steffenson迭代法
牛顿法及基于牛顿算法下的Steffensen加速法求解非线性方程组方法例题及答案
1. 非线性方程组求解1．分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法。
(1) 求ln(sin )x x +的根。
初值0x 分别取0.1，1，1.5，2，4进行计算。
(2) 求sin =0x 的根。
初值0x 分别取1，1.4，1.6，1.8，3进行计算。
分析其中遇到的现象与问题。
（1）牛顿法牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程()0f x =逐步归结为某种线性方程来求解。
将已知方程()0f x =在近似值k x 附近展开，有()()()()'0k k k f x f x f x f x x ≈+-=，构造迭代公式，则1k x +的计算公式为：()()1',0,1,,k k k k f x x x k f x +=-= (1-1)根据Taylor 级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解()0f x =的过程，第一次迭代()()'1000/x x f x f x =-，其中()()'00/f x f x 的几何意义很明显，就是0x 到1x 的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。
第二次迭代()()'2111/x x f x f x =-，其中()()'11/f x f x 的几何意义很明显，就是1x 到2x 的线段长度。
同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x 的取值在不断逼近真实解*x 。
如图1-1所示：图1-1○1求ln(sin )=0x x +的根时，迭代公式为()1ln(sin )sin 1cos k k x x x x x x x+++=++，0示。
计算结果见附录1表F.1-1所示。
初值取1.5，2，4进行计算时结果不收敛。
表 1-1 牛顿法计算结果○2求sin =0x 的根时，迭代公式为1cos k k x x x+=+，初值0x 分别取1、1.4、1.6、1.8、3计算时结果收敛，误差小于510-时，近似解如表1-2所示。
计算方法Steffensen与简单迭代法实验
《计算方法》实验报告 实验名称：实验1 非线性方程的迭代法实验题目：0104x 23=-+x 实验目的：用简单迭代法和Steffensen 迭代法求方程的根 基础理论：简单迭代法和Steffensen 迭代法 实验环境：操作系统：Windows XP ；实验平台：matlab实验过程：方法一：简单迭代法程序：phi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)') %迭代函数x0=input('x0=');del=input('del=');N=input('N='); n=1;fprintf('\n k x(k) ');fprintf('\n %2d %f ',0,x0);while n<Nx=phi(x0);if abs(x-x0)<delfprintf('\n \n 近似解 = %f \n',x);return;endfprintf(' \n %2d %f ',n,x);n=n+1; x0=x;endfprintf(' \n \n%d 次迭代后未达到精度要求.\n',N);结果：结果分析：利用简单迭代法求出的该非线性方程在[1,,2]内的实根大约为1.365230.方法二：Steffensen迭代法程序：phi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)') %迭代函数x0=input('x0=');del=input('del=');N=input('N=');n=1;fprintf('\n k x(k) ');fprintf('\n %2d %f ',0,x0);while n<=Ny=phi(x0);z=phi(y);x=phi(x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0));if abs(x-x0)<delfprintf('\n \n近似解= %f \n',x);return;endfprintf(' \n %2d %f ',n,x);n=n+1;x0=x;endfprintf(' \n \n%d次迭代后未达到精度要求.\n',N);结果：结果分析：利用Steffensn迭代法求出该非线性方程在[1,,2]内的实根大约为1.365230，两种方法对比，显然Steffensn迭代法比简单迭代法迭代的次数少，更快。
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
非线性方程的二分法-迭代法-松弛迭代法-Aitken迭代法-Steffensen迭代法
err=input('请输入最大极限err=\n');
k=0;
y=fun(x0)
z=fun(y)
x1=x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0)
cha=abs(y2-y1);
y1=y2;
x2=x3;
ifk>N
disp('超过迭代次数！');
break;
end
end
x=x2;
k;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function[x,k]=Steffensen()
x0=input('输入初值x0=\n');
b=c;
elseifyb*yc>0
b=c;
yb=yc;
else
a3;b)/2;
k;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function[x,k]=diedai1()
x0=input('输入初值x0=\n');
N=input('请输入最大迭代次数N=\n');
【实验内容】
1、二分法
假定方程 在区间 内有唯一的实根 。此时， 即为有根区间。
1.1基本思想：
首先确定有根区间，然后平分有根区间，通过判断区间端点处的函数值符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够地小，便可求出满足给定精度要求的根 的近似值。
1.2算法过程：
取 ，将 代入方程 ，判断它的正负号，并用 替换与它同方向的区间端点，依次循环得到：
2、迭代法
2.1基本思想：
非线性方程实根的加速法
山东师范大学数学科学学院实验报告实验课程：非线性方程（组）的解法实验项目：非线性方程实根的加速法姓名郭新国学号：200708020244 班级：二班专业：信计指导教师：朱爱玲完成日期：2010-6-20实验目的:掌握解非线性方程实根的简单迭代法的加速法、牛顿法加速法（下山法）与重根求解方法的上机编程运算.实验内容：问题分析和算法设计问题：1. 1. 用加权法加速技术求方程x = e-x在0.5附近的一个根.问题分析：假设g(x)=exp(-x)，加权加速方法为迭代 x(k+1) = g(x(k))，修正 x(k+1) = (x(k+1)-L*x(k))/(1-L)，其中L=dg/dx|(x_star)，x_star = 0.5迭代4次就可以使得精度达到1e-4.主要程序代码：#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std;int main(){int k;double x,xk,L,G,err;double g(double x);double dg(double x);k = 0;xk = 0.5;L = dg(xk);G = 1 - L;err = 1;while(err > 0.0001){x = g(xk); // 迭代x = (x - L*xk) / G; // 修正err = fabs(x - xk);xk = x;k++;}cout << "K-th iteration: " << k << endl;cout << "err= " << setprecision(12) << err << endl;cout << "x= " << setprecision(12) << x << endl;cout << "g(x)= " << setprecision(12) << g(x) << endl;return 0;}double g(double x){return (exp(-x));}double dg(double x){return (-exp(-x));}运行结果和总结运行结果：2.用埃特金迭代法求方程x2=x3-1在x0=1.5附近的根./*问题2 用Aitken Method迭代法求方程x^2=x^3-1在x0=1.5附近的根. (根所在的区间为[1,2])方程等价于 x = (x^2+1)^(1/3)，简单迭代法适用其上Aitken Method：x(k+3) = x(k) - (x(k+1)-x(k))^2/(x(k+2)-2x(k+1)+x(k))，首两项可用简单迭代法给出*/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std;int main(){int k;double x,xk0,xk1,xk2,err;double f(double x);k = 0;xk0 = 1.5;xk1 = f(xk0);xk2 = f(xk1);err = 1.0;while(err > 0.00001){// 迭代序列 xk0,xk1,xk2,x...x = xk0 - pow((xk1 - xk0),2)/(xk2 - 2*xk1 + xk0);xk0 = xk1;xk1 = xk2;xk2 = x;err = fabs(xk2 - xk1);k++;}cout << "K-th iteration: " << k << endl;cout << "err= " << setprecision(12) << err << endl;cout << "x= " << setprecision(12) << x << endl;cout << "f(x)= " << setprecision(12) << f(x) << endl;return 0;}double f(double x){return cbrt(pow(x,2) + 1.0); // cbrt 立方根函数}运行结果：3.用Steffenson算法求方程x3–x – 1=0在(1,1.5)内的根 ./*问题3 用Steffenson算法求方程x^3 –x – 1=0在(1,1.5)内的根Steffenson Method：yk = f(x(k)), zk = f(yk), x(k+1) = x(k) - (yk - x(k))^2/(zk - 2yk + x(k));*/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std;int main(){int k;double x,xk,yk,zk,err;double f(double x);k = 0;xk = 1.5;yk = f(xk);zk = f(yk);err = 1.0;while(err > 0.0001){// 迭代序列 xk,x...x = xk - pow((yk - xk),2)/(zk - 2*yk + xk);yk = f(x);zk = f(yk);err = fabs(x - xk);xk = x;k++;}cout << "K-th iteration: " << k << endl;cout << "err= " << setprecision(12) << err << endl;cout << "x= " << setprecision(12) << x << endl;cout << "f(x)= " << setprecision(12) << f(x) << endl;return 0;}double f(double x){return (pow(x,3) - 1.0);}运算结果：4. 分别用牛顿法与牛顿加速法（下山法）法求方程013=--x x 在5.1=x 附近的一个根./*问题4 分别用牛顿法与牛顿加速法（下山法）法求方程x^3 –x – 1=0在1.5附近的一个根f(x) = x^3 - x - 1仅考虑牛顿加速法(下山法)：x(k+1) = x(k) - tk * f(x(k))/f '(x(k))初值选为0.6*/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std;int main(){int k;double x,xk,fxk,t,direction,err;double f(double x);double df(double x);k = 0;xk = 0.6;err = 1.0;while(err > 0.000001){// 迭代序列 xk,x...t = 1.0;fxk = f(xk);direction = fxk/df(xk);while ( true ){x = xk - t*direction;if (fabs(f(x)) < fabs(fxk))break;else{t = t/2.0;continue;}}err = fabs(x - xk);xk = x;k++;// 每步迭代过程cout << "K-th iteration: " << k << endl;cout << "t = " << t << endl;cout << "err= " << setprecision(12) << err << endl;cout << "x= " << setprecision(12) << x << endl;cout << "f(x)= " << setprecision(12) << f(x) << endl;cout << endl;}return 0;}double f(double x){return (pow(x,3) - x - 1.0);}double df(double x){return (3.0*pow(x,2) - 1.0);}运算结果：5. 已知2=x 是方程044)(24=+-=x x x f 的二重根，用牛顿切线法和重根修正公式求解./*问题5. 已知x=sqrt(2)是方程f(x)=x^4-4*x^2+4=0 的二重根，用牛顿切线法和重根修正公式求解 仅考虑重根修正公式：x(k+1) = x(k) - m*f(x(k))/f ' (x(k)), m 为根的重数*/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std;int main(){int k;double x,xk,m,err;double f(double x);double df(double x);k = 0;m = 2.0;xk = 1.5;err = 1.0;while (err > 0.0001){// 迭代序列 xk,x...x = xk - m*f(xk)/df(xk);err = fabs(x - xk);xk = x;k++;}cout << "K-th iteration: " << k << endl;cout << "err= " << setprecision(12) << err << endl;cout << "x= " << setprecision(12) << x << endl;cout << "f(x)= " << setprecision(12) << f(x) << endl; return 0;}double f(double x){return (pow(x,4) - 4.0*pow(x,2) + 4.0);}double df(double x){return (4.0*pow(x,3) - 8.0*x);}运算结果：指导教师意见。
斯蒂芬森迭代法公式
斯蒂芬森迭代法公式以斯蒂芬森迭代法公式为标题，探讨一种用于求解非线性方程的迭代方法。
在数学和科学领域中，求解非线性方程是一个重要的问题。
非线性方程是指方程中包含未知数的非线性项的方程，不同于线性方程可以通过代数方法直接求解。
而斯蒂芬森迭代法是一种常用的数值求解非线性方程的方法。
斯蒂芬森迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。
假设我们要解的非线性方程为f(x)=0。
首先，我们需要选择一个初始值x0作为迭代的起点。
然后，根据斯蒂芬森迭代公式进行迭代计算，直到满足预设的精度要求。
斯蒂芬森迭代公式可以表示为：x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)其中，x_n表示第n次迭代的近似解，f(x_n)表示方程在x_n处的函数值，f'(x_n)表示方程在x_n处的导数值。
斯蒂芬森迭代法的优点是收敛速度较快，且具有良好的数值稳定性。
它适用于一般的非线性方程求解问题，并且可以通过调整初始值和迭代次数来控制精度和计算时间。
下面以一个具体的例子来说明斯蒂芬森迭代法的应用。
假设我们要求解方程x^3 - 2x - 5 = 0在区间[1, 2]内的根。
首先，我们选择初始值x0=1.5。
然后，根据斯蒂芬森迭代公式进行迭代计算。
第一次迭代：x_1 = x_0 - (x_0^3 - 2x_0 - 5) / (3x_0^2 - 2)= 1.5 - (1.5^3 - 2*1.5 - 5) / (3*1.5^2 - 2)≈ 1.3571第二次迭代：x_2 = x_1 - (x_1^3 - 2x_1 - 5) / (3x_1^2 - 2)= 1.3571 - (1.3571^3 - 2*1.3571 - 5) / (3*1.3571^2 - 2)≈ 1.3652继续进行迭代计算，直到满足预设的精度要求。
最终，可以得到方程在区间[1, 2]内的根约为1.3652。
斯蒂芬森迭代法的应用不仅局限于求解非线性方程，还可以用于求解其他数值问题，如求解方程组、求解积分等。
2013 丁军 计算方法大作业
2013级研究生《计算方法》作业姓名：学号：专业：学院：2013年11月19日实验一 Steffenson方法求解方程原理：Steffensen加速是Aitken加速与不动点迭代的结合1.x*cosx-x=0,取迭代函数g(x)=x-(x*cosx-x)/(cosx-x*sinx-1) 程序如下：function steffensenn=0;p(1)=1.5;N=20;tol=10e-5;while n<=Nfor k=1:2p(k+1)=p(k)-(p(k)*cos(p(k))-p(k))/(cos(p(k))-p(k)*sin(p(k))-1); endp1=p(1)-(p(2)-p(1))^2/(p(3)-2*p(2)+p(1));f0=p1*cos(p1)-p1;if abs(f0)<tolbreakendn=n+1;p(1)=p1;enddisp(p1);disp(n)运行结果：2.x^3-x^2-1=0,取迭代函数g(x)=x^3-x^2+x-1程序如下：function steffensen1p0=1.5;N=20;tol=10e-5;n=0;p(1)=p0;while n<=Nfor k=1:2p(k+1)=p(k)^3-p(k)^2+p(k)-1;endp1=p(1)-(p(2)-p(1))^2/(p(3)-2*p(2)+p(1));f0=p1^3-p1^2-1;if abs(f0)<tolbreakendn=n+1;p(1)=p1;enddisp(p1);disp(n);运行结果：实验二矩阵的列主元三角分解（要求矩阵十阶以上）实验矩阵如下：A=[1,2,2,2,3,5,4,7,9,8;1,4,3,2,7,5,6,8,8,5;2,5,7,9,4,3,5,7,8,6;4,6,7,3,7,4,9,6,2,5;1,3,4,6,2,5,4,7,6,5;1,2,3,4,5,6,7,8,9,0;4,3,2,5,7,6,9,0,8,1;1,4,2,5,6,8,7,0,4,2;1,6,9,3,5,8,3,2,7,6;9,4,5,2,6,8,7,1,0,6];>> [L,U,P]=lu(A)运行结果：实验三 Jacobi 、Seidel 和SOR 迭代的实现（具体方程自拟，阶数6阶以上）(1)Jacobi 迭代 原理：Jacobi 迭代方程：()11()()11,11,2,,0,1,i nk k k ii ij j ij j j j i x b a x a x i n k aii -+==+⎛⎫=--== ⎪⎝⎭∑∑程序如下：function yacobiA=ones(10);for i=1:10;A(i,i)=-12;endb=ones(10,1);B=-1*b;X0=zeros(10,1);Tol=10^-6;N=1000;X=X0;for K=1:Nfor i=1:10X(i)=(B(i)-A(i,:)*X0)/A(i,i)+X0(i); if norm(X-X0)<Toldisp(X);disp(K);return;endendX0=X;enddisp('·¢É¢')运行结果：(2)Seidel迭代原理：seidel迭代方程：()11(1)()11,11,2,,0,1,i nk k k ii ij j ij j j j i x b a x a x i n k aii -++==+⎛⎫=--== ⎪⎝⎭∑∑程序如下：function seidel A=ones(10); for i=1:10; A(i,i)=-12; endb=ones(10,1); B=-1*b;X0=zeros(10,1); Tol=10^-6; N=1000; X=X0; for K=1:N; for i=1:10X(i)=(B(i)-A(i,:)*X)/A(i,i)+X(i); if norm(X-X0)<Tol disp(X);disp(K); return end end X0=X; enddisp('·¢É¢')运行结果：(3)Sor 迭代原理：sor 迭代方程：()11()(1)()11,(1)1,2,,0,1,i nk k k k iii ij j ij i j j i w x w xb a x a x i n k aii -++==+⎛⎫=-+--== ⎪⎝⎭∑∑程序如下：（取w=1.1）function sor1 A=ones(10); for i=1:10; A(i,i)=-12; endb=ones(10,1); B=-1*b;X0=zeros(10,1); w=1.1; Tol=10^-6; N=1000; X=X0; for K=1:N; for i=1:10X(i)=w*(B(i)-A(i,:)*X)/A(i,i)+X(i); endif norm(X-X0)<Tol disp(X);disp(K); return end X0=X; End运行结果：实验四 渐进多项式插值（数据自拟，10个点以上）渐进多项式插值（数据自拟，10个点以上）。
Newton法、一般迭代法Steffensen法、弦截法C语言代码
一、Newton法：#include<math.h>#include<stdio.h>double f(double x){return (3*x*x-exp(x));}double f1(double x){return (6*x-exp(x));}void main(){double x1=1,x;do{x=x1;x1=x-f(x)/f1(x);printf("x=%.9lf\n",x1);}while(fabs(x1-x)>0.000005);}说明：f 为原函数，f1为f的导函数，x1为初始值，通过"x=%.9lf“控制输入输出格式二、一般迭代法#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){double x=1,x1;while(1){x1=pow(3*x+1,0.2);printf("x=%.6lf\n",x1);if(fabs(x1-x)<0.000005 )break;x=x1;}return 0;}说明：x1为初始值，x1=pow(3*x+1,0.2);为迭代格式，0.000005为允许误差，通过"x=%.6lf“控制输入输出格式三、Steffensen法：#include"stdio.h"#include"math.h"#define phi(x) pow(3*(x)+1,0.2);void main(){double x,x0,del,y,z;printf("x0="); scanf("%lf",&x0);printf("\ndel=:"); scanf("%lf",&del);while(1){y=phi(x0); z=phi(y);x=x0-(y-x0)*(y-x0)/(z-2*y+x0);printf("\n%.6lf",x);if(fabs(x-x0)<del) break;x0=x;}}说明：x0为初始值，pow(3*(x)+1,0.2);为φ（x）的格式，del为允许误差，通过"x=%.6lf“控制输入输出格式四、弦截法：#include<math.h>#include<stdio.h>double f(double x){ //计算f(x)的值return pow(2,x)+pow(3,x)-pow(4,x);}double point(double x1,double x2){//计算与x轴交点的x值printf("x=%.5f\n",(x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1)));return (x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1));}int main(){//输入两个数x1,x2double x1,x2,x;do{printf("输入两个数x1,x2:");scanf("%lf%lf",&x1,&x2);}while (f(x1)*f(x2)>= 0); // 当输入两个数大于0为真时，继续重新输入//关键循环步骤：do{x=point(x1,x2);//得到交点的值if(f(x)*f(x1)>0)x1=x;//新的x1elsex2=x;}while (fabs(f(x)) > 0.000005); }。
数值分析_第六章_方程求根
代过程收敛 ．
１６畅 考虑下述修正的 New ton 公式（Steffenson 方法）
xn ＋ １ ＝ xn － f（ xn ）／ Dn ，
Dn ＝
f（ xn ＋
f（ xn ）） － f（ xn ）
f（ xn ） ，
n≥ ０ ．
假定 f′（ x 倡 ） ≠ ０ ，证明它对单根是一个二阶方法 ．
１７畅 设在区间［ a ，b］上函数 y ＝ f （ x）可逆 ，即存在足够光滑的 函数 Q（ y） ，使 x ＝ Q（ y） ．再设 x 倡 ∈ ［ a ，b］为 f （ x） ＝ ０ 的根 ，试把 x 倡 ＝ Q（０） ＝ Q（ y － y）用 T aylor 公式展开 ，从而导出下列公式 ：
x０ ＝ ０畅 ６ ，计算精确到 １０ － ５ ．
２０畅 试确定常数 p 、q 、r ，使迭代公式
xk ＋ １
＝
p xk
＋
q
a x２
k
＋
r
a２ x５
k
产生的序列｛ xk ｝收敛到３ a ，并使其收敛阶尽可能高 ．
２１畅 用弦截法 求 f （ x） ＝ x３ ＋ ２ x２ ＋ １０ x － ２０ ＝ ０ 的 根 ，要 求
x 倡 － xn
＝１＋ ｛２［ f″（ x倡 ）］２ （ x倡
－ ［ f″（ x倡 ）］２ （ x倡 － xn ）３
－
xn ）２
－
１ ２
［
f″（
x倡
）］２ （ x倡
－
xn ）２ ｝（ x倡
－
xn ）
＝１－
２ ３
＝
１ ３
．
可知 ，在重根附近 ，（６畅 ２０）式的敛速是线性的 ．
4.09级7.3-2、7.4迭代加速法
序列{ xk } m阶收敛于x*:
lim
k
(
xk xk
1
x* x* )m
C
定理3 若g( x)在不动点x*邻近有直至m 阶的 连续导数，且满足
g( x* ) g(m1) ( x* ) 0, g(m) ( x* ) 0,
则简单迭代法：xk1 g( xk )是局部收敛的，且收敛阶为 m.
x* )m1
g
(
m) (
m!
k
)
(
xk
x* )m
x*
g(
m ) (
m!
k
)
(
xk
x*)m .
k 介于xk 与x *之间.
(
xk xk
1
x* x* )m
g(m)(k )
m! k
g(m)( x*) , 即 m!
lim
k
(
xk xk
1
x* x* )m
x2 x1
x0 x3 p0 (x0 , x1)
x~0
x3
x0 x2 x12 x2 2x1 x0
x0
( x1 x0 )2 . x2 2x1 x0
0
x0 x1
x1 x* x3 x2
x0 x
该表达式正是埃特金加速收敛的公式, 从图中可以看出 x3 x~0
作为迭代函数. ? 因为x g( x)与x ( x)同根.
此时用 xk1 g( xk ) 求 x ( x)的根 x*,且该迭代法收敛于 x*.
steffensen迭代法二阶收敛证明
Steffensen迭代法是一种用于求解非线性方程的迭代算法，它具有二阶收敛性，即在满足一定条件下，每次迭代后的误差平方会比上一次迭代时减小到一个更小的量级。
本文将对Steffensen迭代法的二阶收敛性进行证明，以帮助读者更好地理解和应用这一迭代算法。
1. Steffensen迭代法的基本思想Steffensen迭代法是一种通过构造辅助函数来提高迭代收敛速度的方法。
其基本思想是利用非线性方程f(x)=0的解可能存在的连续性，通过构造一个新的辅助函数g(x)来达到加速收敛的目的。
具体地，Steffensen迭代法的迭代格式为：\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{g(x_n)} , g(x_n)=\frac{f(x_n+f(x_n))-f(x_n)}{f(x_n)} \]其中f(x)为待求解的非线性方程，x为逼近方程根的迭代值，n为迭代次数。
2. Steffensen迭代法的二阶收敛性证明为了证明Steffensen迭代法的二阶收敛性，我们需要利用泰勒展开和收敛定理等数学工具进行推导和分析。
我们考虑在方程f(x)=0的根附近进行泰勒展开。
假设方程f(x)在根x处具有二阶连续导数（即f''(x)存在），则可以将f(x)在x处展开为泰勒级数：\[ f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + O(h^3) \]其中h为很小的增量，O(h^3)表示高阶无穷小。
令x+h替换为x_n，即可得到：\[ f(x_n+h) = f(x_n) + hf'(x_n) + \frac{h^2}{2}f''(x_n) + O(h^3) \]其中h_n为待定的增量，根据Steffensen迭代法的迭代格式，我们可以得到：\[ g(x_n) = \frac{f(x_n+h_n)-f(x_n)}{f(x_n)} = \frac{hf'(x_n) +\frac{h^2}{2}f''(x_n) + O(h^3)}{f(x_n)} \]将g(x_n)展开为一阶泰勒级数，得：\[ g(x_n) = \frac{hf'(x_n)}{f(x_n)} +\frac{h^2}{2}\frac{f''(x_n)}{f(x_n)} + O(h^2) \]接下来，我们考虑迭代步长误差的范数，即e_{n+1} = x_{n+1} - x^*，其中x^*为方程f(x)=0的真实根。
牛顿迭代法介绍
牛顿迭代法介绍嘿呀，小伙伴们，今天咱们来唠唠牛顿迭代法这个超有趣的东西。
牛顿迭代法就像是一个超级聪明的小助手，能帮咱们解决好多数学上的难题呢。
它的基本思路啊，就像是在一个迷宫里找宝藏，不过这个迷宫是由函数构成的。
想象一下，你有一个很复杂的函数，就像是一团乱麻，你想找到这个函数等于零的点，也就是这个乱麻的某个特殊位置。
牛顿迭代法就开始它的神奇之旅啦。
它先随便找一个起始点，就好比是你在迷宫入口随便选了一条路。
然后呢，它会根据这个点的一些信息，比如说这个点的函数值和导数值，来计算下一个更接近宝藏（也就是函数零点）的点。
这就像是你在迷宫里根据墙上的一些小提示来决定下一步往哪走。
1. 原理方面这个牛顿迭代法的原理其实是基于切线的思想。
你看啊，一个函数在某一点的切线就像是这个函数在这个点附近的一个近似的直线。
如果这个函数是一条弯弯曲曲的小路，那切线就是在这个点附近铺的一块比较直的木板。
牛顿迭代法就是利用这个切线和x轴的交点来找到下一个更接近函数零点的点。
比如说，我们有一个函数f(x)，它在点x0的切线方程是y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)，当y = 0的时候，我们就可以解出x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)，这个x1就是下一个更接近函数零点的点啦。
是不是很神奇呢？就像魔法一样，从一个不太准确的点一下子就跳到了一个更接近正确答案的点。
2. 实际应用在实际生活中，牛顿迭代法的应用可广泛啦。
比如说在工程计算里，如果要计算一些复杂结构的平衡点，就可以用牛顿迭代法。
就像盖大楼的时候，要找到大楼结构在各种力作用下平衡的那个点，这个时候牛顿迭代法就像一个得力的小工匠，帮工程师们快速找到答案。
再比如说在计算机图形学里，要处理一些复杂的曲线和曲面，牛顿迭代法也能派上大用场。
它可以帮助计算机快速准确地计算出曲线和曲面的交点等重要信息，就像给计算机的眼睛戴上了一副超清晰的眼镜。
3. 优点和局限性牛顿迭代法有好多优点呢。
matlab实现steffensen迭代法
很高兴接到您的任务，我会按照您的要求，为您撰写一篇关于“matlab实现steffensen迭代法”的高质量文章。
让我们简要了解一下什么是Steffensen迭代法。
Steffensen迭代法是一种用于求解非线性方程的迭代方法，它可以很好地处理方程的根不容易求得的情况，对于一些特定问题有着较好的收敛性和稳定性。
接下来，我将从简单到复杂，由浅入深地介绍Steffensen迭代法的原理和实现方法，以便您能更深入地理解。
1. Steffensen迭代法的基本原理- 我们将介绍非线性方程以及迭代法的基本概念，帮助您理解问题的背景和Steffensen迭代法的意义。
- 我将详细解释Steffensen迭代法的数学原理和推导过程，让您能够从数学角度理解该方法的有效性和适用性。
2. Matlab实现Steffensen迭代法- 在这一部分，我将教您如何在Matlab中编写Steffensen迭代法的具体实现，包括代码的编写和调试过程。
- 我还将为您提供一些实际例子，通过实际问题的求解来展示Steffensen迭代法的有效性和实用性。
3. 总结与展望- 我将总结本文的内容，帮助您全面、深刻地理解Steffensen迭代法，并展望其在未来的应用前景。
- 在总结中，我会共享我的个人观点和理解，以便您对该方法有更深入的思考和认识。
通过以上方式的写作，我相信您可以对“matlab实现Steffensen迭代法”有一个清晰而全面的认识，同时还能更好地理解其在非线性方程求解中的应用和意义。
期待与您的合作，让我们一起探讨并共享更多有价值的观点和见解！Steffensen迭代法是求解非线性方程的一种有效方法，它在许多领域有着广泛的应用。
Steffensen迭代法的原理基于不动点迭代的思想，通过不断迭代来逼近方程的根，从而得到更精确的结果。
在本文中，我将结合Matlab实例，详细介绍Steffensen迭代法的原理和实现方法，希望能为您带来更深入的理解。
steffensen迭代法
steffensen迭代法
steffensen迭代法是一种收敛速度较快的迭代法，它是以变尺度和Aitken理论为基础而提出的。
谢尔夫森迭代法是用来求解非线性方程的迭代法。
最开始，它在
schaefer(1961)中被引入，他为迭代方程推导了一种更新算法，后来又被Hansen(1970)介绍，他把谢尔夫森迭代法应用到求解复杂的非线性方程的计算中。
谢尔夫森迭代法的基本思想是提出一种简单而鲁棒的迭代更新公式，使得初始值近似求解的过程快速收敛。
Steffensen迭代法在找到迭代更新公式时，引入了Aitken理论。
因此它与Netwon-Raphson和弦向量迭代法相似，是一个双插值法。
Aitken最原始的形式是用均值平方差求极限，谢尔夫森迭代法就是将Aitken理论用在求根上，引入变尺度概念，来进行收敛迭代。
谢尔夫森迭代法主要有以下四个关键步骤：
（1）将给定的非线性方程化为变量的方程：$$f(x)=0$$
（2）变换坐标轴，引入变量u：$$F(x+u⋅h,x)=0$$
（3）采用Aitken或平均拉格朗日插值求下列函数的极值：$$u_{n+1} = arg
minA_n(0)$$
（4）最后，获得的结果就是每次迭代的新值：$$x_{n+1}=x_n + u_{n+1}h$$
然后重复以上四个步骤，直到收敛为止。
优点是计算量少，速度快，而且具有非常好的收敛性，使得初始值使得迭代近似值较快地收敛。
缺点是，对于高次非线性方程，需要多项式拟合，这就要求实验数据要足够多。
含参数的七阶收敛Steffensen迭代算法
含参数的七阶收敛Steffensen迭代算法
吴开腾;郭俊;张莉;薛正林
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2017(033)001
【摘要】为了解决迭代过程中非线性函数不能求导或者计算导数增加计算复杂度的问题,利用中心差分方法近似逼近一阶导数,构造了一种新的含有参数的Steffensen型迭代算法,且收敛性分析证明它至少是七阶收敛的.最后,数值实验验证了新算法的可行性和优越性.
【总页数】4页(P31-34)
【作者】吴开腾;郭俊;张莉;薛正林
【作者单位】内江师范学院四川省数值仿真重点实验室,四川内江641112;四川师范大学数学与软件科学学院,成都610066;内江师范学院四川省数值仿真重点实验室,四川内江641112;四川师范大学数学与软件科学学院,成都610066
【正文语种】中文
【中图分类】O29;TE312
【相关文献】
1.含多重时滞非线性系统的分数阶迭代学习控制的收敛性分析 [J], 李娜娜;蒋威
2.Newton-Steffensen型迭代方法在一阶H(o)lder连续条件下的局部收敛性 [J], 鲍安戈;徐秀斌
3.求解非线性方程七阶收敛的牛顿迭代修正格式 [J], 王晓峰;石东洋
4.不用求导含参数的三阶收敛迭代方法 [J], 裕静静;江平
5.解y"=g(x,y)初值问题含参数线性多步方法的相容阶和收敛阶 [J], 赵双锁
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Steffensen迭代法是一种重要的数值计算方法，它在数值分析领域有着广泛的应用。
该方法通过迭代逼近函数的根，是一种高效、稳定的求解非线性方程的工具。
Steffensen迭代法基于不动点理论，通过构造一个逐步逼近根的序列来求解方程。
它的基本思想是利用函数在某一点的局部线性逼近来逼近根的位置。
具体来说，我们从一个初始值开始，通过对函数进行局部线性逼近，计算出一个新的逼近值。
然后，我们再次对函数进行局部线性逼近，得到一个更接近根的新的逼近值。
通过不断迭代，我们可以逐步逼近方程的根。
Steffensen迭代法的迭代公式为：
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{{(f(x_n))^2}}{{f(x_n+f(x_n))-f(x_n)}} \]
其中，\( x_n \) 是第n次迭代的逼近值，\( f(x) \) 是需要求根的函数。
与其他迭代方法相比，Steffensen迭代法具有较快的收敛速度和较高的精度。
它适用于求解各种非线性方程，包括多项式方程、三角函数方程、指数函数方程等。
在实际应用中，Steffensen迭代法常被用于求解方程的根，特别是当方程的根位于某一区间内时，该方法的效果更加显著。
然而，Steffensen迭代法也存在一些限制。
首先，该方法对初始值的选择较为敏感，不同的初始值可能导致迭代结果的差异。
其次，当方程的根位于奇点附近时，该方法可能出现发散现象。
因此，在应用Steffensen迭代法时，我们需要对问题进行合理的分析和判断，选择合适的初始值，以获得准确的迭代结果。
总之，Steffensen迭代法是一种重要的数值计算方法，它通过逐步逼近函数的根，高效、稳定地求解非线性方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的初始值和迭代次数，以获得较为精确的解。