北师大版九年级下册知识点总结
北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总
北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总函数1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量通过特定的规律映射为唯一的因变量。
函数的定义包括自变量与因变量的关系式及定义域、值域。
2. 函数的性质函数有唯一性和有界性两个重要性质，还有奇偶性、周期性等其他性质。
其中，绝对值函数、反比例函数、幂函数、指数函数等具有一定的特殊性质。
3. 函数图像函数图像是将函数的自变量与因变量的关系绘制在直角坐标系中所得到的图形。
在绘制函数图像的过程中，需要研究函数的单调性、零点、极值等特点。
三角函数1. 角度制与弧度制在三角函数中，角的度量单位可以是角度制和弧度制。
角度制是以度数作为单位，弧度制是以弧长所对应的圆心角的度数作为单位。
两种度量方式可以相互转换。
2. 常用三角函数常用三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
在计算中，需要掌握三角函数的各种性质和公式，如正弦定理、余弦定理、正切定理等。
3. 解三角形解三角形是指通过给定的三角形中的一些已知量求解其余未知量的过程。
在解三角形时，常用的方法包括正弦定理、余弦定理、正切定理等。
解析几何1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基本工具。
在平面直角坐标系中，直线可以表示成一元一次方程，圆可以表示为二元二次方程。
2. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离、相切和相交三种情况。
通过圆心的坐标与半径，可以确定圆的位置关系。
3. 解析几何中的重点知识点解析几何中还有许多重要的知识点，如向量的基本概念与性质、平面向量的数量积和叉积、直线和平面的方程等。
概率统计1. 随机事件随机事件是指在试验过程中，其结果不能确定的事件。
随机事件可以用事件的概率来描述。
2. 概率和事件的运算概率是指某个随机事件在所有可能事件中出现的概率。
概率可以用加法原理、乘法原理和条件概率等进行计算。
3. 抽样调查和统计图表的制作概率统计的重要应用包括抽样调查和统计图表的制作。
在抽样调查中，需要考虑样本的大小与抽样误差；在统计图表的制作中，需要了解直方图、折线图、饼图等基本图形的制作方法。
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新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，．．即tan A=∠A的对边;∠A的邻边①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；③tanA不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
2.正弦：．．定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sin A=∠A的对边;斜边3.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos A=∠A的邻边;斜边锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值sinαcosαtanα30º1245º60º3233222213212Bi=h:lhC A图13l图2三．三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。
用字母i表示，即．．．．．．．．．．．．．i=h=tan A l5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
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新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1. 正切：定义：在中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A的正切 ，记作 tanA ，Rt △ABC．．的对边;即tan AA的邻边A① t anA 是一个完满的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠〞；②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比；③tanA 不表示“ tan 〞乘以“ A 〞；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大， 梯子越陡， ∠A 越大； ∠A 越大， 梯子越陡， tanA 的值越大。
2. 正弦：．．定义：在 Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sinA ，即A 的对边 ; sin A斜边3. 余弦：定义：在 Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cosA ，即A 的邻边 ; cos A斜边锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正 切之也随之变化。
二．特别角的三角函数值30 o45 o60 osin α1 2 3Bi=h:lhcos α321222tan α3133三．三角函数的计算1.仰角 : 当从低处察看高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2.俯角：当从高处察看低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特别角的三角函数值表，能够看出，(1) 当角度在 0°～ 90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大 ( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 ) ；余弦值随着角度的增大(或减小 )而减小 ( 或增大 ) 。
(2)0 ≤ sin α≤ 1，0≤ cosα≤ 1。
4.坡度：如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度( 或坡比 ) 。
用字母 i．．．．．．．．．．．．．表示，即 i htan A l5.方向角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方向角．．．。
北师大版九年级(下)数学知识点归纳总结
第一章直角三角形的边角关系九年级下册第1节锐角三角函数一、锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°【说明】①三角函数表示的是两边的比值，所以它只是一个数值，没有单位。
②当用一个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sin A，cos B，tan C；当用一个希腊字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sinα，cosβ，tanθ；当用三个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠ABC，cos∠DEF，tan∠GHI；当用一个阿拉伯数字表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠1，cos∠2，tan∠3。
③如果要表示三角函数的倍数与乘方，应分别表示为2 sin A，3cos B，4tan C，sin2A，cos3B，tan4C；2 sin30°，3cos30°，4tan30°，sin230°，cos330°，tan430°。
二、坡度1、坡度的概念如图所示，我们把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比值叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示。
【说明】坡面的坡度实际上就是坡角的正切值，即i＝tanα＝hl2、三角函数与坡面的陡峭程度（1）tan A的值越大，坡面越陡。
（2）sin A的值越大，坡面越陡。
（3）cos A的值越小，坡面越陡。
三、锐角三角函数的增减性（0°~90°）1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；2、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；3、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。
四、同角三角函数的关系1、互余关系：sinA ＝cos(90°－A) cosA ＝sin(90°－A)2、平方关系：s in 2A ＋cos 2A ＝13、弦切关系：tan A ＝sin cos AA4、倒数关系：tan A ·tan(90°－A)＝1第2节 30°，45°，60°角的三角函数值一、探索30°，45°，60°角的三角函数值求30°角的三角函数值，关键根据“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，可设30°的锐角的对边为a ，则斜边为2a ，由勾股定理可求得30°3a ，因此可以求出30°的锐角的各个三角函数值：sin30°＝2a a ＝12 cos30°3a3 tan30°3a 33也可以求出60°的锐角的各个三角函数值：sin60°3a ＝3 cos60°＝2a a ＝12tan60°3a 3求45°角的三角函数值，关键根据“有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形”，可设一条直角边为a ，则另一条直角边也为a 2a ，因此可以求出45°的锐角的各个三角函数值：sin45°2a 22 cos45°2a 2 tan45°＝aa ＝1二、熟记特殊角的三角函数值第3节三角函数的计算一、用计算器求任意锐角的三角函数值1、求整数度数的锐角的三角函数值首先使计算器的面板上出现DEG，然后再按sin cos tan这三个键之一，再从高位向低位按出表示度数的整数，再按键＝，就可以在显示屏上得到答案。
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图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
新北师大版九年级数学下册知识点复习汇总
新北师大版九年级数学下册知识点汇总第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比；③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值图1 图3 图4三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lh i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
北师大九年级下册知识点
北师大九年级下册知识点北师大九年级下册是中学学习过程中的重要一部分，下面我将为您详细介绍九年级下册的知识点，希望对您的学习有所帮助。
一、语文知识点九年级下册语文知识点主要包括诗歌、散文、小说、修辞、写作等方面。
在诗歌方面，要学会欣赏古代和现代的脍炙人口的诗歌作品，了解不同的诗歌形式和艺术特点。
在散文方面，要学习欣赏不同类型的散文，了解其中所蕴含的思想感情。
在小说方面，要重点阅读名著作品，理解其中的情节、人物性格以及主题思想。
在修辞方面，要掌握基本修辞方法，提高自己的写作能力。
写作方面，要注重写作技巧和修辞手法的运用，积累词汇和表达能力。
二、数学知识点九年级下册数学知识点主要包括代数、几何、函数、统计与概率等内容。
在代数方面，要学习解一元二次方程、分式方程等高级代数知识，掌握方程的变形和解法。
在几何方面，要研究线段、角、面积、体积等基本几何概念，并能运用相关定理解决几何问题。
在函数方面，要学习函数的概念和性质，研究函数的图像、性质和运算。
在统计与概率方面，要学习统计学的基本概念和方法，了解概率的定义和性质，并能应用到实际问题中。
三、英语知识点九年级下册英语知识点主要包括语法、词汇、阅读、写作等方面。
在语法方面，要学习基本句型和语法规则，掌握句子结构和语法用法。
在词汇方面，要积累词汇量，拓展词汇应用范围，提高阅读和写作的能力。
在阅读方面，要学会理解和分析不同类型的英语文章，提高阅读速度和理解能力。
在写作方面，要注重写作技巧和表达能力的培养，学会运用各种句型和词汇进行写作。
四、物理知识点九年级下册物理知识点主要包括力学、热学、光学、电学等内容。
在力学方面，要了解牛顿定律和万有引力定律，并能应用到实际问题中。
在热学方面，要学习热传递的基本原理和方法，了解物体的热性质和温度计的原理。
在光学方面，要学习光的传播和反射、折射的基本规律，理解镜像和透镜的成像原理。
在电学方面，要学习电荷、电流、电场等基本概念，理解电路的组成和工作原理。
北师大版《数学》(九年级下册)知识点总结
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 北师大版《数学》（九年级下册）知识点总结图 1 北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册) 第一章直角三角形边的关系※一. 正切：定义：在RtABC△中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切．．，记作 tanA，即的邻边的对边AAA tan; tanAtanAtanA①②③④初中阶段，我们只学习直角三角形中，tanA⑤的值越大，梯子越陡，※二. 正弦．．：是一个完整的符号，它表示没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中不表示tan乘以A； A的正切，记号里习惯省去角的符号A ；的对边与邻边的比； A是锐角的正切；越大，梯子越陡， tanA 的值越大。
A越大； A定义：在RtABC△中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA ，即斜边的对边AA sin; ※三. 余弦：定义：在RtABC△中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AA cos; ※余切：定义：在RtABC△中，锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，即的对边的邻边AAA cot; ※一个锐角的正弦、余弦、1/ 16正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若A为锐角，则①)90cos(sinAA；)90sin(cosAA②)90cot(tanAA； )90tan(cotAA※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出， (1)当角度在 0 ～90 间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
北师大版九年级数学(下)全书知识总结
（2） 的值越大，梯子越陡。
（3） 的值越小，梯子越陡。
3、导出公式
（1） ； 。
（2） 。
（3） .
要点诠释：
(1)公式成立的条件是
(2)锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
1.230°、45°、60°角的三角函数值
要点一、1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45°
1
60°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 ，则锐角 ．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时， ， ，tanA＞0．
要点二、梯子的倾斜程度与梯子的关系
1、坡度：坡面的铅直高度 与水平宽度 的比称为坡度（或坡比）,用字母 表示。设坡角为 ，则坡度 = = ,如图，坡度通常写成 的形式.
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a＞0
向上
（0，0）
y轴
x＞0时，y随x增大而增大；
x＜0时，y随x增大而减小.
当x=0时，
y最小=0
y=ax2
a＜0
向下
（0，0）
y轴
x＞0时，y随x增大而减小；
北师大版初三(下)数学重点知识点汇总
初三（下）重点知识点汇总第1课锐角三角函数1．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的______，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2．锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是___值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．3．互余两角三角函数的关系在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的______值，即sinA=（90°﹣∠A）；（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的______值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．参考答案：1.（1）正弦；（2）余弦；（3）正切2.（1）正3.（1）余弦正弦第2课特殊角的三角函数值1．特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；2．特殊角的三角函数值的应用（1）应用中熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐_______，余弦逐渐_______，正切逐渐_______；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（2）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．参考答案：1. 30°、45°、60°2.（1）增大减小增大第2课解直角三角形（1）1．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：__________；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边：斜边=a：c，cosA=∠A的邻边：斜边=b：c，tanA=∠A的对边：邻边=a：b．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2．特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；参考答案：1.（2）a2+b2=c22. 30°、45°、60°第3课解直角三角形（2）1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．参考答案：2.（1）坡比3.（1）向上看向下看第4课二次函数1．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为_____，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是__________，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．2．二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是______________，对称轴直线____________，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．3．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．参考答案：1.（1）整式；（2）全体实数2.（﹣，）x=﹣①上；②下3.自变量第5课二次函数的图像1．二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①_______：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②_______：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③_______：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．2．二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的______和_______．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大，开口就越___．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状____，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．参考答案：1.（1）①列表；②描点；③连线；2.①开口方向大小小3.不变第6课二次函数解析式的判定1．二次函数解析式的三种常见形式二次函数的解析式有三种常见形式：①_________：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②_________：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③_________：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；2．待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为________来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为_______来求解．参考答案：1.①一般式；②顶点式；③交点式2. 一般式 顶点式 交点式第7课 用函数观点看一元二次函数1．二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x 轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此______就是方程ax bx c 20++=的一个根。
北师大版九年级下册数学知识点
北师大版九年级下册数学知识点北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x 3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
北师大九年级数学下知识点
北师大九年级数学下知识点北师大九年级数学下的知识点是学习数学的重要内容，涵盖了数学的各个方面。
本文将就北师大九年级数学下的知识点进行探讨和介绍，帮助同学们更好地学习和理解这些知识。
一、代数部分在代数部分，北师大九年级数学下主要学习了线性方程组、不等式、函数、图像、平面坐标系等内容。
其中，线性方程组是代数中一个重要的概念，它描述了多个线性方程的集合。
学习线性方程组时，我们要掌握解线性方程组的方法以及应用，如高斯消元法等。
在不等式部分，我们需要理解代数不等式的性质，并能够解决实际问题。
此外，函数也是这一部分的重点，我们需要理解函数的概念、性质以及图像。
二、几何部分在几何部分，九年级的数学下主要学习了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆的性质等内容。
三角函数是数学中的基础概念之一，它描述了角和边之间的关系。
我们需要掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义与性质，并能运用它们解决实际问题。
相似三角形是几何中的一个重要概念，它描述了两个三角形在形状上的相似关系。
我们需要理解相似三角形的性质，能够判断两个三角形是否相似，并能运用相似三角形解决几何问题。
三、概率与统计部分在概率与统计部分，我们学习了概率的定义、性质以及计算方法。
概率是描述事件发生可能性大小的数值，我们需要掌握概率的基本概念和计算方法。
此外，统计也是这一部分的重点，我们需要理解统计样本的概念、统计图表的绘制以及利用统计数据解决实际问题。
四、课外拓展除了以上的主要知识点外，九年级数学下还有一些课外拓展的内容，如数列、向量等。
数列是数学中的一个重要概念，它描述了一系列数按一定规律排列的集合。
我们需要理解等差数列、等比数列的概念和计算方法，并能够应用数列解决实际问题。
向量是代数和几何的桥梁，它描述了有大小和方向的量。
我们需要掌握向量的概念、性质以及计算方法，并能应用向量解决几何和物理问题。
总结起来，北师大九年级数学下的知识点很多，涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面。
新北师大版九年级数学下册知识点总结
新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章：有理数1. 有理数的概念：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、负整数和零，分数包括正分数和负分数。
2. 有理数的比较：两个有理数的大小可以通过比较它们的大小关系来确定。
3. 有理数的加法和减法：有理数的加法和减法遵循相同数相加减法则。
第二章：平面直角坐标系1. 平面直角坐标系的概念：平面直角坐标系是一个有序数对的平面，其中包括横轴和纵轴。
2. 坐标的表示方法：在平面直角坐标系中，点的位置可以用坐标表示，横坐标表示横轴上的位置，纵坐标表示纵轴上的位置。
3. 点的位置关系：在平面直角坐标系中，有不同的点的位置关系，如同一点、同一直线、同一平面等。
第三章：相似三角形1. 相似三角形的概念：两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的各对应角相等，对应边成比例。
3. 判断相似三角形的方法：可以通过判断三角形的角度和边长是否成比例来确定两个三角形是否相似。
第四章：代数式1. 代数式的概念：由数、字母和运算符号组成的式子称为代数式。
2. 代数式的运算：代数式可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
3. 代数式的化简：将代数式中的同类项合并，进行合并加减法运算。
第五章：线性方程与方程组1. 线性方程的概念：一次方程称为线性方程，形如ax + b = 0。
2. 解线性方程的方法：可以通过逆运算求解线性方程，将方程两边加上同一个数或将方程两边乘以同一个数。
3. 方程组的概念：包含多个方程的组合称为方程组。
以上是新北师大版九年级数学下册的知识点总结，希望对你有帮助！。
新北师大九年级数学下册知识点总结
图 1图 3图4新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
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北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册)第一章 直角三角形边的关系※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦．．： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=图1※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tg α·ctg α=1。
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2；(2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：;cot ,tan ,cos ,sin a bA b aA c bA c aA ====;cot ,tan ,cos ,sin baB abB caB cbB ====(4)面积公式:chc ab 2121S ==∆(hc 为C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径2cb a r -+=(6)直角三角形的外接圆半径c R 21=◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：图 3图4※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。
如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
第二章 二次函数※二次函数的概念：形如)0(2≠++=，a a 、、b、c bx ax y 是常数的函数，叫做x 的二次．．函数．．。
自变量的取值范围是全体实数。
)0(2≠=a ax y 是二次函数的特例，此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围．．．．．．．．。
※二次函数y ＝ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．．．。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y 轴(或称直线x ＝0)。
③当a ＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。
当a ＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：A 、当a ＞0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时x y x x y x B 、当a ＜0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时x y x x y x⑤当｜a ｜越大，抛物线开口越小；当｜a ｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a ＞0，且x ＝0时函数有最小值，最小值是0；当a ＜0，且x ＝0时函数有最大值，最大值是0． ※二次函数c ax y +=2的图象是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线图2 h i=h:l BC※二次函数c bx ax y ++=2的图象是以ab x 2-=为对称轴，顶点在（a b 2-，ab ac 442-）的抛物线。
（开口方向和大小由a 来决定） ※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越慢。
※二次函数c ax y +=2的图象中，a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
※二次函数c bx ax y ++=2的图象与y ＝ax 2的图象的关系：c bx ax y ++=2的图象可以由y ＝ax 2的图象平移得到，其步骤如下：①将c bx ax y ++=2配方成k h x a y +-=2)(的形式；（其中h=ab2-，k=a b ac 442-）；②把抛物线2ax y =向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；③再把抛物线2)(h x a y -=向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到k h x a y +-=2)(的图象。
※二次函数c bx ax y ++=2的性质：二次函数c bx ax y ++=2配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=则抛物线的①对称轴：x =a b2-②顶点坐标：（ab 2-，a b ac 442-） ③增减性： 若a>0，则当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小．．．．．；当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大。
．．．．．．若a<0，则当x<a b 2-时，y 随x 的增大而增大．．．．．；当x>ab 2-时，y 随x 的增大而减小。
．．．．．．④最值：若a>0，则当x=a b 2-时，a b ac y 442-=最小；若a<0，则当x=ab2-时，ab ac y 442-=最大※画二次函数c bx ax y ++=2的图象：我们可以利用它与函数2ax y =的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：①先找出顶点（ab 2-，a b ac 442-），画出对称轴x=a b 2-；②找出图象上关于直线x=ab2-对称的四个点（如与坐标的交点等）； ③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k 的形式求得，也可以借助图象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：①理解问题；②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； ③用数学的方式表示它们之间的关系；④做数学求解；⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数c bx ax y ++=2的图象(抛物线)与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根※抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：ac b 42->0 <===> 抛物线与x 轴有2个交点； ac b 42-=0 <===> 抛物线与x 轴有1个交点；ac b 42-<0 <===> 抛物线与x 轴有0个交点（无交点）；※当ac b 42->0时，设抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，则这两个点之间的距离：2122121224)()(||||1x x x x x x x x AB -+=-=+=化简后即为：)04(||4||22>--=ac b a ac b AB ------ 这就是抛物线与x 轴的两交点之间的距离公式。
第三章 圆一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O 叫做圆心．．；以点O为圆心的圆，记作⊙O，．．；线段OA叫做半径读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆．心．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。
二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。
直径：经过圆心的弦叫做直径．．。
②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。