连续介质力学-第1章-四川大学复习过程

ij a j ai
ij ai a j
自由指标: 不重复的脚标
➢ 对于一个包含多项的式子而言，每项的自由指标应该相同
Aim bm Bik ak ai Aimbm B jk ak ai
➢ 对于方程而言，等号两端的自由指标应该相同
xi Aim xm Bik ak ai x j Aim xm ai
1 ei e j 0
(i j) (i j)
ij
1 0
(i j) (i j)
Kronecker记号 ij
11 22 33 1
12 21 23 32 13 31 0
a b (aiei ) (bje j ) aibj (ei e j ) ij aibj aibi
例:导出Kronecker符号与置换符号间的运算关系。
11 12 13 21 22 23 1 31 32 33
1i 1 j 1k ijk 2i 2 j 2k
3i 3 j 3k
pi pj pk pqr ijk qi qj qk
ri rj rk
例1.5 证明 ijk mnk im jn in jm
哑标: 求和约定中的重复脚标
哑标可以用其它的字母代替，只要该字母在本项中 没有出现过就行
a aiei a je j
a jb j ck ambmck
哑标在同一项中只能重复一次
aibi ci
3
aibici
i 1
矢量的代数运算
(1) 加法
c a b aiei biei (ai bi )ei ciei
b
何意义就是由a、b、c所张成的平行
a
六面体的体积
三个矢量的混合积
[a，b，c] aiei (bje j ckek )
aiei jklbjckel jkl il aibjck jkiaibjck ijk aibjck
[a，b，c] [b，c，a] [c，a，b] [a，b，c] [b，a，c] [c，b，a] [a，c，b]
(2) 数乘
a b (b j e j ) (b j )e j
(3) 数积
a b (ai ei ) (b j e j ) aibi a1b1 a2b2 a3b3
a b (ai ei ) (b j e j ) aibi a1b1 a2b2 a3b3
a b a b cos
g grad
g grad
▽称为Hamilton算符
x1
e1
x2
e2
x3
e3
xi
ei
若某个函数对坐标xi取偏微分，则简记为(.),i
g ，iei
方向导数
n
n
，ini
x1
cos1
x2
cos 2
x3
cos3
2. 散度（divergence）
如果一种物理量在某个空间区域中的每一点都 有确定的值，就称这个空间区域上定义着该物 理量的场。
数量场: 温度场、电位场等 矢量场: 速度场、力场等
1. 梯度（gradient）
若在数量场中的一点M处存在着矢量g，其方向为M点处函数变 化率最大的方向，其模为这个最大变化率的数值，则称g为这个 函数在M点处的梯度
1.1 矢量、矩阵与张量
3
a a1e1 a2e2 a3e3 aiei i 1
a aiei
x3
e3
e2
e1
x2
x1 直角坐标系的基矢量
x3
a
a3
x2
x1
a1
a2
矢量的分量
在式子中的一项内，若出现了重复脚标，则表示该项关于这一
脚标对1、2、3求和，而勿须再写出求和记号
a aiei
Einstein求和约定
偶排列: 123，231，312
奇排列: 132，213，321
c a b (aiei ) (b j e j ) ijk aib j ek
ei e j ijk ek
ab ba
a b b a
(5) 混合积
[a，b，c] a (b c)
如果a、b、c的空间位置顺序服
c
从右手螺旋法则，那么混合积的几
➢ 若方程包含了一个自由指标，就意味着有三个方程
x1 A1m xm a1
xi Aim xm ai
x2 A2m xm a2
x3 A3m xm a3
(4) 矢积
c b a
c的模就是a和b所张成的平行四边形的面积
e1 e2 e3
c a b a1 a2 a3
b1 b2 b3
a1b2e3 a2b3e1 a3b1e2 a1b3e2 a2b1e3 a3b2e1
kk 3
kn ik ni
小结：
➢ Einstein求和约定 a ai ei
➢ Kronecker记号
ij
Fra Baidu bibliotek
1 0
(i j) (i j)
➢ 置换符号
1
ijk 1
0
(当ijk是123的偶排列时) (当ijk是123的奇排列时) (当ijk有两个值相等时)
➢ 自由标，哑标
1.2 场论概要
偶排列与奇排列：
方法一： 123是偶排列；
当一个排 列1 从12(3当开ij始k是交1换23的相偶邻两排个列数时)的位置，
置换符号 若数需次ijk要则交 是换偶01 奇排数列次。((当当则iijj该kk是有排1两2列3个的是值奇奇相排排等列列时时，))交换偶
方法二：
1
2
3
方法三 ：ijk 死 记jki 硬背 kij ijk jik ikj kji
im in ik ijk mnk jm jn jk
km kn kk
ijk mnk kkim jn jm kn ik kmin jk im kn jk kk jmin km jn ik 3im jn jm kn ik kmin jk im kn jk 3 jm in km jn ik 3im jn jm ni mjin im nj 3 jm in mi jn
1. a、b和e的脚标一定是1、2、3的一个排列，在同一项内，不会重复出现1、2、 3中的任何一个数。
2. 当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个偶排列（即123，231，312）时， 该项取正号。
3. 当a、b和e的脚标是123这个自然顺序的一个奇排列（即132，213，321）时， 该项取负号。