渗流力学-第五章

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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
无限大地层中一口生产井自投产后产量以Q(t)函数关系生产
思路：用叠加方法来处理，把区间[0，t]分成n等分 。
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
r2 当 4t 0.01 时：
r2 4t 2.25t Ei ( ) ln 2 0.5772 ln 4t r r2
其误差小于0.25％。
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
实际运算时，当
r2 0.01 时，一般采用近似公式： 4t
p(r , t ) po
3. 抛物线方程（热扩散、热传导方程）：
2p 2p 2p p ( 2 ) 2 2 x y z t

K C t
导压系数，压力波向周围传播的速度，cm2/s。
Ct—综合压缩系数， Ct aCL C f
单位体积地层岩石在单位压力降下排除的液体体积，MPa-1 8。
第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
（一）渗流过程的数学描述
渗流数学模型
1 p 1p (r ) r r r t
p(r , t )t 0 po
控制方程、综合方程
初始条件
p(r , t ) r po
外边界条件
p Q r (r x 2 y 2 ) 内边界条件 r r R 2Kh
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
2. 边界对渗流的影响（镜像反映 ）
（1）直线断层一侧有一口生产井
镜像反映：两汇
压力分布：
Q ( x a )2 y 2 p( x , y , t ) po { E i [ ]} 4Kh 4 t Q ( x a )2 y 2 { E i [ ]} 4Kh 4 t ( x 0)
第四、掌握不稳定试井的原理及其方法。
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
第一节 弹性不稳定渗流的物理过程
本节要点
第一、“弹性驱动”的原因和机理—处于高压状态的岩石和液体发生
膨胀—岩石和其中所含液体本身的弹性能作为渗流动力的驱动方式。
第二、弹性不稳定渗流的压力波传播的两个阶段。
第三、弹性不稳定渗流的物理过程—根据油井工作制度（内边界条
第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
（二）数学模型的求解
?
所要求解的
1 p 1p (r ) r r r t
是一个二阶偏微分方程，不能直接求解。
解法：
解析解
分离变量法 积分变换法, etc
半解析解（试井分析）
数值解（数值模拟）
基本思想：偏—常；高—低
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
3. 井以变产量生产问题
如果无限大地层中有一口生产井，自某时刻开始生产，从t=0 到t=t1，产量为Q1，从t=t1以后，产量为Q2，现在求地层压力分布。
Q1 r2 (Q2 Q1 ) r2 p2 ( x, y, t ) po [ Ei ( )] { E i [ ]} 4Kh 4t 4Kh 4 (t t1 )
第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
本章要点
第一、对于弹性不稳定渗流的过程，掌握压力波传播 的两个阶段，产量的构成及其驱动能量。
第二、掌握弹性不稳定渗流的数学描述（渗流数学模 型），了解模型解的方法，掌握基本解的应用。 第三、理解和掌握叠加原理，应用弹性不稳定渗流的 基本解解决一源一汇、两汇、直线断层旁一口生产井、 直线供给边界旁一口生产井的情况。
若井点不在坐标原点，而在点(x1,y1)处，则投产后压力分布为：
Q ( x x1 ) 2 ( y y1 ) 2 p( x, y, t ) po ] Ei [ 4Kh 4 (t t0 )
幂积分函数可以展开成下面的无穷级数
r2 4t r2 1 r2 2 Ei ( ) ln 2 0.5772 ( ) 4t r 4t 4 4t
流动对称性(沿径向)
( x, y) (r , )
r x y
2 2
2
2 p 2 p 2 p 1 p 1 p 2 (r ) 2 2 x y r r r r r r
综合方程，控制方程__
1 p 1 p (r ) r r r t
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w
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
弹性不稳定渗流
2 p 2 p 2 p 1 p 2 2 2 t x y z
水平等厚地层
p 0 z
2 p 0 2 z
2 p 2 p 1 p 2 2 t x y
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
)]
式中：Qj—分别为各井的产量；rj—分别为各井到所研究的点的距离； tj—分别为各井从投产时刻起到 t 时刻的时间。生产井以－Q代入。
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
（1）无限大地层中等产量的两口生产井 这样选择坐标系，使两井井点
坐标分别为(a，0)和(-a，0)。此时 地层中任一点处任一时刻表达式可 写成：
Q ( x a )2 y 2 ( x a )2 y 2 po p( x, y, t ) { E i [ ] Ei [ ]} 4Kh 4 t 4t
在x=0处的压力：
p Q 2a [ 2 e x x0 4Kh a y 2
a2 y2 4 t
所求的解：
Q eu p(r , t ) po du r2 4Kh 4t u
如果应用幂积分函数：
Ei ( x)
x
e u du u
( x 0)
幂积分函数的数值 可查幂积分函数表， 见附表。
则我们的解可表达成：
Q r2 p(r , t ) po ) Ei ( 4Kh 4t
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
（2）直线供给边缘一侧有一口生产井
镜像反映：一源一汇
压力分布：
Q ( x a )2 y 2 p( x , y , t ) po { E i [ ]} 4Kh 4t Q ( x a )2 y 2 { E i [ ]} 4Kh 4 t ( x 0)

A
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
不同内边界和边界条件下压力波的传播
供给边界，井底定产
供给边界，井底定压
封闭边界，井底定产
封闭边界，井底定压
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
第二节 无限大地层定产条件弹性不稳定渗流基本解
本节要点 1 渗流过程的数学描述—渗流数学模型； 2 渗流方程的求解方法和过程—基本解； 3 基本解的理解和应用
件—定产和定压）和外边界条件（封闭和供给）分为四种情况。
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
单相不稳定渗流的物理过程
地层压力降传播分两个阶段： ①压力降传播到边界之前 产量的构成及变化： 液体的弹性膨胀 ②压力降传播到边界之后
Q
Q1 Q2
岩石固体颗粒的弹性膨胀
外边界补充的能量
Q=Q1+Q2 第一阶段：Q2＝0，；随着时间t的增加，Q1下降， Q2增加,当t→∞时，Q1＝0， Q=Q2。
Q ( x a )2 y 2 Q ( x a )2 y 2 po p( x, y, t ) { E i [ ]} { E i [ ]} 4Kh 4t 4Kh 4 t
在x=0处的压力： Q a2 y2 Q a2 y2 p x 0 po { E i [ ]} { E i [ ]} po 4Kh 4 t 4Kh 4t 因而在任何时刻，坐标轴x=0都是一条等压线，即y轴是一条等压线。
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
Q
Q2 Q1 Q0 Q0 Q3
Q
t1
t2
t3
t
t1
t2
t
p
j 1
n
(Q j Q j 1 ) 4Kh
Ei(
2 Rw 4 ( t t j )
)

p
Q0 Q0 R2 R2 Ei ( 4wt ) Ei ( 4 ( tw T ) ) 4Kh 4Kh
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
第二节 无限大地层定产条件弹性不稳定渗流基本解
（一）渗流过程的数学描述
1 所讨论研究问题（地质模型） 水平、均质、等厚无限大地层中存在一个生产井 (完善井)， 从某一时刻（t=0）起以定产量Q生产，弹性不稳定渗流。 假定：地层原始压力为Po，地层渗透率为K，有效厚度为h, 导压系数为，以井点为原点建立坐标系。
在井底处（r=Rw）t 时刻时的压力为：
Rw 2 Q pw (t ) po ) Ei ( 4Kh 4t
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
若井投产时间不是t=0，而是t=t0时刻，则投产以后压力分布应为：
Q r2 p(r , t ) po ] Ei [ 4Kh 4 (t t0 )
4. 压力恢复测试（不稳定试井）
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论
1. 叠加原理
在均质、等厚无限大地层中，从某一时刻开始同时有两口井 投入生产，它们相距2a，产量各为Q1和Q2，现要求出两井投产后 任一时刻，地层各点的压力分布规律 。
?
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第五章 单相微可压缩液体弹性不稳定渗流理论