华北电力大学 理论力学 课件 第02章 力系的简化N
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矩等于原来力对新作用点的矩。
• 力偶矩矢与AB和力F确定的平面垂直。
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2011-09-04
理论力学
16
NCEPU 2-2 力系的简化
1.力的平移定理
M
F
O
d=M F
F′ = F
Od A
一个力不仅可以分解为几个力，还可以分 解为力和力偶。
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理论力学
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NCEPU 2-2 力系的简化
力系：F1, F2 , , Fn , 作用点：P1, P2 , , Pn
( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ 大小：M o =
M xi 2 +
M yi 2 +
2
M zi
矢径：r1 = OP1, r2 = OP2 , , rn = OPn
( ) ∑ 方向： cos M o , i =
M xi Mo
主矩: M o = r1 × F1 + r2 × F2 + + rn × Fn
力F1与x轴夹角α = 45 ,与y轴夹角β = 90 ,
与z轴夹角γ = 135
则 ： F1x = F1 cos α = F1 cos 45
=
2F 2
F1 y = F1 cos β = F1 cos 90 = 0
F1z = F1 cos γ = F1 cos 135
=−
2F 2
γ
B
α
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理论力学
10
NCEPU 例1
方法二：两次投影法：
z
F3′
则：F3x = −(F3 cosθ )sinϕ = −F
2 1 =− 6F 62 6
F3y = (F3 cosθ )cosϕ = F
2 1 = 6F 62 6
F3x
F3 y F3z
F3z
= −F3 sinθ
=−
6F 3
同理：F2x = −(F2 cosθ2)sinϕ2 = −F
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理论力学
NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
主矢 主矩
FR′ = ∑ F
( ) MO = ∑ MO F
• 主矢的大小、方向与简化中心无关。主矢为自由 矢量。主矢描述了力对物体的平动效应。
• 主矩大小与简化中心有关！主矩描述了平面一般 力系使物体绕简化中心转动的效应。
Fzi FR′
理论力学
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
3. 力系的合力
如果一个力系可以与单个力等效，此单个力为该 力系的合力。
三要素 比项 性质
大小 方向 作用点
备注
主矢 几何量 有 合力 物理量 有
有
无
可在任意点画出
任何力系 均有主矢
不是所有的
有
有
力系都有合力
F
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理论力学
F
变化，只有在特殊情况下( FR′ = 0或 OA// FR′ ）, 主矩
才保持不变。
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理论力学
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NCEPU 例1 长方体上作用着三个力 F1, F2, F3，大小均为F，
b已知。求这个力系的主矢和对O点的主矩。
解：1.求力系的主矢： 方法一：直接投影法：
若已知力与某轴的夹角，可直接求出 力在此轴上的投影。
F3
F1
∑ MOy =
M yi
=(
2− 2
3 +0)Fb = −0.1298Fb 3
∑ MOz =
Mzi
= (−
2 +0− 2
6)Fb = −0.2989F 6
F2
θ
ϕ
θ
2
2
y
x
则：MO = (0.9643Fb)i + (−0.1298Fb) j + (−0.2989Fb)k
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理论力学
FR
O
成立条件
F’R=0, MO=0 F’R=0, MO ≠ 0 F’R ≠ 0, MO=0
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NCEPU 例2
F1=200N, F2=150N, F3=100N。 (1) 求这三个力向A点和D点简化的结果。
(2) 力系的合成结果。
解: (1) 求力系的主矢： 将各力分别向x、y轴投影：
Fyi FR′
5. 平面力系的简化
简化结果： (1) 主矢和主矩都为零
平衡力系
(FR′ = 0, MO = 0)
(2) 主矢为零，主矩不为零 (FR′ = 0, MO ≠ 0)
力系的合成结果是一力偶, 力系的主矩与 矩心位置无关。 (3) 主矩为零，主矢不为零 (FR′ ≠ 0, MO = 0)
力系的合成结果是一力 FR = FR′
2 1 =− 3F 32 3
F2y = −(F2 cosθ2)cosϕ2 = −F
2 1 =− 3F 32 3
x
ϕ
F3
F2
θ
θ ϕ2
2
F2z = F2 sinθ2 =
3F 3
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F1
y
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NCEPU 例1
主矢FR′x的三个投影为：
z
F3′
∑ FR′x =
Fxi =
2F − 2
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2. 力系主矢的计算 (2) 解析法
F
′
R
=
F
′
2 Rx
+
F
′
2 Ry
+
F
′
2 Rz
( ) (∑ ) ∑ (∑ ) =
Fxi 2 +
F yi 2 +
2
F zi
主矢的方向余弦:
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( ) ∑ cos FR′, i
=
Fxi FR′
( ) ∑ cos FR′, j =
Fyi FR′
( ) ∑ cos FR′, k =
a) FR′ ⊥ MO MO
O
简化为作用于O’的合力FR
FR′
d = MO
FR = F′
FR
Od O’
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NCEPU 2-2 力系的简化
b) FR′ // MO
力螺旋
NCEPU 2-2 力系的简化
c) FR′ 与 MO 成任意角度
主矢与主矩方向相同时，为右手螺旋， 主矢与主矩方向相反时，为左手螺旋。
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2
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
2. 力系主矢的计算 (1) 几何法（力多边形法）
F3
F2
F1 F4
F3
F4
⇒
FR'
F2
F1
注意： 主矢没有作用点！
2. 力系主矢的计算 (2) 解析法
Fi = Fxii + Fyi j + Fzik
( ) ∑ cos M o , j =
M yi Mo
∑ ∑ = ri × Fi = M oi
( ) ∑ cos M o , k =
M zi Mo
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理论力学
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NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
2. 同一力系对不同点的主矩之间的关系
另选矩心A，各力作用点对于矩心A的矢径为:
(3) 主矩为零，主矢不为零 (FR′ ≠ 0, MO = 0)
简化结果为一力 FR = FR′
(4) 主矢和主矩都不为零
(FR′ ≠ 0, MO ≠ 0)
a) 若主矢和主矩垂直，简化结果为一力；
b) 若主矢和主矩不垂直，简化结果为一力螺旋。
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NCEPU 2-2 力系的简化
2. 力系等效定理
充要条件：两力系的主矢相等，对同一点的主矩相等。
F R′ (1 ) = F R′ (2 )
M
(1 )
O
=
M
(2 )
O
M
(1 )
O′
=
M
(1 )
O
+
O ′O
×
F
′
R
(1
)
M
(2 )
O′
=
M
(2 )
O
+
O
′O
×
F R′ (2 )
=>
M
(1 )
O′
=
M
(2 )
O′
∴矩心O是任意选择的！
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F
' R
三个投影为：
(i =1,2, ,n)
FR'x = Fx1 + Fx2 + FR'y = Fy1 + Fy2 + FR'z = Fz1 + Fz2 +
∑ + Fxn = Fxi ∑ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Fyn = Fyi ∑ + Fzn = Fzi
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理论力学
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NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
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理论力学
(4) 主矢和主矩都不为零
(FR′ ≠ 0, MO ≠ 0)
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理论力学
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NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
简化结果：
F’R
A
O MO
平面 一般 力系
合成结果 平衡 (1) 零力系
(2) 合力偶 不平衡 (3) 合力
FR
d
d = MO
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NCEPU 2-2 力系的简化
1.力的平移定理
F
F′
B
A
A B
F ′′
M = MB(F)
F′ = F
BA
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理论力学
NCEPU 2-2 力系的简化
1.力的平移定理
F
F
M = MB (F)
F′ = F
B
A
BA
• 作用在刚体上的力可以平移到刚体上任一点, 但必须同时附加上一个力偶, 该附加力偶的
ri′ = APi (i = 1, 2, , n)
∑ 则力系对A点之矩： M A = ri′× Fi
( ) ∑ ∑ Mo = ri × Fi = ri′+ OA × Fi
Pi ri
ri′ A
O
( ) ∑ = M A + OA× Fi = M A + OA× FR′
在一般情况下，力系的主矩随矩心位置的不同而
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NCEPU 例1
同理：Mx(F1) = −
2 2
Fb;
My
(F1)
=
2 2
Fb;
Mz
(F1)
=
−
2 Fb 2
z
F3′
F3x
ϕ
Mx(F2) =
3 3
Fb;
My
(F2
)
=
−
3 3
Fb;
Mz
(F2
)
=
0
F3 y
主矩Mo的三个投影为
F3z
∑ MOx =
Mxi = (−
2+ 2
3− 3
6)Fb = −0.9643Fb 3
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• 空间一般力系是最一般的力系，其他力系
都是空间一般力系的特殊情况。
• 平面一般力系是工程中最常见的力系。
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4
NCEPU 2-2 力系的简化
4. 力系分类 汇交力系
力 力偶系 系
平行力系
一般力系
平面汇交力系 空间汇交力系 平面力偶系 空间力偶系 平面平行力系 空间平行力系 平面一般力系 空间一般力系
NCEPU
第二章 力系的简化
2-1 力系的主矢和主矩 2-2 力系的简化 2-3 平行力系的中心和物体的重心
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
一、力系的主矢 1. 主矢 力系中力矢的几何和。
力系： F1, F2 , F3 Fn
作用点：P1,P2,P3,…,Pn
∑ FR' = F1 + F2 + F3 + + Fn ⇒ FR' = Fi
F2
θ
ϕ
θ
2
2
y
x
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2
NCEPU 例1
2. 求力系对O点的主矩：
z
即求各力对坐标轴的矩Mxi，Myi，Mzi。
F3′
ϕ
F3x
方法一：利用定义；
F3 y
方法二：利用分力计算力矩。
F3z
M x ( F3 ) = M x ( F3x ) + M x ( F3 y ) + M x ( F3z )
3F− 3
6 F = −0.2785F 6
F3x
F3 y
∑ FR′y =
Fyi = 0 −
3F+ 3
6 F = −0.2785F 6
F3z
∑ FR′z =
Fzi = −
2F + 2
3F− 3
6 = −0.2785F 3
ϕ
F3
F1
则： FR′x = (−0.2785F )i + (−0.1691F ) j + (−0.9463F )k
∑ 主矩 MO = MO (F1) + MO (F2 ) + + MO (Fn ) = MO (Fi ) i =1
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理论力学
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NCEPU 2-2 力系的简化
空间一般力系的简化结果分析
(1) 主矢和主矩都为零
(FR′ = 0, MO = 0)
平衡力系
(2) 主矢为零，主矩不为零 (FR′ = 0, MO ≠ 0) 简化结果为一力偶，这时主矩与矩心位置无关。
F3
F1
= 0 − ( 6 F )(2b) + 0 = − 6 Fb
6
3
F2
θ
M y (F3 ) = 0
θ ϕ2
2
y
M z ( F3 ) = M z (F3x ) + M z (F3 y ) + M z ( F3z )
x
= 0 + ( 6 F )(b) + 0 = 6 Fb
6
6
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理论力学
理论力学
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3
NCEPU 2-2 力系的简化
3. 空间一般力系的简化 简化过程
简化结果
NCEPU 2-2 力系的简化
3. 空间一般力系的简化
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空间一般力系向一点简化，一般得到： 一个主矢和一个主矩
理论力学
简化结果：
n
∑ 主矢 FR′ = F1 + F2 + + Fn = Fi i =1 n
6
1
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
二、力系的主矩
二、力系的主矩
1.定义：
力系中各力对任一点的矩 矢的几何和。
即:
∑ ∑ M ox = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ x = M xi ∑ ∑ M oy = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ y = M yi ∑ ∑ M oz = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ z = M zi
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理论力学
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NCEPU 2-2 力系的简化
NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
∑ 主矢计算 FR′x = Fxi ∑ FR′y = Fyi
( ) ( ) ∑ ∑ FR′ =
Fxi 2 +
2
Fyi
∑ ∑ cos ( FR′,i) =
Fxi FR′
cos ( FR′, j ) =
• 力偶矩矢与AB和力F确定的平面垂直。
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理论力学
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NCEPU 2-2 力系的简化
1.力的平移定理
M
F
O
d=M F
F′ = F
Od A
一个力不仅可以分解为几个力，还可以分 解为力和力偶。
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NCEPU 2-2 力系的简化
力系：F1, F2 , , Fn , 作用点：P1, P2 , , Pn
( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ 大小：M o =
M xi 2 +
M yi 2 +
2
M zi
矢径：r1 = OP1, r2 = OP2 , , rn = OPn
( ) ∑ 方向： cos M o , i =
M xi Mo
主矩: M o = r1 × F1 + r2 × F2 + + rn × Fn
力F1与x轴夹角α = 45 ,与y轴夹角β = 90 ,
与z轴夹角γ = 135
则 ： F1x = F1 cos α = F1 cos 45
=
2F 2
F1 y = F1 cos β = F1 cos 90 = 0
F1z = F1 cos γ = F1 cos 135
=−
2F 2
γ
B
α
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理论力学
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NCEPU 例1
方法二：两次投影法：
z
F3′
则：F3x = −(F3 cosθ )sinϕ = −F
2 1 =− 6F 62 6
F3y = (F3 cosθ )cosϕ = F
2 1 = 6F 62 6
F3x
F3 y F3z
F3z
= −F3 sinθ
=−
6F 3
同理：F2x = −(F2 cosθ2)sinϕ2 = −F
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理论力学
NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
主矢 主矩
FR′ = ∑ F
( ) MO = ∑ MO F
• 主矢的大小、方向与简化中心无关。主矢为自由 矢量。主矢描述了力对物体的平动效应。
• 主矩大小与简化中心有关！主矩描述了平面一般 力系使物体绕简化中心转动的效应。
Fzi FR′
理论力学
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
3. 力系的合力
如果一个力系可以与单个力等效，此单个力为该 力系的合力。
三要素 比项 性质
大小 方向 作用点
备注
主矢 几何量 有 合力 物理量 有
有
无
可在任意点画出
任何力系 均有主矢
不是所有的
有
有
力系都有合力
F
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F
变化，只有在特殊情况下( FR′ = 0或 OA// FR′ ）, 主矩
才保持不变。
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NCEPU 例1 长方体上作用着三个力 F1, F2, F3，大小均为F，
b已知。求这个力系的主矢和对O点的主矩。
解：1.求力系的主矢： 方法一：直接投影法：
若已知力与某轴的夹角，可直接求出 力在此轴上的投影。
F3
F1
∑ MOy =
M yi
=(
2− 2
3 +0)Fb = −0.1298Fb 3
∑ MOz =
Mzi
= (−
2 +0− 2
6)Fb = −0.2989F 6
F2
θ
ϕ
θ
2
2
y
x
则：MO = (0.9643Fb)i + (−0.1298Fb) j + (−0.2989Fb)k
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理论力学
FR
O
成立条件
F’R=0, MO=0 F’R=0, MO ≠ 0 F’R ≠ 0, MO=0
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NCEPU 例2
F1=200N, F2=150N, F3=100N。 (1) 求这三个力向A点和D点简化的结果。
(2) 力系的合成结果。
解: (1) 求力系的主矢： 将各力分别向x、y轴投影：
Fyi FR′
5. 平面力系的简化
简化结果： (1) 主矢和主矩都为零
平衡力系
(FR′ = 0, MO = 0)
(2) 主矢为零，主矩不为零 (FR′ = 0, MO ≠ 0)
力系的合成结果是一力偶, 力系的主矩与 矩心位置无关。 (3) 主矩为零，主矢不为零 (FR′ ≠ 0, MO = 0)
力系的合成结果是一力 FR = FR′
2 1 =− 3F 32 3
F2y = −(F2 cosθ2)cosϕ2 = −F
2 1 =− 3F 32 3
x
ϕ
F3
F2
θ
θ ϕ2
2
F2z = F2 sinθ2 =
3F 3
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F1
y
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NCEPU 例1
主矢FR′x的三个投影为：
z
F3′
∑ FR′x =
Fxi =
2F − 2
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2. 力系主矢的计算 (2) 解析法
F
′
R
=
F
′
2 Rx
+
F
′
2 Ry
+
F
′
2 Rz
( ) (∑ ) ∑ (∑ ) =
Fxi 2 +
F yi 2 +
2
F zi
主矢的方向余弦:
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( ) ∑ cos FR′, i
=
Fxi FR′
( ) ∑ cos FR′, j =
Fyi FR′
( ) ∑ cos FR′, k =
a) FR′ ⊥ MO MO
O
简化为作用于O’的合力FR
FR′
d = MO
FR = F′
FR
Od O’
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NCEPU 2-2 力系的简化
b) FR′ // MO
力螺旋
NCEPU 2-2 力系的简化
c) FR′ 与 MO 成任意角度
主矢与主矩方向相同时，为右手螺旋， 主矢与主矩方向相反时，为左手螺旋。
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理论力学
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NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
2. 力系主矢的计算 (1) 几何法（力多边形法）
F3
F2
F1 F4
F3
F4
⇒
FR'
F2
F1
注意： 主矢没有作用点！
2. 力系主矢的计算 (2) 解析法
Fi = Fxii + Fyi j + Fzik
( ) ∑ cos M o , j =
M yi Mo
∑ ∑ = ri × Fi = M oi
( ) ∑ cos M o , k =
M zi Mo
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理论力学
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NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
2. 同一力系对不同点的主矩之间的关系
另选矩心A，各力作用点对于矩心A的矢径为:
(3) 主矩为零，主矢不为零 (FR′ ≠ 0, MO = 0)
简化结果为一力 FR = FR′
(4) 主矢和主矩都不为零
(FR′ ≠ 0, MO ≠ 0)
a) 若主矢和主矩垂直，简化结果为一力；
b) 若主矢和主矩不垂直，简化结果为一力螺旋。
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NCEPU 2-2 力系的简化
2. 力系等效定理
充要条件：两力系的主矢相等，对同一点的主矩相等。
F R′ (1 ) = F R′ (2 )
M
(1 )
O
=
M
(2 )
O
M
(1 )
O′
=
M
(1 )
O
+
O ′O
×
F
′
R
(1
)
M
(2 )
O′
=
M
(2 )
O
+
O
′O
×
F R′ (2 )
=>
M
(1 )
O′
=
M
(2 )
O′
∴矩心O是任意选择的！
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F
' R
三个投影为：
(i =1,2, ,n)
FR'x = Fx1 + Fx2 + FR'y = Fy1 + Fy2 + FR'z = Fz1 + Fz2 +
∑ + Fxn = Fxi ∑ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Fyn = Fyi ∑ + Fzn = Fzi
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NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
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理论力学
(4) 主矢和主矩都不为零
(FR′ ≠ 0, MO ≠ 0)
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NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
简化结果：
F’R
A
O MO
平面 一般 力系
合成结果 平衡 (1) 零力系
(2) 合力偶 不平衡 (3) 合力
FR
d
d = MO
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NCEPU 2-2 力系的简化
1.力的平移定理
F
F′
B
A
A B
F ′′
M = MB(F)
F′ = F
BA
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NCEPU 2-2 力系的简化
1.力的平移定理
F
F
M = MB (F)
F′ = F
B
A
BA
• 作用在刚体上的力可以平移到刚体上任一点, 但必须同时附加上一个力偶, 该附加力偶的
ri′ = APi (i = 1, 2, , n)
∑ 则力系对A点之矩： M A = ri′× Fi
( ) ∑ ∑ Mo = ri × Fi = ri′+ OA × Fi
Pi ri
ri′ A
O
( ) ∑ = M A + OA× Fi = M A + OA× FR′
在一般情况下，力系的主矩随矩心位置的不同而
13
NCEPU 例1
同理：Mx(F1) = −
2 2
Fb;
My
(F1)
=
2 2
Fb;
Mz
(F1)
=
−
2 Fb 2
z
F3′
F3x
ϕ
Mx(F2) =
3 3
Fb;
My
(F2
)
=
−
3 3
Fb;
Mz
(F2
)
=
0
F3 y
主矩Mo的三个投影为
F3z
∑ MOx =
Mxi = (−
2+ 2
3− 3
6)Fb = −0.9643Fb 3
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理论力学
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• 空间一般力系是最一般的力系，其他力系
都是空间一般力系的特殊情况。
• 平面一般力系是工程中最常见的力系。
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理论力学
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4
NCEPU 2-2 力系的简化
4. 力系分类 汇交力系
力 力偶系 系
平行力系
一般力系
平面汇交力系 空间汇交力系 平面力偶系 空间力偶系 平面平行力系 空间平行力系 平面一般力系 空间一般力系
NCEPU
第二章 力系的简化
2-1 力系的主矢和主矩 2-2 力系的简化 2-3 平行力系的中心和物体的重心
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
一、力系的主矢 1. 主矢 力系中力矢的几何和。
力系： F1, F2 , F3 Fn
作用点：P1,P2,P3,…,Pn
∑ FR' = F1 + F2 + F3 + + Fn ⇒ FR' = Fi
F2
θ
ϕ
θ
2
2
y
x
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2
NCEPU 例1
2. 求力系对O点的主矩：
z
即求各力对坐标轴的矩Mxi，Myi，Mzi。
F3′
ϕ
F3x
方法一：利用定义；
F3 y
方法二：利用分力计算力矩。
F3z
M x ( F3 ) = M x ( F3x ) + M x ( F3 y ) + M x ( F3z )
3F− 3
6 F = −0.2785F 6
F3x
F3 y
∑ FR′y =
Fyi = 0 −
3F+ 3
6 F = −0.2785F 6
F3z
∑ FR′z =
Fzi = −
2F + 2
3F− 3
6 = −0.2785F 3
ϕ
F3
F1
则： FR′x = (−0.2785F )i + (−0.1691F ) j + (−0.9463F )k
∑ 主矩 MO = MO (F1) + MO (F2 ) + + MO (Fn ) = MO (Fi ) i =1
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理论力学
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NCEPU 2-2 力系的简化
空间一般力系的简化结果分析
(1) 主矢和主矩都为零
(FR′ = 0, MO = 0)
平衡力系
(2) 主矢为零，主矩不为零 (FR′ = 0, MO ≠ 0) 简化结果为一力偶，这时主矩与矩心位置无关。
F3
F1
= 0 − ( 6 F )(2b) + 0 = − 6 Fb
6
3
F2
θ
M y (F3 ) = 0
θ ϕ2
2
y
M z ( F3 ) = M z (F3x ) + M z (F3 y ) + M z ( F3z )
x
= 0 + ( 6 F )(b) + 0 = 6 Fb
6
6
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理论力学
理论力学
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3
NCEPU 2-2 力系的简化
3. 空间一般力系的简化 简化过程
简化结果
NCEPU 2-2 力系的简化
3. 空间一般力系的简化
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空间一般力系向一点简化，一般得到： 一个主矢和一个主矩
理论力学
简化结果：
n
∑ 主矢 FR′ = F1 + F2 + + Fn = Fi i =1 n
6
1
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
NCEPU 2-1 力系的主矢和主矩
二、力系的主矩
二、力系的主矩
1.定义：
力系中各力对任一点的矩 矢的几何和。
即:
∑ ∑ M ox = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ x = M xi ∑ ∑ M oy = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ y = M yi ∑ ∑ M oz = ⎡⎣ ri × Fi ⎤⎦ z = M zi
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理论力学
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NCEPU 2-2 力系的简化
NCEPU 2-2 力系的简化
5. 平面力系的简化
∑ 主矢计算 FR′x = Fxi ∑ FR′y = Fyi
( ) ( ) ∑ ∑ FR′ =
Fxi 2 +
2
Fyi
∑ ∑ cos ( FR′,i) =
Fxi FR′
cos ( FR′, j ) =