材料力学梁的应力

这就表示 y、z 轴是形心主轴。
zM y zAσ x
（3）
Miz 0
y dA M 0
A
y
M
ydA
A
y
E
E ydA
A
A
y 2 dA
E
Iz
1 M
EI Z
——弯曲变形计算的基本公式
1 M
EI Z
EIz 梁的抗弯刚度。
将上式代入式 ( E Ey ) 得：
My
Iz
上式为弯曲正应力计算公式。
应力的分布图：
正应力和弯矩成正比，与惯性矩成反比，沿横截面高度呈线性分 布；梁弯曲时中性层两侧正应力一拉一压，总是同时存在，其分布见 图。
一般梁在横力作用下弯曲，横截面上不仅有弯矩，还有剪力。但 是，如梁的跨度远远大于其横截面的高度，则剪力的影响可略去不计， 仍可运用上式来计算正应力。此时梁内最大正应力发生在弯矩最大截 面距中性轴最远处。
中间层与横截面的交线 －－中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动 了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
5、线应变的变化规律：
取dx长的微段梁进行研究 选中性层与横截面的交线为 z 轴，轴线方向为x 轴，与xz垂直 的为y 轴，取向下为正。
设中性层的曲率半径为 ， 微段左右两截面的相对转角为d ， 因中性层长度不变，故有 dx d
2）查型钢表：
空心圆截面
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3 32
(1
4)
矩形截面
bh3 IZ 12
WZ
bh2 6
空心矩形截面
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0 h0 3 12
bh3 12)Biblioteka /(h0/2)
d
dD
h b
h h0 b b0
三、梁的正应力强度条件
max
材料的许用弯曲正应力
1、中性轴为横截面对称轴的等直梁
（1）
Fix 0
dA 0
A
zM y zAσ x
FN
dA
A
y
E y dA E
A
A
ydA
E
Sz
0
Sz
0
（中性轴Z轴为形心轴）
（2） Miy 0
z dA 0
A
M y
dAz
A
E
A
y
zdA
E
yzdA
A
E
I yz
0
I 0 yz
（y轴为对称轴，自然满足）
也就表明横截面的惯性积为零。
Fa
B
x F
x
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。
1、观察实验： 2、变形规律：
⑴、横向线：仍为直线，只是 相对转动了一个角度且仍 与纵向线正交。
⑵、纵向线：由直线变为曲 线，且靠近上部的纤维缩 短，靠近下部的纤维伸长。
3、假设：
（1）弯曲平面假设： 梁变形前原为平面的横截面
在弹性范围内 E E Ey ...... (2)
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
E Ey
1
为梁弯曲变形后的曲率
上式说明了横截面上正应力的分布规律，表明正应力沿截面高度
呈线性变化，距中性轴越远，应力值越大，在中性轴处正应力为零。
σmax
M
应力的分布图：
Z y
σmax
上式只能说明弯曲正应力的分布规律，但还不能用此式来计算正
§6-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“Fs”——切应力“τ”
aF
弯矩“M”——正应力“σ”
A
１.纯弯曲
梁的横截面上只有弯矩而无 Fs F 剪力的弯曲（横截面上只有正
应力而无剪应力的弯曲）。
2.横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又 有剪力的弯曲（横截面上既有 M Fa 正应力又有剪应力的弯曲）。
最大正应力的确定
⑴ 截面关于中性轴对称 z
⑵ 截面关于中性轴不对称
z
My
IZ
max
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
t max
m
c ax
M Wz
Wz ——截面的抗弯截面系数
t max
Mym
t ax
Iz
c max
Mym
c ax
Iz
几种常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面
IZ
d 4
64
WZ
d 3 32
变形后仍 为平面，且仍垂直于 变形后的轴线，只是各横截面绕 其上的某轴转动了一个角度。
（2）纵向纤维假设： 梁是由许多纵向纤维组成的，
且各纵向纤维之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
4、中性层与中性轴
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的纵向 线缩短区到其凸出一侧的纵向 线伸长区，中间必有一层纵向 无长度改变的过渡层------称 为中性层 。
因此距中性层为y处的线应变为
A1B1 AB A1B1 OO1
AB
OO1
( y)d d y
d
ac
bd ac
o
A
o1
Ｂ
y
bd
dx d
Ｏ
Ｏ１
A１
Ｂ１ x
y
A1B1 AB A1B1 OO1
AB
OO1
( y)d d y
d
y
...... (1)
（二）物理关系：
由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。 d
M max
Wz
2、拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
ycmax
ytmax
t max [ t ]
O
z
y
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
tm ax
M m ax ytm ax Iz
[
t]
cm ax
M maxycmax Iz
[
c]
cmax [ c ] ytmax [ t] ycmax [ c]
弯曲正应力强度条件
max
max
M max Wz
t max
M m ax yt m ax Iz
t
c max
M maxyc max Iz
c
1、强度校核 —— max ；
2、设计截面尺寸—— Wz
Mmax
3、确定外荷载 —— Mmax Wz ;
例 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力， 并加以比较。
应力。这是因为中性轴的位置还不知道，因此 y 和 均是未知量。
为了解决此问题，必须考虑静力平衡条件。
（三）、静力方面：
由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。
从梁中截出的一部分，y 为对称轴，假设 z 轴是截面的中性轴。
横截面上有正应力作用，作用在微面积dA上的内力为 dA 。
考虑脱离体的平衡，须满足 下面三个平衡条件
q 2kN m
200
100
200
4m
100
qL2
竖放
8
qL2
max
M max WZ
8 bh2
6MPa
横放
6
qL2
max
M max WZ
8 hb2
12MPa
6
例：图示悬臂梁，已知：l 1 m, q 6kN / m, 求梁的最大拉、压应力。
q
解：1）画弯矩图
| M |max 0.5ql2 3 kNm