河南省许昌平顶山(即许昌市一模)2020届高三联考试题理科数学(图片版,有答案)
2020-2021学年河南省平顶山市、许昌市、济源市高三(上)一质检数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年河南省许昌市、济源市、平顶山市高三（上）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈R|x﹣2＞0}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．已知复数z＝为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a3＝5，a2•a4＝21，则S9＝（）A．﹣9B．81C．9或81D．﹣9或814．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当物体横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，为φ两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长λ＝1600nm（1nm＝10﹣9m），测得某时刻频移，则该时刻高铁的速度约等于（）A．360km/h B．340km/h C．320km/h D．300km/h5．设a，b都是不等于1的正数，则“a＞b”是“log a2＜log b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数f（x）＝2021x5﹣，其中e是自然对数的底数，若f （a2）+f（a﹣6）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，2）B．（0，2）C．（﹣2，3）D．7．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；②若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；③若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．③④D．①④8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，点M为圆O：x2+y2＝9与C 的一个交点，且|MF|＝3，则C的标准方程是（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x9．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数y＝f（x）在上的值域是（）A．B．C．D．[0，1]10．已知函数为R上的增函数．则2m﹣n的取值范围为（）A．[0，2]B．（0，2）C．[0，2）D．（0，2] 11．2020年是脱贫攻坚战决胜之年．凝心聚力打赢脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会．为了如期完成脱贫攻坚目标任务，某县安排包括甲、乙在内的6个单位对本县的3个贫困村进行精准帮扶，要求每个村至少安排一个单位，每个单位只帮扶一个村，则甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.过点F1且斜率为的直线交双曲线的左、右支于A、B两点，线段AB的垂直平分线恰过点F2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设平面向量，若与的夹角为，则x＝．14．二项式展开式中的常数项为15，则实数a＝．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有4S n＝3a n+3，且60≤|S m|≤200，则m 的取值集合为．16．已知，如图正三棱锥P﹣ABC中，侧棱长为1．底面边长为，D为AC中点．E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM+MN最小值是．三、解答题：共70分。
河南省平顶山许昌济源2020届高三第一次质量检测数学(理)试题 含解析
平顶山许昌济源2020年高三第一次质量检测理科数学试题参考答案一、选择题1．D2．C 3．A 4．C 5．D 6．A7．B 8．D 9．B 10．B 11．C 12．B 二、填空题13．4π 14．120° 15．32，24x y =（★第一空3分，第二空2分） 16．38π 三．解答题：（17）（本小题满分12分）解：（1）由已知可得112()n n n n a a a a +--=-，*2,n n ≥∈N ， ………2分所以1{}n n a a +-是以2为公比，以212a a -=为首项的等比数列． ………3分 所以，12n n n a a +-=，*n ∈N ． ………4分 ∴112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L （2n ≥）． ………5分当1n =，11a =成立，所以，数列{}n a 的通项公式为21n n a =-，*n ∈N ． ………6分 （2）∵(1)(1)2(1)n n n b n a n n =+=+-+，∴122232(1)2(231)n n S n n =⨯+⨯+++⨯-++++L L ． ………7分令122232(1)2n A n =⨯+⨯+++⨯L ，则231222322(1)2n n A n n +=⨯+⨯++⨯++⨯L ， ………9分 相减得，23114(222)(1)22n n n A n n ++-=++++-+⨯=-⨯L ，∴12n A n +=⨯， ………10分 而(3)2312n n n +++++=L ． ………11分 故1(3)22n n n n S n ++=⨯-，*n ∈N ． ………12分 （18）（本小题满分12分）绝密★启用前解：（1）设O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，AC 1与A 1C 相交于F ．∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴侧面A 1C ⊥底面ABC ． ………1分 ∵O 是正三角形ABC 边AC 的中点，∴OB ⊥AC ．∴OB ⊥侧面AC 1． ………2分 ∵OO 1∥BB 1，OO 1=BB 1，E ，F 是中点，∴EBOF 是平行四边形． ………4分 ∴EF ∥OB ，∴EF ⊥侧面AC 1． ………5分 又EF ⊂平面AEC 1，∴截面AEC 1⊥侧面AC 1． ………6分 （2）以O 为原点，OB ，OC ，OO 1分别为,,x y z 轴，线段OC 的长为单位长，建立空间直角坐标系，如图， 则(3,0,1)E ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ． ………7分 设1(,,)x y x =n 为平面AEC 1的法向量．∵1(3,1,1)EC =-u u u u r ，(3,1,1)EA =---u u u r ，∴30,30x y z x y z ⎧-++=⎪⎨---=⎪⎩，∴可取1(0,1,1)=-n ． ………9分设2(,,)x y x =n 为平面A 1EC 1的法向量．∵1(3,1,1)EC =-u u u u r ，1(3,1,1)EA =--u u u r ，∴30,30x y z x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩，∴可取2(1,0,3)=n ． ………10分 ∵126cos ,4=-n n ，注意到二面角A 1－EC 1－A 为锐角， ………11分 ∴二面角A 1－EC 1－A的余弦值为64． ………12分（19）（本小题满分12分）解：（1）记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A =B +C ． ………1分∵42111()2264P B =⨯=， ………2分 3444111()2264P C C =⨯=， ………4分 ∴1()()()32P A P B P C =+=． ………5分 （2）记一局游戏结束能收益X 个Q 币，那么X ∈｛－1，1，5｝．………6分 ∵由（1）知1(5)32P X ==， ………8分 又34424411119(1)(1)(1)222232P X C ==⨯-+⨯-=． ………10分 ∴X 的概率分布为： X －1 1 5P 1116 932132因此，EX =119111151632324-⨯+⨯+⨯=-． ………12分 （20）（本小题满分12分）解:（1）A （4，0），设圆心(,)C x y ，线段MN 的中点为E ，则由圆的性质得：2MN ME =，2222CA CM ME EC ==+， ………2分 ∴222(4)4x y x -+=+，即28y x =． ………4分（2）设11(,)P x y ，11(,)Q x y ，由题意可知2118y x =，2228y x =． ………5分（ⅰ）当PQ 与x 轴不垂直时，120y y +≠，120y y ⋅<，由x 轴平分PBQ ∠， 得121211y y x x =-++，∴122212088y y y y +=++， ………6分 ∴1212()(8)0y y y y ++⋅=，∴1280y y +⋅=． ………7分 设直线PQ ：x my n =+，代入C 的方程得：2880y my n --=．∴880n -=，即1n =。
2020年河南省六市高三数学第一次联考(理科)试题【含答案】
2a
理科数学答案 第 3 页 （共 6 页）
（2）方法一：由（1）知，
x1,
x2
是方程
x 1 ex
2a
的两根，
∴ 1
x1
0
x2
，则
x1
x2
0
x2
x1
0
因为
h(x)
在（0，
）单减，
h( x2
)
h(
x1
), 又h( x2
23. 解：(1)当 a 1时，
2x 1, x 1 f (x) 3,1 x 2
2x 1, x 2
…………………………2 分
当 x 1时，由 f (x) 7 得 2x 1 7 ，解得 x 3 ；
当 1 x 2 时， f (x) 7 无解；
当 x 2 时，由 f (x) 7 得 2x 1 7 ，解得 x 4 ，
1)
即 t ln t t 1 (ln t t 1) 0恒成立 ................................8 分
令 g(t) t ln t t 1 (ln t t 1)
理科数学答案 第 4 页 （共 6 页）
g ' (t)
ln t
1 t t
, g '' (t)
1 t t2
t t2
.............................9 分
当 1 时， g '' (t) 0 ， g ' (t) 单减，故 g ' (t) g ' (1) 0
故 g(t)在(0,1)上为增函数 ， g(t) g(1) 0 ........................10 分
河南省三市(许昌、济源、平顶山)2020届高三(6月)下学期第二次联考数学(理)试题
许昌济源平顶山2020年高三第二次质量检测 理科数学 注慧事项: I 答卷前•垮先务必将自己的堆名・准号证号填写在祥临尺1爲 、 2 •冋并选杆场IR.选岀毎小題答案砖•用铅笔杷答J8KH 应Jlfifl 的答系标号涂煦 如爲 改动•用战皮擦「巾后•再选涂x 它答案标号。
何答非迭祥唸时.将？?*幼化？?聽”上，耳 怎本试左上无效。
3 •考试结束后•将答题卡交回。
—、选择题：本H 共门小11 •"小105令•件60 0.祚命小m 仗岀的四个浜is 中•只有—项 是符合題目更求的。
1・设集合 4- Ix|d? -3*-18 vol |z|liu>0| ,JM4AB = A ・（-«.-3） B.（ -3J ） C. （ 1.6） 2・复数；二出.则x 的共純复数；等干 A 3・A ・-~1D ・（6.…）D. j-i3•已知数列|a.|是等比数列•瓯数y5"6的辛点分别是a,.a ■•则a, « D. tj6C. -iA.2B. -2 4•已 ftJa = sin2,6 = iq4.5,e=3a \M B ・ b <c<a A ・ a <b <c 5 •给出下列四个结论： （D 若/U ）是奇函數•則2/U ）也是奇函数② 若/（■）不是正弦两数•则/U ）不是周期两数③ “若&哼则讪鲁”的否命題是••若"，则硼滲- C.b<a<c D ・ c<b<a④若；g ：lru ・O ■则p 是g 的充分不必要条件 其中正确结论的个数为A. 1B.2C.3D.4 6. 在£^ABC 中・D 屮分别为BC JD 的中点•且弗二入届协盘•则入+» = A ■丄 儿3 7. 过双曲线C ：£・$ = I 的右顶点作％粒的垂线•与C 的一条渐近疑交于点九以C 的右焦 点为圖心的《1经过人、0两点（〃为坐标嫌点）.则収曲线C 的离心半为 A.|B-| C 普 D.2 髙三理科数学第|負（共4页） D.~»• nw的状“幡的*发以東•人m «H则灿似w rfi氯半•治念半=v.ii治倉人故卑计确诊人数•治金#的启低見爪«r的««tt«dh治鱼人散任不财变化•弟么人们就*沐艾心革<•人的治愈半•以此m之悄的治取半比较•東椎瞒花这次枪-中Mor史祁“效的『段•右血足段什样治念半的州徉框图•谄同料|進岀丄确的违晚•分WW人①硼处•丸曲程* IKIB.猥i夭赣堆鏡诊人散）；：第i大新堆怡愈人散4第i天治虑隼9 •臬小学要求下午放学厉的17:00-18:00接学生回家•谏学生家长从下肝后到达学校（随机）的时间为17:30・U：30.«该学生家长从下班后•在学校规定时间内接到孩子的概率为A. -j- R 丄 C 丄 D. 4*8 b- 4 2 410•已知丙数/（鴛）・cg（g _于）♦疗cos（审♦<u«）（0 <3 V寺）的图象过点（亍.2）■则要得到函«/（»）的图象•只需将函tty>2siiuui的田象A-向右平移竽个长度单位 B.向左平«yt长度单位C・向左平移寺个长度草位 D.向右平移于个长度单位m已知仆N・.设・■是关于•的方程d •2x7=0的实tt«.iea. = ［（n^l）xj.（n・1.2.3.…）-（符号［"褰示不超过"的最大Kft）.屮 5 境;*i *A. 1010.5B. 1010C. 1011.5D. 101112•已知e为自於对数的底数■定义在R上的efittAx）満足/Xs）-/（>）<2e\其中f （J 环“的异丽败•若/<2） -4e\«A«） >2«e-的解集为A. （ - ® .1）B・（・oo.2）C・（l.・8） D. （2t 4 oo ）二、填空通:本大18其4小BL毎小范5分■共20分。
2020年河南省平顶山市、许昌市、济源市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）复数41−√3i等于（ ） A ．1+√3i B ．﹣1+√3i C ．1−√3iD ．﹣1−√3i【解答】解：41−√3i =221−√3i=2√3i)(1−√3i)(1+√3i)=−4(1+√3i)4=−1−√3i ．故选：D ．2．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin （π6x +φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【解答】解：由题意可得当sin （π6x +φ）取最小值﹣1时， 函数取最小值y min ＝﹣3+k ＝2，解得k ＝5， ∴y ＝3sin （π6x +φ）+5，∴当当sin （π6x +φ）取最大值1时，函数取最大值y max ＝3+5＝8， 故选：C ．3．（5分）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →=a →，CA →=b →，|a →|＝1，|b →|＝2，则CD →=（ ） A ．13a →+23b → B ．23a →+13b → C ．35a →+45b → D ．45a →+35b →【解答】解：∵CD 为角平分线， ∴BD AD=BC AC=12，∵AB →=CB →−CA →=a →−b →，∴AD →=23AB →=23a →−23b →，∴CD →=CA →+AD →=b →+23a →−23b →=23a →+13b →故选：B ．4．（5分）干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f （x ）＝sin 2x 3+cos3x 的最小正周期为（ ） A ．15πB ．12πC ．6πD ．3π【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x 3+cos3x 的最小正周期相当于函数y ＝sin 23x 的最小正周期2π23=3π与函数y ＝cos3x 的最小正周期2π3的最小公倍数．故答案为6π． 故选：C ．5．（5分）如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A ．q =N MB ．q =M NC ．q =NM+ND ．q =MM+N【解答】解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入q =MM+N． 故选：D ．6．（5分）设函数f （x ）={log 2(x 2+x +12)，x ＞0log 12(x 2−x +12)，x ＜0，若f （a ）＞f （﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1−√32，0）∪（√3−12，+∞） B ．（﹣∞，1−√32）∪（√3−12，+∞） C ．（1−√32，0）∪（0，√3−12） D ．（﹣∞，1−√32）∪（0，√3−12） 【解答】解：①当a ＞0时，﹣a ＜0，由f （a ）＞f （﹣a ）得：log 2(a 2+a +12)＞log 12(a 2+a +12)，∴log 2(a 2+a +12)＞−log 2(a 2+a +12)， ∴log 2(a 2+a +12)＞0， ∴a 2+a +12＞1，又a ＞0， ∴解得：a ＞√3−12，②当a ＜0时，﹣a ＞0，由f （a ）＞f （﹣a ）得：log 12(a 2−a +12)＞log 2(a 2−a +12)，∴log 2(a 2−a +12)＜0， ∴0＜a 2−a +12＜1，又a ＜0， 解得：1−√32＜a ＜0，故选：A ． 7．（5分）若直线xa +y b=1（a ＞0，b ＞0）过点（2，1），则2a +b 的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．6【解答】解：由题意可得，2a+1b =1，则2a +b ＝（2a +b ）（2a+1b）＝5+2b a +2ab≥5+4＝9， 当且仅当2b a=2a b且2a+1b=1，即a ＝b ＝3时取等号，此时取得最小值9．故选：B ．8．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【解答】解：由题意可设F （﹣c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0）， 设直线AE 的方程为y ＝k （x +a ），令x ＝﹣c ，可得M （﹣c ，k （a ﹣c ）），令x ＝0，可得E （0，ka ）， 设OE 的中点为H ，可得H （0，ka 2），由B ，H ，M 三点共线，可得k BH ＝k BM ，即为ka 2−a=k(a−c)−c−a ，化简可得a−c a+c=12，即为a ＝3c ，可得e =ca =13．另解：由△AMF ∽△AEO ， 可得a−c a=MF OE，由△BOH ∽△BFM ， 可得a a+c =OH FM=OE 2FM，即有2(a−c)a=a+c a即a ＝3c ，可得e =c a =13． 故选：A ．9．（5分）对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当{a =1b 2=1c 2=b 时，b +c +d 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．i【解答】解：由题意，可取a ＝1，b ＝﹣1，c 2＝﹣1，c ＝i ，d ＝﹣i ，或c ＝﹣i ，d ＝i ，所以b +c +d ＝﹣1+i +﹣i ＝﹣1， 故选：B ．10．（5分）在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，CD ＝2．沿BD 将ABCD 折成60°的二面角A ﹣BD ﹣C ，则折后直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值为（ ） A ．√24B ．√34C ．√64D ．14【解答】解：取BD ，CD 的中点分别为O ，E ，连接OE ，取OE 的中点F ，连接CF ，AF ， 由AB ＝AD ，且O 为BD 中点可知OA ⊥BD ，又在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，CD ＝2， ∴BD =√2，AO =√22，BC =√2，OE =√22， ∴BD 2+BC 2＝CD 2，则BC ⊥BD ， ∴OE ⊥BD ， 又OA ⊥BD ，∴∠AOE即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，则∠AOE＝60°，又OA=OE=√2 2，∴△AOE为正三角形，∴AF⊥OE，又BD⊥OA，BD⊥OE，OA∩OE＝O，∴BD⊥平面AOE，∴BD⊥AF，又OE∩BD＝O，∴AF⊥平面BCD，∴∠ACF为直线AC与平面BCD的所成角，又AF=√64，CF=(22)2+(324)2=√264，∴AC=√2，∴sin∠ACF=√642=√34．故选：B．11．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33＝18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126种， 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝x ﹣ln （x +1）对任意x ∈[0，+∞）有f （x ）≤kx 2成立，则k 的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．eD ．e2【解答】解：①当k ≤0时，取x ＝1，有f （1）＝1﹣ln 2＞0，故k ≤0不符合题意， ②当k ＞0时，令g （x ）＝f （x ）﹣kx 2，即g （x ）＝x ﹣ln （x +1）﹣kx 2， ∴g '（x ）＝1−1x+1−2kx =−x[2kx−(1−2k)]x+1， 令g '（x ）＝0，可得x 1＝0，x 2=1−2k2k＞−1， （i ）当k ≥12时，1−2k 2k≤0，g '（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，g （x ）在[0，+∞）上单调递减，∴g （x ）≤g （0）＝0，∴对任意的x ∈[0，+∞），有f （x ）≤kx 2成立， （ii ）当0＜k ＜12时，x 2=1−2k2k ＞0， 在（0，1−2k 2k）上，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增；在（1−2k 2k，+∞）上，g '（x ）＜0，g（x ）单调递减， 因此存在x 0∈(0，1−2k2k) 使得g （x 0）≥g （0）＝0， 可得x 02−ln(x 0+1)≥kx 02，即f （x 0）≥kx 02，与题矛盾， ∴综上所述，k ≥12时，对x ∈[0，+∞）有f （x ）≤kx 2成立， 则k 的最小值为12，故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在区域{（x ，y ）|x ∈[0，1]，y ∈[0，1]}内任取一点P （x ，y ），能满足y ≤√2x −x 2的概率为π4．【解答】解：其构成的区域如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1＝1，满足y ≤√2x −x 2所表示的平面区域是以（1，0）为圆心，以1为半径的半圆，其面积为S 2=π4，∴在区域内随机取一个点P ，则能满足y ≤√2x −x 2的概率P =π4， 故答案为：π414．（5分）在△ABC 中，2a sin A ＝（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C ，其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则角A 的大小为2π3．【解答】解：∵2a sin A ＝（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C ， ∴由正弦定理，角化边得：2a 2＝（2b +c ）b +（2c +b ）c ， 整理得：a 2＝b 2+c 2+cb ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12， 又∵A ∈（0，π）， ∴A =2π3， 故答案为：2π3．15．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，且△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为32；如果C 1与C 2在第一象限内有且只有一个公共点，且a =√5，那么C 2的方程为 x 2＝4y ．【解答】解：由题意可得抛物线的焦点F （0，p2），双曲线的渐近线的方程为：y =±ba x ，{x 2=2py y =−b ax，可得x =−2pb a ，y =2pb2a 2， 设交点A （−2pb a，2pb 2a 2），B （2pb a，2pb 2a 2），因为△OAB 的垂心为C 2的焦点，所以AF ⊥OB ，即AF →⋅OB →=0， 即（2pb a，p2−2pb 2a ）•（2pb a，2pb 2a ）＝0，整理可得：4b 2＝5a 2，即b 2=54a 2，所以离心率e =c a =√1+b 2a2=√1+54=32；联立双曲线与抛物线的方程可得：{x 2=2py b 2x 2−a 2y 2=a 2b 2，a =√5，所以b 2=54a 2=254整理可得：4y 2﹣10py +25＝0，由题意可得△＝100p 2﹣4×4×25＝0，p ＞0，解得p ＝2， 所以抛物线的方程为：x 2＝4y ， 故答案分别为：32，x 2＝4y ．16．（5分）设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为8π3．【解答】解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， 则当圆锥体积最小时，如图，由△AOE ～△ACF 可得：1r=√(ℎ−1)2−12ℎ，即r =√ℎ−2ℎ，∴圆锥的体积V =13πr 2h =πℎ23(ℎ−2)=π3[（h ﹣2）+4ℎ−2+4]≥8π3．当且仅当h ﹣2＝2即h ＝4时取等号． ∴该圆锥体积的最小值为8π3．故答案为：8π3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n }满足a n +1＝3a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2，n ∈N *），且a 1＝1，a 2＝3． （1）求证：数列{a n +1﹣a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）记b n ＝（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】（1）证明：依题意，当n ≥2时，由a n +1＝3a n ﹣2a n ﹣1，可得 a n +1﹣a n ＝2a n ﹣2a n ﹣1＝2（a n ﹣a n ﹣1）． ∵a 2﹣a 1＝3﹣1＝2，∴数列{a n +1﹣a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n +1﹣a n ＝2•2n ﹣1＝2n ，n ∈N *．则a 2﹣a 1＝2， a 3﹣a 2＝22， …a n ﹣a n ﹣1＝2n ﹣1．各项相加，可得 a n ﹣a 1＝2+22+…+2n ﹣1，∴a n ＝1+2+22+…+2n ﹣1=1−2n1−2=2n ﹣1． ∴a n ＝2n ﹣1，n ∈N *．（2）由（1）知，b n ＝（n +1）a n ＝（n +1）（2n ﹣1）＝（n +1）•2n ﹣（n +1）． 构造数列{c n }：令c n ＝（n +1）•2n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝c 1+c 2+…+c n ＝2•21+3•22+…+（n +1）•2n ，2T n＝2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，两式相减，可得﹣T n＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝4+22−2n+11−2−（n+1）•2n+1＝﹣n•2n+1．∴T n＝n•2n+1．∵b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）＝c n﹣（n+1），∴S n＝b1+b2+…+b n＝（c1﹣2）+（c2﹣3）+…+[c n﹣（n+1）]＝（c1+c2+…+c n）﹣[2+3+…+（n+1）]＝T n−n(2+n+1)2＝n•2n+1−n(n+3)2．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．【解答】（1）证明：设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴侧面A1C⊥底面ABC．∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴OB⊥AC．∴OB⊥侧面AC1．∵OO1∥BB1，OO1＝BB1，E，F是中点，∴EBOF是平行四边形．∴EF∥OB，∴EF⊥侧面AC1．又EF⊂平面AEC1，∴截面AEC1⊥侧面AC1；（2）解：∵AA 1＝A 1B 1＝1，∴AE =EC 1=√12+(12)2=√52，AC 1=√12+12=√2，∴△AEC 1的面积为12×√32×√2=√64． 又∵A 到平面B 1BCC 1的距离为√32，△B 1EC 1的面积为12×12×1=14． 设B 1到平面AEC 1的距离为d ， ∵V B 1−AEC 1=V A−B 1EC 1， ∴13×d ×√64=13×√32×14，∴d =√24．即，B 1到平面AEC 1的距离为√24．19．（12分）一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为12，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q 币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q 币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q 币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q 币个数X 的数学期望（收益＝收入﹣支出）．【解答】解：（1）记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A ＝B +C ．∵P(B)=124×122=164，P(C)=C43124×124=164，∴P(A)=P(B)+P(C)=1 32．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．∵由（1）知P(X=5)=1 32，又P(X=1)=124×(1−122)+C43124×(1−124)=932．∴X的概率分布为：X﹣115P1116932132因此，EX=−1×1116+1×932+5×132=−14．20．（12分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为4√6的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ 的角平分线时，求直线PQ的方程．【解答】解：（1）A（4，0），设圆心C（x，y），线段MN的中点为E，则由圆的性质得：ME=MN2，CA2＝CM2＝ME2+EC2，∴（x﹣4）2+y2＝4+x2，即y2＝8x．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），由题意可知y12=8x1，y22=8x2．（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得y1x1+1=−y2x2+1，∴y1y1+8+y2y2+8=0，∴（y1+y2）（8+y1•y2）＝0，∴8+y1•y2＝0．设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．∴8﹣8n＝0，即n＝1．由于，|PQ|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√64m2+32=4√6，∴m2=1 2，因此，直线PQ的方程为x±√22y−1=0．（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，|PQ|=4√6，可得直线PQ的方程为x＝3．综上，直线PQ的方程为x±√22y−1=0或x＝3．21．（12分）设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+1x=ax+1x．（ⅰ）当a≥0，由f'（x）＞0可得f（x）是增函数，这时函数f（x）没有最大值也没有最小值，（ⅱ）当a＜0，函数f（x）在区间(0，−1a)上是增函数，在区间(−1a，+∞)上是减函数，所以，x=−1a时，f（x）取得最大值f(−1a)=−ln(−a)，且f（x）无最小值；（2）由已知可得，a≤e x−1+lnxx对x＞0时恒成立，令F(x)=e x−1+lnx x，则F′(x)=e x+lnxx2=x2e x+lnxx2，令G（x）＝x2e x+lnx，则G′(x)=(x2+2x)e x+1x＞0，所以G（x）是增函数，又∵当x→0时，G（x）→﹣∞，G（1）＝e＞0，因此，方程x2e x+lnx＝0有唯一解x0∈（0，1），所以当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，函数F（x）单调递增，所以，函数F（x）在x＝x0时取得最小值，由于x02e x0+lnx0=0，所以x0e x0=−lnx0x0=1xln1x=e ln1x0ln1x0，构造函数φ（x）＝xe x，易证φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x 0=ln 1x 0，即lnx 0＝﹣x 0，所以，F(x 0)=1x 0−1+lnx 0x 0=−lnx 0x 0=1， 因此，a ≤1，所以a 的取值范围为：（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =4t 1−t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=√102cos(θ+π4)．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B 两点，定点M （√5，0），求1|MA|−1|MB|的值．【解答】解：（1）∵x =1+t 21−t 2，∴t 2=x−1x+1≥0，∴x ＜﹣1或x ≥1．∵4x 2−y 2=4[(1+t 21−t 2)2−4t 2(1−t 2)2]=4，∴C 的直角坐标方程为x 2−y 24=1(x ≠−1)．∵ρ=√102cos(θ+π4)，∴√2ρ(cosθ−sinθ)=√10，∴x −y =√5， ∴直线l 的直角坐标方程为x −y −√5=0． （2）由（1）可设l 的参数方程为{x =√5+√22ty =√22t （t 为参数），代入C 的方程得：32t 2+4√10t +16=0，其两根t 1，t 2满足t 1+t 2=−8√103，t 1t 2=323． ∴1|MA|−1|MB|=1−t 1−1−t 2=t 1−t 2t 1t 2=±√(t 1+t 2)2−4t 1t 2t 1t 2=±12．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f （x ）＝|ax |（x 2﹣4）﹣|x ﹣2|（x +1）． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若∃x ∈（2，+∞），使得不等式f （x ）＜0成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，原不等式可化为|x |（x 2﹣4）﹣|x ﹣2|（x +1）＜0．（*） （ⅰ）当x ＜0时，（*）化为，（x ﹣2）（x 2+x ﹣1）＞0， 所以，−1−√52＜x ＜0；（ⅱ）当0≤x ≤2时，（*）化为（x ﹣2）（x 2+3x +1）＜0， 所以，0≤x ＜2；（ⅲ）当x ＞2时，（*）化为（x ﹣2）（x 2+x ﹣1）＜0， 所以，无解；综上，a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为{x|−1−√52＜x ＜2}． （2）当x ∈（2，+∞），原不等式f （x ）＜0化为：|a |x （x ﹣2）（x +2）﹣（x ﹣2）（x +1）＜0，∴|a|＜x+1x(x+2)． 由于函数φ(x)=x+1x(x+2)=1(x+1)−1x+1在x ∈（2，+∞）上是减函数，∴φ(x)＜φ(2)=38．∴∃x ∈（2，+∞），使得不等式f （x ）＜0成立，必须使|a|＜38． 因此，−38＜a ＜38．。
2020届河南省平顶山许昌济源高三第一次质量检测数学(理)试题
………装___________姓名………装绝密★启用前 2020届河南省平顶山许昌济源高三第一次质量检测数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 14等于（ ） A ．1+ B ．1-+ C ．1 D ．1-- 2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式3sin()y x k ωϕ=++，据此可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 3．ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，||1a =r ，||2b =r 则CD =u u u r （ ） A ．2133a b +r r B ．1233a b +r r C ．3455a b +r r D ．4355a b +r r 4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、○…………订…………○…………线※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………订…………○…………线个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数2()sin cos33xf x x=+的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．NqM=B．MqN=C．NqM N=+D．MqM N=+6．设函数222121log,02()1log,02x x xf xx x x⎧⎛⎫++>⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪-+<⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f a f a>-，则实数a的取值范围是（）A．11,0,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．11,,22⎛⎛⎫--∞⋃+∞⎪⎝⎭⎝⎭C．110,22⎛⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．11,22⎛⎛⎫---∞⋃⎪⎝⎭⎝⎭7．若直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(2,1)，则2a b+的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．68．已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴A ．13B ．12C ．23D ．34 9．对于复数a b c d ,,,，若集合{},,,S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b ===时，b c d ++等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．i10．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =．沿BD 将ABCD 折成60︒ 的二面角A BD C --，则折后直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值为（ ） A ．4 B C．4D ．14 11．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．54 12．已知函数()()–ln 1f x x x =+对[0,)x ∈+∞有()2f x kx ≤成立，则k 的最小值为（ ） A ．1 B ．12 C ．e D ．2e 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．在区域,0,{()|[],[]}10,1x y x y ∈∈内任取一点(,)P x y ，能满足y ≤概率为______． 14．在ABC ∆中，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则角A 的大小为______． 15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线与抛物线2……○…………订※※装※※订※※线※※内※……○…………订______；如果1C 与2C 在第一象限内有且只有一个公共点，且a =2C 的方程为____________． 16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为_______． 三、解答题 17．已知数列{}n a 满足()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，且11a =，23a =．（1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中点．（1）求证：截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）若1111AA A B ==，求1B 到平面1AEC 的距离19．一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为12，且能否找到其它宝藏相互独立．．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q 币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q 币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q 币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q 币个数X 的数学期望（收益=收入-支出）．20．已知动圆过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）已知点()–1,0B ，长为PQ 的两端点在轨迹C 上滑动．当x 轴是PBQ ∠的角平分线时，求直线PQ 的方程． 21．设函数()1ln f x x x α=++（a R ∈为常数）． （1）讨论函数()f x 可能取得的最大值或最小值；． （2）已知0x >时，()xf x xe ≤恒成立，求a 的取值范围． 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）．以坐标原点О为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）设l 与C 相交于A ，B 两点，定点M ，求11||MA MB -的值． 23．设函数()()()2421f x ax x x x =---+． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若2),x ∃∈+∞（，使得不等式()0f x <成立，求a 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】利用复数的四则运算法则对原式进行化简计算可得答案.【详解】2421====-， 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的四则运算法则，相对简单.2．C【解析】【分析】由题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值.【详解】由题意可得当sin()x ωϕ+取得最小值-1时，函数取最小值min 325y k k =-+=∴=， 3sin()+5y x ωϕ∴=+因此当sin()x ωϕ+取得最大值1时，函数取最小值max 358y =+=.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了学生实际应用，综合分析，数学运算能力，属于中档题.3．A【解析】【分析】 根据三角形的内角平分线定理，得到12BD BC AD AC ==，再由CD CA AD =+u u u r u u u r u u u r ，将各个向量用,a b r r 表示出来，即可求解．【详解】由题意，因为CD 平分ACB ∠，可得12BD BC AD AC ==, 又因为AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，所以222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ， 所以22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，其中解答中熟记三角形的内角平分线定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．C【解析】【分析】由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60，可得2sin3x y =与cos3y x =的周期，可得()f x 的最小正周期.【详解】解：由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60 故可得：2sin 3x y =的周期13T π=, cos3y x =的周期223T π=, 12T T 、的最小公倍数为6π，故()f x 的最小正周期为6π.故选：C.【点睛】本题主要考查周期的相关知识及知识迁移与创新的能力，属于中档题.5．D【解析】【分析】通过题意与框图进行分析判断，可得空白框内应填入的表达式.【详解】解：由题意结合框图可得：程序执行的过程时，如果输入的成绩不小于60分就及格，就把变量M 加1，即变量M 为统计成绩及格的人数，否则，由变量N 统计成绩不及格的人数，总人数由变量i 进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩终止循环，由q 表示及格率，可得M q M N=+， 故选：D.【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，熟练程序框图并结合题意进行判断时解题的关键. 6．A【解析】【分析】根据函数的解析式和已知条件()()f a f a >-，分0a >和0a <，两种情况讨论，即可求解．【详解】 由题意，函数222121log ,02()1log ,02x x x f x x x x ⎧⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩， 不妨设0x >，则0x -<，可得()()2212211log ()log ()22f x x x x x f x -=++=-++=-， 所以函数()f x 为定义域上的奇函数，又由()()f a f a >-，可得()()f a f a >-，即()20f a >，即()0f a >，当0a >时，可得221log ()02a a ++>，即2112a a ++>，解得12a >； 当0a <时，可得2121log ()02a a -+>，即21012a a <-+<0a <<， 综上可得实数a的取值范围是⎫⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理应用函数的奇偶性，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．B【解析】【分析】 由题意可得211a b +=，再利用“乘1法”与基本不等式可得答案. 【详解】 解：由题意得：直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(2,1)，可得211a b+=，可得：21222(2)()4()15549b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=+=， 故选：B.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟练利用“乘1法”是解题的关键.8．A【解析】试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a -⇒22221)33b b b ac e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+. 9．B 【解析】试题分析：集合{},,,S a b c d =中a b c d ,,,各不相同21,11a b b ==∴=-Q 21c c i ∴=-∴=±，由已知“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”可知c i =时d i =-，c i =-时d i =1b c d ∴++=-考点：复数运算点评：在计算,,b c d 的值时要注意验证已知中的对任意,x y S ∈，必有xy S ∈是否成立和集合元素的互异性 10．B 【解析】 【分析】取CD 的中点E ，连接,AE BD 交于点O ，推得AOE ∠为二面角A BD C --的平面角，即60AOE =︒∠，再由由面面垂直的性质定理，推得AF ⊥平面BCD ，得到ACF ∠为AC 与平面BCD 所成的角，在直角CEF ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取CD 的中点E ，连接,AE BD 交于点O ， 在图（1）中，正方形ABCD ，则AC BD ⊥， 即在图（2）中，,AO BD EO BD ⊥⊥，所以AOE ∠为二面角A BD C --的平面角，即60AOE =︒∠，又在AOE ∆中，60AO EO AOE ==∠=︒，所以AOE ∆等边三角形，取EO 的中点F ，则AF EO ⊥，且224AF ==， 由面面垂直的性质定理，可得AF ⊥平面BCD ，所以ACF ∠为AC 与平面BCD 所成的角，设ACF θ∠=，在CEF ∆中，1,1354EF CE CEF ==∠=o ，由余弦定理可得22222132cos135()121()4428CF EF CE EF CE =+-=+-⨯=o ，解得CF =，所以tan AF CF θ==，所以cos θ= 故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记二面角的平面角和直线与平面所成角的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于中档试题． 11．B 【解析】试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C 31×A 33=18种； ②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A 32×C 32×A 22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A 32×C 31×C 21×A 22=72种； 由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种， 故选B ．考点：排列、组合的实际应用． 12．B 【解析】 【分析】先判定0k ≤时不符合题意，再由0k >时，令()()22ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-，求得()[2(12)]1x kx k g x x -⋅--'=+，分类讨论求得函数()g x 的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，函数()()–ln 1f x x x =+对[0,)x ∈+∞有()2f x kx ≤成立，当0k ≤时，取1x =时，可得()11ln 20f =->，所以0k ≤不符合题意，舍去； 当0k >时，令()()22ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-，则()1[2(12)]1211x kx k g x kx x x -⋅--'=--=++， 令()0g x '=，可得10x =或21212kx k-=>-， （1）当12k ≥时，则1202k k-≤，则()0g x '<在[0,)+∞上恒成立， 因此()g x 在[0,)+∞单调减，从而对任意[0,)x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=， 即对任意[0,)x ∈+∞，都有()2f x kx ≤成立，所以12k ≥符合题意； （2）当102k <<时，1202k k->，对于()12(0,),02k x g x k -'∈>，因此()g x 在12(0,)2k k -内单调递增， 所以当12(0,)2kx k-∈时，()()000g x g ≥=，即存在()200f x kx ≤不成立， 所以102k <<不符合题意，舍去，综上可得，实数k 的取值范围是12k ≥，即实数k 的最小值为12． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与最值，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意，构造新函数，分类讨论得出函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能，属于中档试题． 13．4π【解析】 【分析】先求得区域,0,{()|[],[]}10,1x y x y ∈∈表示面积1S =，再求得y ≤为114S π=，利用面积比的几何概型，即可求解． 【详解】由题意，区域,0,{()|[],[]}10,1x y x y ∈∈表示一个边长为1的正方形，其面积1S =，又由y ≤220x x y -+≤，即22(1)1x y -+≤，表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆在正方形内部的部分， 如图所示，其面积为114S π=, 由面积比的几何概型，可得概率为14S P S π==， 故答案为：4π．【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N=求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 14．23π 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得222a b c bc =++，再由余弦定理，求得1cos 2A =-，即可求解． 【详解】由题意，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++由正弦定理化简得22(2)(2)a b c b c b c =+++，整理得222a b c bc =++，又由余弦定理，可得2221cos 22b c a A bc +-==-， 又因为(0,)A π∈，所以23A π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解． 15．3224x y = 【解析】 【分析】由双曲线1C 的渐近线与抛物线2C 联立，求得0x =或2pb x a =±，取2222(,)pb pb A a a ，设垂心(0,)2p H ，得到2244AH b a k ab-=，再根据垂心的性质，求得2254a b =，利用离心率的定义，可求得双曲线的离心率，再由双曲线与抛物线的联立方程组，利用0∆=，求得2p =，即可得到抛物线的方程． 【详解】由题意，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，与抛物线22:2(0)C x py p =>联立，可得0x =或2pbx a =±， 取2222(,)pb pb A a a，设垂心(0,)2p H ，则222224224AHpb pb a a k pb ab a--==， 因为OAB ∆的垂心为2C 的焦点，所以22414b a bab a-⨯=-，整理得2254a b =，即22254()a c a =-，即2294a c =，所以32c e a ==，又由a =2254b =，所以曲线2214:1525x y C -=，与抛物线22:2C x py =联立方程组，可得2241525py y -=，即2410250y py -+=，因为曲线1C 与2C 在第一象限内有且只有一个公共点，所以2(10)44250p ∆=--⨯⨯=，解得2p =，所以22:4C x y =．故答案为：32，24x y =． 【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程，及其简单的几何性质的综合应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 16．83π【解析】 【分析】根据三角形形式得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式，即可求解． 【详解】如图所示，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当圆锥的体积最小小球与圆锥侧面相切，由AOE ACF ∆∆:，可得1r =，即r =， 所以圆锥的体积2214[(2)4]33(2)32h V r h h h h πππ===-++--84]33ππ≥⨯=，当且仅当422h h -=-，即4h =等号成立， 所以圆锥体积的最小值为83π． 故答案为：83π．【点睛】本题主要考查了圆锥的几何结构特征，以及体积公式与基本不等式的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．17．（1）证明见解析，21n n a =-；（2）1(3)22n n n n S n ++=⨯-【解析】 【分析】（1）由1132n n n a a a +-=-，整理得112n nn n a a a a +--=-，得出1{}n n a a +-是以2为公比，以2为首项的等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nn n b n a n n =+=+-+，利用等差数列的前n 项和公式和“乘公比错位相加法”，即可求得数列的前n 项和． 【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足()*11322,n n n a a a n n N+-=-≥∈，可得112()n n n n a a a a +--=-，*2,n n N ≥∈，即112n nn n a a a a +--=-，*2,n n N ≥∈，所以1{}n n a a +-是以2为公比，以212a a -=为首项的等比数列，所以12nn n a a +-=，*n N ∈，又由112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L 12222121n n n --=++++=-L (2)n ≥．当1n =，11a =成立，所以数列{}n a 的通项公式为21nn a =-．（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nn n b n a n n =+=+-+，所以122232(1)2(231)nn S n n =⨯+⨯+++⨯-++++L L ． 令122232(1)2nA n =⨯+⨯+++⨯L ， 则231222322(1)2nn A n n +=⨯+⨯++⨯++⨯L ，两式相减得23114(222)(1)22nn n A n n ++-=++++-+⨯=-⨯L ，解得12n A n +=⨯，又由(3)2312n n n +++++=L ，故1(3)22n n n n S n ++=⨯-． 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等．18．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）设O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，1AC 与1A C 相交于F ，//EF OB ，OB ⊥侧面1AC ,可得EF ⊥侧面1AC ，截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）求出1AEC V 、11B EC V 的面积及A 到平面11B BCC ，由1111B AEC A B EC V V --=可得1B 到平面1AEC 的距离. 【详解】解：（1）设O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，1AC 与1A C 相交于F ．∵111ABC A B C －是正三棱柱，∴侧面1A C ⊥底面ABC ． ∵O 是正三角形ABC 边AC 的中点，∴OB AC ⊥． ∴OB ⊥侧面1AC ．∵11//OO BB ，11OO BB =，E ，F 是中点， ∴EBOF 是平行四边形．∴//EF OB ，∴EF ⊥侧面1AC ．又EF 平面1AEC ，∴截面1AEC ⊥侧面1AC ．（2）∵1111AA A B ==，则1AE EC ===，1AC ==1AEC V 的面积为12⨯=又因为A 到平面11B BCC 11B EC V 的面积为1111224⨯⨯=．设1B 到平面1AEC 的距离为d ， ∵1111B AEC A B EC V V --=，∴111334d ⨯=，∴4d =．即，B 1到平面1AEC ． 【点睛】本题主要考查面面垂直及线面垂直的判定定理及三棱锥体积的计算，属于中档题，注意灵活运用三棱锥的性质及面面垂直的判定定理解题. 19．（1）132；（2）EX =14-【解析】 【分析】（1）记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A =B +C ，利用互斥事件的概率的加法公式，即可求解． （2）记一局游戏结束能收益X 个Q 币，得到{1,1,5}X ∈-，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，求得数学期望． 【详解】（1）由题意，记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A B C =+, 因为42111()2264P B =⨯=，3444111()2264P C C =⨯=， 所以1()()()32P A P B P C =+=． （2）记一局游戏结束能收益X 个Q 币，那么{1,1,5}X ∈-，由（1）知1(5)32P X ==， 又34424411119(1)(1)(1)222232P X C ==⨯-+⨯-=．∴X 的概率分布列为：所以EX =119111151632324-⨯+⨯+⨯=-． 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确求解相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．20．（1）28y x =；（2）102x y ±-=或3x = 【解析】 【分析】（1）设圆心(,)C x y ，线段MN 的中点为E ，由圆的性质得2222CA CM ME EC ==+，结合两点间的距离公式，即可求解．（2）当PQ 与x 轴不垂直时，由x 轴平分PBQ ∠，得121211y yx x =-++，设直线:PQ x my n =+，利用根与系数的关系，求得1n =，进而解得212m =，得出直线的方程；当PQ 与x 轴垂直时，取得直线PQ 的方程为3x =． 【详解】（1）由题意，动圆过定点(4,0)A ，设圆心(,)C x y ，线段MN 的中点为E ，连接ME ，则CE y ⊥，则由圆的性质得2MN ME =，所以2222CA CM ME EC ==+， 所以222(4)4x y x -+=+，整理得28y x =．当0x =时，也满足上式，所以动圆的圆心的轨迹方程为28y x =．（2）设11(,)P x y ，11(,)Q x y ，由题意可知2118y x =，2228y x =．（ⅰ）当PQ 与x 轴不垂直时，120y y +≠，120y y ⋅<， 由x 轴平分PBQ ∠，得121211y yx x =-++， 所以122212088y y y y +=++，所以1212()(8)0y y y y ++⋅=，整理得1280y y +⋅=，设直线:PQ x my n =+，代入C 的方程得：2880y my n --=． 则128y y n ⋅=-，所以880n -=，解得1n =，由于12PQ y =-==212m =，因此直线PQ 的方程为102x y ±-=．（ⅱ）当PQ 与x 轴垂直时，PQ =，可得直线PQ 的方程为3x =．综上，直线PQ 的方程为102x y ±-=或3x =．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21．（1）最大值ln()a --，无最小值；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）求得函数()f x 的导数11()ax f x a x x+'=+=，分类讨论求得函数的单调性和最值； （2）转化为1ln e x x a x +≤-对0x >时恒成立，令1ln ()e xx F x x+=-，利用导数求得函数()G x 的单调性和最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数()1ln f x x x α=++的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x+'=+=．（ⅰ）当0a ≥，由()0f x '>可得()f x 是增函数，这时函数()f x 没有最大值也没有最小值． （ⅱ）当0a <，函数()f x 在区间1(0,)a -上是增函数，在区间1(,)a-+∞上是减函数， 所以，1x a =-时，()f x 取得最大值1()ln()f a a-=--，且()f x 无最小值． （2）由0x >时，()xf x xe ≤恒成立，可得1ln e xxa x+≤-对0x >时恒成立， 令1ln ()e xx F x x +=-，则222ln ln ()x xx x e x F x e x x'+=+=， 令2()e ln xG x x x =+，则21()(+2)e 0xG x x x x'=+>， 所以()G x 是增函数，因此，方程2e ln 0x x x +=有唯一解0(0,1)x ∈， 所以函数()F x 在0x x =时取得最小值，由于000200000000111e ln 0e ln e ln x x x x x x x x x x x +=⇔=⇔=⇔=-， 所以00000011ln ln ()1x x F x x x x +=-=-=，因此1a ≤． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．（1）221(1)4y x x -=≠-，0x y --=；（2）12±. 【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的关系进行转化可得答案；（2）由（1）可得l的参数方程为,22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，联立直线的参数方程与C 的一般方程，结合韦达定理，可得11||MA MB -的值. 【详解】解：（1）∵2211t x t +=-，∴2101x t x -=≥+，∴1x <-或1x ≥． ∵222222221)1(1)444[(]4t x y t t t -=---=+， ∴C 的直角坐标方程为221(1)4y x x -=≠-．∵2cos()4ρθ=+(cos sin )θθ-=x y -=∴直线l的直角坐标方程为0x y --=．（2）由（1）可设l的参数方程为,22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入C的方程得：231602t ++=，其两根1t ，2t满足12t t +=12323t t =．∴1212121211111||||2t t MA MB t t t t --=-===±--． 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标与直角坐标的互化及直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 23．（1）{|2}x x <<；（2）3388a -<<． 【解析】 【分析】（1）将1a =代入原不等式，分0x <、02x ≤≤、2x >进行讨论可得解集； （2）将原不等式()0f x <化为：||(2)(2)(2)(1)0a x x x x x -+--+<， 可得1||(2)x a x x +<+，设1()(2)x x x x ϕ+=+，由()x ϕ的单调性可得a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，原不等式可化为2||(4)|2|(1)0x x x x ---+<．（*） （ⅰ）当0x <时，（*）化为，2(2)(1)0x x x -+->，0x <<； （ⅱ）当02x ≤≤时，（*）化为2(2)(31)0x x x -++<， 所以，02x ≤<；（ⅲ）当2x >时，（*）化为2(2)(1)0x x x -+-<， 所以，无解；综上，a =1时，不等式()0f x <的解集为{2}x x <<． （2）当(2,)x ∈+∞，原不等式()0f x <化为：||(2)(2)(2)(1)0a x x x x x -+--+<，∴1||(2)x a x x +<+．由于函数11()1(2)(1)1x x x x x x ϕ+==++-+在(2,)x ∈+∞上是减函数，∴3()(2)8x ϕϕ<=． ∴(2,)x ∃∈+∞，使得不等式()0f x <成立，必须使3||8a <． 因此，3388a -<<． 【点睛】本题主要考查解绝对值不等式及函数恒成立的问题，相对不难，注意分类讨论思想的运用.。
2020年许昌市一模考试数学试卷(含答案)
2020年许昌市一模考试数学试卷（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 16-的相反数是（ ）A ．6B ．-6C ．16D ．16-2. 新冠肺炎疫情期间，粮食安全问题受到许多国家的重视．据新华社报道，我国粮食总产量连续5年稳定在6 500亿公斤以上，粮食储备充足，口粮绝对安全．将数据“6 500亿”用科学记数法表示为（ ） A ．65×1011B ．6.5×1011C ．65×1012D ．6.5×10123. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=35°时，∠2的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°124. 下列计算正确的是（ ）A ．3a -2a =1B ．2a 2+4a 2=6a 4C ．(x 3)2=x 3D ．x 8÷x 2=x 65. 桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图所示，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个组合体的左视图为（ ）121212321ABCD6. 不等式组113322x x x x ⎧⎪+⎨-⎪<+⎩≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B．C ．D．7. 九年级一班同学根据兴趣分成A ，B ，C ，D ，E 五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图，则D 小组的人数是（ ） A ．10人B ．11人C ．12人D ．15人小组E AB CD86.4°10%8. 在二次函数y =x 2+2x -3中，当-3≤x ≤0时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，-4B ．0，-3C ．-3，-4D ．0，09. 如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．若四边形ABEF 的周长为12，∠C =60°，则四边形ABEF 的面积是（） A ．B ．12C ．2D ．6G 21PABCDE F10. 如图，在正方形ABCD 中，顶点A (-1，0)，C (1，2)，点F 是BC 的中点，CD与y 轴交于点E ，AF 与BE 交于点G ．将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第99次旋转结束时，点G 的坐标为（ ）A ．(35，45)B ．(45-，35)C ．(35-，45)D ．(45，35-)二、填空题（每小题3分，共15分）11.计算：21(1)22-⎛⎫π+-= ⎪⎝⎭___________．12. 方程(x +2)(x -3)=x +2的解是___________．13. 在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．恰好选中甲、乙两位同学的概率为______．14. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，C 是OA 的中点，D 是AB ︵的中点，连接CD ，CB ．若OA =2，则阴影部分的面积为__________．C15. 如图，在△ABC 中，AB =ACB =30°，D 是BC 上一点，连接AD ，把△ABD 沿直线AD 折叠，点B 落在B′处，连接B′C ，若△AB′C 是直角三角形，则BD 的长为_________．B′D CB A三、解答题（本大题8个小题，共75分）16. （8分）先化简，再求值：22222212x y xxy x xy y x y xy-⋅÷-+-，其中x ，y 满足2yx=．17. （9分）为普及防治新型冠状病毒感染的科学知识和有效方法，不断增强同学们的自我保护意识，学校举办了新型冠状病毒疫情防控网络知识竞答活动，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级的三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100． 整理数据：分析数据：（1）请直接写出表格中a ，b ，c ，d 的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；（3）为了让同学们重视疫情防控知识的学习，学校将给竞答成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共600人，试估计要准备多少张奖状？18. （9分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点（不与点A ，B 重合），D 是AC ︵的中点，DE ⊥AB 于点E ，过点C 作半圆O 的切线，交ED 的延长线于点F ．（1）求证：∠FCD =∠ADE ； （2）填空：①当∠FCD 的度数为________时，四边形OADC 是菱形； ②若AB=CF ∥AB 时，DF 的长为________．19. （9分）数学兴趣小组想测量河对岸两颗大树C ，D 之间的距离．如图所示，在河岸A 点测得大树C 位于正北方向上，大树D 位于北偏东42°方向上．再沿河岸向东前进100米到达B 处，测得大树D 位于北偏东31°方向上．求两颗大树C ，D 之间的距离．（结果精确到1米．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）31°42°东DCBA20. （9分）某商场销售A ，B 两种型号的电风扇，进价及售价如下表：A，B两种型号的电风扇，全部售完后获利6 000元，求商场4月份购进A，B两种型号电风扇的数量；（2）该商场5月份计划用不超过42 000元购进A，B两种型号电风扇共300台，且B种型号的电风扇不少于50台；销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售．那么商场如何进货才能使利润最大？21.（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法探究分段函数1121x x y x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤（）（）的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A (72，y 1)，B (5，y 2)，C (x 1，52)，D (x 2，6)在函数图象上，则y 1_________y 2，x 1__________x 2；（填“＞”，“=”或“＜”） ②当函数值y =1时，求自变量x 的值；（4）若直线y =-x +b 与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b 的取值范围．22. （10分）（1）发现如图1，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 边上，连接CE ． 填空：①∠DCE 的度数是__________；②线段CA ，CE ，CD 之间的数量关系是____________． （2）探究如图2，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，点D 在BC 边上，连接CE ．请判断∠DCE 的度数及线段CA ，CE ，CD 之间的数量关系，并说明理由． （3）应用如图3，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =6．若点D 满足DB =DC ，且∠BDC =90°，请直接写出DA 的长_________．图1ED CBA图2ABC DE图3CBA23. （11分）如图，直线y =-2x +c 交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B ，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A ，B ． （1）求抛物线的解析式；（2）点M (m ，0)是线段OA 上一动点（点M 不与点O ，A 重合），过点M 作y轴的平行线，交直线AB于点P，交抛物线于点N．若NP=2AP，求m的值；（3）若抛物线上存在点Q，使∠QBA=45°，请直接写出相应的点Q的坐标．2020年许昌市一模考试数学试卷参考答案一、选择题1-5CBCDD6-10ACACB二、填空题11.1-12.24x x=-=或13.1 614.22π-15.三、解答题16.22222212x y xxy x xy y x y xy-⋅÷-+-解：2()()1()()1x y x y xy x yxy x y x x yxyx+--=⋅⋅-+==+∵2yx=，∴代入得，原式123=+=．17.（1）4；83；85；90；（2）2班成绩比较好，因为随机抽取的10名同学中，2班成绩的中位数和众数都比1班和3班的高；（3）80张．18.（1）证明略；（2）①301．19.两棵大树之间的距离为300米．20.（1）商场4月份购进A种型号电风扇100台，B种型号电风扇50台；（2）购进A种型号电风扇200台，B种型号电风扇100台才能使利润最大．21.（1）2；23；（2）图略；第 11 页 共 11 页 （3）①＞；＞；②x =-2,0或2；（4）b -1<<b >3．22. （1）①120°；②CA CE CD =+；（2）∠DCE =90°CE CD =+，理由略；（3）．23. （1）抛物线的解析式为26y x x =-++；（2）52m =； （3）12450(20)39Q Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．。
平顶山许昌济源2020届高三数学第一次质量检测试题理含解析
②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；
2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种;
【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程，及其简单的几何性质的综合应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
16。设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为_______．
【答案】
【解析】
15。平面直角坐标系xOy中，双曲线 的渐近线与抛物线 交于点O，A，B，且 的垂心为 的焦点,则 的离心率为______；如果 与 在第一象限内有且只有一个公共点，且 ,那么 的方程为____________．
【答案】 （1）. (2).
【解析】
【分析】
由双曲线 的渐近线与抛物线 联立，求得 或 ,取 ，设垂心 ，得到 ，再根据垂心的性质，求得 ，利用离心率的定义，可求得双曲线的离心率，再由双曲线与抛物线的联立方程组，利用 ,求得 ，即可得到抛物线的方程．
又在 中, ,所以 等边三角形，
取 的中点 ,则 ，且 ，
由面面垂直的性质定理，可得 平面 ,
所以 为 与平面 所成的角，设 ，
在 中, ，
由余弦定理可得 ，
解得 ,所以 ,所以 ．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记二面角的平面角和直线与平面所成角的定义，准确计算是解答的关键,着重考查了推理与论证能力，以及计算能力,属于中档试题．