高中数学排列与组合综合(二)挡板法和插空法讲义新人教A版选修2-3

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人教版数学高二选修2-3讲义第2课时排列的综合应用

第2课时排列的综合应用1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点) 2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理排列的综合应用阅读教材P18例3～P20，完成下列问题．1．解简单的排列应用题的基本思想2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．【解析】从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．【答案】482．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．【解析】把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．【答案】243．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．【解析】翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A35种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A35＝240种选派方案．【答案】2404．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．【解析】可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．【答案】186[小组合作型]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．【自主解答】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[再练一题]1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．【解析】问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.【答案】720排队问题7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．【自主解答】(1)先考虑甲有A13种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：A13A66＝2 160(种)．(2)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22·A 66＝1 440(种)． (3)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33·A 44＝144(种)．(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·A 77A 44＝420(种)．解决排队问题时应注意的问题1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入．3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．[再练一题]2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端.【导学号：29472015】【解】 (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A 36种站法，然后再排其他位置，有A 44种站法，所以共有A 36·A 44＝2 880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A 22种站法，其余5人全排列，有A 55种站法．故共有A 22·A 55＝240种不同站法．[探究共研型]数字排列问题探究1偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．探究2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．【自主解答】(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．解排数字问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．[再练一题]3．用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？(2)这些四位数中大于6 500的有多少个？【解】(1)偶数的个位数只能是2,4,6，有A13种排法，其他位上有A36种排法，由分步乘法计数原理知，共有四位偶数A13·A36＝360(个)．能被5整除的数个位必须是5，故有A36＝120(个)．(2)最高位上是7时大于6 500，有A36个；最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2A25个．故由分类加法计数原理知，这些四位数中大于 6 500的共有A36＋2A25＝160(个)．1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.【答案】 C2．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有() A．720 B．360C．240 D．120【解析】因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A55种排法，但甲、乙两人之间有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A55A22＝240种不同的排法．【答案】 C3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个.【导学号：29472016】【解析】先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．【答案】1444．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．【解析】分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．【答案】245．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？【解】法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。

高中数学人教A版选修2-3课件1-2-1排列

整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.所
以n个不同元素的全排列数公式可以写成 A =n!.另外,我们规定
!

0!=1.所以 A =
.
(-)!
特别提醒注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指从n个
不同元素中取出m个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列
空法解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排
列,共有A66 种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22 种排法,故共有A66 ×
A22 =1 440(种)排法.
(2)法一:(间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的
答案:60
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
简单的排列问题
例1 (1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学
习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等
奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?
(3)(插空法)
先排 4 名男生,有A44 种方法,再将 5 名女生插空,有A55 种方法,故共
有A44 ·A55 =2 880 种排法.
探究一
探究二
探究三
所以原方程的解为x=3.
反思感悟应用排列数公式时应注意的三个方面
(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.
(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算.
(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合

人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT课件

课堂小结：
基本的解题方法：
⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法” ；⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．
人教版高中数法:
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素捆绑在一起,视作为一个元素,与其余元素全排列,再松绑后它们之间进行全排列.这种方法就是捆绑法.
人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT 课件
三.插空法
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？
有A52 种;
第二步:剩下的全排列,有 A55种;
共有A52 A55＝2400种答：共有2400种不同的排列方法。
人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT 课件
人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT 课件
解法二:(特殊元素法) 第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个
⑴直接计算法
排列的限制条件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解决的办法是“特事特办”，对于这些特殊位置和元素，实行优先考虑，即特殊元素预置法、特殊位置预置法.
⑵间接计算法
先抛开限制条件，计算出所有可能的排列数，再从中减去不合题意的排列数，特别要注意：不能遗漏，也不能重复. 即排除法.

人教A版数学选修2-3全册课件：第一章 1.2 1.2.1 第一课时排列与排列数公式

[导入新知]
排列的个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！
1
排列的有关概念
用列举法解决排列问题
答案：B
排列数公
1.2
1.2.1
第第一一课时章
排列与排列数公式
1 理解教材新知
2 突破常考题型
3 跨越高分障碍 4 应用落实体验
知识点一知识点二题型一题型二
题型三
随堂即时演练课时达标检测
[提出问题]
排列的定义
问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？提示：不是．问题2：有几种排法？提示：2种，男—师—女，女—师—男． 2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．
[化解疑难] 排列定义的理解 (1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列． (2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同.
[提出问题]
排列数及排列数公式
问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？提示：4×3×2＝24个无重复数字的三位数．问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法．
问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确定下午的同学．问题2：有几种排法？提示：上午有3种，下午有2种，因此共有3×2＝6种排法．问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午．
[导入新知] 顺序

[推荐学习]高中数学排列组合方法精讲毒素材新人教A版选修2-3

排列组合方法精讲——思维方法的衍生法或派生法我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。

宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要 !为此下面就简单介绍一下高中代数中所讲到的排列组合的一些基础知识元素通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。

如若我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl２、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素……排列那么，一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。

例如：已知 a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。

对于初学者可以先画下图来算出：看上图 V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列(这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列)：有共 24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。

数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m2×m1×m3×……×m n种不同的方法。

据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N＝４×３×２＝２４种。

人教A版选修2-3 排列的应用课件(46张)

(1)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，
则不同的坐法种数为( C )
A．3×3!
B．3×(3！)3
C．(3！)4
D．9!
解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有 A33种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有 A33A33A33种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有 A33A33A33 A33，故选 C.
(2)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种．(用数字作答)
解析：先排除甲、乙外的 4 人，方法有 A44种，再将甲、乙插入这 4 人形成的 5 个间隔中，有 A25种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有 A44·A25＝480(种)．
排列中为“定序”问题解决策略【例 4】 7 个人站成一排，其中甲在乙前面(不一定相邻)，乙在丙前面，则共有多少种不同的站法？
此类“排队”问题和“排数”问题类似.主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，考虑用排除法.
来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自
不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有( A )
A．48 种
B．64 种
(3)某些元素顺序确定的排列问题在某些排列问题中，某些元素的前后顺序是固定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有整体法，即若有 m＋n 个元素排成一列，其中有 m 个元素之间的顺序固定不变，将这 m＋n 个元素任意排成一列，共有 Amm＋＋nn种不同的排法，其中顺序不变的 m 个元素在任意排列时有 Amm种不同的排法，而这 m 个元素的排列顺序固定不变只有一种，故共有AAmmmm＋＋nn种不同的排法．

高中数学 1.2.1《排列》课件(3) 新人教A版选修2-3

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出m个ppt课元件素的一个排列.
思考8：在同一个排列中是否有相同的元素？元素相同的两个排列是否相同？两个排列相同的充要条件是什么？
两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
思考9：从1，2，3三个数字中任取2个相除所得的商的个数与任取2个相乘所得的积的个数相等吗？二者有什么区别？
示？这些排列数分别等于多少？
An1 n
An2 n(n 1)
A n 3 n(n 1)(n 2)
A n 4 n ( n1 )( nppt课2 件)( n3 )
An1 n
An2 n(n 1)
A n 3 n(n 1)(n 2)
A n 4 n ( n1 )( n2 )( n3 )
思考5：由归纳推理，一般地，A
m n
的计
算公式是什么？怎样解释其正确性？
A n m n ( n 1 ) ( n 2 )( n m 1 )
ppt课件
思考6：公式
A n m n ( n 1 ) ( n 2 )( n m 1 )
( m，n∈N*，m≤n)叫做排列数公式，这个公式在结构上有哪些特点？
共有m个因数相乘，最大的一个因数是n，各因数为连续正整数等.
1.2 排列与组合 1.2.1 排列第一课时
ppt课件
问题提出
t
p
1 2
5730
1.分类加法的一般计数原理是什么？
如果完成一件事有n类不同方案，在第
1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n 类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事的方法总数为
N＝m1＋m2＋…＋mn

人教A版高中数学选修2-3课件教学排列2

排列数公式
选排列数
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
全排列数
A
n n
n (n 1) (n 2) •
简写为
···•3 •2 •1
A
A
n n
n ! n n 1 !
n! ( n m)!
选排列数
m n

规定0! 1
练习1
化简：（ 1 ） 5 4 ！，（2）（5 4）！（3 ） 42 5 ！，（4）（n m)( n m 1)! (5) 1 n! 1 ( n 1)! 1 ( n 1)!
方法二：
A6 A5 A5 A5
6 1 1
5
（3）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？
捆绑法：
2 3 4 A2 A3 A4
变式：〈1〉男生之间、女生之间不相邻，有几种不
同排、四个女生排成一排，要
求男生之间不相邻，有几种不同排法？插空法：
1 2 3
例4用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法一：对排列方法分步思考。
百位
1 1
十位
1
个位
9 9 8 648 A9 A9 A8
0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。
或 A9 A9 9 9 8 648
1
2
2. 排列数公式
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号表示。A
m n
“一个排列”与“排列数”的区别 “一个排列”所指的是“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，是排列问题中的一种具体情况，而不是数量； “排列数”指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个数值。

数学人教A版选修2-3教材梳理：1.2排列与组合含解析精品

庖丁巧解牛知识·巧学一、排列、排列数公式1.排列一般地，从ｎ个不同的元素中任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.(1)“一定的顺序”说明如果两个排列相同，那么不但所有元素相同，而且排列的顺序也要相同.如三个数的排列123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.(2)“ｎ个不同的元素”，所给的ｎ个元素不同，所取出的元素也就各不相同，也就是说如果某个元素被取出，就不能再取了，即无重复的排列.深化升华判断一个具体问题是不是排列问题，就看从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素后，再安排这ｍ个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列.也就是说，排列问题与元素的顺序有关，与顺序无关的不是排列.如取出两个数做乘法就与顺序无关，就不是排列，做除法就与顺序有关，就是排列.2.排列数从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数，用符号A m n 表示.排列数概念可以从集合的角度进行解释.例如：从ａ、ｂ、ｃ这三个不同的元素中任取两个元素的排列数的问题，就是集合A={ab,bc,ca,ba,cb,ac}的元素个数问题，显然card(A)=6.这里，由排列的定义知，集合A 中的元素ａｂ与ｂａ应视为不同的元素.辨析比较 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数.它是一个数.在写具体排列时，要按一定规律写，以免造成重复或遗漏.3.排列数公式（1）排列数公式：①连乘表示式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n -m+1).其中,n ，m ∈N *，且ｍ≤ｎ；②阶乘表示式：)!(!m n n A m n -=，其中n,m ∈N *，且ｍ≤ｎ. （2）全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的一个全排列.（3）阶乘：ｎ个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用n!表示，即n n A =n!.规定0!=1.（4）排列数性质：①m n A =n 11--m n A ；②m n A =m n m n A A 111---+.记忆要诀排列数的连乘表示式的右边是ｍ个数的连乘积，其特点是：第一个因数是ｎ，后面的每一个因数都比它前面的因数少1；最后一个因数是ｎ-ｍ+1，一共有ｍ个连续自然数的连乘积.方法归纳对于排列数的两个形式的公式，连乘表示式常用于计算具体的含有数字的排列数的值；阶乘表示式则常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式.二、组合、组合数公式1.组合一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素合成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.组合定义中包含了两点：一是“取出元素”，二是“并成一组”.即与元素的顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同，即使只有一个元素不相同，就不是相同的组合.疑点突破组合与排列的共同点是都要“从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”.不同点是前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.区分某一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关.在写出某个排列问题的所有排列时，采用“树形图”的写法较好；在写出某个组合问题的所有组合时，设计好程序，一般采用递进式的写法比较好，在书写时，要做到不重不漏.2.组合数从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从ｎ个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个具体的事件，不是一个数；而“组合数”是符合条件的所有组合的个数，它是一个数.方法归纳处理排列组合应用题常用的方法有：①相邻元素归并法（捆绑法）；②相离元素插空法；③定位元素优先安排法；④有序分配依次分组法；⑤多元素不相容情况分类法；⑥交叉问题集合法；⑦混合问题先组合后排列法；⑧“至少”“至多”问题间接排除法.3.组合数公式（1）组合数的连乘表示式：由于m mm n m n A C A ∙=，因此， !)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n+---== ,这里，n,m ∈N *，并且ｍ≤ｎ. （2）组合数的阶乘表示式：)!(!!m n m n C m n -=，这里，n,m ∈N *，并且ｍ≤ｎ.可得1=n n C ,10=n C . （3）组合数的两个性质：①m n n m n C C -=；②11-+=m nm n m n C C C 深化升华利用排列数公式和组合数公式进行计算、证明时，要正确地选用公式，同时注意m nm n C A ,中ｍ≤ｎ这个隐含条件.在利用组合数公式计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算m n C 时，若ｍ比较大，可利用性质①，不计算m n C 而改为计算m n n C -，在计算组合数之和时，常利用性质②.问题·探究问题1 某年中国足球超级联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？思路:将参加比赛的12个队看作12个元素，每一场比赛即为从12个不同元素中任取2个元素的一个排列，其中设排在前面的队为主场比赛.总共比赛的场次，就是从12个不同元素中任取2个元素的排列数，则212A =12×11=132场.探究：在解排列、组合应用问题时，要注意三点：①仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合；要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；②深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，不重不漏，要多角度分析，分类考虑；③对于有限制条件的比较复杂的排列组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单问题后运用分类加法或分步乘法计数原理来解决.问题2A 、B 、C 三地之间都有直达的汽车，某客运公司独家经营三地之间的客运直达业务，三地之间距离各不相同，而车票价格取决与路程的远近，并且任意两地之间的来回票价相同，问客运公司需要准备多少种票价的车票？需要准备多少种车票？思路:汽车票的种数与起点站、终点站有关，从A 地到B 地和从B 地到A 地是不同的，所以车票也不相同，也就是票的种数与顺序有关.而无论从哪儿到哪儿，票价不变，如从A 地到B 地和从B 地到A 地的票价相同，也就是票价与顺序无关.所以多少票价的车票，是从三个不同的元素A 、B 、C 中任取两个，不管怎样的顺序并成一组，是一个组合问题，种数为22323⨯=C =3种.而车票的种数相当于从三个元素中任取两个，然后按一定顺序排列，即23A =3×2=6种.探究：对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按事件发生的过程进行分步.解决此类的实际应用题，通常从三个途径考虑：一是以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.二是以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.三是先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.典题·热题例1（2005辽宁高考）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有________个（用数字作答）思路分析:组成这样的八位数可以分成三步：第一步是把1与2、3与4、5与6捆绑看作三个整体排成一列，共有33A 种排法；第二步是把7与8插入第一步中的三个整体之间，共有24A 种排法；第三步是第一步当中的1与2、3与4、5与6之间的位置可以交换，共有222222A A A ∙∙种排法.所以组成这样的八位数共有2222222433A A A A A ∙∙∙∙=576个. 答案:576方法归纳元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列，而元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的元素的普通元素全排列，然后在普通元素之间及两端插入不相邻元素.上述方法可归纳为：元素要相邻，看成一整体；元素不相邻，见缝插进去.例2(2005浙江高考)从集合{P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________________.(用数字作答)思路分析:本题若直接求解，则“每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个”要分“每排中字母Q 和数字0都不出现、只出现字母Q 、只出现数字0”三类考虑；若间接求解，则只须将总数4421024A C C ∙∙减去字母Q 和数字0都出现的排法种数441913A C C ，即不同的排法种数是4419134421024A C C A C C -∙∙=5 832答案:5 832拓展延伸 (2005福建高考)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A.300种B.240种C.144种D.96种思路分析:若直接求解，则“6人中甲、乙两人不去巴黎游览”要分为“甲、乙没有被选中；被选中一人但是去其他三个城市游览；被选中2人但是去其他三个城市游览”三类来考虑，显然较为复杂.若间接求解，则只须将总数46A 中减去甲、乙中有1人去巴黎游览的方案种数352A ，即不同的选择方案共有46A -235A =240种. 答案:B方法归纳对排列问题或组合问题，当正面考虑较繁或难以下手时，不妨从反面入手，即用间接法.用间接法求解的常见题型有：至少型、至多型、否定型、重复型等.例3判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？（2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（5）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？思路分析:根据排列与组合的定义进行判断，问题的关键是看这一事件有没有顺序.解:（1）是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的.排列数为210A =90种.（2）是组合问题.因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.组合数为210C =45种.（3）是组合问题.因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.组合数为210C =45种.（4）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为310C =120种.（5）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为310A =720种.方法归纳区别排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合.例4用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个比1 325大的四位数？思路分析:该例中的每一个小题都是有限制条件的排列问题，除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”.我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题.解:（1）符合条件的四位偶数可以分为三类：第一类：0在个位时有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有14A 种.十位和百位从余下的数字中选，有24A 种，于是共有14A ·24A 个.第三类：4在个位时，与第二类同理，也有14A ·24A 个.由分类加法计数原理知，共有四位偶数的个数为35A +14A ·24A +14A ·24A =156个.（2）五位数中5的倍数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有54A 个；个位数上的数字是5的五位数有3414A A ∙个.故满足条件的五位数的个数共有54A +3414A A ∙=216个. （3）比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□,5□□□，共3514A A ∙个；第二类：形如14□□,15□□，共有2412A A ∙个；第三类：形如134□,135□，共有2312A A ∙个.由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有：3514A A ∙+2412A A ∙+2312A A ∙=270个. 深化升华不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有：奇偶数、位数关系、大小关系等，也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系等.解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决.例5有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.思路分析:本例集排列组合多种类型于一题，应充分利用元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法、捆绑法、插空法、等机会法等常见的解题思路.解:（1）方法一：元素分析法先排甲有6种，其余有88A 种.故共有6×88A =241 920种排法.方法二：位置分析法中间和两端有38A 种排法，包括甲在内的其余6人有66A 种排法，故共有38A ·66A =336×720=241 920种排法.方法三：等机会法9个人的全排列有99A 种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是99A ×96=241 920种.方法四：间接法99A -3×88A =688A =241 920种.（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有7722A A ∙=10 080种排法. （3）捆绑法：554422A A A ∙∙=5 760种. （4）插空法：先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插空，有55A 种方法，故共有44A ·55A =5 760种.（5）方法一：9人共有99A 种排法，其中甲、乙、丙三人有33A 种排法，因而在99A 种排法中每33A 种对应一种符合条件的排法，故共有3399A A =60 480种排法. 方法二：6639A C ∙=60 480种. 深化升华解决排列、组合综合问题要遵循两个原则：（1）按事情发生的过程进行分步；（2）按元素的性质进行分类，具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径： ①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素;②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置;③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.例6求证：!111321443322n A n A A A n n-=-++++ 思路分析:等式左边是ｎ-1项的和，右边是两项的差，联想数列求和，与数列求和类似，考虑把它的一般项)!1(+m m 进行拆项，使中间的很多项相消，以求得它们的和. 解:!1!43!32!211321443322n n A n A A A n n-++++=-++++ ∵)!1(1!1)!1(1)1()!1(+-=+-+=+m m m m m m .所以左边=!11]!1)!1(1[)!41!31()!31!21()!211(n n n -=--++-+-+- 方法归纳关于排列数的恒等式证明，一般都要选用排列数的阶乘表示式n n A =n!和)!(!m n n A m n -=.。

人教A版选修2-3 排列与排列数公式课件(48张)

提示：排列定义包括两个基本内容：一是“取出的元素不能重复”；二是“按照一定的顺序排列”．
2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？
提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的排列顺序完全相同．
3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？
提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．
【解】 (1)是．选出的 2 人分别担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题；
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．
(3)是．道理同上． (4)不是．焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 a>b，a、 b 的大小一定．
排列的特点是“先取后排”，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再按一定顺序把这 m 个元素排成一列.因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题.
化简得，n2－9n＋8＝0. 解得，n＝8 或 n＝1(因为 n≥3，所以 n＝1 舍去)，所以 n 的值为 8.
解析：12 名学生分为 4 组，3 人一组无先后顺序，不属于排列问题．
2．已知 An2＝132，则 n＝( B )
A．11
B．12
C．13
D．14
解析：n(n－1)＝132，n＝12.
3．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．(用数字作答)
(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标 n 的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，

新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(组合)

例6．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至
周五的5天中参加某项志愿者活动，要求
每人参加一天且每天至多安排一人，并要
求甲安排在另外两位前面。不同的安排方
法共有（）
种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法将n个相同共的有元__素__分__成__m__份_种（分n，法m。为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
组合数性质1： 2：
特别地：
练习一
（1）（2）
（3）（4）（5）求
0 7
1,或5
的值 511
例题解读
求证：证明：因为
左边= =左边，所以等式成立
评注：注意阶乘的变形形式：
练习精选：证明下列等式：（1）
（2）
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
对于，我们可以按照以下步骤进行
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的

人教A版高中数学选修2-3课件教学组合5.pptx

Ａ．１５０种Ｃ．２００种
Ｂ．１８０种Ｄ．２８０种
例2:有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所学校,每校至少一个名额,有多少种不同的分配方法?
１.10名演员,其中5名能歌,8名善舞,从中选5人, 使这5人能演出一个一人独唱四人伴舞的节目, 共有多少种选法
练习：９件不同的玩具，按下列的分配方案各有几种分法（１）甲得２件，乙得３件，丙得４件，
将5个人分成4个组，每组至少1 人，则分组的种数是多少？
C52

C31

C21 A33

C11
C52
将12个人分成2，2，2，3，3的5 个组，则分组的种数是多少？
C122
C120 A33
C82

C63 C33 A22
三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方
案共有
Ａ．１８
Ｂ．２４
有多少种分法（２）一人得２件，一人得３件，一人得４件，
有多少种分法（３）平均分成３堆，有多少种分法（４)每人３件有多少种分法（５）分为２，２，２，３四堆，有多少种分法
1.从４台甲型和５台乙型电视机中任意取出３台，
其中至少要有甲型与乙型电视机各一台
则不同的取法共有
Ａ.140 种
B.84种
C.70种
空白演示
在此输入您的封面副标题
一、知识结构
排列基本原理
组合
排列数公式应用问
组合数公式题
组合数性质
１、计算
C22＋C32＋C42＋＋C520
2、若Anm 60,Cnm 10, 则m＝，n＝
小结：（１）平均分配问题：一般来说， km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有：

人教新课标A版高中数学选修2-3课件第一章计数原理 1.2 排列与组合第1课时排列

－n)…(69－n)＝A1659－n； (2)2AA5888－＋A7A95 84 ＝8×27× ×86× ×75× ×64× ×53× ×42＋ ×71× －89× ×78× ×67× ×56×5 ＝88××77××66××55××((284＋－79))＝1；
(3)根据原方程，x 应满足2x≥x＋31，≥x∈4，N* 解得 x≥3， x∈N*.根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x －2)＝140x·(x－1)·(x－2)．因为 x≥3，两边同除以 4x(x－ 1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)．即 4x2－35x＋69＝0，解得 x＝3 或 x＝534(因为 x 为整数，所以应舍去)．所以原方程的解为 x＝3.
作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关，故做加法不
是排列问题，做除法是排列问题．“入座”问题同“排队”，
与顺序有关，故选 3 个座位安排三位客人是排列问题，若方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小一定；在双曲线ax22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程ax22－by22＝1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列问题．
❖ 下列问题是排列问题吗？
❖ (1) 从 5 个人中选取两个人去完成某项工作．
❖ (2)从5个人中选取两个人担任正副组长．
❖ [解析] (1)不是甲和乙去，与乙和甲去完成这项工作是同一种选法．
❖ (2)是甲担任组长、乙担任副组长，与甲担任副组长、乙担任组长是不同选法.
❖ [例3] (1)8个人排成一排，共有多少种不同的排法？(2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？(3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同有 A88种不同的排法；(2)8 人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于 8 人排成一排的排列数，也可以分步进行，第一步：从 8 人中任选 4 人放在前排共有 A84种排法，第二步：剩下的 4 人放在后排共有 A44种排法，由分步乘法计数原理知共有 A84×A44＝A88种排法．(3)同(2)．

高中数学 1.1 2基本计数原理和排列组合教案新人教A版选修选修2-3

2013年高中数学 1.1 2基本计数原理和排列组合教案新人教A版选修选修2-3一. 本周教学内容：选修2—3 基本计数原理和排列组合二. 教学目标和要求1. 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。

2. 理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。

3. 让学生体会思想与方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣。

注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，学会从不同的切入点解决问题。

三. 重点和难点重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题四. 知识要点解析1. 两个基本计数原理（1）分类加法计数原理：做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法（2）分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的办法……做第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法说明：（1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法（2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。

如果完成一件事情有n 类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理（3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏2. 排列问题（1）排列的定义：一般的，从n 个不同的元素中任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列说明：①定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”②一个排列就是完成一件事情的一种方法③不同的排列就是完成一件事情的不同方法④两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素相同，二是顺序相同⑤从n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，记作n n A（2）排列数的定义：从n 个不同的元素中任取m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的排列数。

人教版A版高中数学选修2-3：探究与发现组合数的两个性质_课件2

解析：根据所选偶数为 0 和 2 分类讨论求解．当选 0 时，先从 1,3,5 中选 2 个数字有 C23种方法，然后从选中的 2 个数字中选 1 个排在末位有 C12种方法，剩余 1 个数字排在首位，共有 C23C12＝6(种)方法；当选 2 时，先从 1,3,5 中选 2 个数字有 C23种方法，然后从选中的 2 个数字中选 1 个排在末位有 C12种方法，其余 2 个数字全排列，共有 C23C12A22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有 6＋12＝18(个)奇数．答案：B
[解析] (1)分 8 类，当中间数为 2 时，有 1×2＝2 种；当中间数为 3 时，2×3＝6 种；当中间数为 4 时，3×4＝12 种；当中间数为 5 时，4×5＝20 种；当中间数为 6 时，5×6＝30 种；当中间数为 7 时，6×7＝42 种；当中间数为 8 时，7×8＝56 种；当中间数为 9 时，8×9＝72 种；故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240 种．
解决有关组合的实际问题
排列、组合综合问题
综合应用排列、组合知识解决简单的实际问题
以实际问题为背景，以考查排列、组合数为主体，考查分类讨论和解决实际问题的能力
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1.分类加法计数原理做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么做完这件事共有 N ＝ m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
位数，则 9×10×10－(A39＋C12·A29)＝252，故选 B.

新人教A版选修2-3高中数学第1章第2节排列组合应用课件

● 【解析】树形图如图．
● 由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA， DABC，DCAB，DCBA．
排列数公式的应用
【例 3】求解下列问题： (1)计算2AA5888＋－7AA59 48； (2)解方程：A42x＋1＝140A3x. 【解题探究】(1)直接利用排列数公式进行计算；(2)利用排列数公式将方程转化为关于 x 的代数方程即可求解，进而求方程的正整数解．
难点：应用排列与排列数公式
【解析】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.
(2)因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.
列举法解决排列问题 ● 【例2】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不
●
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● 确定一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认：首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．其次要保证选出的元素的有序性，否则不是排列问题，而验证它是否有顺序的标准是变换某一个结果中两个元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
1.判断下列问题是否是排列问题. (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？
● 警示：判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关，若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．

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