基本不等式测试题苏教版必修

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苏教版高中数学必修五测试基本不等式

基本不等式一、填空题：（每小题5分，计50分）1.若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是；2.若x 、y R +∈且x+3y=1，则Z 的最大值；3.若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是；4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy 最大值为；5.点（x ，y ）在直线x+3y-2=0上，则3273x y++最小值为； 6.若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项； 7.设a ，b R +∈，a+2b=3 ，则11a b+最小值是； 8.当x>1时，则y=x+21161x x x ++的最小值是； 9.已知不等式（x+y ）1()9a x y+≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为；10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.二、解答题：（12分×3+14分，计50分）11.在△ABC 中，已知A=600，a=4，求△ABC 的面积的最大值.12.已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值及取最小值时的x 、y 的值.13.已知a 、b 、c 都为正数，且不全相等，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++14.已知定点(6,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程.参考答案 1.64 2.223.64.45.96.1188.89.410.2012.当且仅当21x y =⎧⎨=⎩时所求的最小值是8 13.略14.设(,4)(0)Q a a a >①6a ≠时，44:4(6)6PQ a l y x a --=-- 令0y =，得4(6)560441M a a x a a --=+=>-- 故1a >2110110(12)211OQM Q M a S y x a a a ∆=⋅==-++-- 1121a a -+≥-，110(12)401a a -++≥-（当且仅当2a =时取“＝”号）所以当2a =时，min ()40OQM S ∆= ②当6a =时，11624724022OQM Q M S y x ∆=⋅=⨯⨯=> 由①②得，当2a =时，min ()40OQM S ∆=，此时(2,8)Q ，:100PQ l x y +-=。

基本不等式练习苏教版必修

根本不等式一、填空题：〔每题5分,计50分〕1.假设x>0,y>0且一一1 ,那么xy的最小值是 _________________ ;x y2.假设x、y R 且x+3y=1,那么Z JX~7 43y 2 的最大值 ;3.假设实数a、b满足a+b=2,那么3a+3b的最小值是；4.x>1,y>1 且lgx+lgy=4 贝U Igxlgy 最大值为 ;5.点〔x, y〕在直线x+3y-2=0上,那么3x27y3最小值为；6.假设数列｛a n｝的通项公式是a n 2n那么数列｛a n｝中最大项；n2 811 1 一 ,一7.设a, b R , a+2b=3 ,那么一一取小值是_________________________ ；a b1 16x8.当x>1时,那么y=x+ 1二65的最小值是；x x2 11 a9.不等式〔x+y〕〔——〕 9对任意正实数x, y恒成立,那么正实数a的最小值x y10.某公司一年购置某种货物400吨,每次都购置x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,那么x=吨.二、解做题：〔12分X 3+14分,计50分〕11.在△ ABC中, A=600, a=4,求△ ABC的面积的最大值.12.x>y>0, 2 4x ---------------y(x y)的最小值及取最小值时的x、y的值.c c a—lg -2- lg a lgb lgc13. a 、b 、 ,a b , b lg- lg 一都为正数,且不全相等,求证：14.定点P(6,4)与定直线l i：y 4x,过P点的直线l与11交于第一象限Q点,与x轴正半轴交于点M ,求使OQM面积最小的直线l方程.参考答案1.642. 2 23.64.45.9 647.1+返38.89.410.2011.4、3一X 12.当且仅当y 2时所求的最小值是8 113.略14.设Q(a,4a)(a0)6时,I PQ：4a 4OQM 所以当4(aa6)(x 6)4a 412yQ1a 1XM2,a 2时,②当a10a2a 110(a10(a 16 时,S OQM(S OQM )min11a 1402) 40 〔当且仅当a 2时取“=〞号〕2y Q X M 24 72 40由①②得,当a 2时,〔S OQM〕min 240,此时Q(2,8) , 1PQ：X y 10 0。

《基本不等式》同步练习3(苏教版必修5)

必修5第三章《不等式》单元测试题班级姓名座号分数一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式(x－1)(x－3)>0的解集为（）A.{x|x<1}B. {x|x>3}C. {x|x<1或x>3}D. {x|1<x<3}2.不等式2x+y+1<0表示的平面区域在直线2x+y+1=0（）A、右上方B、右下方C、左上方D、左下方3．设中最大的是 ( )A. B. b C. 2ab D.4．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A． B． C．2 D．5．已知的最小值是（）A. B. C. 6 D. 76．已知不等式的解集为,则不等式的解集为( )A、 B、C、 D、二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，将答案填在题后的横线上）1.已知集合M={x|x>6},N={x|x2－6x－27<0},则M∩N=2．若关于x的不等式>0的解集为{x|－3<x<－1或x>2}，则a=3．已知x＞2，则y＝的最小值是．4．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1.解下列关于x的不等式：（1）x2－5x+6>0; （2）(x+a)(x-2a+1) <02．已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最大值与最小值。

3．某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4 m的小路（如图所示）。

问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。

参考答案一 CDBBDB二 1.{x|6<x<9} 2.-2 3.4 4.(-2 2 )]三1.(1) { x | x >3或x <2}; (2) 当时,不等式解为Φ;当时,解集为{x|; }当时, 解集为{x| .}2.最大值3X4-1=-11最小值3X(-4)-1=-133. 解：设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为392xm,又设占地面积为y m2，依题意，得=424＋4(x＋784x)≥424＋224=648当且仅当x=784x即x=28时取“=”.答：游泳池的长为28 m宽为737m时，占地面积最小为648 m2。

苏教版高中数学必修五基本不等式同步练习(1)(1)

高中数学必修5第三章不等式题组训练题[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45-2．函数y ＝log 21（x ＋11+x ＋1）（x > 1）的最大值是（）A ．－2B ．2C ．－3D ．3 3．不等式xx --213≥1的解集是 ( ) A ．{x|43≤x ≤2} B ．{x|43≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( )A ．－3＜a ＜1B ．－2＜a ＜0C ．－1＜a ＜0D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组⎩⎨⎧->-≥32x x 的负整数解是____________________。

2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为____________________。

3．不等式0212<-+xx 的解集是__________________。

4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。

5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n nn n n n g n n ∈=--=-+ϕ,用不等号连结起来为___ ____________.三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1．解log (2x – 3)(x 2－3)＞02．不等式049)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R,求实数m 的取值范围。

苏教版(2019)高中数学必修第一册第3章《不等式》检测卷(含答案)

苏教版（2019）高中数学必修第一册第3章《不等式》检测卷一、单选题（本题有8小题，每小题5分，共40分） 1．不等式2230x x -++>的解集为（） A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞2．若00a b c d <<>>，，一定有（） A ．c d b a> B ．c d b a<C ．c d a b> D ．c d a b< 3．若正数x ，y 满足181x y+=，则2x y +的最小值为（）A ．245B ．285C ．25D ．274．若a ，b ，c 为实数，且0a b <<，则（） A ．22ac bc ≤B ．110a b<< C ．0ac bc << D ．220a b <<5．若0x >，0y >，且11112x x y+=++，则32x y +的最小值为（）A ．2B ．C ．1+D ．4+6．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a 等于（）A ．6B ．8C ．16D ．367．若0x y <<，设()()22M x y x y =+-，()()22N x y x y =-+，则（）A ．M N >B ．M N <C ．M N ≤D ．M N ≥8．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()1,1，且23a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．（-4，-1）B ．（-1，4）C ．（1，+∞）D ．（-4，1）二、多选题（本题有4小题，每小题5分，共20分。

每小题中，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

） 9．已知a 为实数，下列选项中可能为关于x 的不等式2(1)10ax a x -++>解集的有（）A ．(,1)-∞B ．1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1(,1),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭10．(多选题)下列不等式不一定成立的是（）A ．x ＋1x≥2B 2C ．2212x x +≥ D ．2－3x －4x≥211．设01b a <<<，则下列不等式不成立的是（）A ．ab <b 2<1B C ．1<11a b< D ．a 2<ab <112．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>三、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．若a 、b 、c 均为正数，且2a b c ++=，求222b c a a b c++的最小值________.14．已知R x ∈，1x ≠，则11x x +-的取值范围是________；15．已知0a >，0b >，1a b +=，则19a b+的最小值是________．16．不等式2320x x -+>的解集是________；四、解答题（本题有6小题，共70分） 17．（10分）已知实数,x y 满足0xy >，且8111xy x y++=，求xy 的取值范围．18．（12分）设函数()()222,f x x ax a a =++-∈R ．（1）当1a =时，解关于x 的不等式()()215f x a x a >--+；（2）若[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立，求a 的取值范围．19．（12分）已知函数()()2,f x x bx c b c R =++∈．（1）若()0f x <的解集是{}12x x -<<，求不等式280bx cx ++≥的解集；（2）若1b a =-，2c a =-，解关于x 的不等式()0f x >．20．（12分）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >，21．（12分）（1）已知0a >，0b >，1a b +=，求证：114a b+≥．（2）证明：44444a b c d abcd +++≥．22．（12分）（1）已知a ，b 是正常数，且a b ，(),0,x y ∈+∞，求证：()222a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；（2）求函数()2912f x x x=+-（102x <<）的最小值，指出取最小值时x 的值．参考答案1．A 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】22+30(1)(3)013x x x x x -+>⇒+-<⇒-<<，故选：A. 2．B 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法进行判断即可【详解】因为0a b <<，所以0ab >，所以由110000a b a b a b ab ab b a--<<⇒->->⇒>>⇒->->，又因为0c d >>，所以c d c db a b a->-⇒<，因此选项A 错误，选项B 正确；当2,1,2,1a b c d =-=-==时，显然符合00a b c d <<>>，，但是1c da b==-，显然选项C 、D 都不正确，故选：B 3．C 【分析】利用“1”的代换凑出积的定值，然后由基本不等式求得最小值. 【详解】∵正数x ，y 满足181x y+=，∴18282(2)11617225y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≤+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当210y x ==时取等号．故选：C ． 4．A利用不等式的基本性质判断. 【详解】对于A ，因为0a b <<，2c ≥0，必有22ac bc ≤，A 正确；对于B ，因为0a b <<，则10ab >，则有110b a<<，B 错误；对于C ，当0c <时，有0ac bc >>，C 错误；对于D ，因为0a b <<，则有220b a <<，D 错误；故选：A ． 5．C 【分析】设1,2x a x y b +=+=，可将题目转化为已知111a b+=，求()311a b a -+-+的最小值，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】设1,2x a x y b +=+=，则1,21x a y b a =-=-+，且a >0，b >0，题目转化为已知111a b+=，求()311a b a -+-+的最小值，即()3231122x y a b a a b +=-+-+=+-，而()11222333a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当2a bb a =，即a b 时等式成立.所以3222321x y a b +=+-≥+=+故选：C. 6．D 【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可【详解】因为()4(0,0)a f x x x a x =+>>，故4a x x +≥，当且仅当4a x x =，即x 时3,36a ==【点睛】均值不等式a b +≥一正：a >0，b >0，二定：ab 为定值，三相等：当且仅当a b =时等号成立 7．A 【分析】利用作差法可得出M 、N 的大小关系. 【详解】因为0x y <<，则0x y -<，0xy >，所以，()()()()()()()()2222222M N x y x y x y x y x y x y x y x y -=+---+=+---+()()()()22220x y x y x y xy x y ⎡⎤=-+-+=-->⎣⎦，因此，M N >. 故选：A. 8．D 【分析】由题意得111a b+=，利用“乘1法”与基本不等式可得a b +的最小值，将23a b m m +>+恒成立转化为()2min 3a b m m +>+恒成立，解不等式即可.【详解】直线1(0,0)x ya b a b +=>>过点()1,1，111a b∴+=， 11()24b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当 a =b =2时，等号成立，min ()4a b ∴+=又23a b m m +>+恒成立 234m m ∴+<，解得41m -<<故选：D. 9．ABD 【分析】根据a 分类讨论可得结果. 【详解】（1）当0a =时，原不等式即10x -+>，解得1x <，故A 正确；（2）当0a ≠时，原不等式即()110a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，① 当0a <时，11a<，解得11x a <<，故B 正确；② 当01a <<时，11a >，解得1x <或1x a>，故D 正确； ③ 当1a =时，11a=，解得R x ∈，且1x ≠； ④ 当1a >时，11a<，解得1x a <或1x >.故选：ABD. 10．AD 【分析】取0x <可判断A 2B ；由基本不等式可判断C ；取0x >可判断D. 【详解】对于选项A ：当x <0时，102x x+<<，故A 错误；对于选项B 2B 正确；对于选项C ：221122x x x x+≥⋅=，故C 正确；对于选项D ：变形为430x x+≤，当x 取正数时不成立，故D 错误．故选：AD. 11．ABD 【分析】对于ABD 举例判断即可，对于C ，利用不等式的性质判断【详解】对于A ，取11,23a b ==，则21169ab b =>=，所以A 错误，对于B ，取11,49a b ==1123>，所以B 错误，对于C ，因为01b a <<<，所以10ab>，所以11b a ab ab ⋅<⋅，即11a b <，因为01a <<，所以1101a a a <⋅<⨯，即11a<，综上111a b <<，所以C 正确，对于D ，取11,23a b ==，则21164ab a =<=，所以D 错误，故选：ABD 12．BCD 【分析】对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及0b >，即可求解. 【详解】解：对A ，不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，即0a <，故A 错误；对B ，C ，由题意知： 2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>，又0a <，故0,0bc >>，故B ，C 正确；对D ，1ca=-， 0a c ∴+=，又0b >，0a b c ∴++>，故D 正确. 故选：BCD. 13．2 【分析】利用基本不等式，通过求222b c a a b c +++（a +b +c ）的最值，进而即可得解．【详解】∵22b a b a+≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥．∴222b c a a b c+++（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即222++≥b c a a b ca +b +c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时取等号．故答案为：2. 14．(][),13,-∞-+∞【分析】 111111x x x x +=-++--，分别讨论1x >和1x <时，利用基本不等式即可求解【详解】 111111x x x x +=-++--，当1x >时，10x ->，11111311x x x x +=-++≥=--，当且仅当111x x -=-即2x =时等号成立，此时131x x +≥-，当1x <时，10x -<，()111111111111x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++≤-=-⎢⎥---⎣⎦，当且仅当111x x-=-即0x =时等号成立，此时111x x +≤--，综上所述：11x x +-的范围为(][),13,-∞-+∞，故答案为：(][),13,-∞-+∞15．16 【分析】利用基本不等式求得19a b+的最小值.【详解】依题意19199()()101010616b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+=.当且仅当1344a b ==，时等号成立.故答案为：16 16．(,1)(2,)-∞⋃+∞ 【分析】分解因式从而得到解集. 【详解】不等式2320x x -+>，即(2)(1)0x x -->，所以2x >或1x <，即解集为：(,1)(2,)-∞⋃+∞. 故答案为：(,1)(2,)-∞⋃+∞. 17．04xy <或16xy 【分析】将8111xy x y++=变形为8x y xy +=-，再结合已知条件，分类讨论，利用基本不等式即可．【详解】 8111xy x y ++=， ∴8111xy x y=-- ()xy x y xy-+=， 8()xy x y ∴=++， 8x y xy ∴+=-+，又0xy >，∴若0x >，0y >0>，82xy x y xy ∴-=+（当且仅当x y =时取等号），2)0∴，2xy -4xy 0，16xy ∴；若0x <，0y <，0x ->，0y ->，同理可得82xy xy --，(当且仅当x=y 时取等号)42xy ∴-，04xy ∴<.综上所述，04xy <或16xy ．18．（1）(,3)(1,)-∞-⋃+∞；（2）(3,)-+∞．【分析】（1）当1a =时，不等式可化简为()()310x x +->，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（2）[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，列出方程组，可求得a 的范围，进而可得答案.【详解】（1）当1a =时，()()215f x a x a >--+，整理可得2214x x ++>所以()()310x x +->，解得3x <-或1x >，故原不等式的解集为(,3)(1,)-∞-⋃+∞．（2）命题：[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，解得3a ≤-，若原命题成立，则a 的取值范围为(3,)-+∞．19．（1）[]4,2- ；（2）答案不唯一，具体见解析．【分析】（1）根据-1,2是方程20x bx c ++=的两根，利用根与系数的关系得到bc ，再利用一元二次不等式的解法求解；（2）由1b a =-，2c a =-，得到不等式2(1)20x a x a +-+->，再分3a =，3a >，3a <讨论求解.【详解】（1）由题意知：-1,2是方程20x bx c ++=的两根，由根与系数的关系，得1212b c -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得1b =-，2c =-，代入不等式280bx cx ++≥，可得：2280x x --+≥，化简得2(1)9x +≤，解得42x -≤≤，故所求不等式的解集为：[]4,2-．（2）若1b a =-，2c a =-，则不等式()0f x >化为2(1)20x a x a +-+->， ()()()2214230a a a ∆=--⨯-=-，当3a =时，不等式化为2210x x ++>，则不等式的解集为{}|1x x ≠-，当3a ≠时，两根为1,2a --，当3a >时，12a ->-，则不等式的解集为{1x x -或}2x a <-，当3a <时，21a ->-，则不等式的解集为{2x x a -或}1x <-，综上：3a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-，3a >时，不等式的解集为{1x x -或}2x a <-，3a <时，则不等式的解集为{2x x a -或}1x <-.20．证明见解析【分析】根据条件，利用作差法证明.【详解】由题意可得0ab cd >>，0，因为a b c d +=+，所以22-()()a b c d =+-+，0=>，21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）将()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开结合基本不等式即可求证；（2）44a b +和44c d +分别利用基本不等式，所得结果再次利用基本不等式即可求证.【详解】（1）因为0a >，0b >，1a b +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭．当且仅当1a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩即12a b ==时等号成立，所以114a b+≥，原不等式得证；（2）4444a b c d +++≥22222222222()a b c d a b c d =+=+2224abcd abcd ≥⨯⋅=当且仅当22222222a b c d a b c d ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即a b c d ===时等号成立，故原不等式得证.22．（1）证明见解析；（2）15x =，()min 25f x =⎡⎤⎣⎦. 【分析】（1）()222a b a b x y x y ++≥+可等价于()()222a b x y a b xy ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭，再展开()22a b x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据基本不等式即可证出，并得到等号成立的条件；（2）因为()294912212f x x x x x=+=+--，由（1）中结论，即可解出．【详解】（1）∵(),0,x y ∈+∞， ∴()()222222222a b y x x y a b a b a b a b xy x y ⎛⎫++=+++≥+++ ⎪⎝⎭，故()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当22y x a b x y =，即a b x y =时等号成立．（2）由（1）可得()()()222232325212212f x x x x x +=+≥=-+-，当且仅当23122x x =-，即15x =时上式取最小值，即()min 25f x =⎡⎤⎣⎦．。

苏教版高中数学必修5同步检测题十七基本不等式

课时跟踪检测（十七）基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)层级一学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．4．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．3C ．6 2D ．62－3解析：选 D y ＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23(x 2＋1)·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.5．已知a ＋2b ＝4，则2a ＋4b的最小值为( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．2解析：选B 由题得2a＋4b＝2a＋22b≥22a·22b＝22a ＋2b＝224＝8，当且仅当a ＝2，b＝1时取等号，∴2a＋4b的最小值为8.故选B.6．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是________．解析：y ＝3－3x －1x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．答案：3－2 37．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库与车站的距离为x 千米，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x . ∴2＝k 110，8＝k 2·10.∴k 1＝20，k 2＝45.∴y ＝20x ＋45x .∵20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．∴x ＝5千米时，y 取得最小值．答案：58．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4.答案：49．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明：法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋a b，故⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时取等号.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．解：(1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3(x >0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352. 当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．层级二应试能力达标1．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )，所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c ＋1b ＋1c ，因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ，所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc，所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc－21bc ＝－32bc<0，故选B. 2．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选 D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．3．已知函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A .若直线mx ＋ny ＝2过点A ，其中m ，n 是正实数，则1m ＋2n的最小值是( )A ．3＋ 2B ．3＋2 2C.92D ．5解析：选B 易知函数y ＝log a (x －1)＋2过定点(2,2)，∴2m ＋2n ＝2，即m ＋n ＝1，∴1m＋2n＝(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋2m n ＋n m≥3＋22m n ·n m ＝3＋22，当且仅当2m n ＝nm，即m ＝2－1，n＝2－2时取等号．故选B.4．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：145．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：30 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞7．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1>0，x 2>0，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的大小，并加以证明．证明：∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，又∵x 1>0，x 2>0，∴x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，∴lg(x 1x 2)≤lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22，即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．8．某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2018年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2018年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m≥0，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤－8＋29＝21，∴y max＝21.故该厂家2018年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

苏教版高中数学必修5同步练习：基本不等式1

3.4.2 基本不等式的应用一、填空题1．函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为 2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为3．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是 4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．5．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．6．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．二、解答题7．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值．8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?9.已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．10.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？参考答案1答案 32答案 4 2 解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2. 3答案 4解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．4答案 1 760解析设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 5答案 8解析 ∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0.1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4m n ＝8.当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n 的最小值为8.6答案 14解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.7解 (1)2x ＋y ＝3(2x ＋y )3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y 时取“＝”，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，求出x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9. 8解设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．解方法一 ∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b )24，设a ＋b ＝t ，t >0，则t 2≥4t ＋12.解得：t ≥6 (t ≤－2舍去)，∴(a ＋b )min ＝6.方法二 ∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1>0，∴a >1. ∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋4a －1＋1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2(a －1)·4a －1＋2＝6. 当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号． 10解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S ，则S=xy.方法一由于23x y+≥=，18,∴≤得27,2 xy≤即27,2S≤当且仅当23,x y=等号成立，由2318,23,x yx y+=⎧⎨=⎩解得4.5,3,xy=⎧⎨=⎩故每间笼长为4.5m,宽为3m, 可使面积最大，方法二由2318x y+=，得39,2 x y =-x>0, ∴0<y<6,23(6)27, 222y yS-+⎡⎤≤⋅=⎢⎥⎣⎦当且仅当6,y y-=即3,y=时，等号成立，此时 4.5,x= (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l，则l=4x+6y.方法一2324,x y+≥==462(23)48,l x y x y=+=+≥当且仅当23x y=时等号成立，由23,24,x yxy=⎧⎨=⎩解得6,4,xy=⎧⎨=⎩故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．。

基本不等式练习测验题(苏教必修)

基本不等式一、填空题：（每小题5分，计50分）1.若x>0,y>0且281x y+=，则xy 地最小值是；2.若x 、y R +∈且x+3y=1，则Z =3.若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 地最小值是；4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy 最大值为；5.点（x ，y ）在直线x+3y-2=0上，则3273x y++最小值为； 6.若数列{n a }地通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项； 7.设a ，b R +∈，a+2b=3，则11a b+最小值是； 8.当x>1时，则y=x+21161x x x ++地最小值是； 9.已知不等式（x+y ）1()9a x y+≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 地最小值为； 10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年地总存储费用为4x 万元，要使一年地总运费与总存储费用之和最小，则x=吨.二、解答题：（12分×3+14分，计50分）11.在△ABC 中，已知A=600，a=4，求△ABC 地面积地最大值.12.已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-地最小值及取最小值时地x 、y 地值.13.已知a 、b 、c 都为正数，且不全相等，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++14.已知定点(6,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点地直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小地直线l 方程.参考答案1.642.3.64.45.96.1187.1+38.89.410.2012.当且仅当21x y =⎧⎨=⎩时所求地最小值是813.略14.设(,4)(0)Q a a a >①6a ≠时，44:4(6)6PQ a l y x a --=-- 令0y =，得4(6)560441M a a x a a --=+=>-- 故1a >2110110(12)211OQM Q M a S y x a a a ∆=⋅==-++-- 1121a a -+≥-，110(12)401a a -++≥-（当且仅当2a =时取“＝”号）所以当2a =时，min ()40OQM S ∆= ②当6a =时，11624724022OQM Q M S y x ∆=⋅=⨯⨯=> 由①②得，当2a =时，min ()40OQM S ∆=，此时(2,8)Q ，:100PQ l x y +-=版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.p1Ean 。

苏教版高中数学必修五基本不等式同步练习

南京市高三数学单元检测——不等式一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．已知集合}21|{≤-=x x A ，}086|{2<+-=x x x B ，则A B I 等于（）A ．[)4,1-B ．（2，3）C ．(]3,2D ．（－1，4） 2．“b a >”是“ba 11<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若0,0>>b a ，则不等式a xb <<-1等价于（） A ．a x x b 1001<<<<-或 B ．b x a 11<<-C ．b x a x 11>-<或D ．ax b x 11>-<或4．某种产品的年产量情况是：第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，且p >0，q >0，如果这两年的年平均增长率为x %，则有（）A ．2p q x +=B ．2p q x +≥C ．2p q x +≤D ．2p qx +> 5．对于01a <<,给出四个不等式：①1log (1)log (1)a a a a +<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+③111aaaa++< ④111aaaa++>其中成立的是（）A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④6．已知函数2cos 4sin 6y x x θθ=⋅-⋅+对一切实数x 恒有0y >，且θ是三角形的一个内角，则θ适合的条件是（） A ．06πθ<<B ．03πθ<<C ．62ππθ<<D ．32ππθ<<7．若222214a b x y +=+=，，则by ax +的最大值是（）A ．52B ．2CD ．28．若不等式20x mx n ++<的解集为(1，2)，则不等式220x mx nx nx m++≥-+的解集是（） A ．{|1123}x x x x ≤-≤≤≥或或 B ．{|1123}x x x x ≤-≤≤≥或或C ．{|1123}x x x x <-<<>或或D ．{|1123}x x x x <-≤≤>或或 9．设x y ∈，R +，19=+y x ，则111=+yx 的最小值是（） A ．12 B ．16 C ．18 D ．2010．设a b ，为实数，不等式|2||2|ax x b +≥+的解集为R ，则a b ，应满足的充要条件是（）A ．24a > B ．4a b ⋅= C ．24a >且4a b ⋅= D ．24a >或4a b ⋅= 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．函数x x f 2log 2)(-=的定义域为______________。

2022-2022年高二必修五3.4基本不等式练习数学试卷(苏教版)

2022-2022年高二必修五3.4基本不等式练习数学试卷（苏教版）解答题某地政府决定建造一批保障房供给社会，缓解贫困人口的住房问题，计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．注：每平方米平均综合费用＝.(1) 求k的值；(2) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？【答案】（1）k＝50；（2）故该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元.【解析】试题分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用/所有建筑面积，列式求出k的值；（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f(n)，同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f(n)的表达式，然后利用基本不等式求出f(n)的最小值，并求出层数．试题解析：(1) 如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10，所以1 270＝{16 000 000＋[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k ＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×5)，解得k＝50.(2) 设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f(n)，由题设可知f(n)＝{16 000 000＋[(50＋800)＋(100＋800)＋…＋(50n＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×n)＝＋25n＋825≥2＋825＝1 225，当且仅当＝25n，即n＝8时，等号成立．故该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．填空题已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的最小值是__________．【答案】－【解析】对任意恒成立，即恒成立，即.设，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝.∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴，∴，故a的最小值是－.填空题设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是__________．【答案】【解析】，等号仅当，即时成立．填空题若正实数满足：，则的最大值为.【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时取等号，故的最大值为解答题(1) 若x＞1，求x＋的最小值；(2) 若x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求xy的最小值．【答案】（1）5；（2）64.【解析】试题分析：（1）把原式转化成x＋＝x－1＋＋1，整理后利用基本不等式求得最小值．（2）表示出xy，利用基本不等式求得的最小值，则xy的最小值可得．试题解析：(1) ∵x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，等号当且仅当x－1＝，即x＝3时成立，∴当x＝3时，x＋取最小值5.(2) ∵x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，∴xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，xy≥64，等号当且仅当2x＝8y即x＝4y时成立．将x＝4y代入2x＋8y－xy＝0得正数y＝4，于是x＝16.故y＝4，x＝16时，xy取最小值64.填空题设a，b，c都是正数，且ab－4a－b＝0，则使a＋b－c≥0恒成立的c的取值范围是__________．【答案】(0，9]【解析】∵，∴9，等号仅当，即a＝3，b＝6时成立．又c≤a＋b恒成立，∴c ≤9.填空题函数y＝(x>－1)的最小值是__________．【答案】9【解析】∴y，等号仅当，即时成立．∴当时，函数取得最小值为9.填空题函数f(x)=的最大值为___________．【答案】【解析】时，解答题函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A.(1) 求点A的坐标；(2) 若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n都是正数，求的最小值．【答案】（1）定点A的坐标是(－2，－1)；（2）8.【解析】试题分析：（1）根据对数函数的性质可求出A的坐标，（2）将出A的坐标代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．试题解析：(1) ∵仅当x＝－2时，函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的函数值与a无关，且此时y＝－1，∴定点A的坐标是(－2，－1)．(2) 将点A(－2，－1)的坐标代入mx＋ny＋1＝0，得(－2)?m＋(－1)?n＋1＝0，2m＋n＝1，∵m，n>0，∴＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.等号当且仅当＝，即m＝，n＝时成立．故当m＝，n＝时，＋取最小值为8.填空题已知函数，则函数的值域为．【答案】【解析】试题分析：因为函数是分段函数，因此值域也需要分段求，当x>0，转化为对勾函数；当时，根据指数函数的单调性即可．,∴当x>0时，,当时，，综上函数的值域是．填空题已知正数x、y满足，则的最小值是.【答案】8【解析】试题分析：由（当且仅当即时等号成立）.填空题已知a，b都是正数，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为__________．【答案】2【解析】∵都是正数，∴，∴，等号仅当时成立．。

基本不等式的证明小练习高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

3.2.1基本不等式的证明小练习一、单项选择题1. 若a >0，b >0，则“a ＋b ＝2”是“ab ≤1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2. 在不等式41x -＋(x －1)≥4(其中x ＞1)中，等号成立的条件是( )A. x ＝－2B. x ＝－3C. x ＝2D. x ＝33. 若a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列结论中正确的是( ) A. a 2＋b 2≤12B.ab ≥12C. 1ab≥4D.11a b+≤4 4. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 上的一点(不同于点A ，B ，O )，点D 在半圆O 上，且CD ⊥AB ，CE ⊥OD ，垂足为E ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的“无字证明”为( ) A.ab ≤2a b+(a >0，b >0) B.2a b +<2aba b+(a >0，b >0，a ≠b ) C. 2aba b +≤ab (a >0，b >0)D. 2ab a b +<ab <2a b +(a >0，b >0，a ≠b )二、多项选择题5. 下列命题中，正确的是( )A. 若a ≠0，则a 2＋21a>2B. 若a <0，则a ＋4a≥－4C. 若a >0，b >0，则a ＋b ≥abD. 若a <0，b <0，则b aa b+≥2 6. 设a ＞0，b ＞0，则下列结论中正确的是( )A. (a ＋2b )12()a b +≥9B. a 2＋b 2≥2(a ＋b ＋1)C. 2a b ＋2b a≥a ＋bD.2aba b+ab 三、填空题7. 已知a ＞b ＞c ，则()()a b b c --2a c-的大小关系是__________________． 8. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是________．(填序号) ①1ab ≤14； ②11a b+≤1； ③a 2＋b 2≥8. 四、解答题9. (1) 已知a ，b 为正实数，且11a b+＝4，求证：a ＋b ≥1； (2) 设a ，b ，c 为正数，求证：bc ca aba b c++≥a ＋b ＋c.10. 已知x ，y ，z 是互不相等的正实数，且x ＋y ＋z ＝1.求证：111(1)(1)(1)x y z---＞8.参考答案一、单项选择题1. 若a >0，b >0，则“a ＋b ＝2”是“ab ≤1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【解析】a >0，b >0，根据基本不等式可得ab ≤2()2a b +＝1，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以“a ＋b ＝2”是“ab ≤1”的充分条件；当ab ≤1时，显然a ＋b ＝2不一定成立，所以“a ＋b ＝2”不是“ab ≤1”的必要条件，所以“a ＋b ＝2”是“ab ≤1”的充分不必要条件．故选A ．2. 在不等式41x -＋(x －1)≥4(其中x ＞1)中，等号成立的条件是( )A. x ＝－2B. x ＝－3C. x ＝2D. x ＝3【解析】由基本不等式知等号成立的条件为41x -＝x －1，即x ＝3(x ＝－1舍去)．故选D ．3. 若a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列结论中正确的是( ) A. a 2＋b 2≤12B.ab ≥12C. 1ab≥4D.11a b+≤4 【解析】因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥ab ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故B ab ≤12，得ab ≤14，所以1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－12＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故A 错误；由a >0，b >0，且a ＋b ＝1，得11a b +＝11()a b+(a ＋b )＝2＋b a a b +≥2＋b a a b ⋅4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故D 错误．故选C ．4. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 上的一点(不同于点A ，B ，O )，点D 在半圆O 上，且CD ⊥AB ，CE ⊥OD ，垂足为E ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的“无字证明”为( ) A. ab ≤2a b+(a >0，b >0) B. 2a b +<2ab a b+(a >0，b >0，a ≠b )C.2aba b+≤ab (a >0，b >0) D.2ab a b +<ab <2a b+(a >0，b >0，a ≠b ) 【解析】由AC ＝a ，BC ＝b ，可得半圆O 的半径DO ＝2a b+，DC ＝22OD OC -＝22()()22a b a b +--＝ab ，DE ＝2DC DO ＝2ab a b +.因为DE <DC <DO ，所以2ab a b +<ab <2a b+(a >0，b >0，a ≠b )．故选D ．二、多项选择题5. 下列命题中，正确的是( )A. 若a ≠0，则a 2＋21a>2B. 若a <0，则a ＋4a≥－4C. 若a >0，b >0，则a ＋b ≥2abD. 若a <0，b <0，则b aa b+≥2 【解析】对于A ，a ≠0，a 2＋21a ≥2221a a⋅＝2(当且仅当a ＝±1时取等号)，故A 错误；对于B ，当a <0时，a ＋4a ＝－4()a a -+- ≤42a a --⋅-＝－4(当且仅当a ＝－2时取等号)，故B 错误；对于C ，根据基本不等式可知C 正确；对于D ，若a <0，b <0，则b a a b +≥2b aa b⋅＝2(当且仅当a ＝b 时取等号)，故D 正确．故选CD .6. 设a ＞0，b ＞0，则下列结论中正确的是( )A. (a ＋2b )12()a b+≥9B. a 2＋b 2≥2(a ＋b ＋1)C. 2a b ＋2b a≥a ＋bD.2aba b+ab 【解析】对于A ，(a ＋2b )12()a b +＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a a b ⋅＝9，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于B ，因为a 2＋b 2－2(a ＋b ＋1)＝(a －1)2＋(b －1)2－4≥－4，故B 错误；对于C ，因为2a b ＋b ＋2b a ＋a ≥2a b b ⋅＋2ba a⋅＝2a ＋2b ，所以2a b ＋2b a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于D ，因为a ＋b ≥ab 所以(a ＋b ab ≥2ab ，即2aba b+ab 当且仅当a ＝b 时等号成立，故D 正确．故选ACD .三、填空题7. 已知a ＞b ＞c ，则()()a b b c --2a c-的大小关系是__________________．【解析】因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以()()a b b c --≤()()2a b b c -+-＝2a c-，当且仅当a －b ＝b －c 时，取得等号．故答案()()a b b c --2a c- 8. 若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是________．(填序号)①1ab ≤14； ②11a b+≤1； ③a 2＋b 2≥8. 【解析】因为a >0，b >0且a ＋b ＝4，a ＋b ≥ab ab ≤2，当且仅当a＝b ＝2时，等号成立，即ab ≤4，所以1ab ≥14，所以①不成立；由11a b +＝14·(a＋b )11()a b +＝14(2)b aa b ++≥14(22)b a a b +⋅＝1，当且仅当b a a b =，即a ＝b ＝2时，等号成立，所以11a b+≥1，所以②不成立；a 2＋b 2＝2()a b +－2ab ＝16－2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立，所以③成立．故答案为：③．四、解答题9. (1) 已知a ，b 为正实数，且11a b+＝4，求证：a ＋b ≥1； (2) 设a ，b ，c 为正数，求证：bc ca aba b c++≥a ＋b ＋c. 【解析】 (1) 因为a ，b 为正实数，且11a b+＝4，所以a ＋b ＝14(a ＋b )11()a b +＝14(2)b aa b++≥14(2)b a a b +⋅＝1.当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以原不等式成立． (2) 因为a ，b ，c 均是正数，所以bc a ，ca b，abc 均是正数，所以bc ca a b +≥2c ，ca ab b c +≥2a ，ab bc c a +≥2b ，三式相加，得2()bc ca ab a b c ++≥2(a ＋b ＋c )，所以bc ca aba b c++≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，取得等号，故原不等式成立． 10. 已知x ，y ，z 是互不相等的正实数，且x ＋y ＋z ＝1.求证：111(1)(1)(1)x y z---＞8.【解析】因为x ＋y ＋z ＝1，x ，y ，z 是互不相等的正实数，所以111(1)(1)(1)x y z ---＝y z z x x yx y z +++⋅⋅222yz xy zx ＝8，所以111(1)(1)(1)x y z---＞8.。