中国精算师《寿险精算》章节题库(第1章 生存分布与生命表——第3章 生存年金的精算现值)【圣才出品】
保险精算第二版习题及答案
该趸交纯保费为：
3000
A1 50:20
1500
A1 50:20
其中
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
试计算：
（1） A1 。 x:20
（2）
A1 x:10
。改为求
A
1 x:20
4． 试证在 UDD 假设条件下：
(1)
A1 x:n
i
A1 x:n
。
(2)
Ā x:n
A1 x:n
i
A1 x:n
。
5． (x)购买了一份 2 年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任
范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金 1 元， qx 0.5,i 0,Var z 0.1771 ，试求 qx1 。
（1）法一：1000 A1 35:5
4
v k 1 k pxqxk
k 0
1 l35
(
d35 1.06
d36 1.062
d37 1.063
d38 1.064
d39 1.06
5)
查生命表 l35 979738, d35 1170, d36 1248, d37 1336, d38 1437, d39 1549 代入计算：
法二：1000 A1 1000 M 35 M 40
35:5
D35
查换算表1000 A1 1000 M35 M 40 1000 13590.22 12857.61 5.747
1、社会保障精算(第一章)寿险精算基础(3)
死亡率
0.003500 0.003000 0.002500 0.002000 0.001500 0.001000 0.000500 0.000000
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
0
4
8
年龄
1.2.1 基本函数（生命表的基本内容） 基本函数（生命表的基本内容）
已知： 已知： 求： 解：
1|
l20 = 1000
1|
l21 = 998
l22 = 992
q 20
d 20 +1 d 21 l 21 − l 22 = = = l 20 l 20 l 20
998 − 992 = = 0 . 006 1000
q 20
q 20
1|
已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率 已知40岁的死亡率为0.04，41岁的死亡率 40岁的死亡率为0.04 0.06，42岁的人生存到43岁的概率为0.92。 岁的人生存到43岁的概率为0.92 为0.06，42岁的人生存到43岁的概率为0.92。如果 40岁生存人数为100人 岁生存人数为100 43岁时的生存人数 岁时的生存人数。 40岁生存人数为100人，求43岁时的生存人数。
0
x
定义式
死亡 时点
ω −1
105
时间
s( x) = Pr( X > x)
s ( 0) = 1
s (105) = 0
lx s( x) = l0
s ( x ) = x p0
s( x) = 1 − F ( x)
岁的人在0～ 之间存活的概率 之间存活的概率） （表示0岁的人在 ～x之间存活的概率） 表示 岁的人在
寿险精算(第一章)
还可证明：
由于 X (t ) ( x t )
sT ( x ) '(t ) sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) (t )) ',
(ln sT ( x ) (t )) ' ( x t ), ln sT ( x ) (t ) (ln sT ( x ) ( s)) 'ds ( x s)ds,
结论与例子： 结论1.2.1 生存函数s(t)和密度函数f(t)可用死亡 力来 (t ) 表示:
( s )ds ( s )ds s(t ) e 0 , f X (t ) (t )e 0 .
t t
证明：
由于 (t )
f X (t ) ( FX (t )) ' (1 FX (t )) ' 1 FX (t ) s (t ) s (t )
i 1 l0
t
t
d x E ( Ix X i Ix t X i ) E ( t Dx ).
T ( x)
2) T(x)的死亡力
s ( x)
x (t )
fT ( x ) (t ) 1 FT ( x ) (t )
X与T(x)的分布、密度、生存、死亡函数的 关系
结论1.3.1
f X (x t) fT ( x ) (t ) , t 0; s ( x)
t
( x s ) ds sT ( x ) (t ) e 0 ;
人数.
L( x) I X i x
i 1
l0
lx E ( L( x)) E ( IX i x ) l0 P( X1 x) l0 s( x).
保险精算李秀芳章习题答案
保险精算李秀芳章习题答案保险精算李秀芳章习题答案The document was prepared on January 2, 2021第⼀章⽣命表1．给出⽣存函数()2 2500 xs x e-=，求：(1)⼈在50岁～60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的⼈在60岁以前死亡的概率。
(3)⼈能活到70岁的概率。
(4)50岁的⼈能活到70岁的概率。
2.已知⽣存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)FT (t)(4)fT(f)(5)E(x)3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=，Pr［T(60)＞5］=，求q65。
4.已知Pr［T(30)＞40］=，Pr［T(30)≤30］=，求10p60Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）= S（70）=×S(30)Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)= S(60)=×S(30)∴10p60= S(70)/S（60）==5.给出45岁⼈的取整余命分布如下表：求：1）45岁的⼈在5年内死亡的概率；2）48岁的⼈在3年内死亡的概率；3）50岁的⼈在52岁⾄55岁之间死亡的概率。
(1)5q45=（++++）=6.这题so easy就⾃⼰算吧7.设⼀个⼈数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的⽣命表计算（取整）（1）3年后群体中的预期⽣存⼈数（2）在40岁以前死亡的⼈数（3）在45-50之间挂的⼈(1)l39=l36×3P36=l36(1-3q36)=1500×（）≈1492（2）4d36=l36×4q36=1500×（+）≈11（3）l36×9|5q36=l36×9P35×5q45=1500××=1500×≈338. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
保险精算习题及答案
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
中国精算师《寿险精算》过关必做(含真题)习题集(生存分布与生命表)【圣才出品】
计算 80.5 岁的人在两年之内死亡的概率为（ ）。
A．0.0782
B．0.0785
C．0.0790
D．0.0796
E．0.0800
【答案】A
【解析】死亡服从 UDD 假设，故
x0.5
qx 1 0.5qx
所以 qx
x0.5
1 0.5x0.5
。
从而 q80
80.5
1 0.580.5
0.0202 1 0.5 0.0202
0.02 ，
q81
81.5 1 0.581.5
0.0408 1 0.5 0.0408
0.04
，
q82
82.5
1 0.582.5
0.0619 1 0.5 0.0619
0.06
故 80.5 岁的人在两年之内死亡的概率为：
q2
1 l80
p80 p81 1 0.5q82 l80 1 0.5q80
【解析】由于
， 。
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故 Var(K)=E(K2)－E2(K)=2.8－1.32=1.11。
7．（样题）设 A． B． C． D． E． 【答案】C 【解析】由于
故
，X 为整数，0≤t≤1，那么
为（ ）。
， 。
计算 5p70 的值为（ ）。
A．0.85
B．0.86
C．0.87
D．0.88
E．0.89
【答案】E
s 73
s 73
【解析】由于 3 p70 s 70 0.95 ， 2 p71 s 71 0.96 ，
故 5 p70
1 p70×4 p71
第一章 生命表
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
保险精算习题及答案
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
中国精算师《寿险精算》章节题库-生存年金的精算现值(圣才出品)
第3章生存年金的精算现值1．设（50）岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。
假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且50=13.5 ，≈1，β12=-0.4665，则k的值为（）。
[2008年真题] A．322B．333C．341D．356E．364【答案】A【解析】每月的年金精算现值为：由×12=50000 ，解得：k=322。
2．设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（）。
[2008年真题]A．0.4396B．0.4572C．0.4648D．0.4735E．0.4837【答案】C【解析】由已知，得3．根据以下条件计算=（）。
[2008年真题]A．1.6B．1.8C．2.0D．2.2E．2.4【答案】D【解析】由已知，有4．支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E（Y）和Var （Y）分别为（）。
[2008年真题]A．2.03；0.55B．2.03；0.79C．2.05；0.79D．2.05；0.55E．2.07；0.79【答案】A【解析】由i=0.06，得：v=（1＋i）-1=1.06-1。
5．考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金负担现值为（）。
A．480B．481C．483D．485E．487【答案】C【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则故。
6．考虑（90）的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：已知利率i＝0.06，则=（）。
A．1.8B．1.9C．2.0D．2.1E．2.2【答案】C【解析】由于7．。
A．0.085B．0.125C．0.600D．0.650E．0.825【答案】D【解析】8．已知α（12）＝1.000281，β（12）＝0.46811951，=9.89693，假设死亡均匀分布。
寿险精算习题及答案
习题第一章人寿保险一、n年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。
I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出；II、根据93男女混合表，计算赔付支出。
解：I表4 -死亡赔付现值计算表1000 （1 1.03 2 1.03^ 3 1.03’ 4 1.03 5 1.03 冷=13468.48 （元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
解：II表4乞死亡赔付现值计算表1根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：2 J_2J3 _4_51000 ^（q 4^<1.03 +1|q 4^<1.03 +2|q 4^<1.03 +3^4^1.03 +4|q4^1.03 ）=912486（元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。
【例4.2】某人在40岁时投保了 10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末， 利率为5%。
根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，2A I 0：3| 二"V ■ k 〔q 40 =(vq 40 v 1|q 40 ■ v 2040)=(vq 40 ■ v P 40q 41v 2 P 40q 42)k =00.00165 丄(1 —0.00165)x0.001812 丄(1 —0.00165)x(1 —0.001812)x 0.001993 "[1.05 1.0521.053= 0.00492793 (元)。
II 、单位赔付现值期望的方差为，2A 40:3| - (A 40：3|)v")k|q 40 - (A 40：3|)= (v q 40 v 1|q 40v2|q 40)〜(Al 0：3)=°.00444265k=0III 、趸缴纯保费为，10000 A 4°3 =49.28 （元）【例4.3】某人在50岁时投保了 100000元30年期定期寿险，利率为 8%假设xl x =1000（1），计算趸缴纯保费。
第1章 生存分布与生命表 0
含义：
x
lim
x0
s(x) s(x x s( x)
x)
lim
x0
P{x将在x
x岁之前死亡} x
x瞬间死亡的比率
x
s '(x) s(x)
f 1
(x) F ( x)
[ln s(x)]'
②死亡力与其他函数的关系
t
px
exp(
【例题1.4】已知：（1）3 p70
0.95；（2）2 p71
0.96；（
3）75 71
x
dx
0.107
计算5p70=（ ）。[2008春季考试真题]
A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 E．0.89
【答案】E
【解析】设s(x)为（x）的生命函数，则
（7）平均余寿
① ex E[T (x)]
Tx lx
: (x)的平均余寿;
② ex:n
nt
0
t
px
uxt dt
n
n
px ;
（x）在n年内的平均余寿，n可以取非整数值；
1
1
③ ex E K x k k px qxk k k| qx;
【例题1.3】已知某地区新生婴儿的寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，则对该地区的（x）（x<75）的
人，其未来生命时间长度的整数部分为25岁的概率是（ ）。
A．1/(100－x) B．2/(100－x) C．3/(100－x) D．4/(100－x)
保险精算李秀芳1-5章习题答案精编版
最新资料推荐第一章生命表X21 .给出生存函数s x = e^500，求：(1)人在50岁〜60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
P(50 : X ：：：60) =s 50 - s(60)s (50 )—s(60)1旳50二s(50)P(X ・70)=s(70)20 P50 二疊s(50)3/22.已知生存函数S(x)=1000-x ,0 w x w 100，求(1) F ( x)⑵f(x)(3)F T(t)(4)f T(f)(5)E(x)s 65 -s(66)2 s(60) "1895,5 P604.已知Pr : T(30) > 40] =0.70740 , Pr : T(30) w 30] =0.13214，求10卩60Pr :T(30) >40] =40P30=S(70)/S (30) =0.7074 S ( 70) =0.70740 X S(30)Pr :T(30) w 30] =S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786 X S(30)(60) =0.70740/0.86786=0.815113.已知Pr : 5v T(60) w 6: =0.1895 , Pr : T(60) > 5] =0.92094，求q65。
-q65s 65 - s(66)s(65)二0.2058s 65s(60)=0.9209410p60= S(70)/S5.给出k0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k|q45.0050.0060.0075.0095.0120.0130.0165.0205.0250.0300求：155岁之间死亡的概率。
(1) 5q 45=( 0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120)=0.04______ 由上送星口 一喜任必工亍（0心瞰）越側矗十乩型十0血研扮0加〉二Q 貝$3Q2-_________________ 藹剛£妙 二 切十QQ0侖十G 叩ZT 二 Z 胎 ___________________I 一:驱氐 ____________________________________________~ _______ 亠¥叭"二eW咕辽一g 另血人疵一'2彷2空 疗刃习死ZQ 未秤修对JM 7&彳.6.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）（1） 3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1) l 39=l 36 X 3卩36=| 36(1- 3q 36)= 1500 X( 1-0.0055 )~ 1492(2) 4d 36=l 36 X 4q 36=1500 X( 0.005+0.00213 )~ 11(3) l 36X 9|5q 36=l 36X 9R5X 5q 45=1500X (1-0.02169) X 0.02235=1500 X 0.021865 〜33 8.已知 q 80 — 0.07 , d 80 =3129，求 4。
保险精算1-5章答案(第二版)李秀芳
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
寿险精算第三章
生存模型就是对此过程建立的一个数学模型， 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型， 用数学公式进行清晰的描述， 用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡率的 额问题作出了一些解释。 额问题作出了一些解释。
生存模型可以回答的几个问题的例子： （1）、一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少？ （2）、若有1000个45岁的人，那么他们当中有多少人 可能在下一年中死亡？ （3）、如果一个45岁的男性公民投保了一个10年的定 期的某种人寿保险，那么应该向他收取多少保费？ （4）、一个45岁的男性公民将可能继续生存的年数？ （5）、由许多45岁的男性公民组成的一组人，其死亡 概率分布是怎样的？
4，S0 ( x ) 与 S x ( t )之间的联系：
S0 ( x + t ) S x ( t ) = P {T0 > x + t T0 > x} = S0 ( x )
S x ( t + u ) = S x ( t ) S x +t ( u ) = S x ( u ) S x +u ( t )
S0 ( x + t ) = S 0 ( x ) S x ( t )
d d f x ( t ) = Fx ( t ) = P {Tx ≤ t} dt dt 1 = lim × { P {Tx ≤ t + h} − P {Tx ≤ t}} h → 0+ h = S x ( t ) × µ x +t
f x ( t ) =t p x × µ x + t
) 例4、如果 µ x = 0.01908 + 0.001( x − 70，其中 x ≥ 55 ，请计算 5 q60 和 10 p65 。
• 从数学角度看生存状况是一个简单的过程。 这一过程有如下的特点 特点： 特点 （1）、存在两种状态：生存和死亡。 （2）、单个的人—经常称作为生命个体—可 被划分为生存者和死亡者。 （3）、生命个体可从“生存”状态到“死亡” 状 态，但反过来不能成立。 （4）、任何个体的未来生存时 生存时间都是未知 生存时 的，所以我们应从生存或死亡概率的探讨开始 生存状况的研究。
寿险精算第一章(word版)
第一章 生存分布与生命表学习目标□了解常有生命表函数的概率意义、函数表达式及相互关系 □了解生存分布与生命表之间的关系□了解寿险生命表的特点与构造原理，掌握分数年龄生命表函数的计算方法1.1 引言寿险精算的主要研究都建立在生命个体（如被保险人）的生存情况的基础上。
精算学的发展始于对生存分布和生命表的研究。
在开始生存分布和生命表的讨论之前，我们先介绍几个基本的概念和符号。
首先，我们用符号（x ）表示x 岁的生命，用T （x ）表示（x ）从现在直到死亡之间的时间长度。
显然，（x ）在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T （x ）不是一个确定的数，而是一个随机变量，我们称T （x ）为（x ）的未来生命时间长度随机变量。
用X 表示（x ）死亡时的年龄。
显然，X 也是一个随机变量，并且有T （x ）=X-x 。
称X 为（x ）的寿险随机变量。
如果（x ）=（0），即一个新生婴儿，那么很显然，新生婴儿的未来生命时间长度恰好等于其寿命，即T （0）=X 。
既然X 和T （x ）均为随机变量，所以，我们可以研究他们的概率分布情况。
基于概率统计的基础知识，我们记X 的分布函数为x F （x ），于是()()x r F x P X x =≤ 0x ≥ （1—1）显然，{X x ≤} 表示新生儿将于x 岁之前死亡的随机事件。
于是，概率分布函数()x F x 对应的是一种死亡概率。
与上述死亡概率对应，我们可以定义函数()X S x 为：()1()Pr()X X S x F x X x =-=≥ 0x ≥ （1--2）显然，{}X x ≥表示新生儿将于x 岁之后死亡——即新生儿将在x 岁还生存的随机事件，所以()X S x 为新生儿将在x 岁仍然活着的概率。
基于此，我们称()X S x 为生存函数，为方便起见，有时省略下标记为()X S x 。
注意到分布函数x F （x ）和生存函数()X S x 之间的简单关系，可以知道这二者对于相应的随机变量X 的意义和地位，它们有相同的作用！因此，基于概率统计的经验，我们知道，为了研究随机变量X ，研究分布函数x F （x ）或生存函数()X S x二者中之一即可。
保险精算第二版习题及答案
保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
寿险精算习题
※<第一章>1．寿险精算与精算的关系答：保险精算包括寿险精算和非寿险精算两大类，而保险精算是精算学中的一个重要分支。
2．什么是精算学？答：精算学是以现代数学和概率数理统计学为基础，从数量方面研究保险业经营管理的各个环节的规律和发展，更好地反映保险机制实质的随机模型。
为保险公司进行科学的决策及提高管理水平提供依据和工具的专门学科。
※<第二章>1．试确定二年期内的常数实际利率，使之等价于第一年5%，第二年6%的实际贴现率。
（5.82%）2．如果20.04(1)t t δ-=+，那么1000元在第20年末的终值是多少？ （1038.8301元）3．试比较δ ，()m i ，i 的大小。
（m>1时，()m i i δ>> ；m=1时，()m i i δ=> ；m<1时，()m i i δ>> ）※<第三章>1．如果实际贴现率为10%，那么8a 为多少？ （5.695327）2．一台新电视机的现金价格为10000元。
某顾客想以月计息一次18%的年利率分期付款购买该台电视，若他在4年内每月月末付款250元，问现付款需要多少？ （1489.3615元）3．王强从银行贷款100000元，计划从第七个月开始每月末等额还款，若银行规定在借款后三年还清本息，设年利率为16%，求每月需还款额。
（4323.9456元）※<第四章>1．已知()1100xS x =-，0100x ≤≤ ，求 201010q 。
（0.125）2．证明：在Balducci 假设下，1(1)x x txq t q μ+=-- ，01t ≤≤3．若 407746l =，417681l = ，计算下列假设下的1404μ的值。
(1)UDD 假设 （2）Balducci 假设 （0.0084091，0.0084446）※<第五章>1．证明：11(1)x x x p ai a --⋅=+ 2．已知死力 0.04μ=，息力 0.06δ=，求 x a 。
保险精算第3章(1)
且分布函数为t q，x 生存函数为 t，px
t qx
s( x) s( x s( x)
t)
t
px
s( x t) s( x)
20
生命函数总结
• t u qx 表示x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的
概率， t u qx q tu x t qx t px tu px t px qu xt
或 FX (30) FX (10) 0.0587
s(25) s(30)
(4) 5|5 q20
s(20)
0.1303
或 Pr5 T(20) 10 FT (10) FT (5)
或 Pr5 T(20) 10
10
5 fT (t )dt
19
生命函数总结
• X表示新生儿未来的寿命，是一个连续型随机变量， 分布函数为F(x)，生存函数为s(x)，密度函数为f(x)；
t px Pr(T( x) t) Pr( X x t X t) s( x t) s( x)
• 特别： x p0 s( x)
8
符号介绍
• px：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 px 1 px
• q x：x岁的人将在1年内去世的概率 qx 1qx • t u q：x x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概
0
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g(t)
G(t)
1
t
px
s( x) s( x s( x)
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
s(
x)
s(x s( x )
《寿险精算》试题及答案
《寿险精算》试题及答案（解答仅供参考）第一套一、名词解释1. 寿险精算：寿险精算是运用数学、统计学、经济学等理论和方法，对人寿保险业务中的风险进行量化分析和评估，以确定保险费率、准备金、利润分配等关键参数的学科。
2. 生命表：生命表是一种记录某一地区或群体在不同年龄阶段死亡率的统计表格，是寿险精算中计算保费和评估风险的重要工具。
3. 保险费率：保险费率是指保险公司为提供保险保障而向被保险人收取的费用比例，它是根据预期损失和运营成本等因素计算得出的。
4. 预定利率：预定利率是指保险公司为未来支付保险金而预先设定的利息率，它是计算保险产品现金价值和准备金的重要参数。
5. 保险准备金：保险准备金是指保险公司为了应对未来的保险责任和赔付风险，按照规定提取并储备的资金。
二、填空题1. 寿险精算的主要任务包括确定______、评估风险、管理资产和负债等。
答案：保险费率2. 在寿险精算中，______是预测未来死亡率的重要工具。
答案：生命表3. 保险产品的现金价值是根据______和已缴保费计算得出的。
答案：预定利率4. 保险公司提取的保险准备金主要包括未到期责任准备金和______。
答案：未决赔款准备金5. 在人寿保险中，______是一种可以在保险期间内改变保险金额和保险费的保险产品。
答案：可变寿险三、单项选择题1. 下列哪一项不属于寿险精算的主要任务？A. 确定保险费率B. 评估风险C. 管理资产和负债D. 制定营销策略答案：D. 制定营销策略2. 生命表中的死亡率通常表示为：A. 每千人的死亡人数B. 每百人的死亡人数C. 每年的死亡人数D. 每年的死亡概率答案：D. 每年的死亡概率3. 下列哪种保险产品的现金价值通常会随着投资收益的变化而变化？A. 定期寿险B. 终身寿险D. 年金保险答案：C. 变额寿险4. 在计算保险准备金时，未决赔款准备金通常是按照以下哪种方法提取的？A. 逐笔认定法B. 平均估算法C. 总和估算法D. 预期损失法答案：A. 逐笔认定法5. 下列哪种保险产品的保险金额和保险费可以在保险期间内进行调整？A. 定期寿险B. 终身寿险C. 变额寿险D. 全残保险答案：C. 变额寿险四、多项选择题1. 下列哪些因素会影响保险费率的确定？A. 预期损失B. 运营成本C. 投资收益D. 市场竞争答案：A、B、C、D2. 下列哪些保险产品具有现金价值？A. 定期寿险C. 变额寿险D. 年金保险答案：B、C、D3. 下列哪些因素可能影响生命表的编制？A. 地理位置B. 种族背景C. 性别D. 社会经济状况答案：A、B、C、D4. 下列哪些保险准备金属于长期准备金？A. 未到期责任准备金B. 未决赔款准备金C. 长期健康保险准备金D. 养老保险准备金答案：C、D5. 下列哪些保险产品具有投资功能？A. 定期寿险B. 终身寿险C. 变额寿险D. 年金保险答案：B、C、D五、判断题1. 寿险精算师只需要具备数学和统计学知识即可。
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（4）死亡服从 UDD 假设。 计算 80.5 岁的人在两年之内死亡的概率为（ ）。[2008 年真题] A．0.0782 B．0.0785 C．0.0790 D．0.0796 E．0.0800 【答案】A 【解析】死亡服从 UDD 假设，故
4．设（x）的未来寿命 T=T（x）的密度函数是
利率力为 δ=0.06，保额为一个单位的终身寿险的现值随机变量为 Z，那么满足 Pr（Z ≤ξ0.9）=0.9 的分位数 ξ0.9 的值为（ ）。[2008 年真题]
A．0.5346 B．0.5432
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C．0.5747
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D．0.5543
E．0.5655
【答案】E
【解析】令
解得：h=9.5,即 lnξ0.9=9.5lnv。 故 ξ0.9=exp（-9.5δ）=0.5655。
5．设 s（x）=
A．40.5 B．41.6 C．42.7 D．43.8 E．44.9 【答案】C 【解析】
A．0.041 B．0.042 C．0.043 D．0.044 E．0.045 【答案】D 【解析】已知死亡服从均匀分布假设，故
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9．设 lx=10（100-x）2，0≤x≤100，计算 Var（T（x））=（ ）。 A． B． C．
【答案】E
【解析】由于 3
p70
s 73 s 70
0.95，2 p71
s 73 s 71
0.96，
故5 p70
1 p70×4 p71
s s
71 70
×4 p71
p ×e 3 70
－
75
71 xdx
2 p71
0.89。
2．已知： （1）μ（80.5）＝0.0202； （2）μ（81.5）＝0.0408； （3）μ（82.5）＝0.0619；
而 30p18=10p18·20p28,所以
，
故 20q28=1- =0.2105。
15．设 A．1＋y B．1-y C． D． E． 【答案】A 【解析】因为
所以
，则 T（y）的中值为（ ）。
，所以
， ，所以 m（y）=1＋y。
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D．
E． 【答案】A 【解析】由已知，得
10．设 x
x 100
，计算
20｜10q5=（
）。
A．
B．
C．
D．
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E．
【答案】C
【解析】由于
，
故
11．已知 T（0）的分布为：
。则新生婴儿在 30 岁和 50
岁之间死亡的概率为（ ）。 A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7 E．0.9 【答案】A 【解析】Pr[30<T（0）<50]=F0（50）-F0（30）=50/100-30/100=0.2。
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第 1 章 生存分布与生命表
选择题
1．已知：
（1）3p70＝0.95；
（2）2p71＝0.96；
（3）
=0.107。
计算 5p70 的值为（ ）。[2008 年真题]
A．0.85
B．0.86
C．0.87
D．0.88
E．0.89
12．已知：s（x）= 之间死亡的概率为（ ）。
A．119 岁的人在 36 岁至 75 岁
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D．1/5
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E．1/3
【答案】E
【解析】解法①：
解法②： 。
16．设某随机变量 X 的生存函数为：s（x）=ax3＋b,0≤x≤k。若 E（X）=90，则 Var （X）=（ ）。
故 80.5 岁的人在两年之内死亡的概率为：
3．已知 （1） =25；
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（2）lx=ω-x,0≤x≤ω； （3）T（x）为未来剩余寿命随机变量。 计算 Var[T（10）]的值为（ ）。[2008 年真题] A．65 B．93 C．133 D．178 E.333 【答案】C 【解析】由 lx=ω-x 可知 x 服从均匀分布，故由 =25=ω/2，得 ω=50， 所以
【解析】由于
，
7．设 A． B．μx
，x 为整数，0≤t≤1，那么 μx＋t 为（ ）。
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C．
D．
E．
【答案】C
【解析】由于
，
故
8．设 q70＝0.04，q71＝0.05，假定死亡是均匀分布的。计算（70）在年龄 70.5 与 71.5 之间死亡的概率为（ ）。
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则其现年 28 岁在达到 48 岁之前的死亡概率为（ ）。
A．0.2105
B．0.2308
C．0.2409
D．0.2503
E．0.3105
【答案】A
【解析】由题意知：10p18=0.95，30p18=0.75，
，0≤x≤100，则 =（ ）。
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6．给定生命表，如表所示。则整值剩余寿命 K（96）的方差 Var（K）=（ ）。 表 生命表
A．0.39 B．0.53 C．0.91 D．1.11 E．1.50 【答案】D
13．设 s（x）是生存函数，函数 φ（x）=
且 φ（x）＋s′（x）=0，则生存函
数 s（x）的极限年龄 ω 为（ ）。
A．121
B．122
C．125
D．128
E．130
【答案】C
【解析】由 φ（x）＋s′（x）=0 知：s′（x）=-φ（x）。
即 φ（x）为未来寿命的概率密度函数。
。
14．已知现年 18 岁的小王，再生存 10 年的概率为 0.95，再生存 30 年的概率为 0.75。