中科院计算流体力学最新讲义CFD1112讲湍流及转捩2

舍弃涡粘假设， 直接针对 t u'i u'j 构造模型，更为合理
写出脉动量
u i
的方程，乘以
u
j
并平均，得到雷诺
应力 u 'i u ' j 的控制方程：
出现三阶统计矩
合理的不 一定好用
D D u i u j t u i u l u x l j u j u l u x l i 2 u x l i u x l j x l u i u j u l 1 p 'ju l i iu l j u x i u l 1 p ' x u i j u x i j
对流 生成 耗散 扩散
D D t tuj x j P xj x j
四 对流 大 扩散 机 生成 制 耗散
假定湍流粘性系数 v~满足上述方程
假设： 1） 生成项与当地涡量成正比
Pcb1S~v~
S~S v~ k2d2
fv2
关键的参数
S 2ijij
cb1 0.1355
剪切越强，湍流越强： 符合直观
ij( u i/ uj uj/ u i)/2
扩散型
xj
jdV
Φnds
内部不会产生， 也不会消失
对于一方程模型（k-模型）
k 3/2 l
由量纲分析得出
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12.3.3 一方程模型—— Spalart-Allmaras (S-A)模型
构造原则： 经验 + 量纲分析
湍流场中标量方 程的一般形式：
xi Rexjxj
xj
(uiuj)
R u'i u'j
称为Reynolds 应力
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3. Reynolds平均N-S方程的求解
Rij u'i u'j
未知量，必须用已知量表 示才能求解
ui 0 xi
ui t
uiuj xj
1 p 2ui xi xjxj
F wa m ke y m in F a m x( ,C aw xy m k U ad 2 x/iF fm)ax Cwk 1
U dif 为边界层内的最大速度与最小速度之差 Fmax
内层
外层
y
ymax
U dif
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外层模型=间歇因子*亏损律
FF t out k lew bak e
主项： 小涡拉伸 粘性耗散
D D tc 1ku iu l u x li c 2k 2 x l (t/
) x l
1 .3 ,c 1 1 .4 ~ 1 1 .4 ,c 2 5 1 .9 ~ 1 .92
近壁区仍需衰减处理—— “低Reynolds数k-模型”
固壁边界条件： k0,0 与物理情况不符，近壁需要特殊处理
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2） 耗散项与到壁面的距离有关，越远耗散越小
cw1
fw
v~ d
2
cw 1cb1/k2(1cb2)/
c b 2 0 .6,k 2 0 2 .4,1 2 /3
fw
1
c6 w3
g6
c6 w3
g
grcw 2(r6r)r,S ~kv ~ 2d2
湍流粘性系数越大，耗散越大 离壁面越近，耗散越大
零方程模型直接写出 t 的表达式，简便 BL模型是 Plantdl混合长模型的推广
亏
对数律
损
律
外
尾迹亏损律
层 内 湍流核心区 层 过渡区
t
l2
u y
,
l ky
过 渡
混合长模型
区 壁面律
粘性子层区
t 0
内层统一 表达式
A 26
lk[y 1exp y(/A)] 近壁区趋近于0， 远壁区趋近于 k y
(t )in l2
程序实现方便
2 方程模型
： k
k
SST
方法2） Reynolds应力模型
给出 R u'i u'j 的控制方程
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§ 12.3 常用的涡粘性模型
14.3.1 零方程模型—— Baldwin-Lomax (BL)模型
术语“N方程模型”指计算湍流粘性系数 t 时，使用了N个偏微分方程
涡量
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外层模型
外 层 特点 1） 间歇性
层流-湍流交替出现
Klebnoff间歇公式（根据实验
得到的经验公式）：
F K( ly ,e) b 1 5 .5 (y /)6 1 1为纯湍流，0为纯层流
特点2） 类似尾迹流动的亏损律
F (y)y [1ex y p /A ()] y
直观
Turbulent kinetic energy budget
0.001 0
-0.001 0
x=-30.0 mm
P T D
1yn/mm
2
3） 扩散项简单模化—— 以 层流+湍流粘性系数 为扩散系数
D1
xk
~xv~k
最终涡粘系数的 v~的控制方程为
v ~ t u j x v ~ j c b 1 S ~ v ~ c w 1 fw d v ~ 2 1 x k( ~ ) x ~ j c b 2 x ~ k x ~ k
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12.3.4 经典的两方程模型—— k 模型
t
c
k2
k t uj x k j u 'iu 'j x u ij xj t/ k x k j
得到 u i 方程后，对 x j 求导，乘以
2
u
i
x j
并平均，得到 ui ui 的方程 x j x j
生成
耗散
扩散
D D t u t j x j 2 v x u i j u x ' i l u x ' j l u x ' l i u x ' l j u ' l u x ' j i x l 2 u x i j x u i j u x l i u x l j 2 x 2 l u x i l 2 x l u l 2 x p j x u l j x l
生成项最为关键，对湍流粘性系数的 影响最大。 更简单的模型（零方程）， 仅保留了生成项
这是湍流模型的 “主要矛盾”
混合长模型也是这么 假设的
感想： 生成项很多情况下都是最重要的
工资是“生成项”， 消费是“耗散项”，把钱给其他人（家人、亲朋等）是“扩散项”
显然“生成项”是最重要的。
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y 2 2 2 2v ˆiR e u y 2 2 2 y 2u 2 v ˆ
3. O-S方程的求解 差分法 （Malik的紧致差分法）
(AB)x0
全局法： 解出全部特征值
局部法 F()AB0
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§ 12.1 湍流的工程模式理论——RANS
内层及外层的设定
FF t out k lew bak e
t
(t )in l2
内层
外层 y
F K( ly ,e) b 1 5 .5 (y /)6 1
边界层厚度 不易计算
用 ymax 估算边 界层厚度
FKle(by)15.5Cykmleabyx61
ym /C ax kleb
Ckleb0.3
F (y)y [1ex y p /A ()] y
中科院计算流体力学最新讲义CFD1112讲湍流
知识回顾
1. 流体力学中的不稳定性
Kelvin-Helmholtz; Tollmien-Schlichting; Mack ; Richtmyer-Meshkov ; Reyleigh-Taylor ; Barnard ……
2. 扰动的线性化控制方程 不可压平行流—— Orr-Sommerfeld 方程
*k
* 0.09
的模化方程：
t u j x j ku 'iu 'j x u ij
2 x j t/
*
k
w x j
生成
耗散 扩散
5/9,3/40
* k
w*
2
y1
固壁边界条件： k 0
10 6 y12
k-模型近壁准确性优于k-模型；
但外层预测准确性不如后者
y1 第1个点到壁面的距离
固壁
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12.3.6 k- SST (Shear-Stress-transport)两方程模式
近壁：k- 外层： k-
写成统一的 k-形式
t
1k
maxa1(,F2)
F2tanm h a2x0.9k 9y,5y2002
k t u j x k j u 'iu 'j x u ij*k xj t/ k x k j
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近壁修正—— 保证近壁处湍流粘性系数快速衰减到0
vt v~fv1 最终的湍流粘性系数
3
fv1
, 3cv 31
v ~/v,
cv17.1
衰减函数
1
0.8
0.6
fv1
0.4
0.2
00
10
20
30
40
^v/v
衰减函数 f v1 的图像
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内层 0.3
Fmax
y
ymax
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12.3.2 一方程模型 —— k-方程模型
1） 湍动能方程 （不可压缩）
1 k 2 u'i u'i
生成
耗散 粘性扩散
湍流扩散
推导方法
获得扰动量
u
i
的方程，
两端乘以
u
i
并平均即可
k t u j x k j u 'iu 'j x u i j x j x k j x j 1 2 u 'iu 'iu 'j 1 p 'u 'j
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12.3.5 k-两方程模型
用 方程代替湍流耗散率 方程
t k/
由量纲分析得到
k t u j x k j u 'iu 'j x u ij*k xj t/ k * x k j
/k “比耗散率”
k t uj x k j u 'iu 'j x u ij xj ckk2 x k j
2） k方程模型
ij S ij
湍流扩散—— 以湍流粘性系
数进行的扩散
k t uj x k j u 'iu 'j x u ij xj t/ k x k j
u'i
u'j
txuij
uj xi
32ijk
t
c
k2
k 1
c 0.09~0.11
u'i u'i x j x j
x j j
t u j x j P 2 2 ( 1 F 1 ) 2 x k j x j x j t/w x k j
Pw 2
F 1ta n m h m in a 20x .9k 9 y,5y2 0 0 ,C 4k D 2y k2 2
翼型绕流
以不可压缩为例研究 -> 推广的可压缩情况
Hale Waihona Puke Baidu
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2. Reynolds平均的N-S方程
引入平均：
以不可压缩N-S方程为例
ui 0 xi
ui uiuj 1 p 2ui
t xj
xi xjxj
平进行均
ui 0 xi
ui uiuj 1 p 2ui
xj
(uiuj)
湍流模型
方法 1） Boussinesq 涡粘假设 （常用）
ui 0 xi
u'i
u'j
txuij
uj xi
3 2ijk
ui t
uiuj xj
1
p xi
(
t
)
2ui xjxj
可并入压力项中
t 的计算模型： 0方程（代数模型）： B-L
与原先方程的唯一区别： 改变了粘性系数
1方程模型
: S-A
t xj
xi xjxj
时间平均； 空间平均； 系综平均
脉动
ui ui u
0
uiu j
u iu j ( u i u 'i)u j( u 'j) u iu j u 'iu 'j u iu 'j u ju 'i
ui 0 xi
RANS
比N-S方程多了该项
ui t
uiuj xj
1p 1 2ui
y较小时趋近于k-模式 y较大时趋近于k-模式
兼具k-及k-模式的优点，是目前应用最广泛的湍流模型之一
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§ 12.4 非涡粘模型
涡粘模型的基本假设：
t u'iu'j t xuij u xij 3 2ijk
实际使用时，经 常不考虑该项
不符合物理规律： （涡）粘性是各向同性； 雷诺应力为湍流脉动影响——各向异性
1. 为什么用湍流模型
N-S方程适用于湍流，但其解过于复杂 如果网格分辨率不够，数值解误差较大
例1： 压缩折角流动： 如果网格分辨率 不足，且不用湍流模型，则分离区过大
压缩折角流动
例2： 有攻角机翼流动，如果分辨率不 足，且不用湍流模型，则造成“非物理 分离”
常用方法—— 进行平均，求解平均 量满足的方程