简单的三角恒等变换专题及答案

简单的三角恒等变换专题

一、选择题

1．已知sin α＝2

3

，则cos(π－2α)＝( )

A ．－53

B ．－19 C.19 D.53

2．

2cos10°－sin20°

sin70°

的值是( )

A.12

B.3

2 C.

3 D. 2

3．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )

A.1＋m 2

B.1－m 2 C ．±1＋m

2 D.1＋m

2

4．若cos2αsin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )

A ．－22

B ．－12 C.12 D.72

5．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x

2－1

sin x 2cos x 2

，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π12的值为( )

A ．4 3 B.83

3

C ．4

D ．8

6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝45，则cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋2π3的值是( )

A ．－25 B.25 C.4315 D ．－43

15

7．已知α，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )

A.14

B.34

C.34 2

D.3

2

8．已知tan α＝4，则1＋cos2α＋8sin 2αsin2α

的值为( )

A ．4 3 B.654 C ．4 D.23

3

9．已知sin2α＝－

2425，且α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－4

5

10．已知α∈(0，π)，cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋π6＝22

，则tan2α＝( )

A.33 B ．－3

3

C. 3 D ．－ 3

二、填空题

11． 3tan12°－3

(4cos 212°－2)sin12°＝________.

12．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2

2＝________.

13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝13

5

，则tan2α＝________.

14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π4，则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4＋α＝________.

三、解答题

15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π3，π2. (1)求sin2α的值； (2)求tan α－1

tan α

的值．

16．已知α，β∈(0，π)，f (α)＝3－2cos2α

4sin α

.

(1)用sin α表示f (α)；

(2)若f (α)＝sin β，求α及β的值．

简单的三角恒等变换专题答案

一、选择题

1．已知sin α＝2

3

，则cos(π－2α)＝( )

A ．－

53 B ．－19 C.19 D.53

解析：依题意得cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝2×(23)2－1＝－1

9，选B.

答案：B 2．

2cos10°－sin20°

sin70°

的值是( )

A.12

B.3

2 C.

3 D. 2 解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°

＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°

sin70°

＝

3cos20°

cos20°

＝ 3.

答案：C

3．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )

A.

1＋m 2 B.1－m

2

C ．±1＋m

2

D.1＋m

2

解析：∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ， ∴cos 27°＝1＋m

2

，∴cos7°＝1＋m

2

. 答案：D 4．若

cos2αsin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋7π4＝－2

2，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－

22 B ．－12 C.12 D.7

2 解析：由已知三角等式得

cos 2α－sin 2α2

2

(sin α－cos α)＝－2

2，

整理得sin α＋cos α＝1

2.

答案：C

5．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1

sin x 2cos x 2

，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π12的值为( )

A ．4 3 B.83

3 C ．

4 D ．8

解析：∵f (x )＝2(tan x ＋

cos x sin x )＝2×(sin x cos x ＋cos x

sin x

) ＝2×1cos x ·sin x ＝4

sin2x ，

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sin π

6＝8. 答案：D

6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋sin α＝45，则cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋2π3的值是( )

A ．－25 B.25 C.4315 D ．－43

15

解析：由条件知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6－α＋sin α

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋1

2sin α＋sin α

＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋1

2cos α

＝3sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋π6＝45，

即sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋π6＝4315，

故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α＋π6＋π2