灌南高级中学高二数学学案：数系的扩充选修一

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高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充教案苏教版选修1-2(2021学年)

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3。

１数系的扩充和复数的引入【教材分析】教材地位和作用:数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,体现了数学发生发展的客观需求．通过学习,学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性,体会人类理性思维在数系扩充中的作用,有助于提高学生的数学素养．复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备。

教材处理办法:精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体,使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则。

在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了.重点:数系扩充的过程和方法，复数的相关概念.难点：数系扩充的过程和方法，虚数的引入.【教学目标】知识目标:了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念.能力目标：发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识．情感目标：初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值,崇尚数学具有的理性精神和科学态度,树立辩证唯物主义世界观.【教学方法】教学模式：“4+1”教学模式教学方法:开放式探究,启发式引导,互动式讨论,反馈式评价.学习方法：自主探究,观察发现，合作交流，归纳总结。

高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案

高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程(一)问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二)回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。

大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。

现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。

(三)类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?2、历史重现：3、探究复数的一般形式：(四)新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。

(五)复数的分类(六)复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。

课后小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。

高二数学选修1-2教案：3章数系的扩充与复数的引入教材分析

《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．●教学目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．●教学重点（1）数系的扩充过程．（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．（3）复数的几何意义．●教学难点（1）虚数单位i的引进．（2）复数的几何意义．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义．●课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．（3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”．从这上点上看，《课标》要求降低了．●教学建议1．关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议（1）课题的引入．教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：①在自然数集N中，方程10x+=有解吗？②在整数集Z中，方程21x=有解吗？③在有理数集Q中，方程2x＝2有解吗？④在实数集R中，方程．有解吗？（2）回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程．帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．可让学生思考如下问题：一一对应① 从自然数集N 扩充到实数集R 经历了几次扩充？② 每一次扩充的主要原因是什么？③ 每一次扩充的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展．（3）提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程210x +=在新的数集中的解？（4）引入虚数单位i ．（5）学习复数的概念．（6）规定复数相等的意义．（7）研究复数的分类．（8）告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由： ① ,a bi c di a c b d +=+⇔==；在,a c b d ==两式中，只要有一个不成立，则a bi c di +≠+．② 如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小．③ “不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“＜”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a ，b 来说，a b <，a b =，b a <这种情况有且只有一种成立；如果,a b b c <<，那么a c <；如果a b <，那么a c b c +<+；如果,0a b c <<，那么ac bc <．2．关于“复数的几何意义”的教学建议（1）帮助学生认识复数的几何表示．复数的几何表示就是指用复平面内的点Z （,a b ）来表示复数z a bi =+．① 明确“复平面”的概念．② 建立复数集C 和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系，即复数z a bi =+ 复平面内的点Z （,a b ）．（2）帮助学生认识复数的向量表示．复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z a bi =+．①认识复平面内的点Z （,a b ）与向量OZ 的一一对应关系．② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z a bi =+一一对应一一对应一一对应点Z （,a b ）向量OZ（3）用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识．在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点（原点除外）一一对应，非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应．可通过一组练习题来强化这一认识．第二节复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算．●教学目标（1）掌握复数代数形式的加减运算法则．（2）了解复数代数形式的加减运算的几何意义．（3）理解复数代数形式的乘除运算法则．（4）体验复数问题实数化的思想方法．●教学重点（1）复数代数形式的加减运算及其几何意义．（2）复数代数形式的乘除运算．（3）复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用．●教学难点（1）复数代数形式的加减运算的规定．（2）复数代数形式的加减运算的几何意义的理解．（3）复数代数形式的乘除运算法则的运用．●教学时数本节教学，建议用2课时．第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第2课时研究复数代数形式的乘除运算．●课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算，《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：（1）《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了数形结合思想方法；（2）《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法．●教学建议1．复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性．这种合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立．2．复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数减法和除法的运算法则．3．复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用21i =-，将它们归结为实数的四则运算．在具体运算情境中，引入共轭复的概念，明确公式22a bi a bi a b+-=+是复数除法中“分母实数化”的()()基础，不必让学生专门计忆复数除法法则．从而让学生体验复数问题实数化的思想方法．4．要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加减运算的几何意义．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 3.1 数系的扩充》

《数系的扩充》导学案一、问题导学（一）从社会发展角度看数的发展自然数的出现分数的出现为了计数的需要引入了；为了引入了；负数的出现无理数的出现为了引入了；为了引入了（二）从数学内部角度看数的发展问题1 在自然数集中方程02=-x 有解吗问题2 在自然数集中方程02=+x 有解吗问题3 在整数集中方程012=-x 有解吗问题4 在有理数集中方程022=-x 有解吗问题5 在实数集中方程012=+x 有解吗虚数单位i 并规定：（1）i =2 ；（2）可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的运算律仍然成立二、阅读自学b a z +=∈b a ,R ）的数叫做，全体复数所组成的集合叫做，记作其中a 与b 分别叫做复数z 的与2复数 b a z +=i ⎩⎨⎧时为纯虚数）（当）虚数（），实数（ 3 两个复数相等的充要条件是它们的和分别相等,即 ⇔三、尝试练习1你能说出一些复数吗2你能说出以上所列举复数的实部与虚部吗3下面的复数中，它们哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数72+，32-i ，72i ，0，)31(-i ，5i 8+，23-i ，i 2b a + a 23-=i ，则实数b a ,的值分别是 ,四、精讲提高例1 实数m 取什么值时,复数)1()1(-+-=m m m z i 是：1实数 2虚数 3纯虚数例2 已知)2()(y x y x -++i )3()52(y x x ++-=i ，求实数x ，y 的值五、巩固提升当实数m 取何值时，复数 )242()43(22--+-+=m m m m z i 是：（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）244--iab i=cd i , a,b,c,d ∈R六、回顾反思七、布置作业课本第67练习2-6题。

高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-21.doc

2019-2020年高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-212019-2020年高中数学第三章《数系的扩充与复数的概念》教案新人教A版选修1-2教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：（1）（2）（3）（4）3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。

出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。

④数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎧≠≠⎧⎧≠⎧⎧≠=⎧⎧实数(b=0)复数一般虚数(b 虚数(b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。

（讨论中，k 取何值时是实数？）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。

三、巩固练习：1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

高中数学选修1-2精品学案：第四章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充和复数的概念

第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4:两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∵-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∵i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∵∵a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∵θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∈B=CB.∈S A=BC.A∩(∈S B)=∈D.B∩(∈S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∵∵-7<m<3.∵当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2019年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∵∵m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∵x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∵m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∵即∵m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∵②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∵③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∵∵∵a=-3,∵a2-1=8,∵复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈∈.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∵∵∵n=1或n=-,m+n=3n,∵m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∵∵λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∵0<2x<2π,∵2x=或2x=,∵x=或.。

3.1 数系的扩充教案高中数学苏教版选修1-2

第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充●三维目标1．知识与技能了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位；理解复数的有关概念与复数的分类；理解并掌握复数相等的定义．2．过程与方法体会实际需要与数学矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．3．情感、态度与价值观体会数学的发展来源于实践，又利于推动社会的发展进步和数学问题的解决，形成数学应用意识．●重点、难点重点：对引入复数的必要性的认识，复数的基本概念和复数相等的充要条件．难点：虚数单位i的引入和复数的基本概念．●教学建议1．关于复数概念的教学关于复数概念的教学，建议教师很好的利用课本中解决x2＝－1这一问题，让学生了解复数引入的背景，很好的理解虚数单位i的意义，以及复数的形式，掌握复数的实部与虚部的概念．2．关于复数分类的教学关于复数分类的教学，建议教师从复数的实部与虚部出发，让学生掌握复数的分类取决于实部与虚部的取值，并且通过例题让学生能够熟练地对复数的分类进行判断，另外注意与以前学过的数的衔接．3．关于复数相等的充要条件的教学关于复数相等的充要条件的教学，建议教师在教学中先让学生自学，再进行点拨，使学生从练习中体会将复数相等的问题转化为方程组解的问题的思想．●教学流程创设问题情景，结合知识点1、2中的问题引入复数的概念并分类，定义复数相等的充要条件．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握复数的概念、性质及应用．⇒通过例2及其互动探究，使学生理解复数的分类，求解的关键是列出实部、虚部应满足的条件(方程或不等式)．⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握两个复数相等的充要条件．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识和数学思想方法．若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？【提示】有解，x＝±i.1．虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：(1)i2＝－1；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数、复数集(1)形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(2)复数z＝a＋b i(az＝a＋b i(a，b∈R)，当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z是虚数；当a＝0且b≠0时，z是纯虚数．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，特别地，若a＋b i＝0⇔a＝b＝0.(1)若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；(2)当z∈C时，z2≥0；(3)若实数a与a i对应，则实数与纯虚数一一对应；(4)若a＞b，则a i＞b i.【思路探究】(1)理解复数的有关概念；(2)命题真假的判断，可根据复数的概念通过举反例的形式进行．【自主解答】(1)错误，当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立．(2)错误，当且仅当z∈R时，z2≥0成立，但z＝i时，z2＜0.(3)错误，当a＝0时，a i＝0，此时不满足实数与纯虚数对应．(4)错误，两个复数不全是实数不能比较大小．综上可知(1)、(2)、(3)、(4)四个命题均不正确．1．数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，这是特别应注意的，以防思维定势．2．在理解概念时，一定要抓住概念的本质，抓住新概念与以前知识的不同之处，尤其是应该满足的条件，利用举反例的形式否定一个命题是常用的方法．下列给出的四个命题：①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；④复数z＝－1＋i的虚部是i.其中，正确的命题个数是________．【解析】由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．两个虚数不能比较大小(除非均为实数)，②错．当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0不是纯虚数，③错．复数z ＝－1＋i 的虚部是1不是i ，④错． ∴正确的命题个数是0个．【答案】 0当实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？【思路探究】复数的分类标准→列出方程(不等式)(组) →解出m →结论【自主解答】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2.∴当m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，得m ＝－3. ∴当m ＝－3时，复数z 是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m ≠0的限制，从而产生增根，应引起注意．2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，考虑问题要全面．若例题中的复数“z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i ”改为复数“z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )”试求当a 为何值时，z 是实数？z 是纯虚数？【解】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，或a ＝6，a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．【思路探究】根据两复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等，列方程组求解．【自主解答】 ∵x ，y 为实数，∴2x －1，y ＋1，x －y ，－x －y 均为实数，由复数相等的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 因此实数x ＝3，y ＝－2.1．本题的解题关键是两复数相等的充要条件，要注意只有在代数形式下确定实部、虚部后才能运用复数相等的条件．2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝(3x ＋2y )＋y i ，求实数x 、y 的值．【解】由两复数相等的充要条件知：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∴实数x ＝－1，y ＝2.对纯虚数的概念把握不准致错实数m 取何值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数？【错解】由题意得m 2＋m －2m ＋3＝0，解之得m ＝－2或m ＝1.∴当m ＝－2或m ＝1时，复数z 是纯虚数．【错因分析】错解中忽略了“纯虚数的虚部不能为零”这一条件，从而产生了增解．【防范措施】 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，二者缺一不可．2．对复数分类时，切记复数的实部、虚部要都有意义．【正解】要使复数z 是纯虚数，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝1，m ≠－2且m ≠－3，∴m ＝1.故当m ＝1时，复数z 是纯虚数．1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R )不要只记形式，要注意b ≠0.2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解，为利用方程思想提供了条件．3．当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等．若两个复数全是实数，则可以比较大小；反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．(如a ＋b i>0(a ，b ∈R )⇔a ＞0且b ＝01．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．【解析】 2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2. ∴所求的复数z ＝2－2i. 【答案】 2－2i2．(2013·无锡高二检测)若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝________. 【解析】由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，即1＋x i ＝y ＋2i.根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i. 【答案】 2＋i3．若a －b －2i ＝1＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，－2＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴a 2＋b 2＝5. 【答案】 54．当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数？【解】若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0.解得m ＝3.故m ＝3时，z 为纯虚数．一、填空题1．(2012·北京高考)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．【答案】必要不充分2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a ＝________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4.【答案】－43．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，∴x ＝－1.【答案】－14．若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝b i ，a ，b 均为实数，且z 1＝z 2，则a －b ＝________. 【解析】由z 1＝z 2，得a ＝0，b ＝2， ∴a －b ＝－2. 【答案】－25．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则有下列结论： ①A ∪B ＝C ；②∁S A ＝B ；③A ∩∁S B ＝∅；④B ∪∁S B ＝C . 其中正确的是________．【解析】 ①显然错误；∁S A ＝{虚数}，故②错误；A ∩∁S B ＝A ，故③错误；④正确．【答案】 ④6．(2013·连云港高二检测)设a ∈R ，且a ＋2i 2为正实数，则a 的范围是________．【解析】 a ＋2i 2＝a －2为正实数， ∴a －2＞0，则a ＞2. 【答案】 (2，＋∞)7．下列说法正确的个数是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，其中C 为复数集，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )；②2＋i ＞1＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在．【解析】 ①中，由y ∈∁C R ，C 为复数集知，y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，不成立，故①错误；②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；③中，对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数，若a ＝－1，则(a ＋1)i 是0，不是纯虚数，故③错误；④中，实数的虚部为0，故④错误．【答案】 08．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)＞1，则实数x 的值为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)＞1，∴x ＝－2. 【答案】－2 二、解答题9．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值．【解】由纯虚数的定义知log 2(m 2－3m －3)＝0且log 2(m －2)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0且m －2≠1，解得m ＝4. 故实数m ＝4.10．(2013·徐州高二检测)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时，复数z 是(1)零；(2)纯虚数；(3)z ＝2＋5i.【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3＝0，可得m ＝1；(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0，可得m ＝0；(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＝2，m 2＋2m －3＝5，可得m ＝2；综上：当m ＝1时，复数z 是0；当m ＝0时，复数z 是纯虚数；当m ＝2时，复数z 是2＋5i.11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求复数z ＝y －x i.。

高中数学数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1

数系的扩充与复数的引入目标认知学习目标：1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示法及其几何意义；3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 重点：复数的概念，复数的代数运算及数系的扩充难点：对概念的准确理解以及复数的几种意义学习策略①复数是对数系的又一次扩充，对复数a bi +（,a b R ∈），既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部和虚部分解成两部分去认识它，这是理解复数问题的重要思路。

②复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；求解计算时，要充分利用i 的性质计算问题；③复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.知识要点梳理知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i :（1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；（3）i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；2.概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。

说明：这里,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. z a bi =+（,a b R ∈）(0)0(0)0b a b a =⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数纯虚数（）虚数非纯虚数（）N Z Q R C5.复数与实数、虚数、纯虚数、0的关系：对于复数z a bi =+（,a b R ∈）①当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；②当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；③当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；④当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0.6.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.说明：（1）.a bi c di a c b d +≠+⇐≠≠或（2）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（3）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.（4）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.6.共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，那么这两个复数叫做互为共轭复数.复数z 的共轭复数用z 表示。

高二数学教案《数系的扩充》高中数学选修2—2教案

《数系的扩充》高中数学选修2—2教案【目标】?1. 了解实数系扩充的原因和过程，理解虚单位i的概念，理解复数代数形式、实部、虚部、纯虚数、虚数等概念；?2. 理解复数相等概念，了解复数系与实数系的关系；?3. 感受数系的扩充和复数的诞生都是人类思想的创新和大解放，每次都引发对自然界更深层次的认识，推动了科学的进步.【重点】复数的诞生及其概念. 复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等.【难点】．虚单位i 的的概念. 虚单位i 的第二条性质.【程序】▲1.问题情境问题1 自然数集n、整数集z、有理数集q. 实数集r之间有怎样的包含关系呢？key: n z，z q，q r, 总之 n z q r,（数系扩充之意自见）.接着问：这些数是怎样产生的？key: 为了计数产生了自然数，为了表示各种具有相反意义的量产生了负数；为了测量等产生了分数为了度量正方形对角线的长产生了无理数.发现1：数集在按照某种“规则”不断扩充，（实践的需要、解决数学体系内部矛盾的推动）数系与运算联系紧密，（数集无运算，犹无弓之箭；运算离开数系，犹如无米之炊）.人们总希望数系中的运算能够在本数系中畅通无阻.数系的每一次扩充的效果，是解决了在原有数集中某种运算受阻的矛盾，负数解决了在正数集（如n）中不够减的矛盾，分数解决了在整数中不能整除的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.接着问：数系一般按照什么样的“规则”扩充？key: “规则”就是在原有数系的基础上“添加”新的数.▲2.实数系也面临着问题（内部矛盾）数系扩到实数系r以后，因为没有一个实数的平方等于－1.问题：这表明什么运算在实数系r中不能畅通无阻？（答：开方运算）从方程的观点看，像x2=－1这样的方程在实数系r还是无解的.让我们尝试来克服这个矛盾.▲ 3.大胆类比、解放思想评：自然数n中“添加”新数-1，就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”.在实数中引入了一个新数，也能取到这种效果吗？▲4.严格定义、理清思路我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定(1)它的平方等于-1，即 ;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.这就规定了虚数单位i的两条本质属性.▲5. “添加”虚数单位，诞生新的数系（1） i与实数相乘，得形如b i的数，当b≠0时，称b i为纯虚数. 这就“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”（2）形如b i的数与实数相加，得形如的数叫复数.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母c表示复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式▲6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系对于复数，当且仅当b=0时，复数是实数；当b≠0时，复数叫做虚数；当b≠0且=0时，叫做纯虚数；当且仅当=b=0时，z=+b i就是实数0.▲7.例题解析例1请说出复数4， 0，，6 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？由学生回答：例2 实数m取什么数值时，复数z=m （m-1）+(m－1)i是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？。

高中数学 3.1数系的扩充教学案苏教版选修1-2

课题：3.1数系的扩充教学目标: 1．经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求．2．理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．3．使学生感悟与体会数学的科学价值与文化价值，提高学生的数学素养．教学重点: 数系的扩充；复数概念的理解．教学难点: 引进虚数单位i 的必要性和合理性。

教学过程：一、问题情境：【问题1】将10分成两部分，使它们的乘积为16？【问题2】将10分成两部分，使它们的乘积为-24？【问题3】将10分成两部分，使它们的乘积为475？【问题4】将10分成两部分，使它们的乘积为23？【问题5】将10分成两部分，使它们的乘积为40？二、新知建构：（1）虚数单位（2）复数概念练习：指出下列复数的实部与虚部。

).31(,,0,72,618.0,72,85,2932-++-i i i i i 三、数学运用：例1．实数m 取什么值时，复数i m m m z )1()1(-+-=是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？练习：练习:当m 为何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例1变形：实数m 取什么值时，复数i m m m z )1()1(-+-=是 i 26+？例 2.已知i y x x i y x y x )3()52()2()(++-=-++，求实数y x ,的值。

四、课堂练习：已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1) z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .五、课堂小结：1.虚数单位i 的引入；2.复数有关概念。

im m m Z )1(222-+-+=。

高中数学第3章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充(1)学案苏教版选修1-2-苏教版高二

3．1 数系的扩充[学习目标] 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．[知识链接]为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i ，使i 是方程x 2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x 2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引]1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C 表示．2．复数的分类及包含关系 (1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .要点一复数的概念例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．规律方法复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪演练1 已知下列命题：①复数a ＋b i 不是实数；②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2；④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数；⑤若a 、b 、c 、d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c 且b ＝d .其中真命题的个数是________．答案 0解析根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②是假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立．要点二复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时复数z 是实数．(2)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 是虚数．(3)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔m ＝3.∴当m ＝3时复数z 是纯虚数．规律方法利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪演练2 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 要点三两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值． (2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715. 规律方法两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪演练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2. 1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．答案 ±2，5解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5. 2．在复数集中，方程x 2＋2＝0的解是x ＝________. 答案 ±2i 3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为________．答案 0解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋1)＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R )是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为________．答案 4解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．1.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.一、基础达标1．如果z ＝(m 2－4)＋(m －2)i 为纯虚数，则实数m 的值为________．答案－2解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4＝0m －2≠0，∴m ＝－2.2．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的________条件．答案必要不充分解析因为a ，b ∈R .“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数”．“复数a ＋b i 是纯虚数”则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．答案 2－2i解析设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为________．答案 1解析由复数相等的充要条件知， x ＋y ＝0，∴2x ＋y ＝20＝1.5．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝n 2－3m －1，－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝±2. 6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.答案－2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2.∴实数x ，y 的值分别为12，2. 二、能力提升8．若(x 3－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是________．答案 1解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝1.9．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为________．答案 2k π＋π4(k ∈Z ) 解析由题意，得⎩⎨⎧ sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________．①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根．答案 1解析因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，解得m ≠6且m ≠－3，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 12．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？解当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2，∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4，∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2.∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．三、探究与创新13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？解因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有错误!由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.。

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