排列组合问题之捆绑法-插空法和插板法
排列组合 插板法 插空法 捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异?（2）所分成的每一组至少分得一个元素?(3) 分成的组别彼此相异?举个很普通的例子来说明?把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36?下面通过几道题目介绍下插板法的应用?e 二次插板法?例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc?可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位?所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法32415
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合问题
排列组合问题，首先要弄清什么叫做完成事情，这件事是“分类”还是“分步”完成，要考虑“有序”或“无序”，即分清是排列还是组合，并掌握一些典型例题和特定的方法。
1．特元特位法：优先解决有特殊要求的元素或者位置，如组数问题中最高位的限制或者排队问题中有特殊要求的元素2．捆绑法：也称“大元法”，是相邻问题的常用方法，将相邻元素视为一个元素与其余元素进行排列，注意内部的顺序。
3．插空法：解决不相邻问题的常用方法，排列时让没有要求的元素先排列，然后不相邻的元素再插空。
4．隔板法：分相同元素的一种特殊方法，n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从n-1空中选m-1个空放入m-1板使之隔成m段，有种方法.5．间接法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.6．分类讨论法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。
两种特殊的排列组合问题1．分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分；2．错位排列：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,时的错位数各为1,2,9. 本周例题：1．已知是集合到集合的映射（1）不同的映射有多少个？（2）若要求则不同的映射有多少个？（3）满足的映射有多少个？分析：（1）确定一个映射，需要确定的像（2）的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算（3）用间接法相对方便一些。
解：（1）A中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有个不同映射（2）根据对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有个由分类计数原理共有1+12+6=19（个）（3）由（1）知所有的81个映射中，象集中没有“0”元素有个，所以象集中含有“0”的共有81-16=65个。
排列组合常用方法
排列组合1.捆绑法：主要处理相邻元素问题.例1：6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法有种.2.插空法：相离问题.例2：要排一张有6个歌唱节目和四个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不能相邻，一共有种排列方法.3.缩倍法：定序问题.例3：①今有2个红球、3个黄球、4个白球，同种颜色不加区分，将这九个球排成一列，有种不同的排法.②若把good的字母顺序写错了，有种不同的错误写法.③四张卡片上分别标有“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数是4.优限法：定位问题.例4.计划展出10幅画，其中1幅水彩画、4张油画、5张国画，排成一列成列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的成列方式有种.5.间接法：至多至少问题.例5：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，至少要甲型与乙型电视机各一台，则一共有种不同的选法.6.先选后排:选排问题.例6：①四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰好有一个空盒子的方法有种②(2009重庆理)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(用数字作答)．7.分类讨论法：例7：(2009重庆理)锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的不同方法有种.8.插板法：名额分配问题.例8：某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班级的学生组成，每班至少一个，名额分配的方法有种.9.平均分配问题：例9：将12个学生平均分成四组，一共有种不同的方法.10.圆排：例10：将从10个不同的学生中选出8个，将他们分配到一个圆座上，则不同的方法有种.11.错排：例11：四个同学做了四张不同的贺卡，每个人的贺卡必须送给别人，一共有种不同送法.- 1 -。
排列组合的计算方法
排列组合的计算方法排列组合的计算方法有：一、穷举法（枚举法）适合题目类型：①答案选项数字偏小或者题目中总数较小——10个左右；②骰子问题。
（一枚骰子6种情况，2枚骰子36种情况）注意事项：枚举法是最简单也是最容易出错的方法，所以在枚举时要按照一定的规律去列举，切不可想到一种列一种，这样容易列少或者列多。
二、捆绑法适合题目类型：“相邻”或“在一起”的排列组合问题注意事项：对于某几个要求相邻的排列组合问题，可将相邻的元素看做一个“元”与其他元素排列，然后对“元”的内部进行排列。
三、插空法适合题目类型：“不相邻”或“不在一起”的排列组合问题注意事项：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先讲其他元素排好，再将不相邻的元素在已排列好的元素之间空隙中及两端插入即可。
四、隔板法适合题目类型：处理相同的东西分给不同的人，每人至少一个的排列组合问题。
注意事项：隔板法就是在n个元间的n-1个空中插入若干个隔板，可以把n个元素分成（n+1）组的方法，应用隔板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异；（2）所分成的每一组至少分得一个元素；（3）分成的组彼此相异。
基本公式：n个元素产生n-1个空，分成m组，插入m-1块板，所以总数为。
五、分组除序法适合题目类型：处理不同的元素分给不同的组的排列组合问题。
注意事项：不同的元素分给不同的组，如果有出现人数相同的这样的组，并且该组没有“名称”，则需要除序，有几个相同的就除以几的阶乘，如果分的组有名称，则不需要除序。
六、特殊元素优先安排适合题目类型：对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。
注意事项：根据题目找到“特殊元素”，这才是解题的切入点。
七、正难反易法适合题目类型：对于一些直接求解较为复杂的问题，从正面入手很难解决，这时可从反面入手，从而将其转化为一个简单的问题来处理。
注意事项：要能够准确的找到一些问题的反面，比如“至少一个”的反面是“一个都没有”等等。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻)插板法(m为空得数量)【基本题型】有ｎ个相同得元素,要求分到不同得m组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？图中“"表示相同得名额,“”表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板",则将这１0 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板"得一种插法恰好对应了１0 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得,【总结】ﻫ需满足条件:ｎ个相同元素,不同个ｍ组,每组至少有一个元素,则只需在ｎ个元素得n－1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
ﻫ注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。
但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。
插板法就就是在n个元素间得(n—１)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(b+１)组得方法.应用插板法必须满足三个条件:(1) 这n个元素必须互不相异(2)所分成得每一组至少分得一个元素ﻫ(3)分成得组别彼此相异举个很普通得例子来说明把1０个相同得小球放入3个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况？问题得题干满足条件(1)(２),适用插板法,c9 2＝36 ﻫ下面通过几道题目介绍下插板法得应用e二次插板法ﻫ例8:在一张节目单中原有６个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况？ﻫ－o — o －ｏ－o -ｏ—o —三个节目ａｂｃ可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共就是c71×ｃ８１×c9 1=50４种【基本解题思路】将n个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n－１)个空档,现在我们用(m—１)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把ｎ个元素隔成有序得ｍ份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是１个、2个、3个、4个、…。
排列组合插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用 (1)
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
公务员行政能力考试测验：排列组合之解题方法精要
公务员行政能力考试测验排列组合之解题方法精要在排列组合中，有三种特别常用的方法：捆绑法、插空法、插板法。
这三种方法有特定的应用环境，华图公务员录用考试研究中心行政职业能力测验研究专家沈栋老师通过本文以实例来说明三种方法之间的差异及应用方法。
一、捆绑法精要：所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。
提醒：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
【例题】有10本不同的书：其中数学书4本，外语书3本，语文书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种。
解析：这是一个排序问题，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起。
为快速解决这个问题，先将4本数学书看做一个元素，将3本外语书看做一个元素，然后和剩下的3本语文书共5个元素进行统一排序，方法数为，然后排在一起的4本数学书之间顺序不同也对应最后整个排序不同，所以在4本书内部也需要排序，方法数为，同理，外语书排序方法数为。
而三者之间是分步过程，故而用乘法原理得。
【例题】5个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法？解析：先将甲乙两人看成1个人，与剩下的3个人一起排列，方法数为，然后甲乙两个人也有顺序要求，方法数为，因此站队方法数为。
【练习】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序？注释：运用捆绑法时，一定要注意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求，有的题目有顺序的要求，有的则没有。
如下面的例题。
【例题】6个不同的球放到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？解析：按照题意，显然是2个球放到其中一个盒子，另外4个球分别放到4个盒子中，因此方法是先从6个球中挑出2个球作为一个整体放到一个盒子中，然后这个整体和剩下的4个球分别排列放到5个盒子中，故方法数是。
计数方法之捆绑法、插空法、插板法
1
(★★★) 【例3】 核桃 的9个人继续照相，这次排队有了新的讲究：天天、向向、 核桃组的 续 相 排 有 新的讲究 向向 汤汤三位帅哥强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见 摄像师小段拿着一根绳子笑着就走过来了说：我能很快解决你 们这样一共有几种排队方式的问题。
【例4】 (★★★) 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书， 全部竖起排成一排，如果要求童话书排在一起，漫画书排在一起 有多少种排法？
【例5】 (★★★) 饼 饼干组的一行 的 8人同样在照相，但排队过程中一个小插曲影响了 样在 相 排 过 中 曲 照相的进度，兔兔与关关、小新起了一点小矛盾, 3人带着情绪强 烈要求：互不相邻 这样有几种排队的方式？ 烈要求：互不相邻，这样有几种排队的方式？
【例6】 (★★★★) 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻， 有几种坐法？
(★★) 【例1】 晚上饼 组刚到桃 仙 大家都很 奋 璐璐 关关 4月4日晚上饼干组刚到桃园仙谷，大家都很兴奋，璐璐、关关、 兔兔、小雷、峰峰、阳阳、成成，媛媛八个人想站在一块儿合个 影 请分别解出以下情况的不同方法数 影，请分别解出以下情况的不同方法数。 ⑴组长兔兔觉得： 个人随便站成一排，她认为这 随便站成 排， 认为这 样简单公平。 8个 ⑵副组长关关认为： 8个人可以站成三排，前2中3后3， 这样看起来比较美观。
【例2】 (★★★)
4月5日早上核桃组刚到桃园仙谷，组长美美和她八个小伙伴都很 兴奋，想站在一块儿合个影，请分别求出以下情况有多少种不同 的站法？ (1)天天固执的认为站成一排并且自己必须站在正 中间，因为自己长的比别人帅 些。 中间，因为自己长的比别人帅一些。 (2)向向发言：站成一排并且自己和汤汤站两端， “我们俩宽度一样，这样比较对称”。 (3)小熊老师：“我和天天不站两端，其余的随便 排，快点，不要磨叽。”
考前冲刺排列组合的三大方法精要
考前冲刺：排列组合的三大方法精要来源：华图教育沈栋在排列组合中，有三种特别常用的方法：捆绑法、插空法、插板法。
这三种方法有特定的应用环境，华图教育专家沈栋提醒考生应特别注意三种方法之间的差异及应用方法。
一、捆绑法精要：所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。
提醒：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
【例题】有10本不同的书：其中数学书4本，外语书3本，语文书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有()种。
解析：这是一个排序问题，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起。
为快速解决这个问题，先将4本数学书看做一个元素，将3本外语书看做一个元素，然后和剩下的3本语文书共5个元素进行统一排序，方法数为，然后排在一起的4本数学书之55A 间顺序不同也对应最后整个排序不同，所以在4本书内部也需要排序，方法数为，同理，44A 外语书排序方法数为。
而三者之间是分步过程，故而用乘法原理得。
33A 543543A A A 【例题】5个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法？解析：先将甲乙两人看成1个人，与剩下的3个人一起排列，方法数为，然后甲乙44A 两个人也有顺序要求，方法数为，因此站队方法数为。
22A 4242A A 【练习】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序？注释：运用捆绑法时，一定要注意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求，有的题目有顺序的要求，有的则没有。
如下面的例题。
【例题】6个不同的球放到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？解析：按照题意，显然是2个球放到其中一个盒子，另外4个球分别放到4个盒子中，因此方法是先从6个球中挑出2个球作为一个整体放到一个盒子中，然后这个整体和剩下的4个球分别排列放到5个盒子中，故方法数是。
解答排列组合问题常用的几种途径
体，即为一个“对象”，4 本不同年级的物理书也看成一
个整体，即为另一个“对象”，把两个“对象”排成一排
有
A2 2
种排法；
第二步，对数学书、物理书两个“对象”内部的元素
分别进行排列，数学书“对象”内部的元素有
A3 3
种排列
方法，物理书“对象”内部的元素有
A
4 4
种排列方法.
因此，符合题意的排列方法共有
同元素.将这 10 个相同元素排成一排，元素之间有 9 个
空，选出 2 个空插入隔板，可把 10 个元素分成 3 份，分
配给每个班级，所以共有
C2 9
=
36种
分配方案.
本题为相同元素的分配问题，可采用隔板法对问
题进行求解.隔板法的适用范围较窄，同学们在解题时
需首先确定问题是否为相同元素的分配问题，再采用
A22∙A33∙A
4 4
=
288种
.
本题中要求数学书必须相邻，物理书也必须相
邻，则本题即为相邻问题，可采用捆绑法对问题进行
求解.
二、运用插空法
若问题中要求几个元素不能相邻，则需采用插空
法，即先将无限制条件的元素全排列；再将指定的不
能相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从
而将各个元素按照题目要求排列好.
隔板法求解.
四、借助倍缩法
有些问题中要求部分元素有固定的顺序，此时我
们可用倍缩法进行求解.先将所有元素进行全排列；然
后用所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数，
即可得到问题的答案.
例 4.现将 4 名男生、3 名女生（身高各不相同）这 7
名学生排成一行.若女生按照从矮到高的顺序排列（从
(完整版)排列组合问题之捆绑法_插空法和插板法
行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。
小学数学思维方法：计数问题(捆绑法,插空法和插板法)
计数问题（捆绑法，插空法和插板法）【知识精要】一、基本概念⎧⎨⎩加法原理：分类用加法乘法原理：分步用乘法⎧⎨⎩排列：与顺序有关组合：与顺序无关 二、基本公式 排列公式：!(1)(2)(1)()!m m n n n A P n n n n m n m ===---+- 组合公式：!(1)(2)(1)()!!(1)(2)21m n m n nn n n n n m C C n m m m m m ----+===---⨯ 三、计数方法 1.“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
2.“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
解题过程是“先排列，再插空”例如．若有A 、B 、C 、D 、E 五个人排队，要求A 和B 两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？解：题目要求A 和B 两个人必须隔开。
首先将C 、D 、E 三个人排列，有种排法；若排成D C E ，则D 、C 、E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是： ︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A 、B 两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
3. 插板法就是在n 个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b ）个板,可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n 个元素必须互不相异，（2）所分成的每一组至少分得一个元素 ，(3) 分成的组别彼此相异【典型例题】例1．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
排列组合的13种方法题,,
排列组合常用十三种解题方法方法一：捆绑法例题：甲、乙、丙、丁、卯五人并排成一排，如果甲、乙必须相邻且甲在乙的右边，那么不同的排法有多少种？方法二：插空法例题：甲、乙、丙、丁、卯五人并排成一排，如果甲、乙必须不相邻，那么不同的排法有多少种？例题：晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2个节目插入原节目单中，则不同的插法有种。
方法三：隔板法例题：小明有10块糖，他每天可以吃1块到10块不等，现在要求小明3天把10块糖吃完，问小明一共有多少种不同的吃糖方法？例题：将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？方法四：定位问题优先法例题：一个老师和四名学生排成一排，老师不在两端，且老师不能跟其中某个学生相邻，则不同的排法有种例题：2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为方法五：多排问题单排法例题：共有8个人分别站前后2排，每排4人，其中要求某2人站前排，某1人站在后排，则共有__ 种排法。
例题：现有12人排成3行，每行4人，其中小明不站第二行，小红只站第一行，小白不站第三行，问一共有多少种不同的站队方法？方法六：乱坐问题分步法例题：将数字1，2，3，4，填入标号为1，2，3，4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种。
例题：将标有1，2，3，4，5编号的五个小球分别填入标号为1，2，3，4，5的五个箱子，每个箱子放一个球，则每个箱子的标号与放小球标号均不相同的填法有种。
方法七：多元问题罗列法例题：由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个。
例题：用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为？方法八：至少问题间接法 例题：有9名男生与4名女生共13人，现在要求从所有学生中任选 5人参加知识竞赛，问选择的5人中至少有1名女生的选择情况有多 少种？ 例题：甲、乙两人从4门课程中各选修 2门，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有 种 方法九：条件问题排除法 例题：正六边形中心和顶点共7个点，以其中任意3个点为顶点 的三角形共有 个。
小学六年级奥数 计数方法之捆绑法、插空法、插板法
Ann n! n(n 1)(n 2) 2 1
(2)组合数公式：
Cnm
Anm Amm
n(n 1) (n m 1) m (m 1) 2 1
(3)组合C nm n
②
C
0 n
C
1 n
C
2 n
Cnn
1
【例3】(★★★) 核桃组的9个人继续照相，这次排队有了新的讲究：天天、向向、 汤汤三位帅哥强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见 摄像师小段拿着一根绳子笑着就走过来了说：我能很快解决你 们这样一共有几种排队方式的问题。
【例4】 (★★★) 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书， 全部竖起排成一排，如果要求童话书排在一起，漫画书排在一起 有多少种排法？
【例2】(★★★) 4月5日早上核桃组刚到桃园仙谷，组长美美和她八个小伙伴都很 兴奋，想站在一块儿合个影，请分别求出以下情况有多少种不同 的站法？ (1)天天固执的认为站成一排并且自己必须站在正 中间，因为自己长的比别人帅一些。 (2)向向发言：站成一排并且自己和汤汤站两端， “我们俩宽度一样，这样比较对称”。 (3)小熊老师：“我和天天不站两端，其余的随便 排，快点，不要磨叽。”
2n
【例1】(★★) 4月4日晚上饼干组刚到桃园仙谷，大家都很兴奋，璐璐、关关、 兔兔、小雷、峰峰、阳阳、成成，媛媛八个人想站在一块儿合个 影，请分别解出以下情况的不同方法数。 ⑴组长兔兔觉得： 8个人随便站成一排，她认为这 样简单公平。 ⑵副组长关关认为： 8个人可以站成三排，前2中3后3， 这样看起来比较美观。
【例5】 (★★★) 饼干组的一行8人同样在照相，但排队过程中一个小插曲影响了 照相的进度，兔兔与关关、小新起了一点小矛盾, 3人带着情绪强 烈要求：互不相邻，这样有几种排队的方式？
排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法
排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法一、基础理论：捆绑法：遇到有“相邻元素”的问题，先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列，当需要考虑元素的相对顺序时，再进行松绑。
题干中常见的词语如：相邻站位、相连、连续等。
插空法：遇到有“不相邻元素”的问题，先把无要求的元素进行排序，然后行程中间的空位或两端的空位，然后进行插空。
运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。
解题过程是“先排列，再插空”。
可见：捆绑法主要解决相邻问题，而插空法主要解决的是不相邻的问题。
二、真题精析例1、5名学生和2名老师站成一排照相，要求2名老师相邻但不站在两端，则不同的排法共有：A.1440种B.960种C.720种D.480种【分析】题干当中有“相邻”，所以选择的做题方法一定是捆绑法，要想把这件事解决清楚，要分如下几步：第一步，首让没有要求的元素进行排序，即先排5名学生，有A(5,5)种方法;第二步，将2名老师“捆绑”在一起，看成一个人，插空到5名学生中间的4个空中，即C(4,1)种方法;第三步，这2名老师不同，要进行排列，即A(2,2)种方法，此件事情完成。
分步做的事情，根据乘法原理可知，共有A(5,5)×C(4,1)×A(2,2)=960种不同的排法。
所以答案为B.小结：捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法，但是却经常一起结合起来使用。
例2、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法?A.20B.12C.6D.4【分析】此题是插板法的典型例题，因为相当于把2个新节目插到原来3个节目中，所以要搞清楚具体有几个空位。
【解析】原来的3个节目已经固定下来了，所以在排原来的3个节目的时候，不用再混排了。
所以这件事可以分步完成，需要把放进去的2个新节目分第一步放进去和第二步放进去。
第一步，排其中一个节目，在原来的3个节目中有4个空位可以选择，即C(4,1)中方法;第二步，排第二个节目，那么此时第一个节目放进去之后，就有4个节目了，也就是有5个空位可以选择，所以排法是C(5,1)中方法，此时这件事情完成。
排列组合插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法. 应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合的方法捆绑法
排列组合的方法捆绑法,插空法和插板法“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。
解题过程是“先排列，再插空”。
有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素;若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢?我们可以腹胀化归思想。
插板法必须严格满足三个条件：①所要分的元素必须完全相同②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余;③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）例2.有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有()种不同方法.（标准的是非空，那么非空如果处理？）4.停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?e二次插板法例8：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?C63例4、某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。
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行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法
“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再
考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1 •若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法
【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■<
种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有I -种
例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若
将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法
共有多少种
【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3
本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。
【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将
问题解决的策略。
例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法
【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D E三个人排列,
有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：〜D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。
由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。
例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种
【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目
去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。
例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，
可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种
【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。
故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。
【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。
解题过程是“先排列，再插空”。
练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法（国考2008-57）
A. 20 B . 12 C . 6 D . 4
插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求
每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解
题呢下面先给各位考生看一道题目：
荀现有山人主全斫匡化謙全制分蛤？个班级■每班至少1令謙.门共有多少冲不同的分法？
『輕析】题目中球的分法共三娄：
第一抵仃1入班毎介取徐到2人球’瓦余」个吸毎班分到1代球.花分江邮歡为
第二类：H I九址廿到3人議・1个班分到2令誅.其余裟个班毎尿廿到1 其莎法种数
第三無有丨个班分到4牛球，耳余的白个班每班分到1个球•其分法祎款G・
所乩1（］个球分第7个班.每班至少一个球的分法种豔曲+ + =S4:
从上面解贏过程廉看’对这董问题谨疔分类计算，比较畫琐.若是上题中球的数目幔密处
理起来辂更加困难，園此我怕需要寻求一种箫的摸式解决问题，我怕创设这样一种盡般關傅境
-------------- 妊枫“
将皿个相同的球排成一ft io个球之阖出现了9个空務现在養丫］用把io 牛球隔成有序刖了份，毎牛班级依欢按班级序兮分到然应位蟹前儿个琢C可14*. 2 个、彳仁4个）-卞丈于这样
府盘銀杯拦板”弁电物骷的方法秫之丸插般注』
白上述升桁可扛.分隸的方法实葫上为挡扳的把泄；圍起徃9令空桜2中捷人右个
”拦矿G个拦版可耙球分为J绘人瓦方法种監为
时上述问题的分折可看到，这种插板法解决起来非常简单.但同时也提醛各位考生, 这类间题模型的适用前提相当严榕.必绩同时清足以卜*牛釦牛：
①師要分的元富2碱完全巴汀1;
②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余
③参与分元素的每组至少分到 1 个，决不允许出现分不到元素的组
下面再给各位看一道例题：
例 2. 有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有( ) 种不同方法.
【解析】这道题很多同学错选C,错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。
例 2 和例 1 的最大区别是：例 1 的每组元素都要求“非空”,而例 2 则无此要求,即可以出现空盒子。
其实此题还是用“插板法”,只是要做一些小变化,详解如下：
设擅把这8个球一个接一个排起来.即00000000 .共形成9令空档【比时杓空档包括中间7个空档和两堆2伞空椅）,然后用2 住扳把这8令球分成3 Hr 先播第一于挡et.由于可u有空盒.所以有9个空档可以播,再雄第二个根・有io个空栏可且鼬但口于两个板是看町分的（也裁是说
当朗个挡极相邨时.虽燃是两种播注.但
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实戸上是一种賢送）.所议共斗壬4戸忙
flX Cl）已知方K.r-;-r = 20.求IX牛方程的孚髮取曾的个監"
（2）己拓方程“叶—閱・求这牛方程的娄僭的个気
【駅桁】⑴济20分成20牛1.见出応n M 3 1 1 [ I I 1 M I i 1 I M I在这20 令蚊中阿的19水空中描入2个板子”埒打彷应3部分，毎一部井对说*】”的个范・按顺序持成r=: z = s即是正整数罐•故正整数離的个歡为绘•華法非幕简单.
（2）此遞羽冃2的餌法完全応谒咨位考生自己考喙1"
从以上例题的分析来看.在利用鼻拽板法■解决这种相同元索排利钮合问题时.一宦要注慈刊空波与“不空“的力伉班伫绰人劉朮仇3陶两寵噴戈较・可衣很明显改看「「笠厅“不空”的区别.
空“问题樞檯法题口屢型为：没沟刃卒唯罔元炭・分成脚（朋笛舟）红.挫鉉至少一个元套的分塩方法共柑U'; ”可空”间粗拯枳法阳題原型为，设有、个圮同元蔚分成小常弘）険，则升红
方法甚有“""—=匚：二种方区（对于“可
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空"问题・真雲记住公式胡町.不蜚求辜握塚理）=
练习：育10斂台机分只歩瓷也毎步可以迈1级二级威』眾创九有名少用芒法亍
£答案为G}
夹板定理。
10台阶看错10个球，10个球摆成一排，中间共有9个空格。
要8步走完，就相当于9个
空格里放7个板，把10个球分成8分。
（每个空格最多一个板，7个板无论怎样放，每份都能够保证小于等于3）所以就相当于组合C9,7=36。