运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-排队论(圣才出品)
运筹学第五章排队论
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
nLeabharlann 多队多服务台（并列)1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的 极限,而只需求
P ’(t)=0 即可。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
含优化设计与优化运营。
问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
§2.3 排队论主要知识点
运筹学ABC-4-3排队论
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运筹学ABC —— 排队论
如采取第一种方法，缩短平均服务时间，每小时 服务的顾客数由原来的 48人提高到 60人，即每分钟
平均服务的顾客数从 0.8 人提高到 1 人，这时 仍然
是 0.6， 为 1。用前面公式计算得到下表数据：
数量指标 第一种方法 原系统
系统里没有顾客的概率
• （平均）等候时间: Wq = -
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运筹学ABC —— 排队论
(5) 利特尔 ( Little ) 公式 — 排队论中重要公式
L=W
L q = Wq
W= Wq+1/u
L= Lq +/u
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运筹学ABC —— 排队论
例：某港口，货轮到达服从 Poisson 分布，
(2) 负指数公布 如果随机变量T的概率密度为
(t)= e-t
则称T服从负指数分布。
其数学期望 E(T) = 1/ ，VAR[T]=1/ 2
可以证明：顾客相继到达的间隔时间相互独立，且为 同负指数分布，与输入过程为Poisson流是等价的。 假设对顾客的服务时间也服从负指数分布，这时其概 率密度函数为： (t)= ue-ut
平均排队的顾客人数 系统里的平均顾客数 一位顾客平均排队时间 一位顾客平均逗留时间 顾客到达系统必须等待排队的概率 系统里有 7 个或更多顾客的概率为
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P0 = 0.4
Lq = 0.9（人） L = 1.5（人） Wq = 1.5（分钟） W = 2.5（分钟） Pw = 0.6 0.0279
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排队论_运筹学
排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λμ=12平均队长L=1ρρ-=1(人)平均等待队长Lq=21ρρ-=12(人)平均等待时间Wq=λμμ（-1）=12(分)平均逗留时间W=1μλ-=1(分)顾客不需要等待的概率为P o=12,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N≥6)=1766666111111()(1)()()()()222222n n nnn n n nPρ-∞∞∞∞=====-===∑∑∑∑1例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。
目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。
解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案μ甲=1000/500/袋小时袋车=2车/小时μ乙=2000/500/袋小时袋车=4车/小时μ丙=6000/500/袋小时袋车=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为W甲=12-1.5=2(小时/车)W乙=14-1.5=0.4(小时/车)W丙=112-1.5=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天)而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:23例3 题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n 台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的1n设要求上机的题目是参数为λ的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是μ.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案 解：设ρ=λμ，按甲方案，购大型计算机 平均等待时间 q W 甲=ρμρ（1-）=λμμλ（-）平均逗留时间 W 甲=1μλ- 按乙方案，购n 台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为n λ，服务率为nμ, ρ=//n n λμ=λμ平均等待时间 W q 乙=nρμρ（1-）=n ρμρ（1-）=nW q 甲平均逗留时间 W 乙=1n nμλ-=n μλ-=nW 甲所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应该购置大型计算机4例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失c 1 元，进港船只是最简单流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布，服务费用为c μ2，c 2是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的服务率μ 解:因为平均队长L λμλ=-,所以船在港口停留的损失费为1c λμλ-,服务费为c μ1,因此总费用为 1c F c λμμλ=+-2 求μ使F 达到最小,先求F 的导数12()c dF c d λμμλ=-+-2 让dF d μ=0,解出2μλ=因为 22F u μμ*=∂∂=22()c λμλ*-1>0 (μ>λ) 最优服务率是μ*,当μμ*=时, 12()[c F c c λμλ*=+5例5题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求L ,q L ,W ,q W解:λ=5(人/小时) , μ=5(人/小时) , k =4 , 56ρ= 用公式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到565555[16()5()]666 1.9715[1()]66L -+==- 5555(1)[16()]66 1.97 1.2251()6q L -=+=- 55555()[1()]660.101()6P -==- 5(1)z LLW P λλ==-=1.9750.9=0.438(小时)0.271qq zL W λ==(小时)6例6题目：给定一个//1/M M k 系统,具有λ=10(人/小时), μ=30（人/小时），k =2.管理者想改进服务机构.方案甲是增加等待空间,使k =3.方案乙是将平均服务率提高到μ=40(人/小时),设服务每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当λ增加到每小时30人,又将有什么结果?解:由于服务每个顾客的平均收益不变,因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数k n 成正比(注意,不考虑成本)!(1)(1)1k k k k n p λρλρ+-=-=- 方案甲:k=3, λ=10, μ=3033411()310[]11()3n -=-=9.75 方案乙: k=2, λ=10, μ=40223110(1())311()4n -=-=9.5 因此扩大等待空间收益更大 当λ增加到30人/小时时,λρμ==1.这时方案甲有3330()31n =+=22.5(人/小时) 而方案乙是把μ提高到μ=40人/小时. λρμ==3040<1, k=2 2233(1())430[]31()4n -=-=22.7(人/小时) 所以当λ=30人/小时时,提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大7例7题目：一个大型露天矿山,考虑建设矿山卸矿场,是建一个好呢?还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建设第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 λ=15(辆/小时) 平均服务率 μ=20(辆/小时) 只建一个卸矿场的情况:1ρρ==1520=0.75 在卸矿场停留的平均矿车数0,,,,,,q q q q p p L L W W λμL λμλ=-=152015-=3(辆)建两个卸矿场的情况:ρ=0.75,2μ=2λμ=0.375 2101220[10.75(0.75)]0.452!22015P -=++=- 220.451520(0.75)0.750.120.750.871!(22015)L +=+=+=-因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.13⨯8=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是合适的.8例8题目：有一个///M M c ∞系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为c 1元,每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c 2元.要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为F c L c c μ=+12要求使F 达到最小的正整数解c *,通常用边际分析法:找正整数c *,使其满足{()(1)()(1)F c F c F c F c ****≤+≤-由()(1)F c F c **≤+,得到122()(1)(1)c L c c c c L c c c μμ****+≤+++所以 21()(1)c L c L c c μ**-+≤ 同样,由()(1)F c F c **≤-得到21(1)()c L c L c c μ**--≥因此c *必须满足不等式21()(1)c L c L c c μ**-+≤≤(1)()L c L c **-- 取c =1,2,…,计算()L c 与(1)L c +之差,若21c c μ落在()(1)L c L c **-+,(1)()L c L c **--之间,c *就是最优解9例9题目：某公司中心实验室为各工厂服务,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),1c =6(元).作实验时间服从负指数分布,平均服务率为μ=25(人次/天),2c =4(元),求最优实验设备c *,使系统总费用为最小. 解:λ= 48(人次/天)，μ=25(人次/天)，λμ＝1.92 按///M M c ∞计算0P ,()L c 等(注意以下公式只对0 1.92cρ=<1成立). 201100(1.92)(1.92)[]!(1)!( 1.92)n P n c c ρ--==+--∑12(1.92)() 1.92(1)!( 1.92)c L c P c c +=+-- 将计算结果列成下表21c c μ=1006=16.67 所以取c *=3,总费用最小10例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成//2/5/5M M 系统,λ=1(次/运转小时),μ=4(次/小时),求平均停止运转机器数L 、平均等待修理数q L 以及每次出故障的平均停止运转时间W 、平均等待修理时间q W解：14λμ=，18c λμ=由（7.3.1）,(7.3.2)有 0P =0.3149 1P =0.391 2P =0.197 由（7.3.3）,(7.3.4)有 q L =0.118,L =1.094,c λ=3.906 由（7.3.5）,(7.3.6)有W =0.28(小时),q W =0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床若干台,各台的质量是相同的,连续运转时间服从负指数分布,参数为λ,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参数为μ.设λμ=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比较两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个//1/6M M 系统.由上面的公式可求出01P -=0.5155,c =0.5155, a =5.155Lq =0.3295, L =0.845,(1)q =0.4845,(1)r =0.0549方案二.m =20,c =3,λμ=0.1,可求得c =1.787,a =17.87,q L =0.339 L =2.126,(3)q =0.4042,(3)r =0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好11例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是////M M c m N m +系统,m =12,1λ=3,1μ=6(月)c =2我们有m c λμ=0.3333,c μλ=36用c N ≤的公式,求N ,要求00.995Nn n p =≥∑设N =2,有Nnn p=∑=0.9474,当N =3时,有Nnn p=∑=0.9968.所以3辆备用车就能达到要求,原设计用的备用车太多当N =3时,卡车的利用律(2)q =0.793712例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，λ=8人/小时，试分别计算1h 内到达4，5，6，…，12个工人的概率。
运筹学--第十三章 排队论
３２８习题十三13.1 某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。
设申诉以λ＝4件/天的普阿松流到达，该协会每天可以处理申诉5件，当天处理不完的将移交专门小组处理，不影响每天业务。
试求：（1）一年内有多少天无一件申诉；（2）一年内多少天处理不完当天的申诉。
13.2 来到某餐厅的顾客流服从普阿松分布，平均每小时20人。
餐厅于上午11：00开始营业，试求：（1）当上午11：07有18名顾客在餐厅时，于11：12恰好有20名顾客的概率（假定该时间段内无顾客离去）；（2）前一名顾客于11：25到达，下一名顾客在11：28至11：30之间到达的概率。
13.3 某银行有三个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，服务时间服从均值为0.5分钟的负指数分布，试求：（1） 银行内空闲时间的概率；（2） 银行内顾客数为n 时的稳态概率；（3） 平均队列长Lq ；（4） 银行内的顾客平均数Ls ；（5） 平均逗留时间Ws ；（6） 平均等待时间Wq 。
13.4 某加油站有一台油泵。
来加油的汽车按普阿松分布到达，平均每小时20辆，但当加油站中已有n 辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿等待而离去，离去概率为4n （n ＝0，1，2，3，4）。
油泵给一辆汽车加油所需时间为具有均值3分钟的负指数分布。
（1）画出此排队系统的速率图；（2）导出其平衡方程式；（3）求出加油站中汽车数的稳态概率分布；（4）求那些在加油站的汽车的平均逗留时间。
13.5 某无线电修理商店保证每件送到的电器在一小时内修完取货，如超过一小时则分文不取。
已知该商店每修理一件平均收费10元，其成本平均每件5.50元。
已知送来修理的电器按普阿松分布到达，平均每小时6件，每维修一件的时间平均为7.5分钟，服从负指数分布。
试问：（1）该商店在此条件下能否盈利；（2）当每小时送达的电器为多少件时该商店的经营处于盈亏平衡点。
13.6 某企业有5台车运货，已知每台车每运行100小时平均需维修2次，每次需时20分钟，以上分别服从普阿松及负指数分布。
(完整word版)《运筹学》_第六章排队论习题及_答案
《运筹学》第六章排队论习题转载请注明1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解 第(13-14)章【圣才出品】
dFT dt
et ， t 0
（3）爱尔朗分布（Erlang）
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设1, 2 , , k 是 k 个独立的随机变量，服从相同参数 k 的负指数分布，那么，
T 1 2 k 的概率密度是：
fk
(t)
图 13-1 这种系统状态（n）随时间变化的过程就是生灭过程（Birth and Death Process）， 它可以描述细菌的生灭过程。
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6．几个重要的参数
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：单位时间平均到达的顾客数；
e ：系统的有效达到率； ：单位时间能被服务完成的顾客数；
那么一顾客走完 k 个服务台总共所需要服务时间就服从上述的 k 阶 Erlang 分布。
5．生灭过程（稳态）
稳态时， Pn (t) 与时间无关，可以写成 Pn ，它对时间的导数为 0，所以
PnP01
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
上式即为关于 Pn 的差分方程。由此可得该排队系统的状态转移图如图 13-1 所示：
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①服务机构分为单服务台和多服务台。不同的输入形式与排队规则和服务机构联合后形
成不同的排队服务机构。
②服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。
③服务时间分为确定型（定常时间）和随机型。
④服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
1
)
,
1 N
, 1
1
1 ，
e (1 PN ) (1 P0)
： / 。
7．排队论公式整理
（1）无敌的 Little 公式
《运筹学》 第六章排队论习题及 答案
《运筹学》第六章排队论习题1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
运筹学 100排队论
第10章排队论第一节排队服务系统的基本概念一、排队系统的特性排队问题的实例：超市付款，自动取款机取款，医院门诊，乘公交车，设备修理。
排队服务系统的要素：顾客源，等待队列，服务机构。
要素的特性：1. 顾客源顾客到达的间隔时间：确定、随机(分布类型)；一次到达人数：单个到达，成批到达；顾客源：数量无限，数量有限。
2. 等待队列等待规则：损失制，等待制，混合制；接受服务顺序：先到先服务，后到先服务，按优先权服务，随机服务。
3. 服务机构服务台数量：单个，多个；排列方式：串联、并联、混合排列。
服务时间：固定，随机(分布类型)；一次服务人数：单人，成批。
三、排队服务系统的分类按上面所讨论的排队系统各项的特性，可对排队系统作出分类。
通常按如下6方面的特性对排队系统进行分类：(a／b／c) : (d／e／f)每个字母代表一个特征，它们分别是：a：顾客到达间隔的分布，有：M──负指数分布；D──确定型；E k ──k 阶爱尔郎分布； GI ──一般相互独立的分布。
b ：服务时间的分布有：M 、D 、E k 、Gc ：系统中并联的服务台数，记为Sd ：系统中最多可容纳的顾客数，∞~1e ：顾客源总数，为∞~1f ：排队服务规则 FCFS ──先到先服务 LCFS ──后到先服务 用这6个参数我们可以表示出某种类型的排队系统，如：M ／M ／1／10／∞／FCFS其中后三项可以省略，这时表示的是：a ／b ／c ／∞／∞／FCFS三、排队系统的状态及参数系统状态N (t )——排队系统中的顾客数，包括等待的和正在被服务的。
其与系统运行的时刻t 相关，且是一个随机变量。
稳定状态——当系统状态与时刻t 无关时，称系统处于稳定状态。
在系统开始运行的一段时间内，系统状态随时间而变化，在运行一段时间之后，系统的状态将不随时间变化，此时系统即进入稳定状态。
排队论主要研究系统处于稳定状态的工作情况，以下参数也都针对于稳定状态进行定义。
第十二章排队论(运筹学-上海电力学院,施泉生
✓ 几个数量指标 o 平均逗留时间： W=E(T)= 1/(- ) o 平均等待时间： Wq= / (- )
它们之间有关系： L= W Lq= Wq Little公式。
例12-3：考虑一个铁路列车编组站。 设待编列车到达时间间隔服从负指 数分布，平均每小时到达2列；服务 台是编组站，编组时间服从负指数 分布，平均每20分钟可编一组。已 知编组站上共有2股道，当均被占用 时，不能接车，再来的列车只能停 在站外或前方站。求在平衡状态下 系统中列车的平均数；每一列车的 平均逗留时间；等待编组的列车平
排队系统在平稳状态时一些基本指标有：
Pn :系统中恰有n个顾客的概率； L：系统中顾客数的平均值，又称为平
均队长；
Lq：系统中正在排队的顾客数的平均值， 又称为平均排队长；
T：顾客在系统中的逗留时间；
W=E(T) ：顾客在系统中的平均逗 留时间；
Tq：顾客在系统中的排队等待时间； Wq=E(Tq)：顾客在系统中的平均
▪ 等待服务的平均顾客数 Lq=L-=0.67-2/5=0.27(人) ▪ 每个顾客平均等待服务时间 Wq = Lq/ =0.27/4=0.0675小时
=4分钟
▪ 顾客在店内等待时间超过10分钟的 概率
P{T>10}=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677 P{T>t}=e- (-)t t=10分钟, =10人/小时=10/60 =1/6 =4人/小时=4/60 =1/15
例 12-2 M /M/ S / K
表示顾客到达的时间间隔服从负 指数分布； 服务时间为负指数分布； S个服务台；系统容量为K的排队模 型。
当 K= S 时为损失制排队模型；
当 K= 时为等待制排队模型。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)
需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
3-4 所示：
表 3-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
483Leabharlann M145 / 41
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乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
0
3
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中 间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的 一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过 程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
采用最小元素法得初始调运方案如表 3-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 3-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
3
50
8 15 7
15
4 / 41
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需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案 是否发生变化，试说明理由(用表或直接用公式)；[武汉大学 2007 研]
运筹学-排队论
2.1 基本概念 2.2 几个主要概率分布 2.3 单服务台负指数分布排队系统分析 2.4 多服务台负指数分布排队系统分析 2.5 一般服务时间M/G/1模型 2.6 经济分析—系统的最优化
2.1 基本概念
2.1.1 排队过程的一般表示 2.1.2 排队系统的组成和特征 2.1.3 排队模型的分类 2.1.4 排队系统的求解 2.1.5 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题，包括最优设计和最优运营 问题。
2.2 几个主要概率分布
2.2.1 经验分布 2.2.2 普阿松分布 2.2.3 负指数分布
2.2 几个主要概率分布
2.2.1 经验分布
在处理实际排队系统时，需要把有关的原始资料 进行统计，确定顾客到达间隔和服务时间的经验分 布，然后按照统计学的方法确定符合哪种理论分布。
系统的各项运行指标计算如下： 平均队长：
Ls=ΣnPn=λ (μ–λ) 平均排队长：
Lq=Σ(n–1)Pn =ρλ (μ-λ) =Ls–ρ =Ls–(1-P0)
逗留时间分布函数为: F(ω)=1–e－(μ－λ)ω
平均逗留时间: Ws=1 (μ–λ)=Ls λ
平均等待时间: Wq=Ws–1 μ=Lq λ
等待时间有限，即顾客在系统中的等待时 间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动离去，并不再回来。如损坏的 电子元器件的库存问题。
逗留时间有限（等待时间和服务时间之和） 有限。例如用高射炮射击敌机。 （2）排队规则
当顾客到达时，若所有服务台都被占用且 又允许排队，则该顾客将进入排队系统。服务 台对顾客进行服务所遵循的规则它通常有：
=
kμ (kμt ) k −1
e −kμt
(k −1)!
《运筹学》_第六章排队论习题及_答案
《运筹学》第六章排队论习题转载请注明1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
1003运筹学试题排队论部分
第五章 排队论一、填空题1．随机服务系统是由（ ）组成的。
2．随机事件流是（ ）。
3．如果一事件流满足平稳性、（ ）、（ ），就称为最简单流。
4．按照Kendall 的分类方法，对于排队模型X/Y/Z ，其中X 表示（ ），Y 表示（ ），Z 表示（ ）。
5．解排队问题必须确定用以判断系统运行优劣的基本数量指标，它们是（ ） 等。
6．系统的状态是指（ ）。
7．[逗留时间]=[等待时间]+[ ]8．系统中顾客数=在队列中等待服务的顾客数+（ ）。
9．稳态的物理含义是（ ）。
二、简答题1．简要说明等式)()1(q N L L p -=-μλ的实际含义2．简要解释无后效性。
3．简要解释生灭过程4．简要阐述排队论研究什么？三、计算题1．顾客按普阿松分布到达一个服务台。
如果到达率为每单位时间20个，在t=0时系统是空闲的。
（1）已知在t=15时系统中有10个顾客，求在t=30时系统中有20个顾客的概率（2）在t=10和t=20时系统中的平均顾客数2．汽车按照平均数为每小时90辆的普阿松分布到达快车道上的一个收费关卡。
通过关卡的平均时间（平均服务时间）是38秒，驾驶员埋怨等待时间太久。
主管部门想采用新装置，使通过关卡的时间减少到平均30秒，但这只有在老系统中等待的汽车超过平均5辆，新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。
根据这个要求，问新装置是否合算？3．某车间的工具库只有一个管理员，平均每小时有4个工人来借工具，平均服务时间为6分钟。
到达为普阿松流，服务时间为指数分布。
由于场地等条件限制，仓库内能借工具的人最多不能超过3个，求：（1）仓库内没有人借工具的概率（2）系统中借工具的平均人数（3）排队等待借工具的平均人数（4）工人在系统中平均花费的时间（5）工人平均排队时间4．假定到达一个电话室的顾客服从普阿松分布，相继两个到达间的平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。
求：（1）顾客到达电话室要等待的概率（2）平均队长（3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，邮电局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的？（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？（5）假定装了第二台电话机，顾客的平均等待时间是多少？。
(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值 量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没 有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作 为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章 线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目 录
第1章 运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章 线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章 对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章 运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化 （1）线性规划的标准型
或
（2-4） （2-5） 线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约 束；决策变量非负。 （2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令 ，于是得到
第13章 排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解 第14章 存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解 第15章 对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解 第16章 单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解 第17章 多目标决策 17.1 复习笔记
运筹学 第14章 排队论
n 0
1
即有 P0 P 1 P n 1
即有
P0
X0
1
P0
10 0 P0 n1 P0 1 2 1 n 1
N(t)具有可列个状态0，1，2„。
一般来说，随机过程 N (t )t 0 满足以下条件，称为生灭过程： 1) 假设N(t)=n，则从时刻t起到下一个顾客到达时刻为止的时间服 从参数为n 的负指数分布，n=0,1,2,„ 2) 假设N(t)=n，则从时刻t起到下一个顾客离去时刻为止的时间服 从参数为 n 的负指数分布，n=0,1,2,„ 3) 同一时刻时只有一个顾客到达或离去。即只在相邻状态间转换。
… …
…
顾客离去
图9-4 多服务台多队系统
(4)多服务台串联服务
顾客到达
…
服务台
…
服务台
…
顾客离去
图9-5 多服务台串联系统
排队过程的组成部分
• 实际中的排队系统各有不同，但概括起来都 由三个基本部分组成：输入过程、排队及排 队规则、服务机制 • 1、输入过程 • 输入过程说明顾客按怎样的规律到达系统， 需要从以下三个方面来刻画一个输入过程。 • （1）顾客总体数，又称顾客源、输入源。 顾客源可以是有限的，也可以是无限的。如 到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的， 而某个工厂因故障待修的机床则是有限的。
• （3）服务机制 • 1）服务员的数量及构成形式。从数量上说， 服务台有单台和多台之分。从构成形式上看， 有单队单服务台式、单队多服务台并联式、 多队多服务台并联式、单队多服务台串联式 等。 • 2）服务方式。指在某一时刻接受服务的顾 客数，有单个服务和成批服务两种。 • 3）服务时间的分布。 • 定长分布(D)，指每个顾客接受服务的时间 是一个确定的常数。
运筹学第14章排队论
(1)单服务台单队
进入队列 服务台
顾客到达
…
…
顾客离去
接受服务
图9-2单服务台单队系统
(2)多服务台单队
服务台
顾客到达
…
服务台
…
顾客离去
服务台
图9-3 多服务台单队系统
(3)多队多服务台 …
顾客到达
…
服务台 服务台
…
顾客离去
…
服务台
图9-4 多服务台多队系统
(4)多服务台串联服务
顾客到达
… 服务台 … 服务台 …
P0
n1 0 n 1
P0
1
即有
P0
1
n1
n1 0 n 0
1
2、生灭过程及生灭过程排队系统
即当
n1 0
n1 n 0
时，此生灭过程存在平稳状态分布：
P0
1
n1
n1 0 n 0
1
Pn
n1 n2 0 nn1 1
P0 , n
1, 2,
• 3）在足够小的时间区间内只能有一个顾客到达，不可能有 两个以上顾客同时到达。单位时间里有x个顾客到达的概率 为：
P(x) xe ( 0, x 0,1, 2, )
x!
• 其中，λ为单位时间平均到达的顾客数，此时顾客相继到达 的时间间隔是独立的，服从参数为λ的负指数分布。
• 2、排队规则
• （1）排队系统
第十四章 排队论 1、排队的组成及基本概念 2、生灭过程 3、六个排队模型
第十四章 排队论
• 排队是日常生活中经常遇到的现象，如顾客 到商店去买东西，病人到医院去看病，当售 货员、医生的数量满足不了顾客或病人及时 服务的需要时，就出现了排队的现象。
运筹学-第十章-排队论
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
II
在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。
3、其他相关指标
(1)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成 服务的顾客数；
(2)损失率: 指顾客到达排队系统，未接受服务 而离去的概率;
（对损失制或系统容量有限而言） (3)服务强度： = /s ；
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平稳分布。于是记： Pn ：当系统达到统计平衡时处于状态n的概率（pn(t)）
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
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*小于 0.00005 （4）设请领工具的工人等待的费用损失为每小时 6 元，发放工具的服务员空闲费用损 失为每小时 3 元，每天按 8 h 计算，问设几个服务员使总费用损失为最小? 解：（1）平均到达率=到达总数／总时间
解：（1）该系统为 M／M／1 模型， = 60 = 5(人 / h) ， = 60 = 4(人 / h) ，所以每
12
15
位病人在系统中的时间期望为Ws
=
1 −
=
1 5−4
= 1(h)
，而每天共有
24×4=96（人）到
达医疗室。所以，工厂每天损失的期望值为 96×30=2880（元）。
（2）要使损失减少一半，则必须使Ws
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（8）必须在店内消耗 15 min 以上的概率。
解：该系统为 M/M/1 模型， = 4, = 60 =10, = = 2
6
5
12.3 在某单人理发店顾客到达为泊松流，平均到达间隔为 20 min，理发时间服从负
试完成下列问题: （1）平均到达率和平均服务率(单位：人／分钟)。
（2）利用统计学的方法证明：若假设到来的数量服从参数 =1.6 的泊松分布，服务时 间服从参数 = 0.9 的负指数分布，这是可以接受的。
（3）这时只设一个服务员是不可行的，为什么?试分别就服务员人数 c=2，3，4 各种
情况计算等待时间Wq (注意用表 12-3 的数据)。 表 12-3 多服务台Wq 的数值表
证明：（1）对于
M／M／1
模型，Wq
=
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（3）由题意，令到达速度为
人/小时，Wq
=
( −)
60
=
20 ( 20
−)
60
3
，
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解得 10人/小时
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所以，当到达速度增加到 10 人/小时时，装第二台电话机才合理。
（4）顾客在系统中的逗留时间W ，服从参数为 − 的负指数分布。在本题中，逗留
普阿松流的充要条件是：相继到达时间间隔服从相互独立的参数为 的负指数分布。
二、概念题 1．排队论[上海海事大学 2014 研] 答：排队论也称随机服务系统理论，就是为解决排队问题而发展的一门学科，它研究的 内容有下列三部分。①性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、 等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。②最优化问题，又分静态最优和 动态最优，前者指最优设计，后者指现有排队系统的最优运营。③排队系统的统计推断，即 判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。一般的排队系 统都有三个基本组成部分：输入过程；排队规则；服务机构。
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务的时间）之间的关系，如表 12-1： 表 12-1
请分析下面两个问题：
（1）如果公司经理希望职员等待 MIS 维护服务（排队等待和服务等待的平均时间）不
要超过 5 分钟，则该信息中心最少需要聘用多少个服务人员?
时间W ，服从参数为 − = 20 − 6 = 14 的负指数分布。分布函数为 F () =1− e−14 所以打一次电话要逗留 10 分钟以上的概率为： F () = 1− (1− e−141600）=0.097
（5）安装两部电话机后，系统变为 M/M/2 模型
=6, =20, = 0.3,= =0.15
=
Lq
+
四、计算题
1．某理发店只有一个理发员，来理发的顾客到达过程为 posson 流，平均 5 人/小时；
理发时间服从负指数分布，平均需要 10 分钟；店内备有 5 把椅子供顾客等候，多余顾客将
到其他理发店理发。
求：
（1）该理发店忙的概率；
（2）该店内恰有 2 个顾客的概率；
（3）在该店内的平均顾客数；
均时间为 10 分钟，通话时间服从负指数分布，平均数为 3 分钟。
求：
（1）顾客到达电话厅要等待的概率。
（2）等待打电话的平均顾客数。
（3）当一个顾客至少要 3 分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速
度增加到多少时，装第二台电话机才合理的?
（4）打一次电话要逗留 10 分钟以上的概率是多少?（可用指数式表示）
2
P0
=
(0.3)0
0!
+
(0.3)1
1!
1
+
(
0.3)2
2！
1 1− 0.15
=0.74
(c )c
(0.3)2 0.15
Lq
=
c!(1−
)2
P0
=
(1− 0.15)2
0.74 2!
=
0.007
3．案例分析：需要多少个服务人员? 某商科技公司的 MIS 中心处理本公司信息系统的维护服务。公司其他部门职员打电话 到信息中心进行咨询和服务请求，不过如果恰巧所有服务人员都在忙的时候，该职员就必须 等待。该中心每小时平均接受到 40 个服务请求，服务请求的到达服从泊松分布。每个请求 的平均服务时间是 3 分钟，且服从负指数分布。 信息中心服务人员每小时的平均工资是 15 元。公司职员每小时为公司创造的收益是 25 元。（如果该职员在等待或正在接受 MIS 维护服务，则这段时间内该职员不为公司创造任何 收益）。 我们已经通过软件计算出服务中心的服务人员个数与等待接受 MIS 维护服务的平均职 员数（不包括正在接收 MIS 维护服务地职员）以及平均等待时间（不包括接受 MIS 维护服
（4）每位顾客在该店内的平均逗留时间；
（5）等待服务的平均顾客数；
（6）每位顾客平均等待时间；
（7）顾客损失的概率。[北京交通大学 2010 研]
解：该问题属于 M/M/1/N 模型， = 5人 / h, = 6人 / h ， = = 5 ,N=5 6
（1）
P0
=
1− 1− N+1
=
0.2506 ,∴1-P0=0.7494
（5） Lq = Ls − (1− P0) =1.98− 0.75 =1.23人
（6）顾客的平均等待时间是 Wq
=W
−
1
=
0.44*60
−10
= 16.4 min
（7）
P7
=
P0 7
=
0.2506*（5）7 = 6
0.0699 即顾客损失的概率。
注：类似于上海交通大学 2002 研
2．某电话亭有一部电话，来打电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达间隔的平
（5）目前情况下，安装第二台电话机后，顾客的平均等待时间是多少? [北京理工大学
2008 研]
解：（1） = 60 = 6 （人/小时）， = 60 = 20 （人/小时）
10
3
顾客到达电话厅要等待的概率为：1−
P0
=1−
6 20
=
0.7
。
（2）
Lq
=
2
( −)
=
66
20(20 −
6)
=
0.13
三、简答题 试写出 M/M/1 排队系统的 Little 公式。[北京交通大学 2010 研]
答：M/M/1 排队系统的 Little 公式为 LS = WS , Lq = Wq
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Ws
= Wq
+
1
, LS
即为理发店忙的概Hale Waihona Puke ；（2）Pn=
P0 n
∴
P2
=
0.2506*(5)2 6
=
0.1740
（3）
Ls
= 1−
−
(N +1) N+1 1− N+1
=
5 − 3.02
= 1.98人
（4） Ws
=
Ls (1−
P0 )
=
0.44h
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第 12 章 排队论
一、判断题 1．假如到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从 负指数分布。（ ）[北京交通大学 2010 研] 【答案】√
【解析】设 N（t）为时间[0，t]内到达系统的顾客数，则 N(t),t 0 为参数为 的