数列专题讲义(带答案)

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(2)对任何m,n ,在等比数列 中,有 ,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.
(3)若m+n=p+q (m,n,p,q ),则 = .特别的,当n+m=2k时,得 =
(4) 是有穷等比数列,则与首末两项等距离的两项之积都相等,且等于首末两项之积,即 。
(3)若m+n=p+q (m,n,p,q ),则 = .特别的,当n+m=2k时,得 =
(4) 是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即 。
(5)在等差数列 中,每隔k(k )项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d(例如: , , , 仍为公差为3d的等差数列)
例7.求数列的前n项和: ,…
解:设
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
当a=1时, = (分组求和)当 时, =
例8.求数列 , 的前 项和
分析:此数列的通项公式是 ,而数列 是一个等差数列,数列 是一个等比数列,故采用分组求和法求解。
5、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。通项分解(裂项)如:
变式3.已知数列 中, , 求数列 的通项公式
类型7、 型。
(1)若 是常数时,可归为等比数列。
(2)若 可求积,利用恒等式 求通项公式的方法称为累乘法。
例1:已知: , ( )求数列 的通项。
解:

变式1.已知 , ,求数列 通项公式.
变式2.已知 中, 且 求数列通项公式。
.
类型8、
取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.
例1已知数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【解析】:将 取倒数得: , , 是以 为首项,公差为2的等差数列. ,
4.数列求和的问题
1.利用常用求和公式ห้องสมุดไป่ตู้和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法,将数列转化为等差或等比数列,直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得。
等差数列求和公式:
, , ,又 , .
变式训练:
1.已知数列 的前 项和为 ,且满足 .
求数列 的通项公式
2.已知数列 的前n项和 ,其中 是首项为1,公差为2的等差数列.求数列 的通项公式;
类型2、 型(其中 为常数, , )
解:设 ∴
比较系数: ∴
∴ 是等比数列,公比为 ,首项为


例1已知数列 中, , ,求 的通项公式.
(1)
(3)
(4)
(5)
(6)
例9.求数列 的前n项和
解:设
(裂项)

(裂项求和)


例10.在数列{an}中, ,又 ,求数列{bn}的前n项的和
解:∵
∴ (裂项)
∴数列{bn}的前n项和
(裂项求和)= =


类型4. ( 为常数,下同)型,
可化为 的形式.
例1.在数列 中, ,求通项公式
解:原递推式可化为:

比较系数得 ,①式即是: .
则数列 是一个等比数列,其首项 ,公比是2.

即 .
变式1.已知数列 满足 , ,求数列 的通项公式。
变式2.已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。
变式3.已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。
个性化辅导授课教案
学员姓名 :辅导类型(1对1、小班):
年 级:辅 导 科 目 :学 科 教 师 :
课 题
课 型
□ 预习课 □ 同步课□复习课 □ 习题课
授课日期及时段
年月日时间段
教 学 内 容
数列的基本性质和常用结论
一、等差数列
1.等差数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n,都有 (d为常数) 为等差数列(定义法)
(5)在等比数列 中,每隔k(k )项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等比数列,且公比为 (例如: , , , 仍为公比 的等比数列)
(6)如果 是等比数列,公比为q,那么 , , , 也是等比数列,其公比为
(8) ,
当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);当q<0时,该数列为摆动数列。
【解析】:利用 , ,求得 ,
, 是首项为 ,公比为2的等比数列,
即 , ,
变式1.已知数 的递推关系为 ,且 求通项
类型3 型
解:可设

∴ 解得: ,
∴ 是以 为首项, 为公比的等比数列

∴ 将A、B代入即可
例1.已知: , 时, ,求 的通项公式。
解:


解得:

∴ 是以3为首项, 为公比的等比数列
3.等比数列前n项和公式:
4.等比数列前n项和 常用的基本性质:
(1)在等比数列 中,当项数为2n (n )时, ,.
若数列 为等差数列,则记 , , ,则 , , 仍成等比数列,且公差为
3.数列通项公式的求法
类型1、
解法:利用 与 消去 或与 消去 进行求解。
例1已知无穷数列 的前 项和为 ,并且 ,求 的通项公式?
(2).若等差数列 , 的前n项和为 (n为奇数),则
(3)在等差数列 中. =a, ,则 ,特别地,当 时, ,当 =m, =n时
(4)若 为等差数列 的前n项和,则数列 也为等差数列.
(5)记等差数列 的前n项和为 : 若 >0,公差d<0,则当 时,则 有最大值;
②若 <0,公差d>0,则当 时,则 有最小值。
求 最值的方法也可先求出 ,再用配方法求解。
二、等比数列
1.等比数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n,都有 (q 0) 为等比数列(定义法)
(2) ( 0) 为等比数列(等比中项)
(3)若数列通项公式为: 为等比数列(通项公式法)
2.常用性质
(1).若数列 , 为等比数列,则数列 , , , , (k为非零常数)均为等比数列.
3、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个 。
例5.求 的和
分析:由于数列的第 项与倒数第 项的和为常数1,故采用倒序相加法求和
解:设

两式相加,得
小结:对某些具有对称性的数列,可运用此法。
4、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。
2、等比数列求和公式:
例1. ,求 的前n项和。
解:由
由等比数列求和公式得
= = =1- (利用常用公式)
例2.求
:原式
解由等差数列求和公式,得原式
2、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。
(6)如果 是等差数列,公差为d,那么 , , , 也是等差数列,其公差为 .
(7)若数列 为等差数列,则记 , , ,则 , , 仍成等差数列,且公差为 d
3.等差数列前n项和公式:
4.等差数列前n项和 常用的基本性质:
(1)在等差数列 中,当项数为2n (n )时, (即中间两项之比),
当项数为2n +1(n )时, (即奇偶项数之比)
(2) (n ) 为等差数列(等差中项)
(3) =pn+q (p,q为常数且p≠0)(即为关于n的一次函数) 为等差数列
(4) (p,q为常数)(即为关于n的不含常数项的二次函数) 为等差数列
2.常用性质
(1)若数列 , 为等差数列,则数列 , , , (k,b为非零常数)均为等差数列.
(2)对任何m,n ,在等差数列 中,有 ,特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式。另外可得公差d= ,或d=
类型5 型( )
等式两边同时除以 得
令 则 ∴ 可归为 型
例1.已知 中, , ( )求 。
由 得
∴ 成等差数列, ∴
类型6、 型,( 可求前 项和),
利用 求通项公式的方法称为累加法。
例1.已知 的首项 , ( )求通项公式。
解:
……

变式1.已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。
变式2.已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。
例3.求和: ……………………①
解:由题可知,{ }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ }的通项之积
设 ………………………②(设制错位)
①—②得 (错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:

例4.求 的和。
解:当 时, ;
当 时,
小结:错位相减法的步骤是:①在等式两边同时乘以等比数列 的公比;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和公式求和。
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