2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014高考全国2卷数学文科试题及答案详解解析
2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A { 2,0,2} ，2B {x| x x 2 0}，则A B=2 0 2(A) （B）（C）(D)考点：交集及其运算．分析：先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答：解：∵ A={﹣2，0，2}，B={x|x2 ﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选： B点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．1 3i（2）1 i()（A）1 2i （B） 1 2i （C）1-2i (D) 1-2i考点：复数代数形式的乘除运算．分析：分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可．解答：解：化简可得====﹣1+2i故选： B点评：本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．f x在x x0 处导数存在，若（3）函数p: f (x ) 0;q : x x0 0是f x 的极值点，则()（A） p 是 q 的充分必要条件（B） p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件（C） p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件(D) p 既不是 q的充分条件，也不是q 的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有分析：根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：函数f（x）=x3 的导数为f'（x）=3x2，由 f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0 是 f（x）的极值点，则f′（x0）=0 成立，即必要性成立，故p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件，故选： C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．1（4）设向量a,b 满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6，则a·b= ()（A）1 （B）2 （C）3 (D) 5考点：平面向量数量积的运算．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：∵| + |= ，| ﹣|= ，∴分别平方得，+2 ? + =10，﹣2 ? + =6，两式相减得4? ? =10﹣6=4，即? =1，故选： A点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．（5）等差数列a n 的公差为2，若a2 ，a4 ，a8成等比数列，则a n 的前n 项Sn =()n n 1 n n 1n n 1 n n 12 2 （A）（B）（C）(D)考点：等差数列的性质．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4 可得 a1，代入求和公式可得．解答：由题意可得a42=a2?a8，即 a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d，=2n+× 2=n（n+1），故选： A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()17 5 10 1（A ）27 （B）9 （C） 27 (D)3考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3 高为 2，一个是底面半径为2，高为 4，组合体体积是：32π?2+22π?4=34π．底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π× 6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选： C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．2正三棱柱ABC A1 B1C1 的底面边长为2，侧棱长为3 ，D为B C中点，则三棱锥 A B1DC 的体积为()13 3（A）3 （B）2 （C）1 （D）2考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有分析：由题意求出底面B1DC1的面积，求出 A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．解答：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为B C中点，∴底面B1DC1的面积：=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．（8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t 均为2，则输出的S= ()（A）4 （B）5 （C）6 （D）7考点：程序框图．菁优网版权所有分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：若x=t=2，则第一次循环，1≤2 成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2 成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2 不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．x y 1 0x y 1 0x 3y 3 0（9）设x，y 满足的约束条件，则z x 2y 的最大值为()（ A）8 （B）7 （ C）2 （D）1考点：简单线性规划．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．解答：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点 A 时，直线y=﹣的截距最大，此时z 最大．由，得，即A（3，2），此时z 的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3（10）设F为抛物线2C : y 3x的焦点，过 F 且倾斜角为30 的直线交于C于A,B 两点，则AB= ()°30（A）3 （B）6 （C）12 （D）73考点：抛物线的简单性质．分析：求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB| ．解答：由y2=3x 得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（ x﹣）= （x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2= ，所以 |AB|=x1+ +x2+ = + + =12故答案为：12．点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．（11）若函数 f (x) kx ln x 在区间（1，+ ）单调递增，则k 的取值范围是(), 2 , 1 2, 1,（A）（B）（ C）（D）考点：函数单调性的性质．分析：由题意可得，当x＞1 时， f′（ x）=k﹣≥0，故k﹣1＞0，由此求得k 的范围．解答：函数f（x）=kx﹣lnx 在区间（1， +∞）单调递增，∴当x＞1 时， f′（ x）=k﹣≥0，∴ k﹣1≥0，∴ k≥1，故选：D．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．4（12）设点M ( x0,1)，若在圆2 2O : x y 1上存在点N，使得°OMN 45 ,则x0 的取值范围是()1,1（A）（B）1 1，2 2 （C）2, 2（D）2 2，2 2考点：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：由题意画出图形如图：∵点 M（x0，1），∴若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠ OMN=45°，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45 °，图中 M′显然不满足题意，当MN 垂直 x 轴时，满足题意，∴x0 的取值范围是[﹣1，1]．故选： A点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—四川卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{2,1,0,1}--D ．{1,0,1,2}-2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ） A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本3．为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度4．某三棱锥的侧视图．俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）侧视图俯视图11222211A ．3B ．2C．15．若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A ．a b d c > B ．a b d c< C ．a b c d > D ．a b c d < 6．执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ） A ．d ac =B ．a cd =C ．c ad =D ．d a c =+8．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．1)mB ．1)m C ．1)m D ．1)m9．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P xy ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A．B．C ．D ．10．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（） A ．2B ．3C ．8D 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—湖南卷
2014年湖南高考数学试题（文史类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤2.已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ ）.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x <<.{|13}D x x << 3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） 123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p == 4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 5.在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D 6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，则能得 到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4 9.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln x xe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii +（i 为虚数单位）的实部等于_________. 12.在平面直角坐标系中，曲线22:12x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________. 13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________. 14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________.15.若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O . （1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD中，32,2,7,1,π=∠===⊥A D C EA EC DE AB DA ,3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点(3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<参考答案一、 选择题1．B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 2．C [解析] 由集合运算可知A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}．3．D D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为nN.4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对．5．B [解析] 由几何概型概率计算公式可得P ＝1－（－2）3－（－2）＝35.6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7．D [解析] (特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，排除A ，B ，C.8．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R ＝6＋8－102＝2.9．C [解析] 依题可构造函数f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x （x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )＝e xx在区间(0，1)上递减，故0＜x 1＜x 2＜1时有f (x 1)＞f (x 2)，即x 2e x 1＞x 1e x 2.10．D [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]． 二、 填空题11．－3 [解析] 因为3＋i i 2＝3＋i－1＝－3－i ，所以实部为－3.12．10x y --= [解析] 依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 13．7 [解析] 依题意，画出可行域，如图所示．由⎨⎪⎧x ＋y ＝4，得点B 的坐标为(3，1)，则z ＝2x ＋y 在B (3，1)处取得最大值7.14． [解析] 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y 2＝4x .设直线l ：y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＜0，得k 2＞1，解得k ＜－1或k ＞1. 15．32-[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ， ∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－32三、 解答题16．解：(I)当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()()22111,22n n n n n n n a S S n --+-+=-=-= 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（II ）)由(1)可得()21nnn b n =+-,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ,则()()122212222212342.222,12342,n n nT n A B n =++++-+-+-+=++⋅⋅⋅+=-+-+-⋅⋅⋅+记则[]2n 212(12)2212(12)(34)(21)2.n A B n n n +-==-==-++-++⋅⋅⋅+--+= 故数列{}n b 的前2n 项和2n 1222n T A B n +=+=+-.17解：(I)甲组研发新产品的成绩为:1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数102153x ==甲;方差22212221*********s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲,乙组研发新产品的成绩为:1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数93155x ==乙,方差为22213361906155525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙,因为22,<x x s s >乙乙甲甲,所以甲组的研发水平优于乙组. (II)记{}E =恰有一组研发成功,在所有抽的的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是:()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，共7个,故事件E 发生的频率为715将频率视为概率，即得所求概率为()715P E =. 18．解：(I)如图,因为DO α⊥,AB α⊆,所以DO AB ⊥,连接BD ,由题可知ABD ∆是正三角形,又E 是AB 的中点,所以DE AB ⊥,而DO DE D =,故AB ⊥平面ODE.(II)因为//BC AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即ADO ∠是BC 与OD 所成的角,由(I)可知,AB ⊥平面ODE ,所以AB OE ⊥,又DE AB ⊥,于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,从而060DEO ∠=,不妨设2AB =,则2AD =,易知DE =,在Rt DOE∆中,03sin 602DO DE ==,连接AO ,在Rt AOD ∆中,332cos 24DO ADO AD ∠===,所以异面直线BC与OD 所成角的余弦值为34. 19．解：如图设CED α∠=(I)在CDE ∆中,由余弦定理可得2222c o s EC C D DE C D DE EDC =+-∠,于是又题设可知271CD CD =++,即260CD CD +-=,解得2CD =(30CD =-<舍去),在CDE ∆中,由正弦定理可得sin sin DE CDEDC α=∠23sin2213sin 7CD EC πα⇒===, 即sin 7CED ∠=. (I)由题设可得203πα<<,于是由（I ）知c o s α===,而23AED πα∠=-,所以222cos cos cos cos sin sin 333AEB πππααα⎛⎫∠=-=+⎪⎝⎭1cos2αα=-1272714=-⨯+=,在Rt EAB ∆中,2cos EAAEB BE BE ∠==, 所以2cos BE AEB ===∆⎝⎭20．解：设2C 的焦距为22c ,由题可得2122,22c a==,从而121,1a c ==,因为点3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上,所以221212133b b ⎛⎫-=⇒= ⎪⎪⎝⎭,由椭圆的定义可得22a ==2a ⇒,2222222b a c =-=,所以12,C C 的方程为22221,1332y y x x -=+=. (II)不存在符合题设条件的直线.(i)若直线l 垂直于x 轴 ,因为l 与2C 只有一个公共点,所以直线的方程为x =x =当x =时,易知3,3,AB 所以22,3O A O B A B +==,此时O A OBA B+≠. 当x =,同理可得OA OB AB +≠.（i ）当直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y kx m =+,由 2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x k m xm ----=,当l 与1C 相交于,A B 两点时,设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 满足上述方程的两个实根,从而212122223,33km m x x x x k k ++==--,于是()22221212122333k m y y k x x km x x m k -=+++=-,由22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222234260kx kmx m +++-=,因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以上述方程的判别式()()222201682330k m k m ∆=⇒-+-=,化简可得2223k m =-,因此2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---=+=+=≠---,于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-,即22OA OB OA OB+≠-,所以O A O B A B +≠,综合（i ）（ii ）可知，不存在符合题目条件的直线21．解：（I ）数()f x 求导可得()()'cos sin cos sin 0f x x x x x x x x =--=->,令()'0f x =可得()*x k k N π=∈,当()()()2,21*x k k k N ππ∈+∈时,sin 0x >.此时()'0f x <;当()()()()21,22*x k k k N ππ∈++∈时,sin 0x <,此时()'0f x >,故函数()f x 的单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈, 单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(II)由(1)可知函数()f x 在区间()0,π上单调递减,又02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以12x π=, 当*n N ∈时,因为()()()()()()11111110nn f n fn n n ππππ+⎡⎤⎡⎤+=-+-++<⎣⎦⎣⎦,且函数()f x 的图像是连续不断的,所以()f x 在区间()(),1n n ππ+内至少存在一个零点,又()f x 在区间()(),1n n ππ+上是单调的,故()11n n xn ππ+<<+,因此,当1n =时,2211423x π=<; 当2n =时,()222121112413x x π+<+<; 当3n ≥时,()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()222221*********+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒+++<+++⎢⎥⨯--⎣⎦2222212311111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒+++<+-++- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦221162613n ππ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭, 综上所述,对一切的*n N ∈,2221211123n x x x +++<.。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—广东卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东B 卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M =（ ）A ．{}5,3B ．{}4,3C ． {}3,2D ． {}2,0 2．已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A ．i 43+B ． i 43-C ． i 43+-D ． i 43--3．已知向量)1,3(),2,1(==b a，则=-a b （ ）A ．)3,4(B ． )0,2(C ． )1,2(-D ． )1,2(-4．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A ． 11B ．10C ． 8D ． 7 5．下列函数为奇函数的是（ ）A ．x x 22+B ． 1cos 2+xC ． x x sin 3D ．x x212-6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A ．20B ．25C ．40D ．507．在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是 “B A sin sin ≤”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件8．若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．虚半轴长相等 D ． 实半轴长相等9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定10．对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*； 则真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11—13题）11．曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________．12．从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________．13．等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为________15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三．解答题：本大题共6小题，满分80分 16．（本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-17．（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：.（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差．18．（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2,作如图3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．（1） 证明：CF ⊥平面MDF ； （2） 求三棱锥M-CDE 的体积．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222(1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20．（本小题满分14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—北京卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟，。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（ ）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.y x =C.ln y x =D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1 D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)
2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－2＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )A ．(－2，1)B ．(－1，1)C ．(1，3)D ．(－2，3)1．B [解析]利用数轴可知M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0D ．cos2α＞0 2．C [解析]因为sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12B.22C.32D ．2 3．B [解析]z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝22.4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B.62C.52D ．1 4．D [解析]因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝ca＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，所以a ＝1. 5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数5．C [解析]因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确； |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错． 6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC → 6．A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD .7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析]函数y ＝cos|2x |＝cos2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱8．B [解析]从俯视图为矩形可以看出，此几何体不可能是三棱锥或四棱锥，其直观图如图，是一个三棱柱．9．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 执行如图1-1的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )图1-1A.203B.72C.165D.1589．D [解析]第一次循环后，M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环后，M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环后，M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，此时n >k (n ＝4，k ＝3)，结束循环，输出M ＝158.10．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．810．A [解析]由抛物线方程y 2＝x ，知p ＝12，又因为|AF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝54x 0，所以得x 0＝1.11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－311．B [解析]当a <0时，作出相应的可行域，可知目标函数z ＝x ＋ay 不存在最小值．当a ≥0时，作出可行域如图，易知当－1a ＞－1，即a ＞1时，目标函数在A 点取得最小值．由A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12，知z min ＝a －12＋a 2＋a 2＝7，解得a ＝3或－5(舍去)．图2-2-512．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)12．C [解析]显然a ＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a ≠0时，由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x 1＝0，x 2＝2a .当a >0时，函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，又f (0)＝1，所以函数f (x )存在小于0的零点，不符合题意；当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增，所以只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，解得a <－2，所以选C. 13．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．13.23 [解析]2本数学书记为数1，数2，3本书共有(数1数2语)，(数1语数2)，(数2数1语)，(数2语数1)，(语数1数2)，(语数2数1)6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4种，对应的概率为P ＝46＝23.14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A [解析]由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析]当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析]在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC，即AM ＝sin60°sin45°×1002＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin60°×1003＝150.17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2， 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 18．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？18．解：(1)频率分布直方图如下：(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .图1-4(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．19．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ， 故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ， 所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为217.20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x ＋y －8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为4105，故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.21．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 21．解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(i)若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a 1－a>1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>aa －1，所以不合题意．(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1，符合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．22．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲 如图1-5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .图1-5(1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 22．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以∠D ＝∠CBE .由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故点O 在直线MN 上． 又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点， 故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD ， 所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE . 又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．23．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为255.24．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲 若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？请说明理由．24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.。
2014高考全国2卷数学文科试题及答案详解
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{2,0,2}A =-,2{|20}B x x x =--=，则A B= (A ） ∅ （B ）{}2 （C){}0 (D ） {}2- 考点： 交集及其运算．分析： 先解出集合B ，再求两集合的交集即可得出正确选项．解答: 解：∵A={﹣2，0，2｝，B={x ｜x2﹣x ﹣2=0｝={﹣1，2}，∴A ∩B={2}． 故选： B点评： 本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键． （2)131ii+=- （) （A ）12i + （B)12i -+ （C ）1-2i (D ） 1-2i - 考点： 复数代数形式的乘除运算．分析: 分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可． 解答： 解:化简可得====﹣1+2i 故选： B点评: 本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．（3）函数()f x 在0x x =处导数存在,若00:()0;:p f x q x x '==是()f x 的极值点,则() （A ）p 是q 的充分必要条件（B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 (D ） p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有分析: 根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 解答： 函数f （x ）=x3的导数为f ’（x ）=3x2，由f ′(x0）=0，得x0=0，但此时函数f(x ）单调递增,无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f （x ）的极值点，则f ′（x0）=0成立，即必要性成立，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，故选： C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．（4）设向量a ，b 满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a ·b= (）(A ）1 （B) 2 （C ）3 (D ） 5 考点： 平面向量数量积的运算．分析： 将等式进行平方，相加即可得到结论． 解答： ∵|+｜=，|﹣|=， ∴分别平方得，+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4••=10﹣6=4，即•=1,故选： A点评： 本题主要考查向量的基本运算,利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．（5)等差数列{}n a 的公差为2,若2a ，4a ,8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项n S = () （A ） ()1n n + (B)()1n n - (C ）()12n n + (D ）()12n n -考点： 等差数列的性质．分析： 由题意可得a42=（a4﹣4)（a4+8）,解得a4可得a1，代入求和公式可得． 解答: 由题意可得a42=a2•a8，即a42=(a4﹣4）（a4+8)，解得a4=8， ∴a1=a4﹣3×2=2，∴Sn=na1+d ，=2n+×2=n(n+1)，故选： A点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题．（6）如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） （A)1727 （B) 59 (C)1027（D) 13考点： 由三视图求面积、体积．菁优网版权所有分析： 由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答： 几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C ．点评： 本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3,D 为BC 中点，则三棱锥11DC B A -的体积为(）(A ）3 （B)32 （C)1 （D ）32考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有分析： 由题意求出底面B1DC1的面积，求出A 到底面的距离,即可求解三棱锥的体积． 解答: ∵正三棱柱ABC ﹣A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为，D 为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A 到底面的距离就是底面正三角形的高:． 三棱锥A ﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C ．点评： 本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．（8)执行右面的程序框图，如果如果输入的x,t 均为2，则输出的S= (） （A ）4 （B)5 （C ）6 （D ）7 考点： 程序框图．菁优网版权所有分析： 根据条件，依次运行程序,即可得到结论． 解答： 若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2， 第二次循环,2≤2成立,则M=，S=2+5=7，k=3， 此时3≤2不成立,输出S=7，故选：D ．点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断,比较基础．（9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为(）（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1考点: 简单线性规划．分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最大值． 解答: 作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y ，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A 时，直线y=﹣的截距最大，此时z 最大．由,得， 即A （3，2）,此时z 的最大值为z=3+2×2=7，故选：B ．点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法（10）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （）（A ）303（B ）6 （C)12 (D ）73 考点: 抛物线的简单性质．分析： 求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系,由弦长公式求得｜AB|．解答： 由y2=3x 得其焦点F （，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x ﹣）=（x ﹣)．代入抛物线方程，消去y ，得16x2﹣168x+9=0．设A （x1，y1），B （x2，y2) 则x1+x2=，所以|AB ｜=x1++x2+=++=12故答案为：12．点评： 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用,弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．(11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是() （A ）(],2-∞- （B)(],1-∞- (C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 考点： 函数单调性的性质．分析： 由题意可得，当x ＞1时,f ′（x ）=k ﹣≥0，故 k ﹣1＞0，由此求得k 的范围． 解答： 函数f （x ）=kx ﹣lnx 在区间（1，+∞）单调递增，∴当x ＞1时，f ′(x ）=k ﹣≥0,∴k ﹣1≥0,∴k ≥1，故选：D ．点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．（12)设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是()（A)[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ） 2222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，考点： 直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有分析： 根据直线和圆的位置关系,利用数形结合即可得到结论．解答：由题意画出图形如图：∵点M （x0，1），∴若在圆O ：x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°，∴圆上的点到MN 的距离的最大值为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°， 图中M ′显然不满足题意，当MN 垂直x 轴时,满足题意， ∴x0的取值范围是[﹣1，1]． 故选：A点评: 本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本题的策略之一．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年高考(大纲全国卷)数学(文科) 附详细答案解析
解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A.
故 3tan Acos C=2sin C,
因为 tan A=1,所以 cos C=2sin C,tan C=1.
3
2
所以 tan B=tan[180°- (A+C)]= - tan(A+C)
=ttaann t+atnan-1=-1,
A.-1
B.0
C.1
D.2
7.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不
同的选法共有( ).
A.60 种
B.70 种
C.75 种
ห้องสมุดไป่ตู้
D.150 种
8.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( ).
A.31
B.32
C.63
由 z=x+4y,得 y= - 1x+ . 44
先画出直线 y=-1x,再平移直线 y=-1x,
4
4
当经过点 B(1,1)时,z=x+4y 取得最大值为 5.
16.【答案】4
3
【解析】如图所示,设 l1 与圆 O:x2+y2=2 相切于点 B,
l2 与圆 O:x2+y2=2 相切于点 C,
则 OB= 2,OA= 10,AB=2 2.
( ).
A.1
B. 3
C.1
6
6
3
5.函数 y=ln(3 +1)(x>-1)的反函数是(
D. 3
3
).
A.y=(1-ex)3(x>-1) C.y=(1-ex)3(x∈R)
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—上海卷
2014高考数学【上海卷（文）】解析版一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数()212cos 2y x =-的最小正周期是_________________.2. 若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1___________z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭.3. 设常数a ∈R ，函数f (x )=|x －1|+|x 2－a |. 若f (2)=1，则f (1)= .4. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则抛物线的准线方程为_________.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名. 为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 .6. 若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 . 10. 设无穷等比数列公比为q ，若()134lim n a a a →∞=++，则__________q =.11. 若()2132f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________.12. 方程sin xx = 1在区间[0, 2π]上的所有解的和等于 .13. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________（结果用最简分数表示）.14. 已知曲线:C x =:6l x =. 若对于点(),0A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为________________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设,a b ∈R ，则“+4a b >”是“2a >且2b >”的（ ）.A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 已知互异的复数a , b 满足ab ≠0，集合{a , b }={a 2, b 2}，则a +b =（ ）. A. 2 B. 1 C. 0 D. －117. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P i (i =1,2,…,7)是小正方形的其余顶点，则i AB AP ⋅(i =1,2,…,7)的不同值的个数为（ ）. A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 P765218. 已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 的解的情况是（ ）.A. 无论k 、1P 、2P 如何，总是无解B. 无论k 、1P 、2P 如何，总有唯一解C. 存在k 、1P 、2P ，使之恰有两解D. 存在k 、1P 、2P ，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123P P P ，如图. 求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .1P 220. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数()22x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数()1y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设A 、B 点在同一水平面上，从A 和B 看的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（精确到0.01米）？ (2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12α=，18.45β=，求CD 的长（结果精确到0.01米）.22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点()()111222,,,P x y P x y ，记()()1122a x b y c a x b y c η=++++. 若0η<，则称点12P P 、被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.(1) 求证：点()()1,21,0A B -，被直线10x y +-=分隔；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点()0,2Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，n *∈N ，11a =.(1) 若22a =，3a x=，49a =，求x 的取值范围；(2) 若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；(3) 若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.参考答案一、选择题1．π2【解析】()212cos 2cos 4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解—公式法 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．3【解析】由()21f =得1414a a +-=⇒=，则()1143f =-=. 【考点】对函数概念的理解 4．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 5．70【解析】()201600120070800+=. 【考点】分层抽样的方法（关键是样本比例相等）6．【解析】222x y +≥=【考点】基本不等式求最值 7．1arcsin 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与轴所成角为θ。
2014高考真题+模拟新题 文科数学分类汇编：14份 纯word版解析可编辑
2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：A单元集合与常用逻辑用语.doc 2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：B单元函数与导数.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：C单元三角函数.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：D单元数列.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：E单元不等式.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：F单元平面向量.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：G单元立体几何.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：H单元解析几何.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：I单元统计.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：J单元计数原理.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：K单元概率.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：L单元算法初步与复数.doc 2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：M单元推理与证明.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：N单元选修4系列.doc数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝()A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}C．{1，2} D．{3}1．C[解析] A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b ＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．16．201[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．则100a＋10b＋c＝100³2＋10³0＋1＝201.1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝()A．{0，2} B．{2，3}C．{3，4} D．{3，5}1．B[解析] ∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁U A＝{2，4，7}．故选C.2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．C[解析] 由集合运算可知A∩B＝{x|2＜x＜3}．11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B ＝________．11．{3，5，13}[解析] 由集合交集的定义知，A∩B＝{3，5，13}．1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．1．{－1，3}[解析] 由题意可得A∩B＝{－1，3}．2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝()A．(－3，0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3，3)2．C[解析] ∵A＝(－3，3)，∁R B＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，∴A∩(∁R B)＝(－3，－1]．1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}1．D[解析] 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为()A．2 B．3C．5 D．71．B[解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B ＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}1．B[解析] 因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝()A．(－2，1) B．(－1，1)C．(1，3) D．(－2，3)1．B[解析] 利用数轴可知M∩N＝{x|－1<x<1}．2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0，2] B．(1，2)C．[1，2) D．(1，4)2．C[解析] 因为集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜2}，故选C.1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)1．D[解析] 由M＝{x|x≥0}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，得M∩N＝[0，1)．1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1，0} B．{0，1}C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}1．D[解析] 由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B ＝{－1，0，1，2}．故选D.20．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2²2＋x3²22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.1．[2014·浙江卷] 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝()A．(－∞，5] B．[2，＋∞)C．(2，5) D．[2，5]1．D[解析] 依题意，易得S∩T＝[2，5] ，故选D.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件5．[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．D[解析] 当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．7．、[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件7．A[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2R sin A，b＝2R sin B．故选A.∵sin≤A sin B，∴2R sin A≤2R sin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是()A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β6．D [解析] 对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错． 对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”， 所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确． 5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ²b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3．C [解析] 函数在x ＝x 0处有导数且导数为0，x ＝x 0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x ＝x 0为函数的极值点，则函数在x ＝x 0处的导数一定为0 ，所以p 是q 的必要不充分条件．4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] 方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.8．[2014·陕西卷] 原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假8．A [解析] 由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确2．[2014·浙江卷] 设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．A [解析] 若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定为平行四边形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．故选A.6．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧q6．A [解析] 由题意知 p 为真命题，q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．A3 基本逻辑联结词及量词 2．[2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 5．[2014·福建卷] 命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥05．C [解析] “∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”，故选C.3．[2014·湖北卷] 命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∈/R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x 0∈/R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 03．D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”. 故选D.1．[2014·湖南卷] 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤01．B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 3．[2014·天津卷] 已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B. ∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C. ∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D. ∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤13．B [解析] 含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．A4 单元综合4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，d }，N ＝{a ，c ，e }，则N ∩(∁U M )＝( )A ．{c ，e }B ．{a ，c }C ．{d ，e }D ．{a ，e }4．A [解析] 因为∁U M ＝{b ，c ，e }，所以N ∩(∁U M )＝{a ，c ，e }∩{b ，c ，e }＝{c ，e }． 7．[2014·宁德质检] 已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋2}，若A ⊆B ，则a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．17．B [解析] ∵A ⊆B ，∴a ＋2＝1，解得a ＝－1. 8．[2014·蚌埠质检] 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－1≥0}，B ＝{x |x －1≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |－1<x ≤1}8．B [解析] ∵集合A ＝{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≥1或x ≤－1}，∴∁U A ＝{x |－1<x <1}．又集合B ＝{x |x －1≤0}＝{x |x ≤1}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－1<x <1}． 4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．B [解析] 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.7．[2014·济南模拟] 已知命题p ：∀a ∈R ，且a >0，a ＋1a≥2，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题7．C [解析] 依题意可知，命题p 为真，命题q 为假，故选C.12．[2014·长沙联考] 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是__________．12．2≤m ≤6 [解析] 由题意可知，命题“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119. 3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.B2 反函数5．[2014·全国卷] 函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R ) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R )5．D [解析] 因为y ＝ln(3x ＋1)，所以x ＝(e y －1)3.因为x >－1，所以y ∈R ，所以函数y ＝ln(3x ＋1)(x >－1)的反函数是y ＝(e x －1)3(x ∈R )．B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对．19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确21．、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.B4 函数的奇偶性与周期性 4．[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x4．D [解析] A 中，f (－x )＝－x －1，f (x )为非奇非偶函数；B 中，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ，f (x )为非奇非偶函数；C 中，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数；D 中，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )为偶函数．故选D.14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －12x B ．x 3sin xC ．2cos x ＋1D ．x 2＋2x5．A [解析] 对于A 选项，令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域是R ，f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以A 正确；对于B 选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x 3sin x 是偶函数；C 显然也是偶函数；对于D 选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}9．D [解析] 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x . 求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解． 当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x <0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7.故选D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．15．－32[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－32.19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.12．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．112．D [解析] 因为f (x ＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x ＝0，所以函数f (x )的图像的对称轴为直线x ＝2.又因为函数f (x )是奇函数，其定义域为R ，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝0＋f (－5)＝－f (5)＝－f (－1)＝f (1)＝1.15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．15．3 [解析] 因为函数图像关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，又函数为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，故f (－1)＝3.5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数5．C [解析] 因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确； |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错． 13．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 13．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.B5 二次函数 10．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．10.⎝⎛⎭⎫－22，0 [解析] 因为f (x )＝x 2＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，解得⎩⎨⎧－22＜m ＜22，－32＜m ＜0，即m ∈⎝⎛⎭⎫－22，0.14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32.B6 指数与指数函数 5．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b . 8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋15．A [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．故选A. 7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝ f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D. 12．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．12.10 [解析] 4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝1012＝10.7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ²log 510＝log 5b ＝a ，故选B.9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ]9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝（|P A |＋|PB |）2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2（|P A |2＋|PB |2）＝2 5，所以|P A |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.4．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a4．C [解析] ∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0，c ＝1π2<1，∴b <c <a .B7 对数与对数函数 12．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．12．(－∞，0) [解析] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．11．[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54³45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．13．5 [解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4.因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ²log 510＝log 5b ＝a ，故选B.9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 39．D [解析] 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b＝1，所以a ＋b ＝(a＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ²3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3a b ，即a ＝4＋2 3，b ＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.B8 幂函数与函数的图像 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．图1-415.⎝⎛⎭⎫0，16 [解析] “∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝f (x －1)的图像的上方”，函数y ＝f (x －1)的图像是由函数y ＝f (x )的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，16.13．、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．13.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图像可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.B9 函数与方程6．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)6．C [解析] 方法一：对于函数f (x )＝6x －log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x 与g (x )＝log 2x 的大致图像，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2，4)．7．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞97．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11， 则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3，∴6<c ≤9，故选C.10．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 10．A [解析] 作出函数f (x )的图像，如图所示．函数g (x )＝f (x )－mx －m 的零点为方程f (x )－mx －m ＝0的根，即为函数y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)图像的交点．而函数y ＝m (x ＋1)。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—福建卷
2014年福建文科卷一．选择题1．若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ）}{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤2．复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）.2..2.1A B C D ππ4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5．命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x xB x x xC x x xD x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥6．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7．将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称8．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．9．要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）.80.120.160.240A B C D 元元元元10．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4AOM B OMC OMD OM11．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x轴相切，则22a b +的最大值为 （ ）.5.29.37.49A B C D12．在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）A B C D 二．填空题13．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14．在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________16． 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则10010________a b c ++等于三．解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分） 已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．19．（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥平面． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．20．（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 21．（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ．直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N 。
2014高考全国2卷文科数学试题(含解析)
1 / 14绝密★启用前2014年高考全国2卷文科数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题（题型注释）1．设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则AB =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{0}D ．{2}- 2．131ii+=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ）A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a，则=⋅b a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．55．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A ．2717 B ．95 C ．2710 D ．317．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（A ）3 （B ）32（C ）1 （D 3D 11AB 18．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）79．设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）110．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A（B ）6 （C ）12 （D）11．若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） （A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞12．设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C）⎡⎣ （D）22⎡-⎢⎣⎦3 / 14第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．14．函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________．15．偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________． 16．数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________．三、解答题（题型注释）17．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB ．（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积．18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点．（1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1,AP AD ==P ABD -的体积4V =，求A到平面PBC 的距离．19．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评优．20．设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MNF N =，求,a b ．21．已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-． （1）求a ； （2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．22．如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ．证明：（1）BEEC =；（2）22AD DE PB ⋅=P23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈．（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标． 24．设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．1 / 14参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ．考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算． 3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ． 考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件．4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d=+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+． 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==． 考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值．10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F．又因为0k tan303==，故直线AB的方程为3y)4=-，与抛物线2=3y x联立，得21616890x x-+=，设1122(x,y),(x,y)A B，由抛物线定义得，12x xAB p=++=168312162+=，选C．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．11．D【解析】试题分析：'1()f x kx=-，由已知得'()0f x≥在()1,x∈+∞恒成立，故1kx≥，因为1x>，所以101x<<，故k的取值范围是[)1,+∞．【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，过O作OA⊥MN，垂足为A，在Rt OMA∆中，因为OMA∠045=，故0sin45OA OM==1≤，所以OM≤，解得11x-≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），3/ 14（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式． 14．1 【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质． 15．3 【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性． 16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=． 考点：数列的递推公式． 17．（1）0C 60=，BD =（2）【解析】试题分析：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC =+-cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得1312cos C -=54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和BD 的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形ABCD 等于ABD ∆和CBD ∆的面积．5 / 14（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅1312cos C =-．①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②由①②得1cosC 2=，故0C 60=，BD = （2）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅011(1232)sin 6022S =⨯⨯+⨯⨯=．考点：1、余弦定理；2、诱导公式；3、三角形的面积公式． 18．（1）详见解析；（2）13【解析】 试题分析：（1）证明直线和平面平行往往可以采取两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，即证明直线和平面内的一条直线平行；②利用面面平行的性质定理，即若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线和另外一个平面平行．本题设BD 和AC 交于点O ，连接EO ．则//EO PB ，进而证明PB //平面AEC ．（2）由三棱锥P ABD -的体积4V =，可求得3=2AB ，易证明面PBC ⊥面PAB ，则在面PAB 内作AH PB ⊥交PB 于H ，由面面垂直的性质定理得AH ⊥平面PBC ．在PAB ∆中求AH ．（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以//EO PB ．且EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB //平面AEC ．（2）1=6V PA AB AD AB ⋅⋅=．由4V =可得3=2AB ．作AH PB ⊥交PB 于H ．由题设知BC ⊥平面PAB ．所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ．又=PA ABAH PB⋅．所以A 到平面PBC考点：1、直线和平面平行的判定；2、点到平面的距离．19．（1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67；（2）0.1,0.16；（3）详见解析． 【解析】试题分析：（1）把数从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数 ；正中间如果是两个数，那中位数是这两个数的平均数．本题有50位市民，故市民对甲、乙两部门评分正中间有两个数，求平均数即得中位数的估计值；（2）50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为58=0.1,=0.165050，以样本的频率值估计总体的概率；（3）样本平均数、众数、中位数、方差都是样本的数字特征，通过对这些样本数字特征的分析可以从各个方面对总体作出评价．（1）由所给茎叶图知，50位市民对这甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75．50位市民对这乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66,68，故样本中位数为66+68=672，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67． （2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙两部门的评分高于90的比率分别为58=0.1,=0.165050，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16．（3）由所给茎叶图知，该市的市民对甲部门评分的中位数高于对乙部门评分的中位数，而且由所给茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市的市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．（考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分） 考点：1、样本的数字特征；2、频率和概率的关系． 20．（1）12；（2）7,a b ==【解析】7 / 14试题分析：（1）由已知得2(c,)b M a ，故直线MN 的斜率为23(c)4b a kc ==--，结合222b a c =-得关于,a c 的方程，解方程得离心率的值；（2）依题意，直线MN 和y 轴的交点是线段1MF 的中点．故24b a=，① 又因为1||5||MN F N =，得112F D F N =，从而得三个点1,,D F N 坐标的关系，将点N 的坐标表示出来代入椭圆方程的，得另一个关于,a b 的方程并联立方程①求,a b 即可．（1）根据c 2(c,)b M a ，22b 3ac =．将222b a c =-代入22b 3ac =，解得12c a =， 2c a =-（舍去）．故C 的离心率为12． （2）由题意，原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段1MF 的中点．故24b a=，即2b 4a =．①由1||5||MN F N =得112F D F N =．设11(x ,y )N ，由题意得，1y 0<，则112(c )c,2y 2,x --=⎧⎨-=⎩即113,21,x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得2229114c a b+=，②将①及c = 229(a 4a)1144a a-+=．解得7a =，2428b a ==，故7,a b == 考点：椭圆的标准方程和简单几何性质；2、中点坐标公式．21．（1）1a =；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）2'(x)3x 6x a f =-+，由导数的几何意义得'(0)k f a ==，故切线方程为y 2ax =+，将点-2,0（）代入求a ；（2）曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点转化为函数32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与x 轴只有一个交点．本题首先入手点为1k <，当0x ≤时，'()0g x >，且g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．只需说明当0x >时无根即可，因为(1k)x 0->，故只需说明32()340h x x x =-+>，进而转化为求函数()h x 的最小值问题处理．（1）2'(x)3x 6x a f =-+，'(0)f a =．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为y 2ax =+．由题设得，22a -=-，所以1a =． （2）由（1）得，32()32f x x x x =-++．设32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+．由题设得1k 0->．当0x ≤时，2'()3610g x x x k =-+->，g()x 单调递增，g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1k)x ()g x h x h x =+->．2'()3x h x =-63(x 2)x x =-，()h x 在(0,2)单调递减；在(2,)+∞单调递增．所以()()(2)0g x h x h >≥=．所以()=0g x 在(0,)+∞没有实根，综上，()=0g x 在R 上有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．22．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明BE EC =，只需证明弦BE EC ，所对的圆周角相等，连接,AB AC ，故只需证明=DAC BAD ∠∠．由PA PD =得PAD PDA ∠=∠，为了和所求证的角建立联系=PDA DAC DCA ∠∠+∠，=PAD ∠BAD PAD ∠+∠，从而可证明=DAC BAD ∠∠，进而证明BE EC =；（2）由结论很容易想到相交弦定理AD DE BD DC ⋅=⋅，故只需证明22PB BD DC =⋅，由切割线定理得2PA PB PC =⋅，且PA PD DC ==易证．（1）连接,AB AC ．由题设知，PA PD =,故PAD PDA ∠=∠．因为=PDA DAC DCA ∠∠+∠,=PAD ∠BAD PAD ∠+∠,=DCA PAB ∠∠,所以=DAC BAD ∠∠，从而BE =EC ．因此BE EC =．（2）由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==,所以2,DC PB BD PB ==，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．9 / 14P考点：1、圆的切割线定理；2、相交弦定理．23．（1）1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）；（2）3(2． 【解析】试题分析：（1）由2cos ,[0,]2πρθθ=∈两边平方，且结合222x y ρ+=和cos x ρθ=得半圆C 的直角坐标方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，进而写出C 的参数方程；（2）利用C的参数方程设(1cost,sint)D +，由圆的切线的性质得//GD l ，故直线GD 与l 的斜率相同，根据斜率列方程得tan 3t t π==，从而点D 的直角坐标可求． （1）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤．可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）．（2）设(1cost,sint)D +．由（1）知，C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan 3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(,22． 考点：1、圆的极坐标方程和参数方程；2、两条直线的位置关系．24．（1）详见解析；（2）． 【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式得11()()f x x x a x x a a a =++-≥+--1a a=+，由0a >结合基本不等式得12a a+≥，故()2f x ≥；（2）由(3)5f <，得关于a 的不等式1335a a++-<(0)a >，去绝对号解不等式即可． （1）由0a >，有11()()f x x x a x x a a a =++-≥+--12a a =+≥，所以()2f x ≥．（2）1(3)33f a a =++-．当a 3>时，1(3)f a a=+，由(3)5f <得532a +<<．当03a <≤时，1(3)6f a a =-+，由(3)5f <得132a +<≤．综上，a 的取值范围是52+． 考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法．。
2014年高考文科数学全国卷2(含详细答案)
数学试卷 第1页（共30页）数学试卷 第2页（共30页） 数学试卷 第3页（共30页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）文科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2,{2}0,A -=，2{|20}B x x x =--=，则A B =( )A .∅B .{2}C .{0}D .{2}- 2.13i =1i+-( )A .12i +B .12i -+C .12i -D .12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在.若p ：0()0f x '=；q ：0x x =是()f x 的极值点，则( ) A .p 是q 的充分必要条件B .p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4.设向量a ，b 满足|a +b |10=，|a -b |6=，则a b =( )A .1B .2C .3D .55.等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = ( ) A .(1)n n +B .(1)n n -C .(1)2n n + D .(1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1 cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( )A .1727B .59C .1027D .137.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )A .3B .32C .1D .328.执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =( ) A .4 B .5 C .6D .79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥则2z x y =+的最大值为( ) A .8 B .7 C .2D .110.设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交于C 于A ，B 两点，则||AB =( )A .303B .6C .12D .7311.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是( )A .(,2]-∞-B .(,1]-∞-C .[2,)+∞D .[1,)+∞12.设点0(,1)M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，则0x 的取值范围是( )A .[1,1]-B .11[,]22-C .[2,2]-D .22[,]22-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 .14.函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 .15.偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= .16.数列{}n a 满足111n n a a +=-，82a =，则1a = .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB平面AEC ；（Ⅱ）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共30页） 数学试卷 第5页（共30页） 数学试卷 第6页（共30页）19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分） 设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求a ，b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ，证明：（Ⅰ）BE EC =； （Ⅱ）22AD DE PB =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ρθ=，π[0,]2θ∈.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：2y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a =++->.（Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值范围.3 / 10{2}A B =，选(1+3i)(1+i)-2+4i ==-1+2ii)(1+i)2【解析】由已知得，22210a a b b ++=，2226a a b b -+=，两式相减得，44a b =，故1a b =。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（ ）A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0 3．（5分）设z=+i，则|z|=（ ）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）A．2B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（ ）A．1B．2C．4D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3 12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（ ）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 ．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 ．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是 ．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN= m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数62638228（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—天津卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）A ．1i -B ．1i -+C ．17312525i + D ．172577i -+ 2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p Ø为（ ）A ．00x $£，使得()0011xx e £+ B ．00x $>，使得()0011xx e £+C ．0x ">，总有()11x x e +£D ．0x "£，总有()11x x e +£ 4．设2log a p =，12log b p =，2c p-=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>5．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）A ．2B ．-2C ．12 D ．12- 6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 7．如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分C B F Ð；②2FB FD FA = ；③AE CE BE DE ? ；④AF BD AB BF ? .则所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④FED CBA8．已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.10．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m.俯视图侧视图正视图11．阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12．函数()2lg f x x =的单调递减区间值是________.13．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，3BC BE =，DC DF l =.若1AE AF ?，则l 的值为_______.14．已知函数()254,22,0,0.x x x f x x x ìï++ï=í->£ïïïî若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为__________.三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：现从这6（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发表的概率.16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知a c b -=，sin B C =. （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，BA BD ==2AD =，PA PD ==,E F 分别是棱AD ，PC 的中点.（Ⅰ）证明 //EF 平面PAB ； （Ⅱ）若二面角P AD B --为60，（ⅰ）证明 平面PBC ^平面ABCD ；（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.PFEDCBA18．（本小题满分13分）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12AB F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M，2MF =，求椭圆的方程. 19．（本小题满分14分）已知函数()2323f x x ax =-()0a >，x R Î. （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若对于任意的()12,x ?，都存在()21,x ? ，使得()()121f x f x ?.求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++.（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； （Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,i i a b M Î，1,2,,i n =. 证明：若n n a b <，则s t <.参考答案 一、选择题 1．Ａ解：()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-，选A . 2．Ｂ解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B .x3．Ｂ解：依题意知p Ø为：00x $>，使得()0011xx e £+，选B .4．Ｃ解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选C . 5．Ｄ解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . 6．Ａ解：依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，选A . 7．Ｄ解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ?? ，又BFD AFB ? ，所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ? ，排除A 、C . 又FBD EAC DBC ?? ，排除B ，选D .解：8．C 因为,所以,得= ，所以 = 或=，, 因为相邻交点距离的最小值为 ,所以 ,w=2, T=, 所以选C9．解：应从一年级抽取4604556300?+++名.10．解：该几何体的体积为212042233p p p ?鬃=3m . 11．解：3n =时，8S =-；2n =时，4S =-，所以输出的S 的值为-4. 12．解：由复合函数的单调性知，()f x 的单调递减区间是(),0-¥.13．解：因为120BAD?，菱形的边长为2，所以2AB AD ?-.因为()13AE AF AB AD AD AB l 骣÷ç?+?÷ç÷ç桫，1AE AF ?， 所以1214133l l 骣骣鼢珑-?+?=鼢珑鼢珑桫桫，解得12l =. 14．解：作出()f x 的图象，如图当直线y ax =-与函数254y x x =---相切时，由0D =可得1a =，所以1a >. 15．解：（I ）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y ,Z}，共15种.（II ）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种. 因此，事件M 发生的概率62().155P M == 16．解：（I ）在三角形ABC 中，由sin sin b c B C =及C B sin 6sin =，可得b =又b c a 66=-，有2a c=，所以222222cos 2b c a A bc +-=== (II) 在三角形ABC中，由cos A =，可得sin A =，于是21cos 22cos 1,sin 22sin cos 4A A A A A =-=-==，所以cos(2)cos 2cossin 2sin666A A A πππ-=+=17．解：（I ）)证明：如图取PB 中点M,连接MF,AM.因为F 为PC 中点，故MF//BC 且MF=12BC.由已知有BC//AD ，BC=AD.又由于E 为AD 中点，因而MF//AE 且MF=AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF//AM,又AM ⊂平面PAB,而EF ⊄平面PAB,所以EF//平面PAB. （II ）（i ）证明：连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E 为AD 中点，故PE ⊥AD,BE ⊥AD,所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角.在三角形PAD 中，由，可解得PE=2. 在三角形ABD 中，由,可解得BE=1. 在三角形PEB 中，PE=2, BE=1, 60PEB ∠=,由余弦定理，可解得90PBE ∠=，即BE ⊥PB,又BC//AD,BE ⊥AD,从而BE ⊥BC,因此BE ⊥平面PBC.又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD,（ii ）连接BF ，由（i ）知BE ⊥平面PBC.所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由∠ABP 为直角，而MB=12,可得,故,又BE=1，故在直角三角形EBF中，sin BE EFB EF ∠==所以，直线EF 与平面PBC18．，所以22223a c c -=，解得a =，2e =. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知椭圆方程可化为22222x y c +=. 因为()0,B c ，所以直线1BF 的斜率11BF k =. 因为11PF BF ^，所以直线1PF 的斜率11PF k =-， 直线1PF 的方程为y x c =--.设()00,P x x c --，则有()2220022x x c c +--=，解得043cx =-或00x =（舍），所以4,33c c P 骣÷ç-÷ç÷ç桫. 因为线段PB 的中点为22,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫，所以圆的方程为222225339c c c x y 骣骣鼢珑++-=鼢珑鼢珑桫桫. 因为直线l与该圆相切，且2MF =，所以22529899c c +=，解得23c =. 所以椭圆方程为22163x y +=. 19．分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R ，再求导数2()22(0).f x x ax a '=->在定义域下求导函数的零点：0x =或1x a =，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即()f x 的单调增区间是1(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x = 时，()f x 取极小值0 ，当1x a = 时，()f x 取极大值213a， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于两个函数值域的包含关系.设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则A B ⊆，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于0B ∉，所以0A ∉,因此322a≤，又A B ⊆，所以(1)0f ≥，即33.42a ≤≤ 解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1x a=，列表如下：所以()f x 的单调增区间是(0,)a ，单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞，当0x = 时，()f x 取极小值0 ，当1x a = 时，()f x 取极大值213a ，(2)由3(0)()02f f a ==及（1）知，当3(0,)2x a∈时，()0f x >，当3(,)2x a∈+∞时，()0f x <设集合{()|(2,A f x x =∈+∞，集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则“对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆.显然0B ∉. 下面分三种情况讨论：当322a >即304a <<时，由3()02f a=可知0A ∈而0B ∉，所以A 不是B 的子集 当3122a ≤≤即3342a ≤≤时，有(2)0f ≤且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减，故(,(2))A f =-∞，因而(,0)A ⊆-∞由(1)0f ≥有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞，所以A B ⊆当312a <即32a >时，有(1)0f <且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减，故1(,0)(1)B f =,(,(2))A f =-∞,所以A 不是B 的子集综上，a 的取值范围为33[,].42考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域 20．（Ⅰ）解：当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i==+?+， {}0,1,2,3,4,5,6,7A =.（Ⅱ）证明：因为1q >，所以,i i a b M Î，所以1i a q ?，1,2,,1n i =-，1nn a b ?.所以()()()221111n n n qq q q b q s --?+++++-()()111111n n n q q b q q---=-?--111n n n n t b qb q --=-<£.。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—江西卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =( ) A ．1 B ．2CD 2．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )1.18A 1.9B 1.6C 1.12D4．已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a ( )1.4A 1.2B .1C .2D 5．在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B A A -的值为( )1.9A -1.3B .1C 7.2D6．下列叙述中正确的是( ).A 若,,a b c R ∈，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤” .B 若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥” .D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7．某人研究中学生的性别与成绩．视力．智商．阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2表3 表4A ．成绩B ．视力C 8．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9 C ．10 D ．119．过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于A ．若以C 的右焦点为圆心．半径为4的圆经过A ．O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A ．112422=-y x B ．19722=-y x C ．18822=-y x D ．141222=-y x 10．在同一直角坐标系中，函数22322()2ay ax x y a x ax x a a R =-+=-++∈与的图像不可能．．．的是( )二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是_______．12．已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e则若向量且的夹角为αα_______． 13． 在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．14． 设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．15． R y x ∈，，若112x y x y ++-+-≤，则y x +的取值范围为__________． 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ．（1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值． 17． （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列． 18．（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a ． （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间； （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥． （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值．20．（本小题满分13分）如图，已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)M 任作一直线与C 相交于,A B两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）．AB A 1C1C 1（1）证明：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴）与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，证明：2221||||MN MN -为定值，并求此定值．21．（本小题满分14分）将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率．（1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式； （3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==∈≤，求当n S ∈时()p n 的最大值．参考答案一、选择题 1．C【解析】设,z a bi =+则()(1)2()()2a bi i i a b a b i i ++=⇒-++=所以01,112a b a b z i a b -=⎧⇒==⇒=+=⎨+=⎩2．C【解析】 {|33},{|15}A x x B x x =-<<=-<≤，所以{}()31R A C B x x =-<<-3．B【解析】点数之和为5的基本事件有：（1,4）（4,1）（2,3）（3,2），所以概率为41369=. 4．A【解析】(1)2f -=，(2)4f a =，所以[(1)]41f f a -==解得14a = 5．D【解析】222222222sin sin 2372121sin 22B A b a b A a a --⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．D【解析】当0a ≠时，A 是正确的；当0b =时，B 是错误的；命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x <”，所以C 是错误的。
2014年浙江省高考文科数学卷(含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{|2},{|5}S x x T x x =≥=≤，则ST ＝（ ）A ．(,5]-∞B ．[2,)+∞C ．(2,5)D ．[2,5]2、设四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3、某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的的体积是（ ） A ．72 cm 3 B ．90 cm 3 C ．108 cm 3 D ．138 cm 34、为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数2cos3y x =的图像（ ） A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位5、已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是 A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8 （ ）6、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（ ）A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥则m α⊥C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 7、已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A ．3≤c B ．63≤<c C ．96≤<c D ．9>c8、在同一直角坐标系中，函数()a f x x =（0x >），()log a g x x =的图象可能是（ ）44333 3俯视图9、设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta +是最小值为1（ ） A ．若θ确定，则||a 唯一确定 B ．若θ确定，则||b 唯一确定 C ．若||a 确定，则θ唯一确定 D ．若||b 确定，则θ唯一确定 10、如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。