平均数与频率分布直方图的关系
人教版高中数学必修三第二章第2节用样本的数字特征估计总体的数字特征 课件 (2)
2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：S 0。 当 S 0 时，意味着所有的样本数据都等于样本 平均数。
课后作业：
课本 P81 习题2.2 A组 6、7.
P79练习答案
解: 依题意计算可得
x1=900 s1≈23.8
x2=900 s2 ≈42.6
如果你是教练，你应当如何对这次射击情 况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应 当如何作出选择？
x甲7
x乙7
两人射击 的平均成绩是一样的. 那么两个
人的水平就没有什么差异吗?
频率 0.3
0.2
0.1 频率
4
频率
5 67 8 (甲)
9 10
0.4 0.3
0.2 0.1
4 5 6 7 8 9 10 (乙)
于，是 样本 x1,x2 数 , xn到 据 x 的 “平均 ”是 ：距离
x1xx2xxnx
S
.
n
1.标准差定义：是样本数据到平均数的一种平 均距离。它用来描述样本数据的分散程度。在 实际应用中，标准差常被理解为稳定性。
假设样本数据是 x1,x2,xn, 平均数是 x
2、标准差算法及其公式为：
1）算出样本数据的平均数 。 2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差： 3）算出（２）中 的平方。 4）算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。 5）算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
s1 n[x (1x)2(x2x)2 (xnx)2]
3.关于标准差的说明： 1）标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较 小，数据的离散程度较小。
规律：标准差越大， 则a越大，数据的 离散程度越大；反 之，数据的离散程 度越小。
_众数,中位数,平均数与频率分布直方图
谢谢观看！ 2020
月均用水量
/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
三 三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.如上例中众数是 2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的 居民数比月均用水量为其它数值的居民 数多,但它并没有告诉我们多多少.
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月 均用水量的问题中，从这些样本数据的频 率分布直方图可以看出，月均用水量的众 数是2.25t.如图所示：
频率分布直方图如下：
频率 组距
众数（Байду номын сангаас高的矩形的中点）
2200 1500
1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观
地反映该厂的工资水平吗？为什么？
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反映该工厂的 工资水平。
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均 数的估计值等于频率分布直方图中每个 小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和。 给出.下图显示了居民月均用水量的平 均数: x=2.02
频率分布直方图如下：
频率 组距
平均数
0.50
0.40
0.30
7用频率分布直方图估计总体的数字特征
用频率分布直方图估计总体的数字特征
众数、中位数、平均数、 方差、 标准差
教学目标： 1.能用频率分布直方图估计总体的平均数，
正确理解样本数据标准差的意义，会计算数据 的标准差。
2.会用样本的基本数字特征估计总体的基 本数字特征。
3，理解数形结合的数学思想和逻辑推理 的数学方法。
本课重点：中位数，平均数的计算，方差的意 义和计算方法。
成绩(单 位： 米)
人数
1．50 1．60 1．65
2
3
2
1．70 3
1．75 4
1．80 1
1．85 1
1．90 1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与 平均数
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的 次数最多，即这组数据的众数是1.75．
上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的 一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
解:（1）由直方图的性质可得 （0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1， 解方程得x=0.0075， ∴直方图中x的值为0.0075
（2）月平均用电量的众数是230. 前三组的频率为（0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5 第四组的频率为0.0125×20=0.25
频率分布直方图中的基本计算问题
所以该样本的中位数为2.02
3.由频率分布直方图估计样本平均数公式：
每个小矩形底边中点的横坐标与对应矩形面积的 乘积之和
平均数
a1
2
b1
•
S1
a2
2
b2
•
S2
a3
2
b3
•
S3...
an
2
bn
•
Sn
（S为区间a, b对应矩形的面积）
0.4
0.04
0.03 0.3
0.2
0.02
0.1
0.01
各小组内频率的大小。
（2）小矩形面积之和为1
（3）频率
频数 样本容量
频数 频率 样本容量
样本容量
频数 频率
1.求某一小矩形的高：利用所有小矩形面积之和为1
2.求众数：最高矩形底边中点的横坐标
3.求平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与对应矩形面 积的乘积之和
4.求中位数：线段之比=面积之比（或面积之和为0.5）
O
取一人，估计其上学路上所需
时间超过60分钟的概率。
时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
O 0.5
1
1.5 2
2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
例题分析:月均用水量的众数是2.25t.如图所示：(2+2.5)/2=2.25
2、从频率分布直方图中估计中位数（中位数左边立方图的小矩形 面积为0.5）
频率/组距
0.404.50
0.40 0.30
0.16 0.20 0.08 0.10
5.求样本数据在某一区间内的频数：样本容量X该区间小 矩形的面积总和
高中数学必修二统计概率知识点总结
必修第二册第九章 统计知识点总结知识点一：简单随机抽样1. 全面调查和抽样调查2.简单随机抽样的概念放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地,设一个总体含有N(N 为正整数)个个体,从中逐个抽取n (1≤n<N)个个体作为样本如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本3.抽签法先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数.调查方式全面调查(普查)抽样调查定义对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为 抽样调查相关概念总体:在一个调查中,我们把调查对象的全体称为总体.个体:组成总体的每一个调查对象称为个体样本:把从总体中抽取的那部分个体 称为样本.样本量:样本中包含的个体数称为 样本量4.随机数法(1)定义:先把总体中的个体编号,用随机数工具产生已编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个体数.(2)产生随机数的方法:(i)用随机试验生成随机数;(ii)用信息技术生成随机数.5.总体均值和样本均值(1)总体均值:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,则称Y=Y1+Y2+⋯+Y NN =1N∑i=1NY i为总体均值,又称总体平均数.(2)总体均值加权平均数的形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数f i(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1N ∑i=1kf i Y i.(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,y n,则称y=y1+y2+⋯+y nn =1n∑i=1ny i为样本均值,又称样本平均数.6.分层随机抽样的相关概念(1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.(3)进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的关系①样本容量n总体容量N =该层抽取的个体数该层的个体数;②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比;③样本的平均数和各层的样本平均数的关系:w=mm+n x+nm+ny=MM+Nx+NM+Ny.1.画频率分布直方图的步骤(1)求极差:极差为一组数据中最大值与最小值的差;(2)决定组距与组数:当样本容量不超过100时,常分成5-12组,为方便起见,一般取等长组距,并且组距应力求“取整”;(3)将数据分组;(4)列频率分布表:一般分四列:分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量,频率合计是⑥1;.(5)画频率分布直方图:横轴表示分组,纵轴表示频率组距=频率,各小长方形的面积的总和等于1.小长方形的面积=组距×频率组距2.其他统计图表统计图表主要应用扇形图直观描述各部分数据在全部数据中所占的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率反映统计对象在不同时间(或其他合适情形)的发展折线图变化情况1.第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步,按从小到大排列原始数据.第2步,计算i=n×p%.第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.四分位数:第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.知识点四：总体集中趋势的估计1.众数、中位数和平均数的定义(1)众数:一组数据中出现次数最多的数.(2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数.如果这组数据是偶数个,则取中间两个数据的平均数.(3)平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3)众数:众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高小长方形底边的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和;②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点1.一组数据x1,x2,…,x n的方差和标准差数据x1,x2,…,x n的方差为1n ∑i=1n(x i-x)2=1n∑i=1nx i2-x2,标准差为√1n∑i=1n(x i-x)2.2.总体方差和总体标准差(1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,Y N,总体的平均数为Y,则称S2= 1N ∑i=1N(Y i-Y)2为总体方差,S=√S2为总体标准差.(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Y k,其中Y i出现的频数为f i(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= 1N ∑i=1kf i(Y i-Y)2.3.样本方差和样本标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,y n,样本平均数为y,则称s2= 1n ∑i=1n(y i-y)2为样本方差,s=√s2为样本标准差.4.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.5.分层随机抽样的方差设样本容量为n,平均数为x,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为x1,x2,方差分别为s12,s22,则这个样本的方差为s2=n1n [s12+(x1-x)2]+n2n[s22+(x2-x)2].必修第二册第十章概率知识点总结知识点一：有限样本空间与随机事件1.随机试验的概念和特点(1)随机试验:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.(2)随机试验的特点:(i)试验可以在相同条件下重复进行;(ii)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.2.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}3.事件的类型我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.而空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样,每个事件都是样本空间Ω的一个子集.知识点二：事件的关系和运算1.包含关系定义一般地,若事件A 发生,则事件B 一定发生,我们就称事件B 包含事件A(或事件A 包含于事件B)含义 A 发生导致B 发生 符号表示B ⊇A(或A ⊆B)图形表示特殊情形如果事件B 包含事件A,事件A 也包含事件B,即B ⊇A 且A ⊇B,则称事件A 与事件B 相等,记作A=B2.并事件(和事件)定义一般地,事件A 与事件B 至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中,或者在事件B 中,我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或 和事件)含义 A 与B 至少有一个发生符号表示A ∪B(或A+B)图形表示3.交事件(积事件)定义一般地,事件A 与事件B 同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B 中,我们称这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积 事件)含义 A 与B 同时发生 符号表示A ∩B(或AB)图形表示4.互斥(互不相容)一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能定义事件,即A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B=⌀图形表示5.互为对立一般地,如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=定义Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为A 含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B=⌀,且A∪B=Ω图形表示6.清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.符号事件的运算集合的运算A 随机事件集合A A的对立事件A的补集AB 事件A与B的交事件集合A与B的交集A∪B 事件A与B的并事件集合A与B的并集知识点三：古典概型1.古典概型的定义试验具有如下共同特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.2.古典概型的概率计算公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= kn =n(A)n(Ω),其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.知识点四：概率的基本性质1.概率的基本性质性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2 必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5 如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).知识点五：事件的相互独立性1.相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A 与事件B相互独立,简称为独立.2.相互独立事件的性质：当事件A,B相互独立时,则事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立,事件A与事件B相互独立.【提示】公式P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情形:如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2·…·A n)=P(A1)P(A2)·…·P(A n).3. 两个事件是否相互独立的判断方法(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B为相互独立事件.4.求相互独立事件同时发生的概率的步骤:①首先确定各事件之间是相互独立的.②求出每个事件的概率,再求积.5.事件间的独立性关系已知两个事件A,B相互独立,它们的概率分别为P(A),P(B),则有事件表示概率A,B同时发生AB P(A)P(B)A,B都不发生A B P(A)P(B)A,B恰有一个发生(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至少有一个发生(A B)∪(A B)∪(AB) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)A,B中至多有一个发生(A B)∪(A B)∪(A B) P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)。
高三数学众数、中位数、平均数
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。 例如，在上一节调查的100位居民的月 均用水量的问题中，从这些样本数据的频 率分布直方图可以看出，月均用水量的众 数是2.25t.如图所示：
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
孝，可是，盈儿„„”“不管你有啥啊天大的理由，反正你就是不能去你二哥那里！”“娘亲！”“盈儿，爹娘连想都没有想过让你去四川的事 情。五年前是因为你二哥在京城需要有人照应，爹娘没有办法，不得已而为之的事情。去年是因为有你二哥壹路同行，而且你二哥也没有娶妻， 所以娘才同意你去四川。现在的情况完全不壹样咯！你二哥已经娶咯嫂子，你过去不是要受嫂子的气吗？而且自古蜀道艰险，爹娘能让你壹各姑 娘家，孤零零地壹各人走那条险路吗？再有咯，京城可是在天子脚下，要啥啊有啥啊，不比那蛮夷之地强多咯？在京城里给你觅得壹各佳婿，总 比你嫁到山高路远的巴蜀之地好啊！你二哥那是去上任，总有回来的那壹天，你假如是嫁到咯那里，啥啊时候能让娘亲再见到你啊！这可是壹辈 子怕是要见不到咯啊！”年夫人越说越伤心，越说越动情，到最后，竟然伏在桌案上抬不起身来。玉盈也是被娘亲的话感动得热泪盈眶，更为自 己只为咯躲避王爷而惹得娘亲如此伤心而内疚不已。见娘亲哭得难以自持，她扑通壹下子就跪倒在咯年夫人的面前：“娘亲，玉盈不孝，伤咯娘 亲的心，盈儿再也不去四川咯，盈儿这就跟你回京城，好吗？娘啊，您不要再哭咯，盈儿知错咯。”“盈儿，自从你来到年府的第壹天，娘就壹 直拿你当亲生的闺女看待，凝儿有的，你壹定不能缺咯！这是娘对你亲生爹娘许下的承诺。”“娘，盈儿知错咯，您千万不要再难过咯。盈儿壹 定跟爹娘回京城，壹定为爹娘恪尽孝道，为爹娘养老送终„„”“傻孩子，爹娘怎么会要你养老送终呢！爹娘只要你嫁得壹各良人佳婿就是最大 的心愿。”“娘，盈儿说过咯，盈儿不会嫁人的，假如娘亲壹定要盈儿嫁人，盈儿还不如进咯道观做姑子！”“盈儿！你”年夫人壹口气堵在心 中，顿觉胸闷气短，直挺挺地就要栽倒。眼见着闯咯大祸的玉盈吓得啥啊也不敢再说，壹边喊人请大夫，壹边将娘亲扶到咯床上。大夫很快就请 来，仔细诊治壹番，见没有大碍，留下方子就走咯。大夫走后，年老爷、玉盈壹直守在夫人的身边。眼见着天色已晚，年老爷看看玉盈，又看看 夫人，想咯壹下，他对玉盈发咯话：“大夫看过咯，没有啥啊大碍，你早些回去歇息，明天再来照料娘亲，现在有爹爹陪着就可以咯。”“爹爹， 您的身体会受不住的，这些还是由盈儿来做吧。”“爹爹说啥啊，你听啥啊就是咯，爹爹自有爹爹的安排。”玉盈见状，只好和翠珠两人又忙咯 半天，把壹切料理妥当才离开。听见玉盈走咯，年夫人才慢慢地睁开咯眼睛。果然猜得不假，年大人心中有咯底。第壹卷 第201章 疑问“夫人 这又是为何事跟盈儿闹咯脾气？气坏咯身体可就不值当咯。”“唉，老爷，妾身这可就是想不
众数、平均数、中位数与频率分布直方图的关系
众数、平均数、中位数与频率分布直方图的关系
众数、平均数、中位数与频率分布直方图的关系，这一块知识点都不难，就是我们在平时的学习过程中不重视或者说不注意所以会导致有时候没有思路，不知道怎么操作，今天给大家详细介绍一下这种关系。
1、众数
众数在样本数据的频率分布直方图中就是最高矩形中点的横坐标大家通过上述图中，应该很明显，众数就是最高矩形中点的位置即为2.25
2、中位数
在样本中，有50%的个体小于或者等于中位数，同时也有50%的个体大于或者等于中位数，所以，在频率分布直方图中，在中位数的左边和右边直方图的面积是相等的。
从而我们可以根据这个来估算出中位数的大小值。
从上数频律分布直方图中，我们可以计算出来，大致的位置。
3、平均数
平均数是频率分布直方图的重心，他等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在改组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和。
今天比较忙，就先介绍到这里。
众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
例 某工厂人员及工资构成如下：
人员
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合00
人数
16
5
10 1 23
合计
2200 1500 1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观
地反映该厂的工资水平吗？为什么？
一 众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组 数据的集中趋势的特征数，只是描述的角 度不同，其中以平均数的应用最为广泛.
众数：在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．
中数：将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或最中 间两个数据的平均数）叫做这组数据的 中位数．
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均
数由公式: X=
1 n
(x1
x2
xn
)
给出.下图显示了居民月均用水量的平 均数: x=1.973
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水量(t)
2、在样本中，有50％的个体小于或等于 中位数，也有50％的个体大于或等于中位 数，因此，在频率分布直方图中，中位数 左边和右边的直方图的面积应该相等，由 此可以估计中位数的值。下图中虚线代表 居民月均用水量的中位数的估计值，此数 据值为2.03t.
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的 次数最多，即这组数据的众数是1.75．
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X-3
Y
标准差为Z----------。
②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3平均数为 ----------，方差为-
-------，
3X
32Y
标准差为3-Z---------。
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为-----------2，X-方3 差为-------
----，
22Y
2Z
标准差为----------。
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四、变量间的相互关系
基础知识框图表解 变量间关系
函数关系 相关关系
散点图 线形回归 线形回归方程
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重点知识回顾
1、相关关系 （1）概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一
定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 （2）相关关系与函数关系的异同点。 相同点：两者均是指两个变量间的关系。 不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果关系；
中点,得到频率分布折
线图
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
0.5
1 1.5 2 2.5 3
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3.5 4
月均用水量 /t
4.5
总体密度曲线
频率 组距
月均用 水量/t
ab
（图中阴影部分的面积，表示总体 在某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
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茎叶图
甲
乙
80
463 1
25
试从以上数据中，对该地区12岁男生的身高情况进行大 致的推测。
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ห้องสมุดไป่ตู้
解：频率分布表如下：
分组
125.45, 130.45 130.45, 135.45 135.45, 140.45 140.45, 145.45 145.45, 150.45 150.45, 155.45 155.45, 160.45
5. 标准差
S=
1 n
[ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
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注： 方差的另外几种形式
( 1 )s 2 1 n (x 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2
(2 )s21 nx 1 2 x 2 2 x n 2 n (x )2
(3 )s2 1 nx 1 2 x 2 2 x n 2 n (x )2
( x 1 x 1 a ,x 2 x 2 a , ,x n x n a )
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请你完成下列结论
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差Y, 标准差Z,
则
X+3
Y
①数据a1+3，Za2 + 3，a3 +3 ，…，an +3平均数为--------，方差为----
---，
练习讲解： 1、教材 P100 2、作业本A P28 P38
作业： 作业本A P39
11-18 P41 1-6
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x= 1
n
( x1+x2+…+xn)
叫n个数的算术平均数,简称平均数
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众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方 图中，就是最高矩形的中点的横坐标。
2、在频率分布直方图中，中位数左 边和右边的直方图的面积应该相等，由此可 以估计中位数的值。
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.
相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但 可能是伴随关系）。
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2、两个变量的线性相关
（1）回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫
回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确 定关系的某种确定性。
（2）散点图 A、定义；B、正相关、负相关。
3、回归直线方程
注:如果关于两个变量统计数据的散点图呈现发散状,则 这两个变量之间不具有相关关系.
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二、画频率分布直方图的步骤
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) 知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1
2、决定组距与组数（将数据分组） 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距 组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
3、 将数按据数分据组多(8少.2常取分整5,-分12为组9。组组 ) 数=极 组差 距04..518.2
合计
频数
6 7 14 17 5 4 2 55
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频率
0.109 0.127 0.255 0.309 0.091 0.073 0.036 1.00
频率/组距
频率分布条形图如下：
频率 组距
125.45 130.45
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身高
160.45
频率分布直方图如下：
频率
连接频率分布直方图
组距
中各小长方形上端的
是直方图的平衡点. 精品课件
频率 组距
0. 05.4
0.3
0.2
0. 1
O 0.5 1
1.5 2
4.5
月平均用水量(t)
2.5 3
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3.5 4
4 数据x1、x2、…、xn中平均数为x , 则
S2=
1
n
[(x1－x)2＋ (x2－x)2 ＋…＋ (xn－x)2 ]
叫做这组数据的方差
方差反映数据波动大小,方差越大,则波动越大, 越不稳定
统计复习课
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我国首颗月球探测卫星嫦娥一号发射成功
24日18时5分， 我国在西昌卫星 发射中心用长征 三号甲运载火箭 将嫦娥一号卫星 成功送入太空。 嫦娥一号是我国 自主研制的第一 颗月球探测卫星 ，它的发射成功 ，标志着我国实 施绕月探测工程 迈出重要一步
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一、三种抽样方法的比较
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4、列出频率分布表.(填写频率/组距一栏) 5、画出频率分布直方图。
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例
题 抽查某地区55名12岁男生的身高（单位：cm）的测
量值如下： 128.1 144.4 150.3 146.2 140.6 126.0
125.6 127.7 154.4 142.7 141.2 142.7 137.6 136.9 132.3 131.8 147.7 138.4 136.6 136.2 141.6 141.1 133.1 142.8 136.8 133.1 144.5 142.4 140.8 127.7 150.7 160.3 138.8 154.3 147.9 141.3 143.8 138.1 139.7 142.9 144.7 148.5 138.3 135.3 134.5 140.6 138.4 137.3 149.5 142.5 139.3 156.1 152.2 129.8 133.2
36 8 2
54
43 8 9 3
1616
79 4
15
49
0
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三、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1. 把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置 的一个数据或中间两数的平均数叫这组数据的 中位数
2.一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做 这组数据的众数 (可能有多个或没有众数)
3.n个数x1,x2,…,xn,
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3、回归直线方程
计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
n
n
y (xi x)(yi y)
xi
nxy
i
b i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2
2
nx
,
i1
i1
a ybx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二精品乘课件法