin15 sin45
6 2
2
第19页/共40页
方 法 二用 余 弦 定 理
b2 a2 c2 2accosB 2 3 c2 2 3 cos45 即c2 6c 1 0 解 之 ， 得c 6 2
2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
2
2
cos A B sinC ;
2
2
tan A B cotC
2
2
(5)在ABC中，tanA tanB tanC tanA tanB tanC
第4页/共40页
(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(3) 182 202 c2 2 20 c cos150 c2 20 3c 76 0. 解 得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无 解
解 法 三: a2 b2 c2 2bccos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
A. 0 a 4 3
B. a 6
C. a 4 3或a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
第15页/共40页
2 sin15 sin45
6 2
2
第19页/共40页
方 法 二用 余 弦 定 理
b2 a2 c2 2accosB 2 3 c2 2 3 cos45 即c2 6c 1 0 解 之 ， 得c 6 2
2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
2
2
cos A B sinC ;
2
2
tan A B cotC
2
2
(5)在ABC中，tanA tanB tanC tanA tanB tanC
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(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(3) 182 202 c2 2 20 c cos150 c2 20 3c 76 0. 解 得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无 解
高考数学25个必考点专题08解三角形课件
高考数学25个必考点— 三角 —专题复习策略指导
解三角形
abc sin A sin B sin C
理
内容
a b c 2R sinA sinB sinC
(其中R是△ABC的外接圆半径)
余弦定理 a2=__b_2_+_c2_-_2_b_c_c_o_s_A___; b2=__a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s_B___; c2=__a_2+_b_2_-_2_a_b_c_o_s_C___.
即sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB.
12/10/2021
又0<B<π，
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围．
法二 ∴ acosC＋ccosA＝2bcosB,
当sinB=2sinA时， 即：b=2a.
12/10/2021
解析(2) 化简得：2sinBcosA=4sinAcosA. ∴cosA=0 或sinB=2sinA.
当cosA=0时，A=900 ，
C
b
2
A
B
变式
突破口 直接求解AC、BC比较困难，可先 由面积公式寻找AC、BC的关系.
解析 依题意，利用三角形面积相等有：
相 a∶b∶c=_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C____ 关
变
形 S=
cosA= cosB= cosC=
12/10/2021
解析
又A是锐角，.
(2) ∵ a2＝b2＋c2－2bccosA， 得b2＋c2－bc＝36. 又b＋c＝8，
解三角形
abc sin A sin B sin C
理
内容
a b c 2R sinA sinB sinC
(其中R是△ABC的外接圆半径)
余弦定理 a2=__b_2_+_c2_-_2_b_c_c_o_s_A___; b2=__a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s_B___; c2=__a_2+_b_2_-_2_a_b_c_o_s_C___.
即sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB.
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又0<B<π，
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围．
法二 ∴ acosC＋ccosA＝2bcosB,
当sinB=2sinA时， 即：b=2a.
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解析(2) 化简得：2sinBcosA=4sinAcosA. ∴cosA=0 或sinB=2sinA.
当cosA=0时，A=900 ，
C
b
2
A
B
变式
突破口 直接求解AC、BC比较困难，可先 由面积公式寻找AC、BC的关系.
解析 依题意，利用三角形面积相等有：
相 a∶b∶c=_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C____ 关
变
形 S=
cosA= cosB= cosC=
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解析
又A是锐角，.
(2) ∵ a2＝b2＋c2－2bccosA， 得b2＋c2－bc＝36. 又b＋c＝8，
高中数学精品课件解三角形.pptx
例 3、如图 127，为了测量河对岸的塔高 A B ，有不同的方案，其中之一是选取与塔底 B 在同一 水平面内的两个测点 C 和 D ，测得 C D ＝200 米，在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45°和 30°， 且∠C B D ＝30°，求塔高 A B .
2020-5-11
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＝
，
sin ∠C B D sin ∠B C D
2
800×
C D ·sin ∠B C D
2
BD＝
sin ∠C B D
＝
2
2
3 2
1 －
2
＝800( 3＋1)m ，
又∠A D B ＝45°，A B ＝B D .
∴A B ＝800( 3＋1)m .
即山的高度为 800( 3＋1) m .
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2
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
2020-5-11
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3
01 学习目标
1 ．基线的概念与选择原则 (1 )定义 在测量上，根据测量需要适当确定的 线段 叫做基线． (2 )性质 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说， 基线越长，测量的精确度越 高．
2020-5-11
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4
01 学习目标
思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可 及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经 估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
提示：利用正弦定理和余弦定理．
2020-5-11
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＝
，
sin ∠C B D sin ∠B C D
2
800×
C D ·sin ∠B C D
2
BD＝
sin ∠C B D
＝
2
2
3 2
1 －
2
＝800( 3＋1)m ，
又∠A D B ＝45°，A B ＝B D .
∴A B ＝800( 3＋1)m .
即山的高度为 800( 3＋1) m .
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学习目标
LEARNING OBJECTIVES
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01 学习目标
1 ．基线的概念与选择原则 (1 )定义 在测量上，根据测量需要适当确定的 线段 叫做基线． (2 )性质 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说， 基线越长，测量的精确度越 高．
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4
01 学习目标
思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可 及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经 估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
提示：利用正弦定理和余弦定理．
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5
解三角形PPT演示课件
量之间的夹角。
振动分析
在振动分析中，经常需要研究物体的振动规律。通过使用三角函数和解三角形的方法， 可以分析出物体的振动频率、振幅和相位等参数，进而对物体的振动特性进行分析和预
测。
06
总结与展望
解三角形的意义
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一，解三角形是 研究三角形的重要手段之一。通过解三角形，我们可以了解 三角形的性质、特点、变化规律等，为几何学、物理学、工 程学等领域提供重要的理论支撑和实践指导。
解三角形的方法
解三角形的方法有很多种， 包括正弦定理、余弦定理、 勾股定理等。
三角形的重要性
三角形在日常生活中的应用
三角形在日常生活中的应用非常广泛，如建筑、工程、航海、航 空等领域。
三角形在数学中的地位
三角形是几何学中最基础和最重要的图形之一，对于几何学的发展 和应用具有重要意义。
三角形在物理学中的应用
角度和为180度
三角形的三个内角之和为180度。
边与角之间的关系
正弦定理
在一个三角形中，任意一边与其对应 角的正弦值的比等于三角形的外接圆 直径。
余弦定理
在一个三角形中，任意一边的平方等 于其他两边平方和减去两倍的这两边 与它们夹角的余弦的积。
03
解三角形的工具
三角函数
三角函数是解三角形的重要工具，用于描述三角形中各角度和边长之间的关系。 常用的三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们在解三角形问题中发挥着关键作用。
掌握三角函数的性质和公式，能够快速解决各种解三角形问题。
余弦定理
余弦定理是解三角形的一个重要 定理，用于计算三角形各边的长
度。
定理公式为：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别代 表三角形的三条边边和夹角，或者已 知的三边，利用余弦定理可以求
振动分析
在振动分析中，经常需要研究物体的振动规律。通过使用三角函数和解三角形的方法， 可以分析出物体的振动频率、振幅和相位等参数，进而对物体的振动特性进行分析和预
测。
06
总结与展望
解三角形的意义
三角形是几何学中最基础、最重要的图形之一，解三角形是 研究三角形的重要手段之一。通过解三角形，我们可以了解 三角形的性质、特点、变化规律等，为几何学、物理学、工 程学等领域提供重要的理论支撑和实践指导。
解三角形的方法
解三角形的方法有很多种， 包括正弦定理、余弦定理、 勾股定理等。
三角形的重要性
三角形在日常生活中的应用
三角形在日常生活中的应用非常广泛，如建筑、工程、航海、航 空等领域。
三角形在数学中的地位
三角形是几何学中最基础和最重要的图形之一，对于几何学的发展 和应用具有重要意义。
三角形在物理学中的应用
角度和为180度
三角形的三个内角之和为180度。
边与角之间的关系
正弦定理
在一个三角形中，任意一边与其对应 角的正弦值的比等于三角形的外接圆 直径。
余弦定理
在一个三角形中，任意一边的平方等 于其他两边平方和减去两倍的这两边 与它们夹角的余弦的积。
03
解三角形的工具
三角函数
三角函数是解三角形的重要工具，用于描述三角形中各角度和边长之间的关系。 常用的三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们在解三角形问题中发挥着关键作用。
掌握三角函数的性质和公式，能够快速解决各种解三角形问题。
余弦定理
余弦定理是解三角形的一个重要 定理，用于计算三角形各边的长
度。
定理公式为：c²=a²+b²2abcosC，其中a、b、c分别代 表三角形的三条边边和夹角，或者已 知的三边，利用余弦定理可以求
高三数学ppt课件 三角函数与解三角形课件8
解析：由余弦定理得 AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120° ＝10 ＋20
2 2
1 －2×10×20×－2＝700.
∴AC＝10 7(km)，故选 D.
2．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定 一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45° ，∠CAB＝105° ， 50 2 m 则 A，B 两点间的距离为____国卷Ⅰ)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点． 从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN＝60° ，C 点的仰角∠CAB＝45° 以及∠MAC＝75° ；从 C 点
150 测得∠MCA＝60° .已知山高 BC＝100 m， 则山高 MN＝________m.
1． (2015· 高考湖北卷)如图， 一辆汽车在一条水平的公路上向正 西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向 上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向
100 6 上，仰角为 30° ，则此山的高度 CD＝________m.
解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30° ，∠ABC＝180° － 75° ＝105° ，故∠ACB＝45° . 又 AB＝600 m， 600 BC 故由正弦定理得 ＝ ， sin 45° sin 30° 解得 BC＝300 2 m. 3 在 Rt△BCD 中，CD＝BC· tan 30° ＝300 2× ＝100 6(m)． 3
1．若点 A 在点 B 的北偏西 30° ，则点 B 在点 A 的( C ) A．北偏西 30° C．南偏东 30° B．北偏西 60° D．东偏南 30°
3.如图，一栋建筑物 AB 的高为(30－10 3)m，在该建筑物的正 东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面点 M(B，M，D 三 点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角分别是 15° 和 60° ，在楼 顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30° ，求通信塔 CD 的高．
解三角形-PPT课件
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本 章 优 化 总 结
本章优化总结
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专题探究精讲
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专题探究精讲
判断三角形形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径： (1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法 求解； (2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法 求解． 在解三角形时的常用结论有：
【解】 (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12 (km)， PC－PB＝1.5×20＝30 (km)． 因此 PB＝(x－12) km，PC＝(18＋x) km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122 ＝3x＋ 5x32.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P 的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果 精确到0.01 km)
【思路点拨】 (1)PA、PB、PC长度之间的关 系可以通过收到信号的先后时间建立起来； (2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要 求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的 值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因 此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出 cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.
例4 如图所示，a是海面上一条南北方向的 海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点, 另两个监测点B、C分别在A的正东方向20 km 处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静 止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后 监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条 件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1) 在 △ ABC 中 ， ∠ A> ∠ B⇔ a>b ⇔ sinA>sinB ⇔
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专题探究精讲
判断三角形形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径： (1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法 求解； (2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法 求解． 在解三角形时的常用结论有：
【解】 (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12 (km)， PC－PB＝1.5×20＝30 (km)． 因此 PB＝(x－12) km，PC＝(18＋x) km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122 ＝3x＋ 5x32.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P 的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果 精确到0.01 km)
【思路点拨】 (1)PA、PB、PC长度之间的关 系可以通过收到信号的先后时间建立起来； (2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要 求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的 值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因 此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出 cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.
例4 如图所示，a是海面上一条南北方向的 海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点, 另两个监测点B、C分别在A的正东方向20 km 处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静 止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后 监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条 件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1) 在 △ ABC 中 ， ∠ A> ∠ B⇔ a>b ⇔ sinA>sinB ⇔
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解析
9
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值；
(2)若b＝5，求△ABC周面长积的的取最值范大围值．
法二
10
例5 sin(B+A)
突破口 解析(1)
找准“角”之间的关系. sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2CsinC
A
74 6
B
M
C
5
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围．
解析 解题关键 联想正弦定理进行转化．
∴ acosC＋ccosA＝2bscions(BA,+C) 由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，
相 a∶b∶c=_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C____ 关
变
形 S=
cosA= cosB= cosC=
2
解析
又A是锐角，.
(2) ∵ a2＝b2＋c2－2bccosA， 得b2＋c2－bc＝36. 又b＋c＝8，
3
解析 a>b
据余弦定理
C
42
B
5
A
(舍去).
4
解析
B
当cosA=0时，A=900 ，
C
b
2
A
B
12
变式
突破口 直接求解AC、BC比较困难，可先 由面积公式寻找AC、BC的关系.
解析 依题意，利用三角形面积相等有：
它们之间 还有什么 关系呢 ？
由余弦定理可知:
∴(AC＋BC)2 ＝AC2＋BC2＋2AC•BC
13
14
即sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB.
又0<B<π，
6
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围． 法二 ∴ acosC＋ccosA＝2bcosB,
又0<B<π，
7
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围．
8
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值；
(2)若b＝5，求△ABC周面长积的的取最值范大围值．
解析(2) 化简得：2sinBcosA=4sinAcosA. ∴cosA=0 或sinB=2sinA.
当cosA=0时，A=900 ，
C
b
2
A
B
11
例5
突破口 找准“角”之间的关系. 当sinB=2sinA时， 即：b=2a.
解析(2) 化简得：2sinBcosA=4sinAcosA. ∴cosA=0 或sinB=2sinA.
高考数学25个必考点— 三角 —专题复习策略指导
解三角形
abc sin A sin B sin C
1
定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正弦定理
内容
a b c 2R sin A sin B sin C
(其中R是△ABC的外接圆半径)
余弦定理 a2=__b_2_+_c2_-_2_b_c_c_o_s_A___; b2=__a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s_B___; c2=__a_2+_b_2_-_2_a_b_c_o_s_C___.
9
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值；
(2)若b＝5，求△ABC周面长积的的取最值范大围值．
法二
10
例5 sin(B+A)
突破口 解析(1)
找准“角”之间的关系. sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2CsinC
A
74 6
B
M
C
5
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围．
解析 解题关键 联想正弦定理进行转化．
∴ acosC＋ccosA＝2bscions(BA,+C) 由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，
相 a∶b∶c=_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C____ 关
变
形 S=
cosA= cosB= cosC=
2
解析
又A是锐角，.
(2) ∵ a2＝b2＋c2－2bccosA， 得b2＋c2－bc＝36. 又b＋c＝8，
3
解析 a>b
据余弦定理
C
42
B
5
A
(舍去).
4
解析
B
当cosA=0时，A=900 ，
C
b
2
A
B
12
变式
突破口 直接求解AC、BC比较困难，可先 由面积公式寻找AC、BC的关系.
解析 依题意，利用三角形面积相等有：
它们之间 还有什么 关系呢 ？
由余弦定理可知:
∴(AC＋BC)2 ＝AC2＋BC2＋2AC•BC
13
14
即sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB.
又0<B<π，
6
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围． 法二 ∴ acosC＋ccosA＝2bcosB,
又0<B<π，
7
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值； (2)若b＝5，求△ABC周长的取值范围．
8
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
(1)求角B的值；
(2)若b＝5，求△ABC周面长积的的取最值范大围值．
解析(2) 化简得：2sinBcosA=4sinAcosA. ∴cosA=0 或sinB=2sinA.
当cosA=0时，A=900 ，
C
b
2
A
B
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例5
突破口 找准“角”之间的关系. 当sinB=2sinA时， 即：b=2a.
解析(2) 化简得：2sinBcosA=4sinAcosA. ∴cosA=0 或sinB=2sinA.
高考数学25个必考点— 三角 —专题复习策略指导
解三角形
abc sin A sin B sin C
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定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正弦定理
内容
a b c 2R sin A sin B sin C
(其中R是△ABC的外接圆半径)
余弦定理 a2=__b_2_+_c2_-_2_b_c_c_o_s_A___; b2=__a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s_B___; c2=__a_2+_b_2_-_2_a_b_c_o_s_C___.