2019届江苏省四校(南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学)高三下学期期初调研检测数学(理)试题

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4
4
故 s inA＝2 5× 2＋(－ 5)× 2＝ 10．
52
5 2 10
8× 10 由 正弦 定 理 知 AC ＝ BC ，所以 BC＝AC·sinA＝ 10 ＝2 2.
sinB sinA
sinB 2 5
5 （2 ） 在三 角 形 ABC 中，
cosA＝cos(π－(B＋C))＝－cos(B＋π)＝－cosBcosπ＋sinBsinπ，
位置 作 答 一律 无 效 。如 有 作 图需 要 ，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
21．【 选 做 题】 本 题 包括 A、B、C 共 3 小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应 写出文字说明、证明过程或演 算步
（3 ）若 b≥ 2 ，证明 ： 对 于 任 意 k ＜0， 直 线 y＝kx＋b 与曲 线 y＝f(x)有唯一公共点． e
20．（ 本 小 题满 分 16 分） 已 知 q 为常 数 ， 正．项．数 列{ an } 的 前 n 项和 Sn 满 足：Sn ＋(an －Sn )q＝1，n ∈N* ． （1 ） 求证 ： 数 列{an}为 等比 数 列 ； （2）若 q∈N*，且存在 t∈N*，使得 3at＋2－4at＋1 为数列{ an} 中的项．
数学Ⅰ 第 3 页（共 10 页）
数学Ⅰ 第 4 页（共 10 页）
18．（ 本 小 题满 分 16 分） 在 平 面 直角 坐 标 系 xOy 中，已 知 椭 圆 C ：x2 ＋y2 ＝1(a ＞b ＞0)，过 左 焦 点 F(－ 3，0)
（第 16 题）
17.（ 本 小 题 满 分 14 分） 如图，l1 是经 过 城 市 O 与 城郊 小 镇 A 的东 西 方 向 公 路 ，城 市 O 与小 镇 A 相距 8 3km，l2 是经过 城市 O 的南 北 方向 的 公 路 ． 现 准备 在 城 市 O 的西 北 区域 内 选 址 P，建造开发区管委会，并开发
（2 ） 当开 发 的 三 角 形 区域 PAO 的面积 最 大 时 ， 求绕 城 公 路 AB 的长．
北
l2
B 东
P
l1
A
O
（第 17 题）
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的直 线 l 与椭
a2 b2
圆 交于 A，B 两点 ． 当 直 线 l⊥x 轴时，AB＝1． （1 ） 求椭 圆 C 的标准方程；
→→ 11. 如图 ， 在 平 行 四 边形 ABCD 中，已 知 A B ＝2 ，A D ＝1 ， A B ·A C ＝5 ， 则 cos∠CAB＝ ▲ ．
(第 11 题)
13. 在平 面 直 角 坐标 系 xOy 中， M，N 是两 定 点， 点 P 是圆 O：x2＋y2＝1 上任意一点，满足： PM＝2PN, 则 MN 的长为 ▲ ．
数 m 的最小值为 ▲ ． 9. 函 数 f(x)＝a·ex－e－x 在 x＝0 处的切 线 与 直 线 y＝2x－3 平行 ， 则不 等 式 f(x2－1)＋f(1－x)＜0
的解集为 ▲ ． 10. 首 项为 7 的数 列{ an } 满 足：(n ＋1)an＋1 －(n ＋2)an ＝0， 则 a2019－a2018 的值为 ▲ ．
（2 ）若 点 P 在 y 轴上，且 ΔPAB 是以 点 P 为直 角 顶 点 的等 腰 直 角 三 角 形 ，求 直 线 AB 的方程．
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19．（ 本 小 题满 分 16 分）
（第 18 题）
已 知函 数 f(x)＝lnx ＋m （m ∈ R ）的 极 大 值 为 1． x
（1 ）求 m 的值；
（2 ） 设函 数 g(x)＝x ＋1 ， 当 x0＞1 时， 试 比 较 f(x0)与 g(x0)的大小，并说明理由； ex
骤． A．[ 选修 42：矩阵与变换] （ 本小 题 满 分 10 分）
已 知 m ∈ R ， 矩 阵 A＝ －1 m
（1 ）求 实 数 m；
1 的一个特征值为－2． 0
（2 ）求 矩 阵 A 的逆矩 阵 A－1 ．
B．[选 修 44：坐标系与参数方程] （本 小 题 满 分 10 分）
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ，已 知 点 P 是曲 线 E : {x＝cosθ， y＝2＋2cosθ（θ 为参数）上的一
钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题 前 ，请 您务 必 将 自 己 的 姓名 、考 试 证号 等 用 书 写 黑色 字 迹 的 0.5 毫米签字笔填
写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3． 作答 试 题 必 须 用 书 写黑 色 字 迹 的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它
物线
C
交于
A，B
两点， 与
y
轴交 于 点
Q，设
P→A ＝
λ
Q→A ，
P→B ＝μ
→ QB
(λ，μ∈R)．
（1 ）当 Q 为抛 物 线 C 的焦 点 时 ，直 线 l 的方 程 为 y ＝1x ＋1 ， 求 抛 物线 C 的标准方程； 3
（2）求证：λ＋μ 为定值．
（ 第 22 题）
23．（ 本 小 题满 分 10 分） 设 集合 M ＝{1，2 ，3 ， …，m } ， 集 合 A，B 是 M 的两 个 不同 子 集 ， 记|A ∩B |表 示 集 合 A∩B 的元 素个 数 ．若|A ∩B |＝n，其中 1≤n ≤m －1 ，则称(A , B )是 M 的一 组 n 阶关联子集对(（A，B）与（B， A ）看 作 同 一 组 关联 子 集 对)， 并 记 集 合 M 的所 有 n 阶关 联子 集 对 的 组 数为 an． （1 ）当 m＝3 时， 求 a1 ，a2 ； （2 ）当 m＝2019 时，求{an}的通项公式，并求数列{an}的最大项．
e
e
二、解答题
13.3 14. 2＋ 3
2
5
15.（1） 因 为 cosB＝－ 5 ，B∈(0，π)， 5
所 以 s inB＝ 1－cos2B＝ 在 三角 形 ABC 中，
1－(－ 5)2＝2 5． 55
sinA＝sin(π－(B＋C))＝sin(B＋C)＝sin(B＋π)＝sinBcosπ＋cosBsinπ．
参考公式：
1． 锥 体的 体 积 公 式 为 ：V ＝1Sh ，其 中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；
3
2． 一 组 数据 x1，x2，…，xn 的方 差 为 ： s2 ＝1
n
∑ (xi －
－x )2 ，其 中
－x 是数 据
x1，x2，…，xn
的
n i＝1
平均数．
一 、 填 空题 ： 本 大 题 共 14 小题 ， 每小 题 5 分， 共 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．
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故 cosA＝ 5× 2＋2 5× 2＝3 10． 5 2 5 2 10
因 为 cos2A＝2cos2A－1＝2(3 10)2－1＝4,
10
5
sin2A＝2sinAcosA＝2×3 10× 10＝3， 10 10 5
因 此 cos(2A＋π)＝cos2Acosπ－sin2Asinπ＝4× 2－3× 2＝ 2．
答 题卡 上 ，并 用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。 3．答 题 时 ，必 须用 书 写 黑 色 字迹 的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。 4． 如有 作 图 需 要 ， 可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
三 角 形区 域 PAO 与 PBO．其中，AB 为计划 修 建 的 经 过 小 镇 A 和管 委 会 P 的绕城公路(B 在 l2 上， 且 位 于 城 市 O 的正北方向)，PO 为 计 划 修 建 的 管 委 会 P 到城 市 O 的 公 路 ， 要 求 公 路 PO 与公路 PA 的总长 为 16km (即 PO＋PA＝16)．设∠BAO＝θ． （1 ）记 PA ＝f(θ)，求 f(θ)的函数解析式，并确定 θ 的取值范围；
【 必 做题 】 第 22 题、 第 23 题，每 题 10 分，共 计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（ 本 小 题满 分 10 分） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 抛 物线 C 的 方 程 为 x2 ＝2py (p＞0) ， 过 点 P (m ，0)(m ≠ 0)的 直 线 l 与抛
数学Ⅱ（附加题）第 2 页 （共 4 页）
江苏省海门中学 2019 年期初数学学科调研测试试卷
数学 I 参考答案
一、填空题
1. {2，3} 2.1+2i 3.8 4. 1 5.2 3 6. 7 7. 3 3 10
8.2π 9.(0，1) 10. 7 11. 5 7
3
2
14
12. (－∞，－ e ]∪[ e ，＋∞)
1． 已 知集 合 A ＝{1 ，2 ，3} ，B ＝{2 ，3 ，4 ，5} ， 则 A∩B＝ ▲ ．
2． 已 知复 数 z 满足(1－i)z＝3＋i(i 为虚 数 单 位)， 则 z＝ ▲ ．
3. 一组 数据 96， 98， 100，102 ， 104 的方差为 ▲ . 4. 一个 算 法 的 伪代 码 如 下 图 所 示， 执 行 此 算 法 ，已 知 输 出 值 y 为 2， 则 输 入 值 x 为 ▲ ．
Read x If x≤0 Then
y← ex Else y← x2＋1
数学Ⅰ 第 1 页
6. 从 3 个男生、2 个女生中随机抽 取 2 人，则 抽中 的 2 人不全是男生的概率是 ▲ . 7. 已知 正 四 棱 锥的 体 积 为 4 ， 底 面 边 长为 2，则该正四棱锥的侧棱长为 ▲ ．
3 8．若 将 函数 y＝cosx－ 3sinx 的图 象 向 左 平移 m (m ＞0) 个 单 位后 ，所 得 图 象关 于 y 轴对称，则实
① 求 q 的值；
② 记 b ＝log an ＋2 ， 求 证 ： 存 在 无 穷 多 组 正 整 数 数 组(r ，s ，k ) ， 使得 br，bs，bk 成等比数 an ＋1
列．
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2019 届期初数学学科调研测试试卷
数学 II（附加题）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题 要求 1． 本试 卷 共 2 页，均 为 解 答题 （ 第 21~23 题）。本 卷 满 分为 40 分，考 试 时 间 为 30 分
点．以原点 O 为极点，x 轴正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐标 系 ， 以 C 为圆心的圆的极坐标方程为 ρ＝ 2c os θ， 求 线 段 PC 长的最大值．
C ．[ 选修 45：不等式选讲] （ 本 小题 满 分 10 分） 已 知 x＞0，求证：x3＋y2＋3≥3x＋2y．
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4 5 2 5 2 10
16．证 明 ：（1） 连 接 A1 B 交 AB1 于 N
2019 届期初数学学科调研测试试卷
数学 I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本 注意事项及各题答 题要求 1． 本 试 卷 共 4 页 ， 包 含 填 空 题( 第 1 题 ～ 第 14 题 ， 共 14 题)、 解 答 题 ( 第 15 题 ～第 20
题 ，共 6 题)两 部分 。 本 次 考 试 时间 为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。 2．答 题 前 ，请 您务 必 将 自 己 的姓 名 、考 试证 号 用 书 写 黑色 字 迹 的 0.5 毫米签字笔填写在
二 、 解 答题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 90 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程 或演算步 骤．
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(第 4 题)
5．已知双曲线 x2－y2＝1(a＞0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为 ▲ ．
16．（ 本 小 题满 分 14 分） 如 图， 在 直 四 棱 柱 ABCD－A1B1C1D1 中， 已 知 点 M 为棱 BC 上异 于 B，C 的一点. （1 ）若 M 为 BC 中点， 求 证 ：A1C//平 面 AB1M；
（2 ） 若平 面 A B1 M⊥ 平面 BB1C1C, 求证：AM⊥BC．