均值不等式含答案(训练习题)

均值不等式测试题(含详解)

均值不等式测试题一、选择题1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值224．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（）A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（）A ．13-B ．13+C ．223+D ．223-二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为；此时x 的值是。

9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为；此时x 的值是。

10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为；此时x=_________． 11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是；此时的x 值为 _______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。

(完整版)均值不等式测试题(含详解)

均值不等式测试题一、选择题1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值224．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（）Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（）A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（）A ．13-B ．13+C ．223+D ．223-二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为；此时x 的值是。

9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为；此时x 的值是。

10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为；此时x=_________． 11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是；此时的x 值为 _______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。

均值不等式含答案

课时作业15均值不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练5 31.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( )A V【答案】当且仅当3x=5y时取等号.42・函数f(x)=x+~+3在(一8,一2］上( )xA.无最大值，有最小值7B.无最大值，有最小值一1C.有最大值7,有最小值一1D.有最大值一1,无最小值【答案】D4【解析】Vx^-2, ：.f(x)=x+~+3✓V= __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+34=—1,当且仅当一x=—即x=—2时，取等号,有最大值一1，无最小值.1 43・己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ .【答案】(-8,計【分析】对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后将函数用x+1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理.【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0.“ r «+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1= 吊4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)•苗+5=94当且仅当x+l= 勒，即X=1时，等号成立.mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数• 课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)・••当x=\时，工+7x+l° 灯仆-1 — $函数〉'一丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9.【规律方法】形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) —【解析】斤胃字E+芥沁+树+2胡畔4. 求函数y=以+7卄10~x+1(Q-1)的最小值. mx+n1.设X>0,则y=3-3x--的最大值是（A. 3 B・ 3—3也C. 3-2\/3 D・一1【答案】C［解析】y=3 —3x—2=3 —（3x+g）W3— =3_2^/5.当且仅当3x=p即兀=平时取“=”・2.下列结论正确的是（）A.当x>0 且xH 1 时，lgx+占$2C.当诈2时，x+2的最小值为2D.当0<A W2时,x—丄无最大值X【答案】B【解析】A中，当x>0且兀工1时，lgx的正负不确定，・°・lgx +占M2或lgx+吉W—2； C中，当诈2时，（x+£）min=|； D中当1 I 30aW2 时，），=兀一？在（0,2］上递增，（x--）.…ax=2-3.如果d, b 满足0<a<b, a+b= 1,则g, u,2ub, a2+b2中值最大的是（）A. 3C. 3-2^3A iB • aD. cr+b 1【答案】D【解析】方法一：*.* 0<ci<b,・ *. 1 =a+b>2a i 又 a 2+b 2^2cib 9・•・最大数一定不是“和2", 又 a 2+b 2=(a + b)2—lab = 1 — 2ab, V \ =a+b>2\[ab,ab<^,1 — 2ab> 1 —[=[, 即 cP+Z?2>^.I ? 45方法二：特值检验法：取a=y b=y 则2ab=§, a 2+b 2=^ / ^>2>Q >3，^cr+b 1 最大.4. 己知a>b>c>0.则下列不等式成立的是（） 1,1 _______ 2 a~b b —f^a —c1 ___2 b~c a~c]a~b【答案】A【解析】*.\/>Z?>c>0, *.a —b>0, b —c>0, a — c>0,••・("_4士+爲C. lab 1<21 b —c= [(a~b) + (b~c)Y b~c a —b =2+三+口匚+丄宀丄5. 下列函数中，最小值为4的是（C. /(x) = 3x +4X3"v【答案】D ・ /(x) = lgx+log v 10«+5 工+4+1 —•血)=2X 严=2X = 2X(尸 +寸;+4）24,要取等号，必须寸卫+4=^^^,即工+4=1,这是不可能的，排除.故选C.6. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量•设物体放在左右托盘称得的重量分别为“，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？（）a+bA.—^―；大 C.\[ab ；大【答案】D4A. f(x)=x+~ 工+5B ・・22X 严【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不 b~c a~b22+2、/三•戸=4能取等号， B ・¥力 D.\[cib ；小【解析】设物体真实重量为血，天平左.右两臂长分别为d 12,则ml ［=al2® m 【2 = bh ②①X ②得加2川2 =如2 • • m =yfcib又・・•字鼻颁且“Hb,・・・等号不能取得，故g 字. 7・已知x>0,）>0, x+2y+2xy=8,则x+ly 的最小值是（）A. 3B. 49 C 2【答案】B•: — l<x<8,8—x 9 I Q・・・+）=卄2•百亍（卄1）+吊-222屮+1）•吊—2 = 94,当且仅当x+l=—y 时“="成立，此时x=2, y=l,故选B.1 F -HxH -18 .在区间［㊁,2］上，函数.心）=工+加+c （Z?、c G R ）与g （x ）=: --------------------------------------------------------------------------- ---- 在同一点取得相同的最小值，那么/（对在区间百，2］上的最大值是（）5D 4F+x+11【解析】 Tx+2y+2x)=88—x2x+2>0, C. 8【解析】•••g（x） = -—=X+£+1N3,当x=l时取等号，即当x=l时取最小值3, :.fix）的对称轴是x=l, ・•”=—2,将（1,3）代入即得c=4, 5）=工一加+4,易得在右，2]上的最大值是4.二、填空题（每小题10分，共20分）工+29.比较大小：-7=7= ________ 2（填“>”y，“N” 或“W”）・帖+1【答案】2Q+2 J ________ 1【解析】脅7T声1+肩百浓10.当X>1时，不等式^+土鼻“恒成立，则实数"的取值范X— 1围是_______ .【答案】（一8, 3]【解析】Tx>l, ・°・x+— >0,x— 1要使x+JryNd 恒成立，设f{x） =x+-^~r（x> 1）,则dW/（X）min 对x>\恒成立.又./W=x+=7=x—1+7^7+1鼻2寸（%^）><^^+1=3,当且仅当x—1=亠即兀=2时取“=”・X— 1・・・aW3.三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）11.设兀，yWR*,且x+y+xy=2,(1)求x+y的取值范围；(2)求厂的取值范围.Y-H V【解析】(1) 2 = x+y+xy W x+y+(2,当且仅当x=y时取“•二(x+yF+4(x+y) — 8 $0.・：[(x+y)+2]2212.*/x+y>0, .*.x+y+2・・」+〉—2也一2,当且仅当x=y=羽一1时取“ ="•故x+y的取值范围是[2萌一2, +8).(2)2=x+y+xy2y[xy+xy,当且仅当x=y=\[3— 1 时取“=”.•: (y[xy)2~\~2ylxy^2.1)?W3.又x、)>0, .\y[xy+1>0. .\y[xy+ 1羽—1.・・・()5W4—2萌，即厂的取值范围是(0,4—2羽].12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】(1)设船捕捞刃年后的总盈利y万元.则,n(n— 1)y=50/?-98-[12Xn+ 2X4]= -2/r+40/?-98=-2(/1-10)2+102・：捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.v 4W(2)年平均利润为匚=—2 n+—-20r~49W_2〔2\” •万_20,= 1249当且仅当”=节，即n=7时上式取等号.所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元.【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定31域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.。

1.均值不等式(含答案)

②如果 a1 ,a2 ,⋯,an 都是正实数,那么
a1
+ a2
+⋯ + an n
≥
n
a1a2 ⋯ an
,当且仅当 a1
= a2
= ⋯ = an 时,等
号成立.
( 2)常用性质
①若 a > 0,b > 0,则
a2 + b2 a +b
≥
≥
ab ≥
2；
2
2
11 +
ab
②若 a > 0, b > 0, c > 0 ,则 a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c ≥ 3 abc ≥ 3 ；
a3
b3 +
+
c3
≥ a+b+c.
bc ca ab
3.已知 a > 0, b > 0, n ∈ N * ,求证: (a + b)(an + bn ) ≤ 2(an +1 + bn +1) .
4.已知 a,b, c 都是实数,求证: a2 + b2 + c2 ≥ 1 (a + b + c )2 ≥ ab + bc + ca . 3
(6)若 a > b > 0, c > d > 0, 则 ac > bd > 0 ；
(7)若 a > b, ab > 0, 则 1 < 1 ； ab
(9)若 a > b > 0 ,整数 n > 1,则 n a > n b ；
(8)若 a > b > 0 ,整数 n > 1 ,则 a n > b n ； (10) | a | − | b | ≤ a +b ≤ a + b .

(完整版)均值不等式专题20道-带答案

均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。

1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。

32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。

322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。

完整版)均值不等式测试题(含详解)

完整版)均值不等式测试题(含详解)解析：将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1，即(x-1/2)2≥3/4，当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时，不等式成立，选项B符合条件。

3．C解析：2x+8y=2(x+4y)，由于x+3y-1=0，所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15，故最小值为2√15，选项C符合条件。

4．B解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2)，代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3，故mx+ny的最大值为3，选项B符合条件。

5．B解析：将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0，显然成立，其他选项均不成立。

6．A解析：将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4，即(x2+1+2x/x)2≥4，由于x>0，故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4，故选项A成立。

7．A解析：将2a+b+c表示为a+(a+b+c)，代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c)，化简得到(a+b+c-2)2=4-23，故a+b+c的最小值为3-1，选项A符合条件。

填空题：8．最大值为2，当x=1时取得。

9．最小值为2，当x=2时取得。

10．最小值为2，当x=1时取得。

11．最大值为4，当x=2时取得。

解答题：12．由于点A在直线mx+ny+1=0上，所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a，化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1)，代入mn>0得到a>1/3，且mn=a2>0，故m=n=a/√2，所以m+n=√2a，最小值为2√2.13．设购买次数为n，则每次购买x=400/n吨，总运费为4n万元，总存储费用为4x=1600/n万元，总花费为4n+1600/n，根据均值不等式，有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80，即n≥4，故购买次数至少为4，每次购买100吨。

均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式含答案(训练习题)

课时作业15 均值不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】因为x >－1，所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”．故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。

均值不等式专题20道-带答案

均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

均值不等式的应用(习题+标准答案)

均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式含答案

课时作业15 均值不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( )A ．15B ．6C ．60D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x＋3在(－∞，－2]上( )A ．无最大值，有最小值7B ．无最大值，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值－1，无最小值【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x＋3＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－x＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4x ＋3≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x，即x ＝－2时，取等号，∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，94 【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94. 4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】因为x >－1，所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－32C ．3－2 3D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x)≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12，又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14，∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大． 4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c.5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4xB ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大 B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab 又∵a ＋b2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b2.7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2x ＋1·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分) 9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥ 【解析】x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2x －1×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2，当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12.∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”．故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n n －12×4]＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋49n －20 ≤－2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2n ·49n－20＝12当且仅当n ＝49n，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。

基本不等式(二)均值不等式(二)(带答案)

均值不等式（二）一．填空题1．设22110,21025()a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为．答案：4。

解答：原式()()22221454a a c a b a b a=++-≥+≥-。

当且仅当52a c b ==时取到。

2．已知正数,,a b c 满足215b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为 ______ ．答案：40。

解答：()()5831053101030a b c a b b c +++=++++≥=。

3．已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为．答案：4。

解一：2282222x y x y xy x y +⎛⎫=++≤++ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥或28x y +≤-（舍）；解二：8221yx y -=+， ∴8292221242121y x y y y y y -+=+=++-≥++，当且仅当1y =时等号成立。

4．设M 是ABC V 内一点，且1ABC S =V ，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是MBC V 、MCA V 、MAB V 的面积，若1()(,,)2f M x y =，则14x y+的最小值为 .答案：18；解一：依题意，112x y ++=，即12x y +=，1412291822y yx y x y y x +=++≥=++；解二：()144149x yx y x y y x ⎛⎫++=+++≥ ⎪⎝⎭，即1418x y +≥；解三：()()21412x y x y ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭，柯西不等式。

5．,,a b c R +∈，()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为．答案：2；解答：()()22a b c a b a c ++=+++≥==。

6．已知ABC V 中，2a b +=，1410sin sin A B+=，则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为．答案：109；解答：依题意，1sin sin A B R+=，∴()1014sin sin 9sin sin A B R A B ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，即109R ≤，当且仅当sin A B =时取到。

均值不等式练习与答案

函数单调性特训1．已知x 、y 都是正数，且满足230x y xy ++=，则xy 的最大值为_________．2．设O 是ABC 的外心，满足1324CO t CA t CB →→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若||3AB →=，则ABC 面积的最大值为_______.3．ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，已知,3B b π==．则22a c +的最大值为______．4．△ABC 中，b =4，a =4cos C +c sin B ，则△ABC 面积的最大值为___________.5．已知0a >，0b >，21a b +=，则22144a b ab++的最小值是__________；6．已知0a >，0b >，且2249220a b ab +-=，则ab 的最大值为____________．7．已知0,0x y >>，且2969x y xy ++=，则29x y +的最小值为___________．8．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为_____________．9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin A C b cB C a--=+，3b =，则ABC的周长的最大值是___________.10．已知0x >，0y >，4x y +=，则22log log x y +的最大值是_________.11．若0a >，0b >，且22a b +=，则2221a b a b ++的最小值为________.12．正实数,,a b c 满足22340a ab b c -+-=，当ab c 取得最大时，212a b c+-的最大值为____________.13．已知正实数x ，y 满足123y x+=，则yx 的最大值为_________.14．设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=与过定点B 的动直线240mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是_______．15．已知锐角α、β满足6παβ+=，则91sin cos cos sin αβαβ+的最小值为___________．16．已知正数x ，y ，z 满足01x <<，42y z +=，则111x xyz+-的最小值___.17．已知0,0x y >>，且8x y +=，则(1)(1)x y +⋅+的最大值为_____．18．设0x >，0y >，23x y +=24x y --的最小值为____________.19．在ABC ∆中，60C =︒，且2sin aA=，则ABC ∆面积S 的最大值为______.20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(4b -c )cosA =a cos C ，且a =ABC 的周长的取值范围___________.21．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若AF =(0,0)xAE yDC x y +>> ，则22341x y -+的最大值为___________.22．已知,x y 都为正实数，则()241xy x xy++的最小值为___________．23．已知正实数,x y 满足(31)(21)1x y x y +-+-=，则x y +的最小值是________．24．圆224610x y x y ++-+=关于直线80(0,0)ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是_____.25．已知正数a ，b 满足112a b +=，则31a b -+的最大值为______．26．若正实数a 、b 满足a b ab +=，则16b a a ab++的最小值为_________.27．设0a b >>，那么41()a b a b +-的最小值是___________.28．已知,,21x y R x y +∈+=，则1x y x y++的最小值为_____________．29．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，数列2n S n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，则14n n a a S ++的最大值是________．30．已知0a >，0b >，且1a b +=，则11ab a b++的最小值为__________.31．非负实数,x y 满足2660xy x y ++-=，则2x y +的最小值为___________.32．已知实数x ，y 满足x 2+xy =1，则y 2﹣2xy 的最小值为___________.33．已知()lg 2lg lg(2x y x y +=+)，则22xy x y y++的最小值为___________.34．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A 离地面a 米，树上另一点B 离地面b 米，在离地面()c c b <米的C 处看此树，离此树的水平距离为___________米时看A ，B 的视角最大.35．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是__________．36．当1x >时，求821x x +-的最小值为___________.37．已知正实数x ，y 满足196x y x y+=++，则x y +的最小值是___________.38．已知实数x ，y 满足x 2+xy =1，则y 2﹣2xy 的最小值为___________.39．已知,,a b c +∈R ，且24ab ac +=，则22822a b c a b c+++++的最小值是___________.40．若0,0,10x y xy >>=，则25x y+的最小值为_____．41．函数2y =的最小值是___________.42．设x ，y 均为正数，且xy +x -y -10=0，则x +y 的最小值是_______.43．已知,x y 为正实数，则162y x x x y++的最小值为__________．44．已知0a >，0b >，且2a b +=，则1aa b+的最小值为___________.45．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为右支上任意一点，若212224PF PF a+的最大值为2，则双曲线C 离心率的取值范围是______．46．已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b≤++恒成立，则m 的最大值为__________．47．已知1a >，则23111-+-a a a 的最小值为___________.48．已知0a >，0b >22的最小值为___________.49．已知,a b 是正数，且(1)(1)9a b --=，则+a b 的最小值是_______．50．已知1,0x y >>，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为________．51．函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为___________.52．已知二次函数2()()f x ax bx c a b =++<的值域为[)0,+∞，则a b cb a++-的最小值为______.53．已知0a <<，则2125a M a a +=+++的最大值为______.54．若实数,x y 满足22321x xy y --=，则2252x y x xy y+++的最大值为___________.55．()21147x x x x ->-+的最大值为______.56．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则1412a b+++的最小值为___________．57．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且AM xAB =u u u r u u u r，AN yAC =u u u r u u u r，则2x y +的最小值为___________.58．已知()()()2ln 40,0f x x ax b x a b =++->>在1x =处取得极值，则21a b+的最小值为___________.59．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2xx y y++的最小值是_________．60．若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________函数单调性特训答案第1页答案第2页。

2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习(含答案解析)

2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习（含答案解析）知识梳理1．算术平均值与几何平均值给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。

二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定三等：必须验证等号成立的条件。

4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误；对于C 选项，当0a b =−≠时，不等式显然不成立，故错误；对于D 选项，由于()22220a b ab a b +−=−≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A ．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式判断．【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y +且仅当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y 【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，由基本不等式可得2x y+≥A 错；对于B 选项，因为222x y xy +≥，所以()()2222222x y x y xy x y +≥++=+，所以，22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2+x y，B 错；对于C 选项，因为0x >，0y >，由基本不等式可得x y+≥=，2xyx y≥+，C 错；对于D 选项，因为222x y xy +≥，()()2222x y x y +≥+，由不等式的性质可得()()2222x y xy x y ≥++，则(22x y x y +≥+22≥+x y，D 对. 故选：D.变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（） A ．11s t+≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A ，令a ＝－1s ， b ＝－1t，则1s ＋1t＝－a －b ＝－(a ＋b )≤－s t =取等号，不成立；对于B ，st >0,t s >0，所以s t ＋ts≥2，当且仅当s t =取等号，成立；对于C ，st ＝(－s )(－t )≤2222s t s t −−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立；对于D ，22222222124422s t s t st s t s t st +++++⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立．故选：A变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（）A ．2a b +B 2a b +C2a b + D 2a b + 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+，而222()24a b a b ++−＝2()4a b −＞0，∴2a b +故选：B题型战法二均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】【分析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为0a >，0b >且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时取等号；故选：A变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（） A ．2 B ．5 C ．32D ．52【答案】D 【解析】【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52. 故选：D变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（） A ．0 B ．13C ．12D ．1【答案】A 【解析】【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：2lg lg lg lg 2a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭. 【详解】∵0a >，0b >，2a b +=，∴2lg lg lg lg 02a b a b ab +⎛⎫+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号.故选：A.变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（） A．1 B ．2 C ．4 D ．【答案】B 【解析】【分析】根据已知求出1ab =，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lg lg lg()0,1a b ab ab +==∴=，所以2a b +≥=，当且仅当1a b ==时取等号. 所以a b +的最小值为2. 故选：B变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（）A ．27B ．C ．12D ．【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为0x >，0y >，23x y +=，则29333x y x y +=+≥当且仅当232x y ==时，等号成立，因此，93x y +的最小值为故选：D.题型战法三均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤C 2D ．112ab+≤【答案】D 【解析】【分析】A 、B 、C 选项结合均值不等式证明即可，D 选项举出反例即可说明错误. 【详解】A ：222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，又因为222a b +=，所以22ab ≥，即1ab ≤，故A 正确；B ：()2222224a b a b ab ab +=++=+≤，当且仅当a b =时，等号成立，因为0,0a b >>，所以2a b +≤，故B 正确；C 2224a b =++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，2，故C 正确；D ：若1,2a b ==，则112a b +>，故D 错误；故选：D.变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A ．112ab > B ．228a b +≥ C 2≥ D ．111a b+≤【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意0,0a b >>，且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，所以114ab ≥，所以A 选项错误. ()22221628a b a b ab ab +=+−=−≥，所以B 选项正确.2=，所以C 选项错误1141a b a b ab ab++==≥，所以D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可【详解】因为0a>，0b>，且1a b+=，所以1a b=+≥12，当且仅当12a b==时取等号，所以B错误，12，得14ab≤，所以14ab≥，当且仅当12a b==时取等号，所以C正确，所以22211()212122a b a b ab ab+=+−=−≥−=，当且仅当12a b==时取等号，所以A错误，由0a>，0b>，且1a b+=，得()1111224b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⎝=⎪⎭，当且仅当12a b==时取等号，所以D错误，故选：C变式3-3．已知A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用．由0,0a b≥≥,且2a b+=，∴222224()22()a b a b ab a b=+=++≤+，∴222a b+≥．变式3-4．已知0a>，0b>，4a+=，则下列各式中正确的是（）A．11a b+≤14B．11a b+>1 C 2 D．1ab≥1【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.【详解】当2a b==时，111a b+=，所以AB选项错误，同时1114ab=<，所以D选项错误.对于C4222a b+==，当且仅当2a b==时等号成立.所以C 选项正确. 故选：C题型战法四均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（）A．3+B ．12 C ．8+D ．6【答案】A 【解析】【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()112233y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2y xx y =，即21,2x y ==时，等号成立. 故选：A.变式4-1．已知正数a ，b 满足1b +=，则19ab+的最小值为（） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20【答案】C 【解析】【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】由已知条件得()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=，当且仅当9b a a b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立. 故选：C .变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x ，则4x y+的最小值是（） A ．4 B ．92C ．5D ．9【答案】B 【解析】【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为x ，y 是正实数，所以0xy >故有(41141419552222x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4xy xy =，即32x =，43y =时取到等号. 故选：B.变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +−=，则2x y +的最小值为（）A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+【答案】A 【解析】【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241xy +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（） A ．134B ．94C ．74D ．95【答案】B 【解析】将2m n +=拼凑为11144m n +++=，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】 ∵2m n +=，∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++54≥94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .题型战法五对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +… B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b+…【答案】C 【解析】【分析】A 选项：取特值，当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，由此可判断； B 选项：当sin 1x =时，4sin 5sin x x+=，由此可判断；CD 选项：取特值1a =，1b =−计算可判断.解：A 选项：当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，故A 错误； B 选项：当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin (0,1]x ∈，∴当sin 1x =时，4sin 5sin x x +=，故B 错误；C选项：当0x >0>，2，1时，取等号，故C 正确；D 选项：当1a =，1b =−时，0ab ≠，2b a a b+=−，故D 错误. 故选：C.变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x −+≥【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，取2x =−，则44x x+=−<，故A 错. 对于B ，取1x e −=，则1ln 22ln x x+=−<，故B 错..对于C ，取1a b ==−112a b+=>−=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x −+≥=，当且仅当0x =时等号成立，故选：D.变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4−D ．()f x 有最大值4− 【答案】D 【解析】根据基本不等式即可求出．【详解】解：0x <Q ，0x ∴−>，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=−−+⎢⎥−⎣⎦4≤−−，当且仅当()4x x −=−，即2x =−时取等号，()f x ∴有最大值4−.故选：D ．变式5-3．若12x −<<，则12x x +−的（） A ．最小值为0 B ．最大值为4 C ．最小值为4 D ．最大值为0【答案】D 【解析】【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解【详解】因为12x −<<，所以20x −<，则11222022x x x x ⎛⎫+=−−+≤−= ⎪−−⎝⎭，当且仅当122x x−=−，即1x =时取等号，此时取得最大值0，故选：D ．变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】根据基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】当1≥x 时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立. 故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型战法六分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x −+=−有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】【详解】依题意()122f x x x =−+−，类比对钩函数1y x x =+的性质可知，当122x x −=−，即3x =时，函数取得最小值为2.点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有x 的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数1y x x=+在区间()0,1上递减，在()1,+∞上递增，而函数()122f x x x =−+−是由1y x x=+函数图像整体向右平移两个单位所得，故3x =时，函数取得最小值为2.变式6-1．若0x <，则231x x +−的最大值是（）A ．2B ．2−C ．4D ．4−【答案】B 【解析】【分析】将所求的代数式整理为223(1)2(1)4412111x x x x x x x +−+−+==−++−−−，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0x <，所以10x −>()()2212143412111x x x x x x x −+−++==−++−−− 412221x x ⎛⎫=−−++≤−=− ⎪−⎝⎭，当且仅当411x x−=−，即1x =−时，等号成立，故选：B.变式6-2．若11x −<< ，则22222x x y x −+=−有（）A ．最大值1−B ．最小值1−C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x −<<，则012x <−<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x −+=−⋅=−−+≤−⋅=−−−，当且仅当111x x−=−，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x −+=−有最大值1−.故选：A变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则xyz的最大值为（） A ．0 B ．2C ．1D ．3【答案】C 【解析】【分析】计算得出143xy x y z y x=+−，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则2243z x xy y =−+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=−++−，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz−的最小值是（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】由2221x y z ++=可得出22212z x y xy −=+≥，利用不等式的性质结合基本不等式可求得58xyz−的最小值. 【详解】2221x y z ++=，22212z x y xy ∴−=+≥，()225854254141xy xy z z ∴−=−⨯≥−−=+，由于x 、y 、z均为正数，则25841144xy z z z z z −+≥=+≥=，当且仅当0140x y z z =>⎧⎪⎨=>⎪⎩时，即当12x y z ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，58xyz−的最小值是4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.题型战法七均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +−=>过圆()()22122022x y −+−=的圆心，则11a b+的最小值为（） A．3+B ．3−C ．6 D ．9【答案】A 【解析】【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21a b +=，由()11112a b a b a b⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()1,2；直线()100ax by ab +−=>过圆的圆心，()210a b ab ∴+=>；()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），11a b∴+的最小值为3+故选：A.变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =−，当角A取最大值时，则sin C =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得()22234a b c =−，结合余弦定理可得cos A ,角A 最大，即有2292a c = ，由此化简222cos 2a b c C ab +−==答案. 【详解】由题意得，()22234a b c =−，故()222222374cos 28b c b c b c A bc bc +−−+==227b c =时取等号，即(0,),cos A A π∈=,角A 最大,此时2292a c =，故2229712cos 322a b c C ab +−+−== 而(0,)C π∈,所以sin C = 故选：B ．变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定【答案】B 【解析】【分析】利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解. 【详解】因为数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，所以3813,,a a a 成等比数列，所以31382+≥=a a a ，又数列{}n b 是等差数列，所以6912,,b b b 成等差数列，所以61292+=b b b ，又因为98b a =，所以313612a a b b +≥+，故选：B 变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1【答案】B【解析】【分析】利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值．【详解】∵22211cos22cos 1112cos 2cos y x x x x =+=+−≥=，当且仅当2212cos 2cos x x=，即21cos 2x =时取等号﹒故选：B ．变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是（）A ．21B ．4C ．4D ．2【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,λμ的关系，即31144λμ+=，可得134λλμλ−=+−，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+， ∵,,0,0AM AB AN AC λμλμ==>>， ∴3144AD AM AN λμ=+，因为,,M D N 三点共线，∴311 44λμ+=，∴134μλ=−，∵130,0,40λμμλ>>=−>，∴34λ>，则133444λλλμλλ⎛⎫−=−−=+−≥⎪⎝⎭；当且仅当3λλ=，即λ=故1λμ−的最小值是4；故选：C．。

均值不等式及其应用练习题含答案

均值不等式及其应用练习题（1）1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则()A.a=2，b=4B.a=2，b=−4C.a=−2，b=4D.a=−2，b=−42. 在下列函数中，最小值是2的是()A.y=x2+2xB.y=√x2+2√x2+2C.y=7x+7−xD.y=x2+8x(x>0)3. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√34. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)5. 若0<x<y<1，则下列结论正确的是（）A. B.e x>e x−y C.x n<y n，n∈N∗ D.log x y>log y x6. 下列函数中，最小值是2的是（） A.y =a 2−2a+2a−1(a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2C.y =x 2+1x2D.y =x2+2x7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________．8. 已知x ，y 均为正实数，且满足1x+1y +3xy=1，则x +y 的最小值为________．9. 定义max {a,b}={a(a ≥b)b(a <b)，已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，设z =max {x +y, 2x −y}，则z 的取值范围是________．10. 若实数a >b ，则下列不等式正确的是________.(填序号) (1)a +c >b +c ；(2)ac <bc ；(3)1a<1b ；(4)a 2>b 2.11. 已知函数f(x)＝−2x 2+7x −3．（1）求不等式f(x)>0的解集；（2）当x ∈(0, +∞)时，求函数y =f(x)x的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系式为y =−x 2+18x −25(x ∈N ∗)．则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求最大值．13. 设函数y ＝ax 2+bx +3(a ≠0)．（1）若不等式ax 2+bx +3>0的解集为(−1, 3)，求a ，b 的值；（2）若a +b ＝1，a >0，b >0，求1a +4b 的最小值．参考答案与试题解析均值不等式及其应用练习题（1）一、选择题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】由对称轴是x=1可得b2a=−1，又因为图象过点A(−1, 7)，代入解析式得a−b=6，从而解得结果．【解答】解：∵对称轴是x=1，∴b2a=−1.∵图象过点A(−1, 7)，∴a−b=6，∴a=2，b=−4.故选B．2.【答案】C【考点】基本不等式【解析】由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．【解答】解：A，x的正负不确定.当x>0时，y的最小值为2，故错误；B，当取等号时x2+2=1，即x2=−1，不存在实数x满足，故错误；C，y=7x+7−x≥2√7x⋅7−x=2，当且仅当7x=7−x，即x=0时取等号，故正确．D，y=x2+8x (x>0)≥2√x2⋅8x=4√2x，积不是定值，故错误.故选C.3.【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.二、多选题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）4.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得：CD2=AC⋅BC，因为OD≥CD，所以a+b2≥√ab(a>0, b>0)．由于CD2=DE⋅OD，所以DE=CD 2OD =aba+b2，所以由CD≥DE，整理得：√ab≥2aba+b =21a+1b(a>0, b>0)．故选AC.5.【答案】A,B,C【考点】利用不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A，y=a 2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B，y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C，y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D，当x<0时，无最小值，故D错误．故选AC.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）7.【答案】2【考点】基本不等式及其应用【解析】由基本不等式可得4＝2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，即可求解．【解答】解：由基本不等式可得，4=2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，当且仅当x=2y且2x+4y=4，即y=12，x=1时取等号，∴2x+2y≤4，∴x+2y≤2.则x+2y最大值是2．故答案为：2.8.【答案】6【考点】基本不等式及其应用【解析】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+3，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+(3)又因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2≥x+y+3，，即(x+y)2−4(x+y)−12≥0，即(x+y−6)(x+y+2)≥0，所以x+y≤−2或x+y≥(6)又因为x，y均为正实数，所以x+y≥6（当且仅当x＝y＝3时，等号成立），即x+y 的最小值为（6）9.【答案】[3√55, √5]不等式比较两数大小【解析】直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z1=x+ y，点(x, y)在在半圆ACB上及其内部；令z2=2x−y，点(x, y)在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．【解答】解：(x+y)−(2x−y)=−x+2y，设方程−x+2y=0对应的直线为AB，∴Z={x+y,(−x+2y≥0)2x−y,(−x+2y<0)，直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z1=x+y，点(x, y)在半圆ACB上及其内部，如图求得−3√55≤z1≤√2；令z2=2x−y，点(x, y)在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得−3√55≤z2≤√5．如图综上可知，z的取值范围为[−3√55, √5]；故答案为：[−3√55, √5]10.【答案】(1)不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：已知a>b，则a+c>b+c，(1)正确；当c≥0时，(2)显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，(3)显然无意义；取a=1，b=−2可知a2<b2，(4)不正确．故答案为：(1).四、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）11.【答案】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√62时，y取得最大值为7−2√6．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解，（2）先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x =√62时，y 取得最大值为7−2√6．12. 【答案】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为：−10+18=8(万元). 【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】确定年平均利润函数，利用基本不等式求函数的最值，即可得到结论．【解答】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为：−10+18=8(万元). 13.【答案】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，故{−ba =23a=−3 ，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4ab且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，结合方程根与系数关系可求；（2）由已知可得1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b，然后利用基本不等式即可求解．【解答】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，故{−ba =23a =−3，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4a b且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9．。

均值不等式练习题解析版

均值不等式练习题班级_______姓名____________1. 已知x,y∈R+，xy=2x+y，则x+y取得最小值时，x=．2. 若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是_______________①1ab ≤14②1a+1b≤1③√ab≥2③a2+b2≥83. 下列结论正确的是______________①若a,b∈R，则ba +ab≥2②若x<0，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4③若ab≠0，则b2a +a2b≥a+b④若x<0，则2x+2−x>24. “a>0，b>0”是“ab<(a+b2)2”的条件5. “x+1x>2”是“x>1”的条件6. 设a>1，b>1且ab−(a+b)=1，下列结论正确的是_______________①a+b有最小值2+2√2②a+b有最大值2+2√2③ab有最大值√2+1④ab有最小值2+2√27. 设m∈R且m≠0，“不等式m+4m>4”成立的一个必要不充分条件是( )①m≠2②m>0且m≠2③m>2④m≥28. 设直线x=t(t>0)与曲线y=x2+2和x轴分别交于A，B两点，C(t+1t,2)，则△ABC面积的最小值为．9. 若不等式(x+y)(ax +4y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．10. 已知a>0，b>0，若a+b=4，则a2+b2的最小值为．11. 已知x>0，y>0，且x+2y=2，那么xy的最大值是．12. 已知x>54，则函数y=4x+14x−5的最小值为．13. 已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设没有出租的房子不需要花这些费用），则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为元．14. 已知0<x<1，当x=_______时，√x(1−x)的值最大．15. 已知x>−1，求x+4x+1的值最小值.16. 设a，b，c∈R，求证：b+ca +c+ab+a+bc≥6．17. 设ab≠0，利用基本不等式有如下证明：ba +ab=b2+a2ab≥2abab=2．试判断这个证明过程是否正确．若正确，请说明每一步的依据；若不正确，请说明理由．18. 某工厂有一面长14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房．工程条件是：①修1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用是a4元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为a2元．经过讨论有两种方案（设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为x m）：方案1：利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长(x<14)：方案2：利用旧墙为矩形厂房的一面边长(x≥14)．则如何利用旧墙，即x为多少时建墙费用最省?答案1. √2+12. ④【解析】4=a +b ≥2√ab （当且仅当 a =b 时，等号成立），即 √ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项①，③不成立；1a +1b =a+b ab=4ab ≥1，选项②不成立；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =16−2ab ≥8，选项④成立．3. ④ 【解析】对于①，当 ab <0 时不成立；对于②，若 x <0，则 x +4x =−(−x +4−x)≤−2√(−x )⋅4−x =−4，当且仅当 x =−2 时，等号成立，因此②选项不成立；对于③，取 a =−1，b =−2，b 2a +a 2b=−92<a +b =−3，所以③选项不成立；对于④，若 x <0，则 2x +2−x >2 成立． 4. 既不充分也不必要【解析】当 a >0，b >0 时，a+b 2≥√ab ，即 ab ≤(a+b 2)2，当 a =b 时，ab <(a+b 2)2 不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的充分条件．当 ab <(a+b 2)2 时，a ，b 可以异号，故 a >0，b >0 不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <(a+b 2)2”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <(a+b 2)2”的既不充分也不必要条件．5. 必要而不充分6. ① 【解析】因为 a >1，b >1 且 ab −(a +b )=1，所以 1+a +b =ab ≤(a+b 2)2，则 (a +b )2−4(a +b )−4≥0，得 a +b ≥2+2√2 或 a +b ≤−2√2+2（舍去），当且仅当 a =b =1+√2 时等号成立．因为 a +b =ab −1≥2+2√2，所以 ab ≥3+2√2，当且仅当 a =b 时等号成立． 7. ①8. √2．【解析】由 {x =t,y =x 2+2可得 A (t,t 2+2)，所以 ∣AB∣=t 2+2，则 △ABC 的面积S=12×∣∣t +1t−t ∣∣×(t 2+2)=12×t 2+2t =12(t +2t )≥12×2√t ×2t=√2,当且仅当 t =2t ，即 t =√2 时等号成立，所以 △ABC 面积的最小值为 √2．9. 4【解析】因为不等式 (x +y )(a x +4y)≥16 对任意正实数 x ，y 恒成立，所以 16≤[(x +y )(ax +4y )]min，令 f (x )=(x +y )(ax +4y )(a >0)，则f (x )=a +4+ay x+4x y ≥a +4+2√ayx ⋅4x y=a +4+4√a,当且仅当 xy =√a2时取等号，所以 a +4√a ++4≥16，解得 a ≥4，因此正实数 a 的最小值为 4． 10. 8 11. 12【解析】因为 x >0，y >0，且 x +2y =2，所以 xy =12x ⋅2y ≤12×(x+2y 2)2=12×(1)2=12，当且仅当 x =2y =1，即 x =1，y =12 时，取等号，故 xy 的最大值是 12． 12. 7【解析】因为 x >54，所以 4x −5>0．y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7．当且仅当 4x −5=14x−5，即 x =32时等号成立．法二：因为 x >54，令 yʹ=4−4(4x−5)2=0，得 x =1 或 x =32，当 54<x <32 时，yʹ<0，函数单调递减；当 x >32 时，yʹ>0，函数单调递增．所以当 x =32时函数取得最大值为：4×32+14×32−5=7．13. 3300【解析】设利润为 y 元，租金定为 3000+50x (0≤x ≤70,x ∈N ) 元．则 y =(3000+50x )(70−x )−100(70−x )=(2900+50x )(70−x )=50(58+x )(70−x )≤50(58+x+70−x 2)2，当且仅当 58+x =70−x ，即 x =6 时，等号成立，故每月租金定为 3000+300=3300（元）时，公司得最大利润．14. 0<x <1⇒√x >0，√1−x >0⇒√x ⋅√1−x ≤x+(1−x )2=12，即 √x (1−x )≤12（当且仅当 x =1−x ，即 x =12时，等号成立），所以当 x =12 时，√x (1−x ) 的最大值为 12．第三部分 15.x >−1⇒x +1>0⇒x +4x +1=(x +1)+4x +1−1≥2√(x +1)⋅4x +1−1=3(当且仅当x +1=4x +1,即x =1时,等号成立⇒当x =1时,x +4x +1的最小值为3.16. ba +ab≥2c b +bc ≥2a c +ca ≥2} ⇒b+c a +c+ab +a+bc ≥6（当且仅当 a =b =c 时，等号成立）．17. 这个证明过程不正确．过程中b 2+a 2ab≥2ab ab这一步不成立，这是因为 ab 的正负没有确定．18. 设利用旧墙的矩形厂房的一面边长为 x m ，则另一面边长为 126xm ．若利用旧墙的一段为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 x ⋅a 4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 (14−x )⋅a2 元，其余的建新墙的费用为 (2x +2×126x−14)⋅a 元，总费用为y =a 4x +(14−x )a 2+a (2x +252x−14)=a (7x 4+252x −7)=7a (x4+36x−1)(0<x <14).因为 x 4+36x≥2√x4⋅36x=6，0<x <14，所以当且仅当 x =12 时，y min =7a (6−1)=35a （元）．若利用旧墙为矩形厂房的一面边长，则修旧墙的费用为 a4⋅14=7a2元，建新墙的费用为 (2x +252x−14)⋅a 元，总费用为 y=72a +a (2x +252x −14)=72a +2a (x +126x−7)(x ≥14).设14≤x1<x2，则x1+126x1−(x2+126x2)=(x1−x2)(1−126x1x2)<0(x1x2>126),所以m=x+126x 在[14,+∞)上为增函数，所以当x=14时，y min=72a+2a(14+12614−7)=35.5a（元）．综上可知，采用方案1，即利用旧墙12m为矩形厂房的一面边长，可使建墙费用最省．。

高中数学平均值不等式练习题含答案

高中数学平均值不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a>0，若y=3a2+a+9a3，则下列说法正确的序号是（）①y有最小值9√3；②y有最小值9；③y有最大值9．A.①B.②C.③D.以上都不正确2. 若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A.18B.6C.2√3D.2√343. 若n>0，则n+32n2的最小值为（）A.2B.4C.6D.84. 已知x，y∈R+，且满足x2y=32，则x+y的最小值为（）A.1B.2C.6D.45. “a>b>0”是“ab<a2+b22”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数f(x)=5x+20x2(x>0)的最小值为（）A.10B.15C.20D.257. 已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac=1，则abc的最大值为（）A.√39B.√33C.1D.√38. 在△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+2b2=3c2，a=6sin A，则c的最大值为( )A.2√7B.√7C.3D.49. 定义函数y=f(x)，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C．已知f(x)=lg x，x∈[10, 100]，则函数f(x)=lg x在x∈[10, 100]上的均值为（）．A.3 2B.34C.710D.1010. 设a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，则1a +1b+1c的最小值为（）A.9B.12C.6+2√2D.6+4√211. 已知函数f(x)的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得√f(x1)⋅f(x2)=M成立，则称函数f(x)在D上的几何平均数为M．已知函数g(x)= 3x+1(x∈[0, 1])，则g(x)在区间[0, 1]上的几何平均数为________．12. 若a>−2，则a+16a+2的最小值为________.13. 设x>0，则函数y=2x+1x2+3的最小值是________．14. A（不等式选做题）若x>0，y>0且x+2y=1，则1x +1y的取值范围是________．B（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于________．C（坐标系与参数方程选做题）曲线{x=2+cosθy=−1+sinθ（θ为参数）上一点P，过点A(−2, 0) B(0, 2)的直线记为L，则点P到直线L距离的最小值为________．15. 若正数a，b，c满足a+b+c=1，则13a+2+13b+2+13c+2的最小值为________．16. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点（a, f(a)），（b, −f(b)）的直线与x轴的交点为(c, 0)，则称c为关于函数f(x)的平均数，记为M f(a, b)，例如，当f(x)=1(x>0)时，可得M f(a, b)=c=a+b2，即M f(a, b)为a，b的算术平均数．（1）当f(x)=________(x>0)时，M f(a, b)为a，b的几何平均数；（2）当f(x)=________(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）17. 若x2+y2=2，设z=1x2+2yx，则z的最小值为________．18. 函数f(x)=3x+12x2(x>0)的最小值为________．19. 已知实数a1，a2，a3不全为零，(I)则a1a2+2a2a3a12+a22+a32的最大值为________；(II)设正数x，y满足x+y=2，令xa1a2+ya2a3a12+a22+a32的最大值为M，则M的最小值为________．20. 设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则1x+y +9(x+y)y+z的最小值为________．21. 求证：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)≥9．22. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2c−ba =cos Bcos A.(1)求角A的大小；(2)若a=1，求b+c的最大值．23. 若a>0，b>0，且1a +1b=√ab．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．24. 设a，b，c为正实数，求证：a3+b3+c3+1abc≥2√3．25. （1）已知矩阵M =[2a21]，其中a ∈R ，若点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(−4, 0)(I)求实数a 的值；(II)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 25.（2）在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2+y 2−8x cos θ−6y sin θ+7cos 2θ+8=0(a ∈R)的圆心为P(x 0, y 0)，求2x 0−y 0的取值范围． 25.（3）已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c +2−2m =0，a 2+14b 2+19c 2+m −1=0． ①求证：a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214；②求实数m 的取值范围．26. 已知函数f (x )=|x −1|+|x +3|． (1)解不等式：f (x )≤6；(2)若a ，b ，c 均为正数，且a +b +c =f (x )min ，证明：(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.27. 已知x 2+y 2=2，且|x|≠|y|，求1(x+y)2+1(x−y)2的最小值．28. 设a >0，b >0，已知函数f(x)=ax+b x+1．(Ⅰ)当a ≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当x >0时，称f(x)为a 、b 关于x 的加权平均数．(i)判断f(1)，f(√ba )，f(ba )是否成等比数列，并证明f(ba )≤f(√ba )； (ii)a 、b 的几何平均数记为G ．称2ab a+b为a 、b 的调和平均数，记为H ．若H ≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．29. 已知x >0，y >0，z >0，且xyz =1，求证：x 3+y 3+z 3≥xy +yz +xz ．30. 已知关于x 的不等式|x −m|+2x ≤0的解集为(−∞,−1]，其中m >0． (1)求m 的值；(2)若正数a，b，c满足a+b+c=m，求证：b2a +c2b+a2c≥1．31. 已知P为单位圆上一动点，A(0, 2)，B(0, −1)，求|AP|×|BP|2的最大值．32. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B=b sin B+C2.(1)求A；(2)若b+c=2，求a取最小值时△ABC的面积S.33. 已知a，b∈R，且a>b，求证：2a+1a2−2ab+b2≥2b+3．34. 已知a，b，c均为正数，且满足√a2b2c23+ab+bc+ca=4.证明：(1)ab+bc+ca≥3；(2)a+b+c≥3．35. 已知函数f(x)=m−|x+2|，m∈R，且f(x−2)≥0的解集为[−3, 3].(1)求m的值；(2)若a，b，c都是正实数，且a+2b+3c=m，求证：1a +12b+13c≥3.36. 已知函数f(x)=|2x−2|+|x+1|．(1)求不等式f(x)≤4的解集；(2)若函数y=f(x)+|x+1|的最小值为k，求km+2m2(m>0)的最小值.37. 选修4−5：不等式选讲．若a，b，c均为正数，且a+b+c=6，√2a+√2b+1+√2c+3≤|x−2|+|x−m|对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．38. 写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）39. 选做题：不等式选讲．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a+b2−√aba+b+c3−√abc3≤32，并指出等号成立的条件．40. （1）选修4−4：坐标系与参数方程已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2−2√2ρcos(θ−π4)=2．(I)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 40.（2）选修4−5：不等式选讲，设x+2y+3z=3，求4x2+5y2+6z2的最小值．参考答案与试题解析高中数学平均值不等式练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】平均值不等式【解析】根据函数的特点结合基本不等式进行判断即可．【解答】解：当a=1时，y=3+1+9=13，故；①y有最小值9√3错误．③y有最大值9错误．当a>0，若y=3a2+a+9a3≥3√3a2⋅a⋅9a33=3⋅√273=3×3=9，当且仅当3a2=a=9a3时取等号，此时方程无解，即y=3a2+a+9a3>9，故②y有最小值9，错误，故选：D．2.【答案】B【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】3a+3b≥2√3a⋅3b=2√3a+b=6，当且仅当a=b=1时取等号．故3a+3b的最小值是6；点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件．3.【答案】C【考点】平均值不等式【解析】利用题设中的等式，把n+32n2的表达式转化成n2+n2+32n2后，利用平均值不等式求得最小值．【解答】解：∵n+32n =n2+n2+32n∴n+32n2=n2+n2+32n2≥3√n2×n2×32n23=6（当且仅当n=4时等号成立）故选C【答案】 C【考点】平均值不等式【解析】由x 2y =32，可得y =32x 2，又x ，y ∈R +，利用均值不等式可得x +y =x +32x 2=x2+x2+32x 2≥3√x 2⋅x 2⋅32x 23即可得出．【解答】解：∵ x 2y =32，∴ y =32x 2，又∵ x ，y ∈R +，∴ x +y =x +32x =x 2+x 2+32x ≥3√x 2⋅x 2⋅32x 3=6，当且仅当x =2√23时取等号．∴ x +y 的最小值为6．故选C ． 5. 【答案】 A【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】a 2+b 2≥2ab 中参数的取值不只是指可以取非负数．均值不等式满足a+b 2≥√ab,(a >0,b >0)．点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件． 6.【答案】 B【考点】平均值不等式【解析】函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2，利用基本不等式可得结论．【解答】解：函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2≥3√2.5x ⋅2.5x ⋅20x 23=15，当且仅当2.5x =20x 2，即x =2时，函数f(x)=5x +20x 2(x >0)的最小值为15．故选：B ． 7. 【答案】【考点】平均值不等式【解析】由题意可得13=ab+bc+ca3≥√(abc)23(abc)2≤127，由此求得abc 的最大值．【解答】解：∵ a ，b ，c 是正实数，且ab +bc +ac =1， ∴ 13=ab+bc+ca3≥√(abc)23，∴ (abc)2≤127， ∴ abc ≤√39，即 abc 的最大值为 √39，故选A ．8. 【答案】 A 【考点】余弦定理正弦定理平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ a 2+2b 2=3c 2，又c 2=a 2+b 2−2ab cos C ，∴ a 2+b 2−2ab cos C =13a 2+23b 2，即2ab cos C =23a 2+13b 2≥2√23ab ，∴ cos C ≥√23.又sin 2C =1−cos 2C ≤1−29=79，∴ 0<sin C ≤√73，∵csin C=a sin A=6，∴ c =6sin C ≤2√7.故选A . 9.【答案】 A【考点】平均值不等式【解析】根据定义，函数y =f(x)，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f(x 1)+f(x 2)2=C ，则称函数f(x)在D 上的均值为C ．充分利用题中给出的常数10，100．当x 1∈【10，100】时，选定x 2=1000x 1∈【10，100】容易算出．【解答】解：根据定义，函数y=f(x)，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C．令x1⋅x2=10×100=1000当x1∈【10，100】时，选定x2=1000x1∈【10，100】可得：C=lg(x1x2)2=32故选A．10.【答案】D【考点】平均值不等式【解析】先利用a+2b+c=1与1a +1b+1c相乘，然后展开利用均值不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解答】解：∵a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，∴1a +1b+1c=(a+2b+c)(1a+1b+1c)=4+2ba +ab+ca+ac+cb+2bc≥4+2 √2+2+2√2=6+4√2，当且仅当a=c=√2b时等号成立．∴1a +1b+1c的最小值是6+4√2．故选D．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】平均值不等式【解析】我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g(x)=x，D=[0, 1]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数g(x)在D上的几何平均数为C的定义，结合g(x)=3x+1在区间[0, 1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C=√1×4=2，故答案为：2．12.【答案】6【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：a+16a+2=(a+2)+16a+2−2≥2√(a+2)×16a+2−2=6(当且仅当a=2时，等号成立)故答案为：6.13.【答案】6【考点】平均值不等式基本不等式【解析】首先对函数式进行整理，把2x变成x+x，这样凑成符合均值不等式的形式，利用均值不等式写出最小值，且等号能够成立．【解答】解：∵x>0，∴函数y=2x+1x2+3=x+x+1x2+3≥3√x⋅x⋅1x23+3=6当且仅当x=1x2，即x=1时，等号成立．故答案为614.【答案】[3+2√2, +∞),3,5√22−1【考点】平均值不等式点到直线的距离公式与圆有关的比例线段参数方程与普通方程的互化【解析】A根据x>0，y>0且x+2y=1，则1x +1y=(1x+1y)(x+2y)，然后化简整理，最后利用均值不等式即可求出所求．B根据直角三角形中的射影定理可知CD2=AD⋅BD，求出AD，从而求出DO；C先根据sin2θ+cos2θ=1将参数θ消去，得到曲线方程，再求出直线L的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可求出所求．【解答】解：A、∵x>0，y>0且x+2y=1，∴(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2∴ 1x +1y 的取值范围是[3+2√2, +∞)故答案为：[3+2√2, +∞)B 、∵ ∠ACB =90∘，CD ⊥AB ∴ CD 2=AD ⋅BD 即16=AD ×8 ∴ AD =2，则AB =10，OB =5，DO =8−5=3 故答案为：3C 、∵ {x =2+cos θy =−1+sin θ（θ为参数）∴ (x −2)2+(y +1)2=1过点A(−2, 0) B(0, 2)的直线记为L 的方程为x −y +2=0 圆心到直线的距离为d =√2=5√22∴ 点P 到直线L 距离的最小值为 5√22−1故答案为：5√22−115.【答案】 1【考点】平均值不等式【解析】根据a +b +c =1，得到(3a +2)+(3b +2)+(3C +2)=9，结合柯西不等式证出9(13a+2+13b+2+13c+2)≥9，从而13a+2+13b+2+13c+2≥1，当且仅当a =b =c =13时等号成立，由此可得13a+2+13b+2+13c+2的最小值．【解答】解：∵ a +b +c =1，∴ (3a +2)+(3b +2)+(3C +2)=3(a +b +c)+6=9 ∵ [(3a +2)+(3b +2)+(3C +2)](13a+2+13b+2+13c+2) ≥(√3a +2√3a +2√3b +2√3b +2√3c +2√3c +2)2=(1+1+1)2=9∴ 9(13a+2+13b+2+13c+2)≥9，得13a+2+13b+2+13c+2≥1当且仅当3a +2=3b +2=3C +2，即a =b =c =13时，13a+2+13b+2+13c+2的最小值为1故答案为：1 16. 【答案】 √x ．（2）设f(x)=x ，(x >0)，则经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程为y−a −b−a =x−ab−a ，令y =0，求得x =c =2aba+b ，∴当f(x)=x(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b，故答案为：x．【考点】平均值不等式【解析】（1）设f(x)=√x，(x>0)，在经过点(a, √a)、(b, −√b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=√ab，从而得出结论．（2）设f(x)=x，(x>0)，在经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=2aba+b，从而得出结论．【解答】解：（1）设f(x)=√x，(x>0)，则经过点(a, √a)、(b, −√b)的直线方程为√a−√b−√a=x−ab−a，令y=0，求得x=c=√ab，∴当f(x)=√x，(x>0)时，M f(a, b)为a，b的几何平均数√ab，（2）设f(x)=x，(x>0)，则经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程为y−a−b−a =x−ab−a，令y=0，求得x=c=2aba+b，∴当f(x)=x(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b，17.【答案】−3 2【考点】平均值不等式【解析】设x=√2cosθ，y=√2sinθ，则z=1x2+2yx=12cos2θ√2sin√2cosθ，化简为12(tanθ+2)2−32，再利用二次函数的性质求得函数z的最小值．【解答】解：∵x2+y2=2，∴设x=√2cosθ，y=√2sinθ，z=1x2+2yx=12cos2θ√2sin√2cosθ=1+4sinθcosθ2cos2θ=sin2θ+cos2θ+4sinθcosθ2cos2θ=12tan2θ+2tanθ+12=12(tanθ+2)2−32，故当tanθ=−2时，函数z取得最小值为−32，故答案为：−32．18.【答案】 9【考点】平均值不等式【解析】将函数式的两项拆成3项，再利用平均值不等式，即可得到当且仅当3x2=12x 2时即x =2时，函数的最小值为9．【解答】解：∵ x >0 ∴ 3x +12x =3x 2+3x 2+12x ≥3√3x 2⋅3x 2⋅12x 3=9当且仅当3x2=12x 2时，即x =2时，等号成立由此可得，函数f(x)=3x +12x 2(x >0)的最小值为9 故选：9 19. 【答案】√52,√22【考点】平均值不等式【解析】观察分式的分子和分母的代数式的不同，进行拆分a 22项，构造均值不等式求最值．【解答】解：由题意知： (1)a 1a 2+2a 2a 3a 12+a 22+a 32=a 1a 2+2a 2a 3a 12+15a 22+45a 22+a 32 ≤a a +2a a 2√12225+2√22325=a 1a 2+2a 2a 32√51a 2+2a 2a 3)=√52(2)xa 1a 2+ya 2a 3a 12+a 22+a 32=xa 1a 2+ya 2a 3a 12+x 2x 2+y 2a 22+y 2x 2+y 2a 22+a 32≤xa 1a 2+ya 2a 3xa 1a 222+ya 2a 322=√x 2+y 22 ∴ M =√x 2+y 22即M≥√22(x+y2)=√22∴M的最小值为√22．故(1)√52(2)√2220.【答案】7【考点】平均值不等式【解析】把式子1x+y +9(x+y)y+z中的1换成已知条件(x+y)+(y+z)=1，化简后再利用基本不等式即可．【解答】解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，∴1x+y +9(x+y)y+z=x+y+y+zx+y+9(x+y)y+z=1+y+zx+y+9(x+y)y+z≥1+2√y+zx+y×9(x+y)y+z=7，当且仅当y+zx+y =9(x+y)y+z，x+y+y+z=1，即x+y=14，y+z=34时，取等号．∴则1x+y +9(x+y)y+z的最小值为7．故答案为7．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】证明：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba +ab+ca+ac+cb+bc．由均值不等式得ba +ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，故有3+ba +ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a、b、c全部相等时，等号成立．故(a+b+c)(1a +1b+1c)≥9成立．【考点】平均值不等式【解析】不等式的左边即3+ba +ab+ca+ac+cb+bc，由均值不等式证得此式大于或等于9．【解答】证明：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba +ab +ca +ac +cb +bc ．由均值不等式得 ba+ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，故有 3+b a+a b+c a+a c+c b+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a 、b 、c 全部相等时，等号成立．故 (a +b +c)(1a +1b +1c )≥9 成立． 22.【答案】解：(1)(2c −b )cos A =a cos B,a sin A=b sin B=c sin C，(2sin C −sin B )cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A =sin (A +B )=sin C ，在△ABC sin C ≠0， cos A =12，∠A =π3.(2)由余弦定理得：1=b 2+c 2−bc ,又b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤1，当且仅当b =c 时取到等号成立，所以1+3bc =b 2+c 2+2bc =(b +c )2,当bc =1时,(b +c )2取最大值，即b +c 的最大值为2. 【考点】正弦定理余弦定理平均值不等式【解析】由正弦定理化简已知等式可得2sinCcosA =sinC ，又sinC ≠0，即可得cosA =12，即可求得A 的大小．由余弦定理及不等式的解法得1=b 2+c 2−bc ，化简得bc ≤1从而得解．【解答】解：(1)(2c −b )cos A =a cos B,a sin A=b sin B=c sin C，(2sin C −sin B )cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A =sin (A +B )=sin C ，在△ABC sin C ≠0， cos A =12,∠A =π3.(2)由余弦定理得：1=b 2+c 2−bc , 又b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤1，所以1+3bc =b 2+c 2+2bc =(b +c )2,当bc =1时,(b +c )2取最大值，即b +c 的最大值为2. 23. 【答案】（1）∵ a >0，b >0，且1a+1b =√ab ，∴ √ab =1a +1b ≥2√1ab ，∴ ab ≥2，当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵ a 3+b 3≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴ a 3+b 3的最小值为4√2．（2）∵ 2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号．而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3>6，故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立．【考点】平均值不等式【解析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab ≥2，再利用基本不等式求得a 3+b 3的最小值． (Ⅱ)根据 ab ≥2及基本不等式求的2a +3b >8，从而可得不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6．【解答】（1）∵ a >0，b >0，且1a+1b =√ab ，∴ √ab =1a+1b≥2√1ab，∴ ab ≥2，当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵ a 3+b 3≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴ a 3+b 3的最小值为4√2．（2）∵ 2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号．而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3>6，故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立． 24. 【答案】证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，当且仅当a =b =c 时，等号成立．…又3abc +1abc ≥2√3，当且仅当3abc =1abc 时，等号成立．所以，a 3+b 3+c 3+1abc≥2√3．…【考点】平均值不等式【解析】由条件可得a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，再由3abc +1abc ≥2=2√3，从而得到a 3+b 3+c 3+1abc ≥2√3．【解答】证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，当且仅当a =b =c 时，等号成立．…又3abc +1abc ≥2√3，当且仅当3abc =1abc 时，等号成立．所以，a 3+b 3+c 3+1abc≥2√3．…25. 【答案】解：(1)(I)由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．(II)由(I)知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为 f(λ)=[λ−232λ−1]=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4．当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．（2）将圆的方程整理得：(x −4cos θ)2+(y −3sin θ)2=1 由题设得x 0=4cos θ，y 0=3sin θ(θ为参数，θ∈R)．所以2x 0−y 0=8cos θ−3sin θ=√73cos (θ+φ)，所以−√73≤2x 0−y 0≤√73．（3）：①根据柯西不等式可得(a 2+b 24+c 29)(1+22+32)≥(a ×1+b 2×2+c3×3)2=(a +b +c)2 ∴ a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214．②∵ a +b +c +2−2m =0，a 2+b 24+c 29+m −1=0∴ 1−m ≥(2m−2)214解得：−52≤m ≤1．【考点】特征值、特征向量的应用圆的参数方程平均值不等式【解析】(1)(I)点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(−4, 0)，利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a 的值；(II)先求矩阵M 的特征多项式f(λ)，令f(λ)=0，从而可得矩阵M 的特征值，进而可求特征向量．（2）先将圆的一般式方程转化成圆的标准方程，从而求出圆心的参数方程，利用参数方程将2x +y 表示成8cos θ−3sin θ，然后利用辅助角公式求出8cos θ−3sin θ的取值范围即可；（3）①根据柯西不等式直接证明即可；②将①中的a 、b 、c 用等式a +b +c +2−2m =0，a 2+14b 2+19c 2+m −1=0．代入，消去a 、b 、c 得到关于m 的不等关系，解之即可求出m 的范围．【解答】解：(1)(I)由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．(II)由(I)知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为 f(λ)=[λ−232λ−1]=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4．当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．（2）将圆的方程整理得：(x −4cos θ)2+(y −3sin θ)2=1 由题设得x 0=4cos θ，y 0=3sin θ(θ为参数，θ∈R)．所以2x 0−y 0=8cos θ−3sin θ=√73cos (θ+φ)，所以−√73≤2x 0−y 0≤√73．（3）：①根据柯西不等式可得(a 2+b 24+c 29)(1+22+32)≥(a ×1+b 2×2+c3×3)2=(a +b +c)2 ∴ a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214．②∵ a +b +c +2−2m =0，a 2+b 24+c 29+m −1=0∴ 1−m ≥(2m−2)214解得：−52≤m ≤1． 26. 【答案】(1)解：f(x)={−2x −2,x <−3，4,−3≤x ≤1,2x +2,x >1,当x <−3时，−2x −2≤6，即x ≥−4，解得−4≤x <−3；当−3≤x ≤1时，4≤6，满足题意；当x >1时，2x +2≤6，即x ≤2，解得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤6的解集为{x|−4≤x ≤2}. (2)证明：由(1)知f(x)min =4， ∴ a +b +c =4，∴ (a +1)+(b +1)+(c +1)=7， ∴ [(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，∴ 49=(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+ 2(b +1)(c +1)≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]，当且仅当a =b =c =43时等号成立，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明平均值不等式【解析】（1）答案未提供解析．【解答】(1)解：f(x)={−2x −2,x <−3，4,−3≤x ≤1,2x +2,x >1,当x <−3时，−2x −2≤6，即x ≥−4，解得−4≤x <−3；当−3≤x ≤1时，4≤6，满足题意；当x >1时，2x +2≤6，即x ≤2，解得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤6的解集为{x|−4≤x ≤2}. (2)证明：由(1)知f(x)min =4， ∴ a +b +c =4，∴ (a +1)+(b +1)+(c +1)=7， ∴ [(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，∴ 49=(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+ 2(b +1)(c +1)≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]，当且仅当a =b =c =43时等号成立，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.27.【答案】解：∵ x 2+y 2=2，∴ (x +y)2+(x −y)2=4．∵ ((x +y)2+(x −y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴ 1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x =±√2，y =0，或x =0,y =±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．平均值不等式【解析】由题意可得(x+y)2+(x−y)2=4，再根据((x+y)2+(x−y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，求得1(x+y)+1(x−y)的最小值．【解答】解：∵x2+y2=2，∴(x+y)2+(x−y)2=4．∵((x+y)2+(x−y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x=±√2，y=0，或x=0,y=±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．28.【答案】（1）函数的定义域为{x|x≠−1}，f′(x)=a−b(x+1)2∴当a>b>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递增；当0<a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)=a+b2，f(√ba)=√ab，f(ba)=2aba+b．∵(√ab)2=a+b2×2aba+b∴f(1)，f(√ba )，f(ba)成等比数列，∵a>0，b>0，∴2aba+b≤√ab∴f(ba )≤f(√ba)；(ii)由(i)知f(ba )=2aba+b，f(√ba)=√ab，故由H≤f(x)≤G，得f(ba )≤f(x)≤f(√ba)．当a＝b时，f(ba )＝f(x)＝f(√ba)＝f(1)＝a，此时x的取值范围是(0, +∞)，当a>b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，这时有ba ≤x≤√ba，即x的取值范围为b a ≤x≤√ba；当a<b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，这时有√ba ≤x≤ba，即x的取值范围为√b a ≤x≤ba．【考点】利用导数研究函数的单调性等比数列的性质平均值不等式(Ⅰ)确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f(x)的单调性；(Ⅱ)(i)利用函数解析式，求出f(1)，f(√ba )，f(ba)，根据等比数列的定义，即可得到结论；(ii)利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．【解答】（1）函数的定义域为{x|x≠−1}，f′(x)=a−b(x+1)∴当a>b>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递增；当0<a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)=a+b2，f(√ba)=√ab，f(ba)=2aba+b．∵(√ab)2=a+b2×2aba+b∴f(1)，f(√ba )，f(ba)成等比数列，∵a>0，b>0，∴2aba+b≤√ab∴f(ba )≤f(√ba)；(ii)由(i)知f(ba )=2aba+b，f(√ba)=√ab，故由H≤f(x)≤G，得f(ba )≤f(x)≤f(√ba)．当a＝b时，f(ba )＝f(x)＝f(√ba)＝f(1)＝a，此时x的取值范围是(0, +∞)，当a>b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，这时有ba ≤x≤√ba，即x的取值范围为b a ≤x≤√ba；当a<b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，这时有√ba ≤x≤ba，即x的取值范围为√b a ≤x≤ba．29.【答案】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz，又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz．【考点】平均值不等式【解析】根据算术平均数不小于其几何平均数可得：x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，相加得出结论．【解答】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz，又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz．30.【答案】(1)解：|x−m|+2x≤0，即{x≥m，x−m+2x≤0，或{x<m，m−x+2x≤0，化简得：{x≥m，x≤m3，或{x<m，x≤−m，由于m>0，所以不等式组的解集为(−∞,−m].由题设可得−m=−1，即m=1. (2)证明：由(1)可知，a+b+c=1，又由均值不等式有b 2a +a≥2b，c2b+b≥2c，a2c+c≥2a，三式相加可得：b 2a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a，所以b 2a +c2b+a2c≥a+b+c=1.【考点】绝对值不等式平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：|x−m|+2x≤0，即{x≥m，x−m+2x≤0，或{x<m，m−x+2x≤0，化简得：{x≥m，x≤m3，或{x<m，x≤−m，由于m>0，所以不等式组的解集为(−∞,−m].由题设可得−m=−1，即m=1. (2)证明：由(1)可知，a+b+c=1，又由均值不等式有b 2a +a≥2b，c2b+b≥2c，a2c+c≥2a，三式相加可得：b 2a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a，所以b 2a +c2b+a2c≥a+b+c=1.31.【答案】设P(cosα, sinα)，则S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式可得：S≤8×√(1+5 43)3=3√3，当且仅当sinα=12时，等号成立．因此|AP|×|BP|2的最大值为3√3．【考点】平均值不等式两点间的距离公式【解析】设P(cosα, sinα)，S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式即可得出．【解答】设P(cosα, sinα)，则S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式可得：S≤8×√(1+5 43)3=3√3，当且仅当sinα=12时，等号成立．因此|AP|×|BP|2的最大值为3√3．32.【答案】解：(1)因为a sin B=b sin B+C2，所以a sin B=b sin(π2−A2)，即a sin B=b cos A2，由正弦定理得sin A sin B=sin B cos A2，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，所以sin A=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，由于A为△ABC的内角，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，又因为A∈(0,π)，所以A2=π6，A=π3.(2)在△ABC中由余弦定理知：a2=b2+c2−2bc cos A=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3(b+c2)2=1，所以a≥1，当且仅当b=c=1时等号成立，此时S=12bc sin A=√34.【考点】二倍角的正弦公式诱导公式三角形的面积公式平均值不等式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为a sin B=b sin B+C2，所以a sin B=b sin(π2−A2)，即a sin B=b cos A2，由正弦定理得sin A sin B=sin B cos A2，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，所以sin A=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，由于A为△ABC的内角，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，又因为A∈(0,π)，所以A2=π6，A =π3.(2)在△ABC 中由余弦定理知：a 2=b 2+c 2−2bc cos A =(b +c )2−3bc ≥(b +c )2−3(b+c 2)2=1，所以a ≥1，当且仅当b =c =1时等号成立，此时S =12bc sin A =√34. 33.【答案】解：∵ a ，b ∈R ，且a >b ， ∴ 2a +1a 2−2ab+b 2−2b=2(a −b)+1(a −b)2=(a −b)+(a −b)+1(a −b)2≥3√(a −b)⋅(a −b)⋅1(a−b)23=3，当且仅当a −b =1时取等号，∴ 2a +1a −2ab+b ≥2b +3．【考点】平均值不等式【解析】根据均值不等式即可求出【解答】解：∵ a ，b ∈R ，且a >b ， ∴ 2a +1a 2−2ab+b 2−2b =2(a −b)+1(a −b)2=(a −b)+(a −b)+1(a −b)2≥3√(a −b)⋅(a −b)⋅1(a−b)23=3，当且仅当a −b =1时取等号，∴ 2a +1a 2−2ab+b 2≥2b +3． 34. 【答案】证明：(1)由√a 2b 2c 23=√ab ×bc ×ca 3≤ab+bc+ca3，有ab +bc +ca +ab+bc+ca3≥4，得ab +bc +ca ≥3（当且仅当a =b =c =1时取等号）. (2)由a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号)， b 2+c 2≥2bc (当且仅当b =c 时取等号)， c 2+a 2≥2ca (当且仅当c =a 时取等号)，有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时时取等号)，(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3(ab +bc +ca)≥9 (当且仅当a =b =c =1时取等号)，即a +b +c ≥3. 【考点】不等式的证明平均值不等式基本不等式【解析】【解答】证明：(1)由√a 2b 2c 23=√ab ×bc ×ca 3≤ab+bc+ca3，有ab +bc +ca +ab+bc+ca3≥4，得ab +bc +ca ≥3（当且仅当a =b =c =1时取等号）. (2)由a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号)，b 2+c 2≥2bc (当且仅当b =c 时取等号)， c 2+a 2≥2ca (当且仅当c =a 时取等号)，有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时时取等号)， (a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3(ab +bc +ca)≥9 (当且仅当a =b =c =1时取等号)，即a +b +c ≥3. 35.【答案】(1)解：因为f(x)=m −|x +2|，所以f(x −2)≥0等价于|x|≤m . 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|−m ≤x ≤m}，又f(x −2)≥0的解集为[−3,3]，故m =3.(2)由(1)知a +2b +3c =3，又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c )=13(3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b ) =13[3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)]≥13(3+2+2+2)=3，当且仅当a =2b =3c 时取等号，即1a +12b+13c≥3.【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：因为f(x)=m −|x +2|，所以f(x −2)≥0等价于|x|≤m . 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|−m ≤x ≤m}，又f(x −2)≥0的解集为[−3,3]，故m =3.(2)由(1)知a +2b +3c =3，又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得1a +12b+13c=13(a +2b +3c)(1a+12b+13c)=13(3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b ) =13[3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)]≥13(3+2+2+2)=3，当且仅当a =2b =3c 时取等号，即1a +12b +13c ≥3. 36.【答案】解∶(1)①当x ≤−1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4 可化为(2−2x )−(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x =−1； ②当−1<x <1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为(2−2x )+(x +1)≤4，得x ≥−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为 (2x −2)+(x +1)≤4，得x ≤53，故有1≤x <53 .综上，不等式f (x )≤4的解集为[−1,53].(2)因为y =f (x )+|x +1|=2|x −1|+2|x +1|=2(|x −1|+|x +1|)≥2|x −1−(x +1)|=4，所以k =4，所以km +2m 2=4m +2m 2=2m +2m +2m 2≥3√2m ⋅2m ⋅2m 23=6，当且仅当2m =2m 2，即m =1时“=”成立，所以km +2m 2的最小值为6. 【考点】绝对值不等式的解法与证明平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】解∶(1)①当x ≤−1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4 可化为(2−2x )−(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x =−1； ②当−1<x <1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为(2−2x )+(x +1)≤4，得x ≥−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为 (2x −2)+(x +1)≤4，得x ≤53，故有1≤x <53 .综上，不等式f (x )≤4的解集为[−1,53].(2)因为y =f (x )+|x +1|=2|x −1|+2|x +1|=2(|x −1|+|x +1|)≥2|x −1−(x +1)|=4，所以k =4，所以km +2m 2=4m +2m 2=2m +2m +2m ≥3√2m ⋅2m ⋅2m 3=6，当且仅当2m =2m 2，即m =1时“=”成立，所以km +2m 2的最小值为6. 37. 【答案】解：(√2a +√1+2b +√3+2c)2=(1×√2a +1×√2b +1+1×√2c +3)2≤(12+12+12)(2a +2b +1+2c +3)=3(2×6+4)=48．∴ √2a +√1+2b +√3+2c ≤4√3．当且仅当√2a =√2b +1=√2c +3即2a =2b +1=2c +3时等号成立．又a +b +c =6，∴ a =83，b =136，c =76时，√2a +√2b +1+√2c +3有最大值4√3．∴ |x −2|+|x −m|≥4√3．对任意的x ∈R 恒成立． ∵ |x −2|+|x −m|≥|(x −2)−(x −m)|=|m −2|， ∴ |m −2|≥4√3，解得m ≤2−4√3．或m ≥2+4√3．【考点】平均值不等式【解析】利用平均值不等式求得√2a +√2b +1+√2c +3≤4√3，由绝对值的性质可得|x −2|+|x −m|≥|m −2|，结合题意可得|m −2|≥4√3，由此求得m 的范围．【解答】解：(√2a +√1+2b +√3+2c)2=(1×√2a +1×√2b +1+1×√2c +3)2≤(12+12+12)(2a +2b +1+2c +3)=3(2×6+4)=48．∴ √2a +√1+2b +√3+2c ≤4√3．当且仅当√2a =√2b +1=√2c +3即2a =2b +1=2c +3时等号成立．又a +b +c =6，∴ a =83，b =136，c =76时，√2a +√2b +1+√2c +3有最大值4√3．∴ |x −2|+|x −m|≥4√3．对任意的x ∈R 恒成立． ∵ |x −2|+|x −m|≥|(x −2)−(x −m)|=|m −2|， ∴ |m −2|≥4√3，解得m ≤2−4√3．或m ≥2+4√3． 38. 【答案】若a >0，b >0，c >0，则a+b+c 3≥√abc 3（当且仅当a ＝b ＝c 时取等号）．证明：令x =√a 3，y =√b 3，z =√c 3，则xyz =√abc 3，∴ x 3+y 3+z 3−3xyz ＝(x +y)3−3x 2y −3xy 2+z 3−3xyz ＝(x +y)3+z 3−3x 2y −3xy 2−3xyz＝(x +y +z)[(x +y)2−z(x +y)+z 2]−3xy(x +y +z) ＝(x +y +z)(x 2+y 2+z 2+2xy −xz −yz −3xy) =12(x +y +z)(2x 2+2y 2+2z 2−2xy −2xz −2yz) =12(x +y +z)[(x −y)2+(y −z)2+(x −z)2]≥0，∴ x 3+y 3+z 3≥3xyz ，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．即a +b +c ≥3√abc 3，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴a+b+c 3≥√abc 3．【考点】平均值不等式【解析】类比二元均值不等式得出三元均值不等式，利用作差法证明．【解答】若a >0，b >0，c >0，则a+b+c 3≥√abc 3（当且仅当a ＝b ＝c 时取等号）．证明：令x =√a 3，y =√b 3，z =√c 3，则xyz =√abc 3，∴ x 3+y 3+z 3−3xyz ＝(x +y)3−3x 2y −3xy 2+z 3−3xyz ＝(x +y)3+z 3−3x 2y −3xy 2−3xyz＝(x +y +z)[(x +y)2−z(x +y)+z 2]−3xy(x +y +z) ＝(x +y +z)(x 2+y 2+z 2+2xy −xz −yz −3xy) =1(x +y +z)(2x 2+2y 2+2z 2−2xy −2xz −2yz)。

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