线性规划应用题

线性规划应用题

例⒈（ 2004 年江苏卷）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能

出现的亏损 .某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利

率分别为100﹪和 50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和 10﹪ . 投资人计划投资金额不

超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元 . 问投资人对甲、乙两个项目各

投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

例⒉（ 2010广东卷）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含

12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C ；一个单位的晚餐含8 个单位的碳水化合物， 6 个单位的蛋白质和10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要

的营养中至少含64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，

并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

例⒊预算用2000 元购买单价为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌、椅各买多少才行？

练习： P89 例 3、变式训练3

作业

⒈（ 2003年北京卷）某厂生产 A、B两种产品，需甲、乙、丙三种原料，每生产一吨产品需

耗原料如下表 .现有甲原料200吨，乙原料360吨，丙原料300吨，若产品生产后能全部销售，试问 A、 B各生产多少吨能获最大利润 .

甲乙丙利润（万元 / 吨）

A产品4937

B产品541012

⒉（ 2007 山东）本公司计划2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别

为 0.3 万元和 0.2 万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司

的收益最大，最大收益是多少万元？

线性规划应用题答案

⒈（ 2004 年江苏卷）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出

现的亏损 .某投资人打算投资甲、乙两个项目 . 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和 50﹪，可能的最大亏损率分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元 . 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

⒈解：设投资人分别用x 万元、 y 万元投资甲、乙两个项目.

x y 10,

0.3x 0.1y 1.8,

由题意知目标函数z=x+0.5y.

x0,

y 0.

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.

作直线l 0: x0.5y0 ，并作平行于直线l 0的一组直线x0.5y z, z R,

与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且

与直线x0.5 y0 的距离最大，这里M 点是直线x y 10

和 0.3x 0.1y 1.8 的交点.解方程组x y10,

0.3x0.1y 1.8,

得 x=4， y=6 此时z140.567 （万元）.

7 0当 x=4， y=6 时 z 取得最大值 .

答：投资人用 4 万元投资甲项目、 6 万元投资乙项目，才能在确保

亏损不超过 1.8 万元的提下，使可能的盈利最大.

⒉（ 2010广东卷）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和6个单位的维生素 C ；一个单位的晚餐含8 个单位的碳水化合物， 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64 个单位的碳水化合物， 42个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且

花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

武汉市第 49 中学

2014 届高三数学文科

⒉ 解： 设该儿童分别预订

x, y 个单位的午餐和晚餐，共花费

z 元，则 z

2.5 x

4y

。可

行域为

12 x+8 y

≥ 64

6 x +6 y ≥ 42 6 x+10 y

≥ 54.即

x ≥0， x ∈ N

y ≥0， y ∈ N

3 x+2 y

≥ 16

x+ y 3 x+5 y

x ≥0，

≥7

≥ 27

x ∈ N

y ≥0，

y ∈ N,

作出可行域如图所示：经试验发现，当

x=4,y=3

时，花费最少，

为 z

2.5x

4 y

=2.5 ×4+4×3=22 元．

⒊预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，

但椅子数不少于桌子数且不多于桌子数的

1. 5 倍，问桌、椅各买多少才行？ ⒊解：设购买桌子 x 张，椅子 y 张，其总数为 z ，

x y

根据题意得约束条件为

y 1.5x

50x

20y 2000

x 0, y 0

x N, y N

目标函数为 z=x+y ，作出可行域（如图）

作出直线 l : x y 0将l 向右上方平称

到 l ′位置，使 l ′经过直

线 y 1.5x 与50x 20y 2000 的交点 A ，此时 z 应取得最大值 .

解

y

1.5x

得 x 25 由问题的实质意义知 y 应取整数 . 50x 20 y 2000 y 37.5

又由 50x 20 y 2000 .得 y=37.

∴ x=25, y=37 是符合条件的最优解

答：应买桌子 25 张，椅子 37 张.

练习： P89例 3、变式训练 3

作业：⒈（ 2003 年北京卷）某厂生产

A 、

B 两种产品，需甲、乙、丙三种原料，每生产

一吨产品需耗原料如下表 .现有甲原料

200 吨，乙原料 360 吨，丙原料 300 吨，若产品生

产后能全部销售，试问

A 、

B 各生产多少吨能获最大利润 .

甲

乙 丙 利润（万元 /吨） A 产品

4

9

3

7