2018-2019重庆八中高一(下)期末 数学试题卷
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若a r ，b r 共线，则实数m =（ ）A ．6-B ．83-C ．83D ．6【答案】C【解析】利用向量平行的性质直接求解． 【详解】Q 向量(2,3)a =r ，(,4)b m =r ，,a b rr 共线，∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ． 【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,3，则a b +=（ ） A ．7- B ．1-C ．1D ．7【答案】B【解析】由韦达定理列方程求出a ，b 即可得解． 【详解】由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a +=（ ） A ．11 B ．16C ．20D ．28【答案】C【解析】可利用等差数列的性质2S ，42S S -，64S S -仍然成等差数列来解决．【详解】{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中n S ，2n n S S -，32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质，属于基础题．4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A ．600 B ．800C ．1000D ．1200【答案】B【解析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ． 【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 5．已知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为$3y bx=-$，据此可预测：当8x =时，y 的值约为（ ） A ．63 B ．74C ．85D ．96【答案】C【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆb ，取8x =求得y 值即可． 【详解】 由题得1234535x ++++==，1015304550305y ++++==． 故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果． 【详解】 A.11a b<，取11a b =>=-，显然不成立，所以该选项错误； B. ab a b >+，取1,1a b ==-，显然不成立，所以该选项错误； C. 22a b >，取2,3a b ==-，显然不成立，所以该选项错误；D. 3223a ab a b b +>+，由已知220a b +>且a b >，所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+．所以该选项正确. 故选：D ． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数多个【答案】B【解析】直接由正弦定理分析判断得解. 【详解】4,sinC sin ,sin 2A C AC =∴==∴<, 所以C 只有一解，所以三角形只有一解. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】利用等比数列{}n a 的前n 项和公式列出方程组，能求出首项． 【详解】Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-，∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．60【答案】C【解析】由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数． 【详解】由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ． 【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos a b c B =+，则C =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由题意和余弦定理可得222a b c ab +-=，再由余弦定理可得cos C ，可得角C 的值．【详解】Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得222222a c b c a b ac+-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题． 11．已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b++的最小值为（ ） A ．72B ．92C ．7D ．9【答案】B【解析】根据条件可知10a +>，0b >，122a b ++=，从而得出121222(1)2()(12)()149111b a a b a b a b a b ++=+++=++++++…，这样便可得出121a b++的最小值． 【详解】1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=；122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ． 【点睛】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．12．已知,R λμ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，则||||BP CP =u u u ru u u r （ ） A ．sin2sin2BC B ．cos 2cos2BC C ．sin 2sin 2C BD ．cos2cos2C B 【答案】D【解析】由平面向量基本定理及单位向量可得点P 在ABC ∠的外角平分线上，且点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB B PBC CP ∠==∠u u u r u u u r 得解．【详解】因为||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以,||||||||AB BC AC CB BP CP AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ， 因为||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题13．不等式210x x+>的解集为_________. 【答案】1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集． 【详解】210x x+>同解于(21)0x x +> 解得21x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U【点睛】本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．14．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________. 【答案】13【解析】利用古典概型的概率求解. 【详解】甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况， 所以他们选择相同交通工具的概率为3193=． 故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．15．当实数a 变化时，点()2,1P --到直线():1120l a x y a -++-=的距离的最大值为_______.【答案】【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解． 【详解】由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=，联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l 的最大距离d =故答案为： 【点睛】本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +的最大值为________.【解析】先求得A 的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得cos sin B C +的最大值．【详解】ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan 3A ∴=，6A π∴=．11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin )622B C B A B B B B B B B B π+=++=++=++)3B π=+…当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.【答案】（1）13（2）35【解析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得. 【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种. 所以A 被选中的概本为51153=. ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种,则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=. （1）求n a ；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3n a n =-（2）2124n n T -=-【解析】（1）在等差数列{}n a 中根据77S =，2128a a +=，可求得其首项与公差，从而可求得n a ；（2）可证明{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可． 【详解】（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n an b =32n n b -∴= 所以()2112142124n n n T --==--. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前n 项和公式，属于基础题．19．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,n ii i x y nx b ay bx x ynx =--==--∑∑$$. 【答案】（1）ˆ0.70.35yx =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 【解析】（1）由已知图形中的数据求得ˆb 与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510yx =+>求得x 的范围得答案． 【详解】（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+；（2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1in 3s ADB ∠=.（1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2AB =（22 【解析】（1）求得cos D ，在ABD ∆中运用余弦定理可得所求值；（2）在ABD ∆中，求得cos A ，sin A ，AC ，再由三角形的面积公式，可得所求值．【详解】（1）由题意可得222cos 13D sin D =-=， 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g2212622362=+-⨯=，则2AB =（2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-==g g ， 23sin 1A cos A -，3cos AB AC A==， ABC ∆的面积为1132sin 23222S AB AC A ===g g g g． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．21．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点()1,3A -、()3,4B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=. （1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）2）13【解析】（1）由题意求得AC 所在直线的斜率再由直线方程点斜式求AC 的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设C 的坐标，由题意列式求得C 的坐标，再求出||AC ，代入三角形面积公式求解．【详解】（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d ==（2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即C(1,6)，||AC ∴=ABC ∆∴的面积1||132S AC d ==g ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+. （1）证明：数列13n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）证明：n S <【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）将已知递推式取倒数得1123n n na a +=+，，再结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得132n n na =+，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．【详解】（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n na a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n na -=， 即132n n n a =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=- 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末考试数学试题(PDF版)
（1）求 AB 的长度；
A
（2）求 ABC 的面积.
B
C
D
21．（12 分）
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， ABC 的 顶 点 A(1，3) 、 B(3， 4) ， 边 AC 上 的 高 线 所 在 的 直 线 方 程 为 2x 3y 6 0 ，边 BC 上的中线所在的直线方程为 2x 3y 7 0 .
2AB AD
3
3
AC AB c
AC
sin
A
2
.
2
……12 分
21．（12 分）
解：（1）由题知 kAC
3 2
，直线
AC
方程为
y
3
3 2
(x 1)
，即 3x 2 y
9
0，
点 B 到直线 AC 的距离 d | 33 2 (4) 9 | 2 13 ； ……6 分 32 22
维护费用 y（万元）
4.5
4
3
2.5
使用年限 x（年）
34 5 6
（1）求出 y 关于 x 的回归直线方程 yˆ bˆx aˆ ；
（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10 万元？
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程 yˆ bˆx aˆ 的斜率和截
A． 6
B． 8 3
C． 8 3
D． 6
2． 已知 a，b R ，若关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的解集为 (1，3) ，则 a b
A． 7
B． 1
重庆市第八中学2018_2019学年高一数学下学期半期考试试题(含解析)
精品文档，欢迎下载！重庆八中2018一2019学年度（下）半期考试高一年级数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等差数列{}n a 中，若243,7a a ==，则6a =( ) A. 11 B. 7C. 3D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据2642a a a +=和已知条件即可得到。
【详解】等差数列{}n a 中，2642a a a +=Q642227311a a a \=-=?=故选A 。
【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题。
2.在V ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且,13B b a π===，则c =( )A. 1B. 21-【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理并解方程即可得到。
【详解】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得：222=12cos3c c p -+ 即220c c --=，解得2c =，或1c =-（舍）故选B【点睛】本题考查了余弦定理及一元二次方程的求解，属于基础题。
3.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏 B. 2盏C. 3盏D. 4盏【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式得到塔顶层的灯盏数。
【详解】设塔顶共有1a 盏灯由题意数列{}n a 为公比为2的等比数列()7171238112a S -\==-解得13a = 故选C【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，关键是识别其为等比数列，属于基础题。
4.向量a r，b r，c r在正方形网格中的位置如图所示。
若向量c a b λ=+r r r，则实数λ=( )A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系xOy ，用坐标表示向量a r ，b r ，c r，根据c a b λ=+r r r ，即可确定λ。
重庆市第八中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题(原卷版)
重庆八中2018-2019学年度(上)期末考试高一年级数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的)1.方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩的解构成的集合为（）A.{}3,0x y == B.(){}3,0 C.{}3,0 D.{}0,32.点C 在线段AB 上，且23AC CB = 若AB BC λ= ，则λ=（）A.23 B.23- C.53 D.53-3.()sin 2019-= （）A.sin39B.sin39-C.cos39D.cos39- 4.已知函数2()22f x x x =-+的定义域和值域均为()[1,1]b b >，则b =（）A.2B.3C.4D.55.若()()sin cos 0θθ-⋅-<，则θ在第（）象限.A.一、二B.二、三C.一、三D.二、四6.把函数sin 3y x =的图象向左平移6π，可以得到的函数为（）A.sin(3)6y x π=+ B.sin(3)6y x π=- C.cos3y x = D.cos3y x=7.函数11()11f x n x x =+-的零点所在的区间为（）A.()1,2B.()2,3C.()3,4D.()4,58.若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数，则a 的最大值是（）A.4π B.2π C.34πD.π9.函数()()log 10,1a y ax a a =->≠在定义域[]1,2上为增函数，则a 的范围（）A.(0,1)B.(1,2)C.1[0,]2D.1(0,)210.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.52(log 0.2),(2),(4)a g b g c g ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c b a << B.b a c << C.b c a<< D.a b c <<11.下列函数中,既没有对称中心，也没有对称轴的有（）①51x y x -=+②3sin 4cos y x x =-③21ln(1)y x ++=④21x y =-A.3个B.2个C.1个D.0个12.设正实数,a b 均不为1且log 2log 2a b >，则关于二次函数()()()()(1)(1)()f x x a x b x b x x x a =--+--+--，下列说法中不正确的是（）A.三点(1,(1)),(,()),(,())f a f a b f b 中有两个点在第一象限B.函数()f x 有两个不相等的零点C.1()()(1)()33a b f a f b f f ++++≤D.若a b >,则()0)(2f f >二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上)13.已知幂函数y x α=的图象过点(14,2)，则α=________.14.计算:4839(log 3log 27)(log 2log 4)+⋅+=________.15.设3sin(),452ππαα+=<,则cos 2=α________.16.已知OPQ 是半径为1，圆角为6π扇形,C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的接矩形，则2AB AD +的最大值为________.三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设集合{}2320A x x x =-+<，集合2}{0|21x a B x x -=>+.(1)若3a =,求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.18.已知5sin()cos tan()2()tan sin()2f πααπααπαα+⋅⋅-=⋅-.(1)求()3f π的值；(2)若1(0,),sin()263ππαα∈-=求()f α的值.19.己知函数3()31x x m f x -=+是定义在实数集R 上奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若x 满足不等式45240x x -⋅+≤，求此时()f x 的值域.20.已知定义在R 上的函数()()2sin 0,0,0()x A f x ωϕωϕπ=+>><<,()y f x =图象上相邻两个最低点之间的距离为π,且()012f π=.（1）求()f x 的解析式；（2）若2()4sin 43sin 20,(0,)62f x x x m x ππ--++≥∈恒成立，求实数m 的取值范围.21.已知函数()()2log f x mx n =+的图象经过点()(),1,04,2P Q .(1)求函数()y f x =的表达式；(2)如图所示，在函数()f x 的图象上有三点()()()()()(),,1,1,2,2A a f a B a f a C a f a ++++,其中2a ≥，求ABC ∆面积S 的最大值.22.设两实数,a b 不相等且均不为0.若函数()y f x =在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11[,]b a，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知函数()222,[2,0)2,[0,2]x x x g x x x x ⎧+∈-=⎨-+∈⎩.（1）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（2）若函数()g x 在定义域[]22-,内所有“倒域区间”的图象作为函数()y h x =的图象，是否存在实数m ，使得()y h x =与22(2)3,(0)tan 2tan ,(0)2x m x x y x x x π⎧+-+≥⎪=⎨--<<⎪⎩恰好有2个公共点?若存在，求出m 的取值范围：若不存在，请说明理由.。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
【名校试卷】2017-2018学年重庆市第八中学高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年重庆市第八中学 高一下学期期末考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．设a,b,c ∈R ，且a >b ，则下列说法正确的是 A ．ac >bc B ．2a>2bC ．a 2>b 2D ．1a <1b2．设集合A ={x |x 2−2x −3≤0 }，B ={x |0<x <4 }，则A ∩B = A ．[-1,4 ） B ．[-1,3 ） C ．（0,3 ] D ．( 0,4 ) 3．已知F 1,F 2是椭圆x 216+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M,N 两点，则ΔMNF 2的周长为A ．16B ．8C ．25D ．324．已知m ≠0，若直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行，则m 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？A ．6B ．5C ．4D ．36．下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)内单调递增的为 A ．y =x 2+2x B ．y =2|x | C ．y =2x −2−xD ．y =log 12|x |−17．已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑的夹角为23π且|a ⃑|=1 , |b ⃑⃑|=12，则(a ⃑+2b⃑⃑)•b ⃑⃑= A ．−14 B ．14 C ．12 D ．−328．已知实数x,y 满足约束条件{3x −y −3≤0x −2y +4≥03x +4y +12≥0 ，则z =2x −y 的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．59．在平面直角坐标系中，记d 为点P(cosθ,sinθ)到直线mx +y −3=0的距离，当θ,m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1=3且a n +16=S n +nSn+1−S n +1，则以下说法中正确的个数是①a 2=5； ②当n 为奇数时，a n =3n ； ③a 2+a 4+...+a 2n =3n 2+2n A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．若正数a ，b 满足1a +1b =1，则1a−1+9b−1的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．1612．已知向量a ⃑=(3,0),b ⃑⃑=(−5,5),c ⃑=(2,k)，若b ⃑⃑⊥(a ⃑+c ⃑)，则k =__________ 13．直线x +√3y −2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于________ 14．在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且C =23π，若ΔABC 的面积S =√312c ，则ab 的最小值为___________15．设点M 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P,Q ,且满足|MP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|,则椭圆的离心率为________。
2019年重庆市高一数学下期末试卷含答案
由余弦定理可得： ，
所以 ，
由正弦定理得： ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故答案为16
【点睛】
本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题
17．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信
2019年重庆市高一数学下期末试卷含答案
一、选择题
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2D．3
2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
解析：
【解析】
试题分析：因为 ，且 为三角形的内角，所以 ， ，又因为 ，所以 .
【考点】正弦定理，两角和、差的三角函数公式
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
由余弦定理得 ，
解得 （ 舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2018-2019学年重庆市区县高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．62．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．73．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．284．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为( )A ．600B ．800C ．1000D ．12005．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．966．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．6010．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．912．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()ABBCACCBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x+>的解集为 ． 14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为 ．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆的面积为3cos bc A ，则cos sin B C +的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=． （1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =6BD =，1sin 3ADB ∠=． （1）求AB 的长度； （2）求ABC ∆的面积．21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=． （1）求点B 到直线AC 的距离； （2）求ABC ∆的面积．22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+．（1）证明：数列1{3}n na -为等比数列； （2）证明：2(61)n S <-．2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．6【解答】解：Q 向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，,a b r r 共线， ∴423m =， 解得实数83m =．故选：C ．2．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．7【解答】解：由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯， 即4a =-，3b =， 所以1a b +=-． 故选：B ．3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．28【解答】解：{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=． 故选：C ．4．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为()A ．600B ．800C ．1000D ．1200【解答】解：根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则 321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人， 则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人． 故选：B ．5．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．96【解答】解：1234535x ++++==，1015304550305y ++++==．故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ．6．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b< B ．ab a b >+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【解答】解：由已知220a b +>且a b >， 所以2222()()a a b b a b +>+， 即3223a ab a b b +>+． 故选：D ．7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个【解答】解：4A π=Q，5a =，4c =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：22251624b b =+-⨯⨯⨯，可得：24290b b --=，(*)∴由△24680b ac =-=>，且两根之和为正、两根之积为负数，∴方程(*)有两个不相等的实数根，且只有一个正实数根，即有一个边b 满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC ∆有一个解． 故选：B ．8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-， ∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-． 故选：C ．9．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．60【解答】解：由频率分布直方图得：这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人． 故选：C ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得：222222a c b c a b ac +-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ．11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．9【解答】解：1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=； 122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92． 故选：B ．12．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()AB BC AC CBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 【解答】解：由||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向， 所以点P 在ABC ∠的外角平分线上， 同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得： cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x +>的解集为 1(,)(0,)2-∞-+∞U ． 【解答】解：210x x+>同解于 2100x x +>⎧⎨>⎩或2100x x +<⎧⎨<⎩解得12x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为13． 【解答】解：甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况，所以他们选择相同交通工具的概率为3193=．故答案为：13．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为【解答】解：由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=， 联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l的最大距离d ==故答案为：16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +【解答】解：ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan A ∴=，6A π∴=．则11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin ))6223B C B A B B B B B B B B B ππ+=++=++=+++…，当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？【解答】解：（1）所有的选法有26C 种，A 同学被选中的方法有1115C C 种，故A 同学被选中的概率是 152613C P C ==．（2）所有的选法有26C 种，至少有1名女同学包括两种情况：1个男同学与1个女同学，2个女同学，这两种情况分别有1142C C 和22C 种选法， 故至少有1名女同学被选中的概率是1124222635C C C P C +==． 18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=．（1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n a n b =32n n b -∴=则111(12)14(21)124n n n T ---==--． 19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,n i ii n ii x y nxyb a y bx x nx ==-==--∑∑． 【解答】解：（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+； （2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1sin 3ADB ∠=． （1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意可得222cos 1D sin D =-= 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g 2212622362=+-⨯=，则2AB = （2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-===g g ， 23sin 1A cos A =-=3cos AB AC A == ABC ∆的面积为1132sin 2322S AB AC A ===g g g g 21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=． 点B 到直线AC的距离d == （2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-， 则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即(1,6)C ，||AC ∴= ABCd ∴∆的面积1||132S AC d ==g ． 22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+． （1）证明：数列1{3}n n a -为等比数列； （2）证明：n S <． 【解答】证明：（1）115a =，123n n n n a a a +=+， 可得1123n n n a a +=+， 即有111132(3)n n n na a ++-=-， 可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列； （2）由（1）可得132n n n a -=， 即132n n na =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=--．。
重庆八中高一下期末数学试卷
重庆八中〔下〕期末考试高一年级数学试题.选择题:本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.〔1〕数列{a n}为等比数列，且a11,a48，那么公比q 〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕4〔D〕8〔2〕ABC中，a2,b3,B60，那么角A〔〕〔A〕135〔〕45〔〕30 B90〔C〕Dx〔3〕y，那么z2y的最小值为〔〕x2〔A〕2〔B〕0〔C〕2〔D〕4〔4〕假设a b ，那么以下不等式中正确的选项是〔〕〔A〕11〔B〕11〔C〕ab b2〔D〕aba2a b a b〔5〕袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n26n 12克，这些球等可能地从袋里拿出〔不受重量、号码的影响〕.假设随意拿出1球，那么其重量大于号码数的概率为〔〕〔A〕1〔B〕1〔C〕1〔D〕26323〔6〕实数a,b均为正数，且ab 2，那么12的最小值为〔〕a b〔A〕3〔B〕322〔C〕4〔D〕322〔7〕为认识某校身高在~的高一学生的状况，随机地抽查了该校100名高一学生，获得如图1所示频次直方图.因为不慎将局部数据丢掉，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频次为m，身高在~的学生数为n，那么m,n的值分别为〔〕〔A〕0.27,78〔B〕0.27,83〔C〕0.81,78〔D〕0.09,83图2所示的程序框图，当输入n1,m5，那么输出p的值为〔〕〔8〕假设履行如图2〔A〕4〔B〕1〔C〕2〔D〕5〔9〕把一个体积为33的27个小正方27cm的正方体本块外表涂上红漆，而后锯成体积为1cm体,此刻从中任取一块，那么这一块起码有一面涂有红漆的概率为〔〕A．1B．8C．26D．192 7272727〔10〕锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，假设B 2A，那么b的取值范围是a〔〕〔A〕(1,2)〔B〕(1,3)〔C〕(2,3)〔〕(3,22)D〔11〕设等差数列{a n}的前n项和为S n且知足S150,S160,那么S1,S2,S3,L,S15中最大的a1a2a3a15项为〔〕S9S8S76〔12〕数列{a n}知足3a n1a n4(n1)，且a19，其前n项之和为S n，a9a8a7a6那么知足不等式S n n61的最小整数是〔〕125〔A〕5〔B〕6〔C〕7〔D〕8二.填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应地点上.〔13〕等差数列{a n}，假设a1a3a59，那么a2a4__________.〔14〕某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n的样本，从男生中抽取的人数为100人，那么n __________.〔15〕现有红、黄、蓝、绿四种不一样颜色的灯泡各一个，从中选用三个分别安装在ABC的三个极点处，那么A处不安装红灯的概率为__________.〔16〕在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，假设C 60o，且3ab 25 c2，那么ABC 的面积最大值为__________..解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔17〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问6分，〔Ⅱ〕小问7分．〕设{a }是公差大于的等差数列，a2，a a210.32〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设{是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{an. b}的前项和S〔18〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问9分，〔Ⅱ〕小问4分．〕x1,x2,,x n(nN,n100)的均匀数是x，方差是s2.〔Ⅰ〕求数据3x12,3x22,,3x n2的均匀数和方差；〔Ⅱ〕假设a是x1,x2,,x100的均匀数，b是x101,x102,L,x n的均匀数.试用a,b,n表示x.〔19〕设数列a n的前n项和S n2n2，b n为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1，〔1〕求数列a n和b n的通项公式；〔2〕设c n an，求数列c n的前n项和T n bn〔20〕〔本小题总分值1２分，〔Ⅰ〕小问4分，〔Ⅱ〕小问8分．〕函数()log)，g(x)log2(ax a). x〔Ⅰ〕求f(x)的定义域；〔Ⅱ〕假设g(x)的定义域为(1,)，求当f(x)g(x)时x的取值范围.〔21〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问6分，〔Ⅱ〕小问6分．〕变量S sin a3〔Ⅰ〕假设a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求S0的概率；〔Ⅱ〕假设a是从区间[0,3]中任取的一个数，b是从区间[0,2]中任取的一个数，求S的概率.〔22〕〔本小题总分值1２分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问7分．〕各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且知足2S n na n .〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{1}的前n项和为T n，求证：当n3时，T n12 n.22n2n重庆八中2021——2021学年度〔下〕期末考试高一年级数学试题参照答案一、选择题BCDADDACCCBCA2A A10．由题意得2A，又2A6422b sinBsin2A2sinAcosA2cosA，因此2cos2cosA2cosa sinAsinAsinA46即22cosA312．因为3a n1an4a n111(a n1)，因此a n8(1)n11，因此用分组乞降可得13S n n66()n，因此S n n63n750明显最小整数为7．125二、填空13．61 4．22021．316．25341 616．由余弦定理可得c2a2b2ab，因此3ab25a22ab，化可得2 5a2b22ab2ab2ab即25ab当且当ab等号建立，因此三角形ABC的面S 1absinC1253253，因此最大253．2241616三、解答17．解：〔Ⅰ〕由意a12d(a1d)21由a12得22d(2d)210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分化得d22d0解得d或d4〔舍〕因此a n(n)22n⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分〔Ⅱ〕由意b n2n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因此S n(a1b1)(a2b2)L(a nbn) n(22n)12n22n1⋯⋯⋯13分n18．解：〔Ⅰ〕由意有x x1x2Lxnn数据3x12,3x2,,3x n2的均匀数和方差分x',s'2，3(x1x2xn)3x2⋯⋯⋯5分21[9(x1x)29(x2x)2L9(x nx)2]9s2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分nx12Lx n(x1x2Lx100)(x101Lx n)〔Ⅱ〕xn n100a(n100)b⋯⋯⋯⋯13分19n．20．解：〔Ⅰ〕由意2x0得x或1x因此f(x)的定域{x|x或x1}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分〔Ⅱ〕因g(x)log2(axa)，因此axa0即a(x1)0因为g(x)log2(axa)的定域(1,)，因此x10，因此a0⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分f(x)g(x)由以上可得x1且x2xaxa即(x1)(xa)0①当01，x1②当a，x a⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21．解：事件A“S0〞．当0a3，0b2，Ssin a b0建立的条件a≥b．3〔Ⅰ〕根本领件共12个：(0，0)，(01)，，(0，2)，(1，0)，(11)，，(1，2)，(2，0)，，(21)，(2，2)，(3，，0)，(31)，(3，2)．此中第一个数表示a的取，第二个数表示b的取．事件A中包括9个根本领件，事件A生的概率P(A)93．⋯⋯⋯⋯6分124〔Ⅱ〕的所有束所组成的地区(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2．组成事件A的地区，，，．(ab)|0≤a≤30≤b≤2a≥3212 2因此所求的概率322．⋯⋯⋯⋯12分2322．解：〔Ⅰ〕因2S nana n⋯⋯①，因此2a11a1得a1且22Sn1an1an1⋯⋯②，①-②得2a n2a n a n1化得(a na n11)(a nanan1因数列{a n}各均正数，因此a nan11即a n因此{a n}等差数列，a n n1或0〔舍〕a n1) 0a n1 1，a11也切合式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分〔Ⅱ〕当n 3，得⋯⋯⋯⋯12分。
重庆市某重点中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题
重庆市某重点中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求)1.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A.5B.7C.9D.112.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( )A.40B.36C.30D.203.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝6”是“a∥(a＋b)”的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α5.在△ABC中，AD为边上的中线，为的中点，则( )A. B. C. D.6.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为( )A.32B. 3C.2 3D.27.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是( )A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出） 8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为()A.53B.103C.56D.1169.若ab b a 24log )43(log =+ ,则b a +的最小值是（） A.326+B.327+C.346+D.347+10.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N －PAC 与三棱锥D －PAC 的体积比为( ) A.1∶2 B.1∶8 C.1∶3D.1∶611.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，PA PD ==P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．10πB ．4π C. 16πD ．8π12.在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．6二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中 有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数 字记为x ，那么x 的值为________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝___.15.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________.16.(原创)在△ABC 中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 则BECF的取值范围为． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设))(1(log 131*+∈-=N n S b n n ，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .18.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；19.(本小题满分12分)某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占%80．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组)25,15[，第2组)35,25[，第3组)45,35[，第4组)55,45[，第5组)65,55[，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该 区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；20.(本小题满分12分)如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC ＝CE ，点F 为CE 的中点.(1)若BE=BC=CD=2，求三棱锥BFC D -的体积；(2)点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM ⊥BE ？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(sin ,sin sin )m A B C =-，(3,)n a b c =-+，且m n ⊥．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =b -的取值范围．22.(原创)(本小题满分12分)已知数列,8,1},{21==a a a n 且)(244*12N n a a a n n n ∈--=++(1)设n n n a a b 21-=+，证明数列}2{-n b 是等比数列，并求数列}{n a 的通项； (2)若n n a c 1=，并且数列}{n c 的前n 项和为n T ，不等式36445k T n ≤对任意正整数n 恒成立，求 正整数k 的最小值。
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷(含答案)
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ， 第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2， 故s 2>s 12， 故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时， 需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ， 分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6， 篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数， 即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人， 系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6． 故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127； 故输出i 值为5， 故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形， 故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2， 故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58． 故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7． 故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人， 高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。
2018-2019学年重庆市第八中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年重庆市第八中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩的解构成的集合为（ ） A ．{}3,0x y ==B ．(){}3,0C ．{}3,0D ．{}0,3 【答案】B【解析】解方程组,可得方程组的解,再表示成集合即可.【详解】因为方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解方程可得30x y =⎧⎨=⎩表示成集合形式为(){}3,0 故选:B【点睛】本题考查了方程解的集合表示形式,注意要写成点坐标,属于基础题.2．点C 在线段AB 上，且23AC CB =若AB BC λ=，则λ=（ ） A ．23 B ．23- C ．53 D ．53- 【答案】D【解析】根据点C 在线段AB 上,且23AC CB =,可得C 与AB 的位置关系,进而根据AB BC λ=即可得λ的值.【详解】因为点C 在线段AB 上,且23AC CB = 所以A 、B 、C 的位置关系如下图所示：因为AB BC λ= 则53AB BC =-所以53λ=- 故选：D【点睛】本题考查了向量的数乘运算及线段关系的判断,根据题意画出各个点的位置是关键,属于基础题。
3．()sin 2019-=（ ） A ．sin39B ．sin39-C ．cos39D ．cos39-【答案】A【解析】根据三角函数诱导公式,化简即可得解。
【详解】根据三角函数诱导公式可知 ()()sin 2019sin 3605219-=-⨯-()sin 18039=--()sin 18039=-+sin39=故选:A【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的简单应用,属于基础题.4．已知函数2()22f x x x =-+的定义域和值域均为()[1,1]b b >，则b =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由二次函数的解析式,可知二次函数关于1x =成轴对称,且()11f =,若满足定义域和值域均为[1,]b ,则()f b b =,即可求得b 的值.【详解】函数()22()2211f x x x x =-+=-+所以()f x 在[1,]b 上单调递增又因为定义域和值域均为()[1,1]b b >所以()f b b =,即222b b b -+=解得1b =或2b =因为1b >所以2b =故选:A【点睛】本题考查了二次函数在指定区间内的值域问题,二次函数性质的综合应用,属于基础题. 5．若()()sin cos 0θθ-⋅-<，则θ在第（ ）象限.A ．一、二B ．二、三C ．一、三D ．二、四 【答案】C【解析】根据诱导公式化简,即可判断符号,可知θ所在象限.【详解】 ()()sin cos 0θθ-⋅-<由诱导公式化简可得sin cos 0θθ-⋅<即sin cos 0θθ⋅>所以sin θ与cos θ同号所以θ在第一或第三象限象限故选:C【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的简单应用,三角函数符号判断,属于基础题.6．把函数sin3y x =的图象向左平移6π，可以得到的函数为（ ） A ．sin(3)6y x π=+B ．sin(3)6y x π=-C ．cos3y x =D ．cos3y x =【答案】C【解析】根据三角函数平移变化可求得平移后的解析式,结合诱导公式化简即可得解.【详解】把函数sin3y x =的图象向左平移6π 可得sin 3+=sin 3+62y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 由诱导公式化简可得sin 3+= cos32y x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭故选:C【点睛】 本题考查了三角函数图象平移变换,诱导公式的简单应用,属于基础题.7．函数11()11f x n x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5 【答案】B【解析】根据零点存在定理,根据函数值的符号即可判断零点所在区间.【详解】 函数11()11f x n x x =+- 所以()1112102212f n =+=>- ()111131133132f n n =+=+- 13112ln 123n e n =-=- 因为3133,28e e ⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭而8e < 所以132e< 即13ln 120e n -< 函数11()11f x n x x =+-在()1,+∞上为单调递减函数 根据零点存在定理可知,在()2,3内有零点故选:B【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用,注意判断出函数的单调性,才能得出零点唯一性,属于基础题.8．若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数，则a 的最大值是（ ）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】A【解析】根据辅助角公式,将函数()f x 化简,结合正弦函数的单调性递增区间即可求得函数()f x 的单调递增区间.根据闭区间[,]a a -内单调递增,即可求得a 的最大值.【详解】函数()sin cos f x x x =+所以()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由正弦函数的单调递增区间可知, ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为 22,422k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ 解得322,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 因为在[,]a a -是增函数 所以a 的最大值是4π 故选:A【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数单调区间的求法,属于基础题.9．函数()()log 10,1a y ax a a =->≠在定义域[]1,2上为增函数，则a 的范围（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．1[0,]2D ．1(0,)2【答案】D【解析】根据复合函数单调性及对数的定义域,即可求得a 的范围.【详解】函数()()log 10,1a y ax a a =->≠为增函数则1y ax =-为减函数由复合函数单调性的性质可知01a <<满足10ax ->在[]1,2上恒成立,则120a ->成立即可 所以12a < 综上可知102a <<故选:D【点睛】本题考查了复合函数单调性的应用,注意对数函数定义域的要求,属于中档题. 10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.52(log 0.2),(2),(4)a g b g c g ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】根据奇函数()f x ,可知()()g x xf x =为偶函数.根据偶函数图像关于y 轴对称,可判断,,a b c 的大小.【详解】因为奇函数()f x 在R 上是增函数,所以由函数的性质可知()()g x xf x =为R 上的偶函数,且(0)0g = ()()g x xf x =在(),0-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增 因为2221log 0.2log log 55==- 而22log 53<<,所以23log 52-<-<-,即23log 0.22-<<-因为0.5122<<所以0.522log 54<<而()()()222log 0.2log 5log 5a g g g ==-=,0.5(2)b g =,(4)c g =所以b a c <<故选:B【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数大小比较,判断两个函数乘积的奇偶性是解决此类问题的关键,属于中档题.11．下列函数中,既没有对称中心，也没有对称轴的有（ ）①51x y x -=+②3sin 4cos y x x =-③1)y =④21x y =- A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】C【解析】对于①,通过函数的平移变换可求得对称中心;对于②通过辅助角公式可求得对称轴; 对于③可根据奇偶性判断出对称轴;对于④根据图像平移和翻折变化可知无对称轴或对称中心,即可判断选项.【详解】对于①,分离参数化简可得56111x y x x --==+++.把函数6y x -=向左平移一个单位,向上平移一个单位,可得611y x -=++,所以611y x -=++的对称中心为()1,1-,即①有对称中心. 对于②,由辅助角公式化简可得()43sin 4cos 5sin ,tan 3y x x x ϕϕ=-=-=,所以对称轴为,2x k k Z πϕπ-=+∈.即对称轴为,2x k k Z πϕπ=++∈,所以②有对称轴.对于③,1)y =则()1)f x =-所以函数1)y =为偶函数,关于y 轴对称,所以③有对称轴;对于④,21xy =-的图像.可由2x y =向下平移一个单位,再把图像在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方(x 轴上方的原函数图像不变).由图像可知21xy =-没有对称轴,也没有对称中心.所以④没有对称轴,也没有对称中心综上可知, 既没有对称中心,也没有对称轴的有1个故选:C【点睛】本题考查了函数图像的平移变换,奇偶性的判断,函数轴对称及中心对称的综合应用,属于基础题.12．设正实数,a b 均不为1且log 2log 2a b >，则关于二次函数()()()()(1)(1)()f x x a x b x b x x x a =--+--+--，下列说法中不正确的是（ ） A ．三点(1,(1)),(,()),(,())f a f a b f b 中有两个点在第一象限B ．函数()f x 有两个不相等的零点C ．1()()(1)()33a b f a f b f f ++++≤ D ．若a b >,则()0)(2f f >【答案】D【解析】根据不等式log 2log 2a b >,可分类讨论实数,a b 的大小关系.代入解析式即可判断A 选项;将解析式化简,根据判别式∆可判断B;根据图像形状可判断C;根据a b >,代入可判断D.【详解】正实数,a b 均不为1且log 2log 2a b >则1a b <<或01b a <<<对于A,()()()111f a b =--, ()()()1f a a b a =--,()()()1f b b b a =-- 当1a b <<时,()()()1110f a b =-->,()()()10f a a b a =--<,()()()10f b b b a =-->,则点(1,(1)),(,())f b f b 在第一象限;当01b a <<<时,()()()1110f a b =-->,()()()10f a a b a =--<,()()()10f b b b a =-->,则点点(1,(1)),(,())f b f b 在第一象限,所以A 选项正确.对于B, ()()()()(1)(1)()f x x a x b x b x x x a =--+--+--化简可得()()23222f x x a b x ab a b =-+++++ 则()()222243a b ab a b ∆=++-⨯⨯++ ()2241a b ab a b =+---+()()2431a b ab a b ⎡⎤=+--++⎢⎥⎣⎦ ()4431ab ab ≥-- )241≥ 当且仅当a b =时取等号,因为正实数,a b 均不为1所以>0∆即函数()f x 有两个不相等的零点,所以B 正确;对于C,当1a b <<时,二次函数图像开口向上,函数图像为”凹函数”,满足1()()(1)()33a b f a f b f f ++++≤ 当01b a <<<时,二次函数图像开口向上,函数图像为”凹函数”,满足1()()(1)()33a b f a f b f f ++++≤成立,所以C 正确; 对于D, ()0f ab b a =++,()()()()()22222f a b b a =--+-+-338ab a b =--+所以()()()()20338f f ab a b ab b a -=--+-++()48a b =-++因为a b >,即01b a <<<所以2a b +<即()480a b -++>所以()()200f f ->,即()()20f f >,所以D 错误.故选:D【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质的综合应用,对数式比较大小,注意讨论对数底数的情况,函数值大小比较的方法,计算量大,属于难题.二、填空题13．已知幂函数y x α=的图象过点(14,2)，则α=________.【答案】12- 【解析】将点带入解析式,根据指数幂的化简即可求得α的值.【详解】幂函数y x α=的图象过点(14,2) 所以142α=,即1222α-= 所以12α=- 故答案为: 12-【点睛】本题考查了幂函数定义及解析式求法,属于基础题. 14．计算:4839(log 3log 27)(log 2log 4)+⋅+=________.【答案】3【解析】根据换底公式即对数运算,化简即可求解.【详解】由换底公式及对数的运算,化简式子可得4839(log 3log 27)(log 2log 4)+⋅+322222322222log 3log 3log 2log 2log 4log 2log 3log 3⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222log 33log 3log 22log 223log 32log 3⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223log 322log 3⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=故答案为:3【点睛】本题考查了对数的换底公式及对数运算,属于基础题. 15．设3sin(),452ππαα+=<,则cos2=α________. 【答案】2425【解析】根据正弦的和角公式展开,化简可求得sin cos αα+的值,结合同角三角函数关系式可判断出sin α与cos α的符号.再根据同角三角函数关系式求得sin cos αα-的值.由余弦的二倍角公式即可求得cos2α的值. 【详解】 因为3sin()45πα+=,根据正弦的和角公式展开可得)3sin cos 25αα+=,所以sin cos αα+=两边同时平方,由22sin cos 1αα+=化简可得 1812sin cos 25αα+=,即72sin cos 25αα=- 所以sin α与cos α异号 因为2πα<,所以02πα-<<则sin 0,cos 0αα<>因为()2732sin cos 12sin cos 12525αααα⎛⎫-=-=--=⎪⎝⎭所以sin cos 5αα-=±而sin cos 0αα-<,即sin cos 5αα-=- 由余弦二倍角公式可知22cos 2cos sin =-ααα()()cos sin cos sin αααα=-+245525==故答案为: 2425【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,正弦和角公式及余弦二倍角公式的应用,同角三角函数式的应用,注意判断三角函数值的符号,属于中档题.16．已知OPQ 是半径为1，圆角为6π扇形,C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的接矩形，则2AB AD +的最大值为________.【解析】设COP α∠=,用α表示出AB AD 、的长度,进而用三角函数表示出2AB AD +,结合辅助角公式即可求得最大值.【详解】设,06COP παα⎛⎫∠=≤≤⎪⎝⎭扇形OPQ 的半径为1,ABCD 是扇形的接矩形 则sin sin AD BC OC αα==⨯=cos cos OB OC αα=⨯=tan 3AD DOA AO ∠==,所以AO α==则cos AB OB OA αα=-= 所以2AB AD +cos 2sin ααα=-+(2sin cos αα=+(),tan 2αϕϕ=+=因为tan 2ϕ=,所以512πϕ=所以当12πα=时, 2AB AD +故答案为:【点睛】本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题.三、解答题17．设集合{}2320A x x x =-+<，集合2}{0|21x a B x x -=>+.(1)若a =求A B ；(2)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭(2) ⎡⎣【解析】(1) 解一元二次不等式求得集合A,将a =B,解分式不等式可得集合B,即可求得AB .(2) 解分式不等式可得集合B,由集合的关系可得关于a 的不等式,解不等式即可得实数a 的取值范围.【详解】(1) 集合{}2320A x x x =-+< 解不等式可得{}12A x x =<<将a =B,得301|2x B x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭解分式不等式可得312|B x x x ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或 则{}3312|1222A B x x x x xx x ⎧⎫⎧⎫⋂=<<⋂-=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或 所以322A B xx ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭(2) 集合2}{0|21x a B x x -=>+解分式不等式可得212|a B x x x ⎧⎫=<->⎨⎬⎩⎭或{}12A x x =<<因为A B B ⋃= 即A B ⊆所以212a ≤ ,解得a ≤≤即a ⎡∈⎣【点睛】本题考查了一元二次不等式与分式不等式的解法,集合交集的运算,根据集合间关系求参数的取值范围,属于基础题.18．已知5sin()cos tan()2()tan sin()2f πααπααπαα+⋅⋅-=⋅-. (1)求()3f π的值；(2)若1(0,),sin()263ππαα∈-=求()f α的值. 【答案】(1)12-(2) 【解析】(1) 根据诱导公式,化简即可得()f α,代入即可求得()3f π的值;(2) 根据正弦的差角公式,展开后用cos α表示sin α,再根据同角三角函数关系式中22sin cos 1αα+=可解得cos α,即可求得()f α的值.【详解】(1) 根据诱导公式,化简()f α可得5sin()cos tan()2()tan sin()2f πααπααπαα+⋅⋅-=⋅-cos cos (tan )tan cos ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-所以1cos 332f ππ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭(2) 由正弦的差角公式化简1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭11cos 23αα-=2cos 3αα=+两边同时平方可得2222443sin cos cos cos 393αααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为223sin 3cos 3αα+= 即244cos 4cos 393αα++= 化简可得236cos 12cos 230αα+-=所以cos α==因为(0,)2πα∈,所以cos α=而()cos f αα=-所以()cos f αα=-= 【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数式中的化简应用,正弦差角公式及同角三角函数关系式的用法,本题计算量较大,属于中档题.19．己知函数3()31x x mf x -=+是定义在实数集R 上奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若x 满足不等式45240x x -⋅+≤，求此时()f x 的值域. 【答案】(1) 1m = (2) 40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1) 根据实数集R 上的奇函数满足()00f =,代入即可求得实数m 的值; (2) 解指数不等式可求得自变量x 的取值范围,根据函数()f x 的单调性,即可求得()f x 的值域. 【详解】(1) 因为函数3()31x x mf x -=+是定义在实数集R 上奇函数所以()00f = 即1011m-=+解得1m =(2) x 满足不等式45240x x -⋅+≤ 则()()21240xx--≤ 即124x ≤≤解不等式可得02x ≤≤312()13131x x xf x -==-++ 因为2()131x f x =-+为R 上的单调递增函数,所以当02x ≤≤时 min 02()(0)1031f x f ==-=+max 224()(2)1315f x f ==-=+即()f x 的值域为40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了奇函数的性质及简单应用,指数不等式的解法,函数单调性与值域的综合应用,属于基础题.20．已知定义在R 上的函数()()2sin 0,0,0()x A f x ωϕωϕπ=+>><<,()y f x =图象上相邻两个最低点之间的距离为π,且()012f π=.（1）求()f x 的解析式；（2）若2()4sin 20,(0,)62f x x x m x ππ--++≥∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）5()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）6m ≥ 【解析】（1）根据图象上相邻两个最低点之间的距离可得周期,进而求得ω的值,将()012f π=代入可得ϕ的值,进而得函数()f x 的解析式.（2）代入()f x 的解析式,根据降幂公式和辅助角公式,化简即可得不等式2sin 268m x π-⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,根据自变量x 的取值范围求得sin 26x 骣琪+琪桫p 的值域,根据恒成立问题即可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()y f x =图象上相邻两个最低点之间的距离为π 即T π= 所以22Tπω== 则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()012f π=,带入可得2sin 2012πϕ⨯+⎫⎪⎝⎭=⎛,()0ϕπ<<可解得56πϕ=所以5()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由（1）可知5()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭则52sin 6236f x x πππ=-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭2sin 22co 22s x x π⎛⎫== ⎪⎝⎭+由降幂公式可知22sin 1cos 2αα=-所以不等式可化为()2cos221cos220x x m α--++≥恒成立即4cos 222x x m +≥- 由辅助角公式化简可得8sin 226x m π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭即2sin 268m x π-⎛⎫+≥⎪⎝⎭ 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则72,666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭由正弦函数图像可知1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦即12,128m-⎛⎤-≥ ⎥⎝⎦恒成立 所以只需1228m--≥解不等式可得6m ≥ 【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法,根据自变量取值范围求得三角函数的值域,由恒成立问题求参数的取值范围,属于中档题.21．已知函数()()2log f x mx n =+的图象经过点()(),1,04,2P Q .(1)求函数()y f x =的表达式；(2)如图所示，在函数()f x 的图象上有三点()()()()()(),,1,1,2,2A a f a B a f a C a f a ++++,其中2a ≥，求ABC ∆面积S 的最大值.【答案】(1) ()2log f x x = (2) 23log 32-【解析】(1) 将两个点的坐标代入解析式,即可求得mn 、的值,进而求得函数()y f x =的表达式.(2) 代入解析式可得、、A B C 三个点的坐标,用两个小直角梯形的面积和减去大的梯形的面积,即可表示出ABC ∆面积.将表示化简,根据函数单调性即可求得ABC ∆面积的最大值. 【详解】(1) 将点()(),1,04,2P Q 带入解析可得()()220log 2log 4m n m n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩,即 144m n m n +=⎧⎨+=⎩解方程组可得10m n =⎧⎨=⎩ 即()2log f x x =(2) 因为()()()()()(),,1,1,2,2A a f a B a f a C a f a ++++所以()()()()()222,,1,log log log 1,2,2A a B a a a C a a ++++ 则()()22211log log 11log 122AMNB S a a a a =++⨯=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()22211log 1log 21log 1222BNPC S a a a a =+++⨯=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2221log log 22log 22AMPC S a a a a =++⨯=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以ABC AMNB BNPC AMPC S S S S =+-()()()()22211log 1log 12log 222a a a a a a =++++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()2222121log 22a a a a a ++=+()()2211log 22a a a +=+ ()()2221111log 211a a +-+=+-()2211log 1211a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥+-⎣⎦因为()()2211log 1211g a a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥+-⎣⎦在2a ≥时为单调递减函数, 所以当2a =时取得最大值()2max 3log 32ABC S g a ==- 【点睛】本题考查了对数的运算及应用,根据割补法表示不规则图形的面积,对数函数的图像及性质的用法,属于中档题.22．设两实数,a b 不相等且均不为0.若函数()y f x =在[],x a b ∈时，函数值y 的取值区间恰为11[,]b a，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.已知函数()222,[2,0)2,[0,2]x x x g x x x x ⎧+∈-=⎨-+∈⎩.（1）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（2）若函数()g x 在定义域[]22-,内所有“倒域区间”的图象作为函数()y h x =的图象，是否存在实数m ，使得()y h x =与22(2)3,(0)tan 2tan ,(0)2x m x x y x x x π⎧+-+≥⎪=⎨--<<⎪⎩恰好有2个公共点?若存在，求出m 的取值范围：若不存在，请说明理由. 【答案】（1）11,2⎡⎢⎣⎦ （2）存在, 5m <≤ 【解析】（1）根据倒域区间的定义,结合函数的单调性,解方程即可求得a b 、的值,可得函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”.（2）结合倒域区间的定义,先求得函数()y h x =的解析式.根据两个函数有两个交点,即可得关于x 的方程,分离参数得m 的表达式,根据打勾函数的图像及性质即可求得m 的取值范围. 【详解】（1）()22,[1,2]g x x x x =-+∈由二次函数性质可知, ()22g x x x =-+在[1,2]x ∈时单调递减设12a b ≤<≤,则其值域为11[,]b a所以221212a a ab b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,化简可得3232210210a a b b ⎧-+=⎨-+=⎩ 因式分解可得()()()()22110110a a ab b b ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩解得11,2a a ±==,11,2b b ±== 因为12a b ≤<≤所以1,a b ==即倒域区间为11,2⎡⎢⎣⎦（2）两实数,a b 不相等且均不为0.且满足[],x a b ∈时,函数值y 的取值区间恰为11[,]b a则11a b b a<⎧⎪⎨<⎪⎩,所以a 与b 符号相同,即同为正数或同为负数 因为定义域为[]22-,所以存在两种可能:02a b <<≤与20a b -≤<<当02a b <<≤时,由二次函数()22,[0,2]g x x x x =-+∈的图像可知 ()max 1g x = 所以满足11a≤,即1a ≤ 所以12a b ≤<≤.由（1）可知其倒域区间为⎡⎢⎣⎦当20a b -≤<<时,由二次函数()22,[2,0)g x x x x =+∈-的图像可知 ()min 1g x =- 所以满足11b≥-,即1b ≤- 所以21a b -≤<≤-,根据倒域区间的定义,同理可求得其倒域区间为1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦综上可知, ()222,2,1x x x y h x x x x ⎧⎡-+∈⎪⎢⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪+∈-⎢⎥⎪⎣⎦⎩因为22(2)3,(0)tan 2tan ,(0)2x m x x y x x x π⎧+-+≥⎪=⎨--<<⎪⎩当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()tan ,0x ∈-∞ 令()tan ,,0t x t =∈-∞则22(2)3,(0)2,(0)x m x x y t t t ⎧+-+≥=⎨-<⎩ 画出()y h x =与22,(0)y t t t =-<的图像可知没有交点.若两个函数恰有2个公共点,则两个函数图像在⎡⎢⎣⎦有2个交点.即222(2)3x x x m x -+=+-+在⎡⎢⎣⎦上有两个不同交点.化简可得312,1,2m x x x ⎡+=+∈⎢⎣⎦,即为打钩函数. 画出函数图像如下图所示.则当32x x =,即x =时取得最小值,最小值为 当1x =时,5m =,当12x +=时, 12m =因为152>所以为有两个交点,则m 的取值范围为5m <≤【点睛】本题考查了函数性质的综合应用,新定义内容的理解和应用,函数图像的综合用法,利用分离参数法求参数的取值范围,综合性较强,属于难题.。
重庆市第八中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
重庆八中2017—2018学年度（下）期末考试高一年级数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，当c≤0时，A 显然不成立；a=1，b=-2时，,故B不正确；y=x3在R上为增函数，故C正确；当a=1，b=0时，D显然不正确.故选C.【思路点睛】判断两个式子的大小关系方法：（1）作差作商法，（2）不等式性质法、（3）函数的单调性、（4）中间量法、（5）特殊值法、（6）数形结合法等.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分别求出集合，根据集合交集的运算，即可求解。
【详解】由题意，集合，，所以，故选C。
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合和集合交集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（）A. 16B. 8C. 25D. 32【答案】A【解析】因为椭圆的方程我，所以，由题意的定义可得的周长，故选A.4.已知，若直线与直线平行，则的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由两直线平行的条件计算值，同时要检验是否重合．【详解】直线的斜率显然存在，因此由题意有，解得．故选B．【点睛】两直线和平行的条件是且（或），在均不为0时，条件可写为．一般可由求出参数值，然后检验是否重合即可．5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】【分析】设塔顶有盏灯，则由等比数列的前项公式列出方程可解得．【详解】设塔顶有盏灯，由题意得，解得．故选D．【点睛】本题考查考查等比数列的应用．关键是由实际问题抽象出数学概念，题中“红光点点倍加增”，说明每层灯盏数依次成系数，从而利用等比数列的前项和公式可计算．6.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】可先根据奇偶性确定奇偶性，现对其中的偶函数判断单调性．【详解】根据奇偶性的定义知A即不是奇函数也不是偶函数，C是奇函数，B、D是偶函数，在上B是减函数，D是增函数．故选D．【点睛】本题考查奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性是解题关键．此类问题一般比较简单，记住基本初等函数的奇偶性与单调性可以很快得出结论．7.已知平面向量的夹角为且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算，化简，即可计算，得到答案。
2017-2018年重庆八中高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年重庆八中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列说法正确的是（）A．ac＞bc B．2a＞2b C．a2＞b2D．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．[﹣1，4）B．[﹣1，3）C．（0，3]D．（0，4）3．（5分）已知F1、F2是椭圆+＝1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为（）A．8B．16C．25D．324．（5分）已知m≠0，若直线mx+2y+m＝0与直线3mx+（m﹣1）y+7＝0平行，则m的值为（）A．6B．7C．8D．95．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏6．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）A．y＝x2+2x B．y＝2|x|C．y＝2x﹣2﹣x D．7．（5分）已知平面向量的夹角为且，，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．2B．3C．4D．59．（5分）若正数a，b满足：lga+lgb＝lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．110．（5分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上单调递增D．函数f（x）的图象可由g（x）＝A cos（ωx）的图象向右平移个单位得到11．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线mx+y﹣3＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝3且，则以下说法中正确的个数是（）①a2＝5；②当n为奇数时，a n＝3n；③A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卷上）13．（5分）已知向量，若，则k＝14．（5分）若直线x+y﹣2＝0与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积，则ab的最小值为16．（5分）设点M是椭圆上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，且满足，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第8项和第20项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n．18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积；19．（12分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，3），B（﹣4，2），C（﹣2，2）（Ⅰ）求△ABC的外接圆E的方程；（Ⅱ）若一光线从（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆E相切，求反射光线所在直线的斜率．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于AB两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．21．（12分）已知数列{a n}满足，设．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．22．（12分）如图，已知圆F 1的半径为，，P是圆F1上的一个动点，PF2的中垂线l交PF1于点Q，以直线F1F2为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）若点Q的轨迹为曲线E，求曲线E的方程；（Ⅱ）设点T为圆Γ：x2+y2＝2上任意一点，过T作圆Γ的切线与曲线E交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标．2017-2018学年重庆八中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列说法正确的是（）A．ac＞bc B．2a＞2b C．a2＞b2D．【解答】解：a，b，c∈R，且a＞b，若c＝0，则ac＝bc，则A错误；由y＝2x在R上递增，可得2a＞2b；若a＝﹣1，b＝﹣2，则a2＜b2，则C错误；若a＝1，b＝﹣1，则＞，则D错误．故选：B．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．[﹣1，4）B．[﹣1，3）C．（0，3]D．（0，4）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{x|0＜x≤3}＝（0，3]．故选：C．3．（5分）已知F1、F2是椭圆+＝1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为（）A．8B．16C．25D．32【解答】解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|＝2a＝8，|F1N|+|F2N|＝2a＝8∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|＝8+8＝16故选：B．4．（5分）已知m≠0，若直线mx+2y+m＝0与直线3mx+（m﹣1）y+7＝0平行，则m的值为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵直线mx+2y+m＝0与直线3mx+（m﹣1）y+7＝0平行，∴＝≠，求得m＝7，故选：B．5．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【解答】解：设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选：B．6．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）A．y＝x2+2x B．y＝2|x|C．y＝2x﹣2﹣x D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+2x，为对称轴为x＝﹣1的二次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝2|x|，为偶函数，当x＜0，y＝2﹣x，在（﹣∞，0）内单调递减，不符合题意；对于C，y＝2x﹣2﹣x，f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，不符合题意；对于D，，有f（﹣x）＝＝＝f（x），为偶函数，且当x＜0，y＝，为增函数，符合题意；故选：D．7．（5分）已知平面向量的夹角为且，，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵平面向量的夹角为，且，，∴＝＝||•||•cos+2×||2＝+2×＝．故选：B．8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图△ABC）变形目标函数可得y＝2x﹣z，平移直线y＝2x可知当直线经过点C（0，﹣3）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z＝2x﹣y的最大值为3，故选：B．9．（5分）若正数a，b满足：lga+lgb＝lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．1【解答】解：由lga+lgb＝lg（a+b），可得lg（ab）＝lg（a+b），所以，ab＝a+b，则ab﹣a﹣b+1＝1，即a（b﹣1）﹣（b﹣1）＝1，所以，（a﹣1）（b﹣1）＝1，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为4，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上单调递增D．函数f（x）的图象可由g（x）＝A cos（ωx）的图象向右平移个单位得到【解答】解：根据函数f（x）＝A cos（ωx+φ）的部分图象知，＝﹣＝，∴T＝＝，解得ω＝3，A正确；又x＝×（+）＝时，f（x）取得最大值，∴x＝是f（x）图象的对称轴，∴x＝﹣＝也是f（x）图象的对称轴，B正确；令3×+φ＝0，解得φ＝﹣，∴f（x）＝A cos（3x﹣），A＞0，x∈（，）时，3x﹣∈（，），∴f（x）在x∈（，）上先减后增，C错误；g（x）＝A cos（3x），g（x）的图象向右平移个单位，得g（x﹣）＝A cos[3（x﹣）]＝A cos（3x﹣）＝f（x），D正确．故选：C．11．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线mx+y﹣3＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：记d为点P（cosθ，sinθ）到直线mx+y﹣3＝0的距离，则d＝＝≤＝1+，∴当且仅当sin（θ+γ）＝﹣1，m＝0时，d取最大值4．故选：D．12．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝3且，则以下说法中正确的个数是（）①a2＝5；②当n为奇数时，a n＝3n；③A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：首项a1＝3且，可得＝，即有＝S n+n，则n＝1时，＝3+1，解得a2＝5；当n≥2时，＝S n﹣1+n﹣1，又＝S n+n，相减可得＝a n+1，由a n+1≠0，可得a n+1﹣a n﹣1＝6，即有奇数项以3为首项、6为公差的等差数列；偶数项以5为首项、6为公差的等差数列，则当n为奇数时，a n＝3n；当n为偶数时，a n＝3n﹣1，则a2+a4+…+a2n＝5+11+…+6n﹣1＝n（5+6n﹣1）＝3n2+2n，故①②③均正确，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卷上）13．（5分）已知向量，若，则k＝5【解答】解：∵向量，∴＝（5，k），∵，∴•（）＝﹣25+5k＝0，解得k＝5．故答案为：5．14．（5分）若直线x+y﹣2＝0与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于2．【解答】解：∵圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，∴圆心到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝1，∴弦长|AB|＝2＝2．故答案为：2．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积，则ab的最小值为【解答】解：∵，△ABC的面积＝ab sin＝ab，∴解得：c＝3ab，∵由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：c2＝a2+b2+ab，∴9a2b2＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab，当且仅当a＝b时等号成立，∴解得：ab≥，当且仅当a＝b时等号成立．即ab的最小值为．故答案为：．16．（5分）设点M是椭圆上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，且满足，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，过M作MN⊥y轴于N，由，可得|PQ|＝2|MN|＝2c，再由题意可得M（c，），则圆M为．取x＝0，可得，．∴，即（e2）2﹣4e2+1＝0．解得（舍），．∴e＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{a n}中，a1＝2，a4＝16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别是等差数列{b n}的第8项和第20项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n．【解答】（本小题满分（10分），其中第（Ⅰ）问（4分），第（Ⅱ）问6分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则，解得：q＝2所以数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设等差数列{b n}的公差为d，依题意由：b8＝a3＝8，b2a＝a5＝32，所以12d＝b2a﹣b8＝24，解得：d＝2，又b8﹣b1+7d＝b1+14＝8，所以b1＝﹣6所以数列{b n}的通项公式b n＝b1+（n﹣1）d＝2n﹣8，前n项和公式．18．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积；【解答】（本小题满分（12分），其中第（Ⅰ）问（5分），第（Ⅱ）问7分）解：（Ⅰ）依题意有：，于是：2sin A cos B+cos B sin C＝﹣sin B cos C，即：2sin A cos B＝﹣（sin B cos C+cos B sin C）＝﹣sin（B+C）＝﹣sin A，又A∈（0，π），sin A＞0，所以，又B∈（0，π），所以．（Ⅱ）由余弦定理：，解得：ac＝4，又因为，所以，所以：．19．（12分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，3），B（﹣4，2），C（﹣2，2）（Ⅰ）求△ABC的外接圆E的方程；（Ⅱ）若一光线从（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆E相切，求反射光线所在直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由题意：：，于是AB⊥AC．所以△ABC是直角三角形，于是外接圆圆心为斜边BC的中点（﹣3，2），半径所以：△ABC的外接圆E的方程为：（x+3）2+（y﹣2）2＝1．（Ⅱ）点（﹣2，﹣3）关于y轴对称的点（2，﹣3），则反射光线经过点（2，﹣3）有图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为y+3＝k（x﹣2）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得：或．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线l交椭圆于AB两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．【解答】（本小题满分（12分），其中第（Ⅰ）问（5分），第（Ⅱ）问7分）解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，且经过点，∴依题意有：，解得：，∴椭圆方程为．（Ⅱ）椭圆的右焦点F（2，0），∵直线l斜率不可能为0，设直线l的方程为x﹣my+2，由，得：（m2+3）y2+4my﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，∴，令，所以，当且仅当即即m＝±1时取等号，∴△OAB面积的最大值是．21．（12分）已知数列{a n}满足，设．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以数列{b n}是公差为3的等差数列，又因为a1＝1，所以b1＝2a1＝2，所以数列{b n}的通项公式是b n＝3n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：于是：，＝两式相减得：＝＝，所以：．22．（12分）如图，已知圆F 1的半径为，，P是圆F1上的一个动点，PF2的中垂线l交PF1于点Q，以直线F1F2为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）若点Q的轨迹为曲线E，求曲线E的方程；（Ⅱ）设点T为圆Γ：x2+y2＝2上任意一点，过T作圆Γ的切线与曲线E交于A，B两点，证明：以AB为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标．【解答】（本小题满分（12分），其中第（Ⅰ）问（4分），第（Ⅱ）问8分）解：（Ⅰ）因为Q是线段PF1中垂线上的点，所以|QP|＝|QF2|所以：所以：点Q的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆于是：，于是所以：曲线E的方程是；证明：（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，取，则，此时圆的方程是取，则，此时圆的方程是两圆相交于原点O（0，0），下面证明原点O（0，0）满足题目条件，即证：当直线AB斜率不存在时，设直线方程为y＝kx+m因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即2k2+2＝m2①由，得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，于是：，所以：，将①代入可得：，综上所述：以AB为直径的圆经过定点O（0，0）．。
重庆市第八中学2018-2019学年高一下学期半期考试数学试题
重庆市第八中学2018-2019学年高一下学期半期考试数学试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.等差数列{a n }中，若243,7a a ==，则6a =( ) A. 11B. 7C. 3D. 2答案及解析：1.A 【分析】根据2642a a a +=和已知条件即可得到。
【详解】等差数列{}n a 中，2642a a a +=Q642227311a a a ∴=-=⨯-=故选A 。
【点睛】本题考查了等差数列的基本性质，属于基础题。
2.数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏B. 2盏C. 3盏D. 4盏答案及解析：2.C答案第2页，总18页【分析】由等比数列的求和公式得到塔顶层的灯盏数。
【详解】设塔顶共有1a 盏灯由题意数列{}n a 为公比为2的等比数列()7171238112a S -∴==-解得13a = 故选C【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，关键是识别其为等比数列，属于基础题。
3.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则△ABC 的形状一定是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形答案及解析：3.A 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a b a+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定△ABC 的形状。
【详解】22cos2a baC +=Q 1cos sin sin 22sin C A B A++∴=化简得sin cos sin A C B =()B A C p =-+Qsin cos sin()A C A C ∴=+即cos sin 0A C =sin 0C ≠Qcos 0A ∴=即0A = 90○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………ABC ∴∆是直角三角形故选A【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略。
重庆八中高一下期末数学试卷
重庆八中（下）期末考试高一年级数学试题一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（7）为了解某校身高在m m 78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m ，身高在m m 74.1~66.1的学生数为n ，则n m ,的值分别为（）（A）7881.0（D）8309.0,,27,.0（C）78.0（B）83,27图2（8）若执行如图2所示的程序框图，当输入5n，则输出p的值为（）,1==m（A）4-（B）1（C）2（D）5（9）把一个体积为27cm3的正方体本块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3B15中最大的项为（）,,an13524（14）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男生中抽取的人数为100 n__________.人，则=（15）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC∆的三个顶点处，则A处不安装红灯的概率为__________.（16）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60C =，且2325ab c =-，则ABC ∆的面积最大值为__________.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，10223-=a a . ,,n x 的平均数已知函数)(log )(22x x x f -=，)(log )(2a ax x g -=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若)(x g 的定义域为),1(+∞，求当)()(x g x f >时x 的取值范围.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．）已知变量π3sin ba S -=.（Ⅰ）若a 是从3,2,1,0四个数中任取的一个数，b 是从2,1,0三个数中任取的一个数，求0≥S 的概率；（Ⅱ）若a 是从区间]3,0[中任取的一个数，b 是从区间]2,0[中任取的一个12．因为111341(1)3n n n n a a a a +++=⇒-=--，所以118()13n n a -=-+，所以用分组求和可得166(3n n S n =+-⋅-，所以163750125n n S n --<⇒>显然最小整数为7．二、 填空题13．614．22015．341616．由余弦定理可得222c a b ab =+-，所以22325ab a b ab =--+，化简可得2225222a b ab ab ab =++≥+即254ab ≥当且仅当a b =时等号成立，所以三角(n a b +++2n 的平均数和方差分别为2222121[9()9()9()]9n x x x x x x s n=-+-++-=……………………………9分（Ⅱ）1212100101()()nn x x x x x x x x x nn+++++++++==100(100)a n bn+-=…………13分19所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．…………12分22．解：（Ⅰ）因为n n n a a S +=22……①，所以21112a a a =+得110a =或（舍） 且21112n n n S a a ---=+……②，①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-化简得11(1)()0n n n n a a a a ----+= 因为数列}{n a 各项均为正数，所以110n n a a ---=即11n n a a -=+ 所以}{n a 为等差数列，n a n =经检验，11a =也符合该式………………………………5分 （Ⅱ）当3n ≥时， 得证…………12分。
重庆市四区2018-2019学年高一数学下学期联合期末考试评估试题(含解析)
5
，
a2·a6
4
，
bn log2an ，数列
bn
的前
n
项和为 Sn ，则当
S1 1
S2 1
Sn n
取最大值时，n
的值为（
）
A. 8
B. 9
C. 8 或 9
D. 17
【答案】C
【解析】
∵ an为等比数列，公比为 q (0,1) ，且 a3 a5 5，a2 a6 4
{a3 a5 5 ∴ a3 a5 4
23 【答案】 3
【解析】 【分析】
利用 a, b, c 成等比数列得到 c2 b2 a2 bc ，再利用余弦定理可得 A 60 ，而根据正弦定
理和
a,
b, c
成等比数列有
c b sin
B
1 sin
A
，从而得到所求之值.
【详解】∵ a, b, c 成等比数列，∴ b2 ac .又∵ a2 c2 ac bc ，∴ c2 b2 a2 bc .
a1
而
an
a2
an1
a3
an2
2Sn n
，
6Sn 4
所以 n
，故 n 27 ，选 C.
【点睛】一般地，如果
an
为等差数列，
Sn
为其前
n
项和，则有性质：
（1）若 m, n, p, q N*, m n p q ，则 am an ap aq ；
（2）
Sn
n ak
an1k 2
,k
1, 2,, n
【解析】
【分析】
S6 利用前 n 项和 Sn 的性质可求 S4 的值.
【详解】设 Sn an2 bn ，则
2017-2018年重庆八中高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年重庆八中高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a1＝1，a4＝8，则公比q＝（）A．1B．2C．4D．82．（5分）已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°3．（5分）已知，则z＝x﹣2y的最小值为（）A．2B．0C．﹣2D．﹣44．（5分）若a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是（）A．＞B．＜C．ab＜b2D．ab＞a25．（5分）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）实数a，b均为正数，且a+b＝2，则+的最小值为（）A．3B．3+2C．4D．+7．（5分）为了解某校身高在1.60m～1.78m的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图所示频率直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在1.66m～1.74m的学生数为n，则m，n的值分别为（）A．0.27，78B．0.27，83C．0.81，78D．0.09，83 8．（5分）若执行如图所示的程序框图，当输入n＝1，m＝5，则输出p的值为（）A．﹣4B．1C．2D．59．（5分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝4（n≥1），且a1＝9，其前n项之和为S n，则满足不等式的最小正整数n是（）A．6B．7C．8D．9二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知等差数列{a n}，若a1+a3+a5＝9，则a2+a4＝．12．（5分）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人．现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则n ＝．13．（5分）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处，则A处不安装红灯的概率为．14．（5分）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，x2，x3，x4．根据图3所示的程序框图，若知x1，x2，x3，x4分别为1，2，1.5，0.5，则输出的结果S为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝60°，且3ab＝25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）设{a n}是公差大于0的等差数列，a1＝2，．（1）求{a n}的通项公式；（2）设{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a n+b n}的前n项和为S n．17．（12分）已知x1，x2，…，x n（n∈N*，n＞100）的平均数是，方差是s2．（Ⅰ）求数据3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数和方差；（Ⅱ）若a是x1，x2，…，x100的平均数，b是x101，x102，…，x n的平均数．试用a，b，n18．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝n•2n，为了求数列{a n}的和，现已给出该问题的算法程序框图．（Ⅰ）请在图中执行框①②处填上适当的表达式，使该算法完整；（Ⅱ）求n＝4时，输出S的值；（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出程序语言．19．（12分）已知函数f（x）＝log2（x2﹣x），g（x）＝log2（ax﹣a）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若g（x）的定义域为（1，+∞），求当f（x）＞g（x）时x的取值范围．20．（13分）已知变量S＝sin．（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求S≥0的概率；（Ⅱ）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求S≥0的21．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n＝a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．2017-2018学年重庆八中高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a1＝1，a4＝8，则公比q＝（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a1＝1，a4＝8，∴1×q3＝8，解得公比q＝2．故选：B．2．（5分）已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于（）A．135°B．90°C．45°D．30°【解答】解析：由正弦定理得：，∴A＝45°或135°∵a＜b∴A＜B∴A＝45°故选：C．3．（5分）已知，则z＝x﹣2y的最小值为（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【解答】解：满足约束条件的平面区域如图：由图得当位于点B（0，2）时，z＝x﹣2y的最小值为﹣4．故选：D．4．（5分）若a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是（）A．＞B．＜C．ab＜b2D．ab＞a2【解答】解：（1）∵a＜b＜0，∴＞成立，故排除选项B；（2）∵a＜b＜0，b＜0，∴ab＞b2，故排除选项C；（3）∵a＜b＜0，a＜0，∴ab＜a2，故排除选项D；故选：A．5．（5分）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n2﹣6n+12克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）．若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，任意取出1球，共有6种等可能的方法．由不等式n2﹣6n+12＞n，得n＞4或n＜3，所以n＝1或2，n＝5或6，于是所求概率P＝＝故选：D．6．（5分）实数a，b均为正数，且a+b＝2，则+的最小值为（）A．3B．3+2C．4D．+【解答】解：∵a+b＝2，∴+＝（+）（a+b）＝（1+++2）＝（++3），∵+≥2，当＝，即a＝2﹣2时，等号成立，∴+的最小值为+故选：D．7．（5分）为了解某校身高在1.60m～1.78m的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图所示频率直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在1.66m～1.74m的学生数为n，则m，n的值分别为（）A．0.27，78B．0.27，83C．0.81，78D．0.09，83【解答】解：由题意知：身高在（1.60，1.62]的学生人数为100×0.01＝1人，身高在（1.62，1.64]的学生人数为100×0.03＝3人，身高在（1.64，1.66]的学生人数为3×3＝9人，身高在（1.66，1.68]的学生人数为9×3＝27人，后6组的频数成等差数列，则这个等差数列的首项为27，设公差为d，则6×27+15d＝87，解得d＝﹣5，∴身高在（1.68，1.70]的学生人数为27﹣5＝22人，身高在（1.70，1.72]的学生人数为22﹣5＝17人，身高在（1.72，1.74]的学生人数为17﹣5＝12人，∴m＝，n＝27+22+17+12＝78．故选：A．8．（5分）若执行如图所示的程序框图，当输入n＝1，m＝5，则输出p的值为（）A．﹣4B．1C．2D．5【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；m＝5，n＝1，k＝1，p＝1，p＝1×（1﹣5+1）+1＝﹣2；1＜5，是，k＝2，p＝﹣2×（1﹣5+2）+1＝5；2＜5，是，k＝3，p＝5×（1﹣5+3）+1＝﹣4；3＜5，是，k＝4，p＝﹣4×（1﹣5+4）+1＝1；4＜5，是，k＝5，p＝1×（1﹣5+5）+1＝2；5＜5，否，输出p＝2．故选：C．9．（5分）锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B＝2A，∴0＜2A＜，且B+A＝3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cos A＜．由正弦定理可得＝＝2cos A，∴＜2cos A＜，故选：B．10．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n＝4（n≥1），且a1＝9，其前n项之和为S n，则满足不等式的最小正整数n是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：根据题意，3a n+1+a n＝4，化简可得3（a n+1﹣1）＝﹣（a n﹣1）；则{a n﹣1}是首项为a n﹣1＝8，公比为﹣的等比数列，进而可得S n﹣n＝（a1﹣1）+（a2﹣1）+…+（a n﹣1）＝＝6[1﹣（﹣）n]，即|S n﹣n﹣6|＝6×（﹣）n；依题意，|S n﹣n﹣6|＜，即（﹣）n＜，且n∈N*，分析可得满足不等式|S n﹣n﹣6|＜的最小正整数n是7．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知等差数列{a n}，若a1+a3+a5＝9，则a2+a4＝6．【解答】解：∵等差数列a n中，a1+a5＝2a3，又由题意a1+a3+a5＝9，∴3a3＝9，a3＝3，则a2+a4＝2a3＝6，故答案为：6．12．（5分）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人．现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则n＝220．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于＝，个体的总数为400+3000+3200＝6600，样本容量n＝6600×＝220，故答案为：22013．（5分）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC的三个顶点处，则A处不安装红灯的概率为．【解答】解：红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在△ABC 的三个顶点处共有＝24种，A处不安装红灯共有＝18种，故A处不安装红灯的概率P＝．故答案为：．14．（5分）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，x2，x3，x4．根据图3所示的程序框图，若知x1，x2，x3，x4分别为1，2，1.5，0.5，则输出的结果S为．【解答】解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：1，2，1.5，0.5第一（i＝1）步：s1＝s1+x i＝0+1＝1第二（i＝2）步：s1＝s1+x i＝1+2＝3第三（i＝3）步：s1＝s1+x i＝3+1.5＝4.5第四（i＝4）步：s1＝s1+x i＝4.5+0.5＝5，s＝×5＝第五（i＝5）步：i＝5＞4，输出s＝故答案为：15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝60°，且3ab＝25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．【解答】解：∵△ABC中，C＝60°，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab又∵3ab＝25﹣c2，得c2＝25﹣3ab∴a2+b2﹣ab＝25﹣3ab，移项得（a+b）2＝25，可得a+b＝5∵△ABC的面积S＝ab sin C＝ab，且ab≤＝∴当且仅当a＝b＝时，ab的最大值为，此时△ABC的面积的最大值为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）设{a n}是公差大于0的等差数列，a1＝2，．（1）求{a n}的通项公式；（2）设{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a n+b n}的前n项和为S n．【解答】解：（1）设{a n}是公差d大于0的等差数列，a1＝2，，可得2+2d＝（2+d）2﹣10，解得d＝2（﹣4舍去），则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，即b n＝2n﹣1，数列{a n+b n}的前n项和为S n＝（2+4+…+2n）+（1+2+…+2n﹣1）＝n（2+2n）+＝n2+n+2n﹣1．17．（12分）已知x1，x2，…，x n（n∈N*，n＞100）的平均数是，方差是s2．（Ⅰ）求数据3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数和方差；（Ⅱ）若a是x1，x2，…，x100的平均数，b是x101，x102，…，x n的平均数．试用a，b，n 表示．【解答】解：（Ⅰ）由题意有设数据3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数和方差分别为，则＝…（5分）＝．…（9分）（Ⅱ）＝．…（13分）18．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝n•2n，为了求数列{a n}的和，现已给出该问题的算法程序框图．（Ⅰ）请在图中执行框①②处填上适当的表达式，使该算法完整；（Ⅱ）求n＝4时，输出S的值；（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出程序语言．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得程序的功能是：数列{a n}的通项公式为a n＝n•2n，为了求数列{a n}的和，由于S的初值为0，故第①处填S＝S+ab，循环需要执行21次，又因为循环变量b的初值为2，故循环变量b的值须执行b＝2b．第②处填b＝2b…（4分）（Ⅱ）n＝4时，S＝1×2+2×22+3×23+4×24＝98…（6分）（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出程序语言：S＝0i＝1a＝1b＝2While i≤nS＝S+abi＝i+1a＝a+1b＝2bWendPrint SEnd．19．（12分）已知函数f（x）＝log2（x2﹣x），g（x）＝log2（ax﹣a）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若g（x）的定义域为（1，+∞），求当f（x）＞g（x）时x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，x2﹣x＞0，解得x＜0，或x＞1；∴f（x）的定义域为{x|x＜0，或x＞1}；…（4分）（Ⅱ）∵g（x）＝log2（ax﹣a），∴ax﹣a＞0，即a（x﹣1）＞0；又∵g（x）＝log2（ax﹣a）的定义域为（1，+∞），∴x﹣1＞0，即所以a＞0；…（6分）当f（x）＞g（x）时，x＞1；且x2﹣x＞ax﹣a，即（x﹣1）（x﹣a）＞0；∴①当0＜a≤1时，x＞1；②当a＞1时，x＞a．…（12分）20．（13分）已知变量S＝sin．（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求S≥0的概率；（Ⅱ）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求S≥0的概率．【解答】解：设事件A为“S≥0”，当0≤a≤3，0≤b≤2时，对S＝sin≥0成立的条件为a≥b，（Ⅰ）基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A包含9个基本事件，（后9个）故P（A）＝＝；（Ⅱ）试验的全部结果构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，（如图）所以所求的概率为＝21．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且满足2S n＝a n2+a n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，T n＞+．【解答】解：（Ⅰ）∵…①，∴，解得a1＝1或0（舍），且…②，①﹣②得，化简得（a n﹣a n﹣1﹣1）（a n+a n﹣1）＝0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣1＝0，即a n＝a n﹣1+1，∴{a n}为等差数列，a n＝n，经检验，a1＝1也符合该式，∴a n＝n．…（5分）（Ⅱ）当n≥3时，∴当n≥3时，T n＞+．…（12分）。