C有限差分法1
二阶非线性双曲型方程的近似解法
二阶非线性双曲型方程的近似解法二阶非线性双曲型方程是一类形式为$$u_{tt}-c^2u_{xx}+f(u,u_t,u_x)=0$$的偏微分方程，其中$c$为常数，$f(u,u_t,u_x)$为非线性项。
这类方程通常出现在波动方程、振动方程、输运方程等领域，解析解往往比较难以获得。
因此，我们需要求取它的数值解。
求解二阶非线性双曲型方程的近似解可以利用有限差分法、有限元法或者其他数值方法。
以下我们分别介绍这些方法。
1.有限差分法：有限差分法是一种基于差分逼近的数值求解方法。
它将求解区域离散化为一系列节点，然后利用近似的差分格式替代偏微分方程中的导数项，最终得到一个代数方程组。
常用的有限差分格式有向前差分、向后差分和中心差分。
通过构建差分格式的方程组，可以通过迭代求解来获得方程的数值解。
2.有限元法：有限元法是一种在连续域上建立有限维函数空间的数值求解方法。
它将求解区域进行网格划分，并在每个网格单元内用一个局部插值函数来近似原方程，然后将整个区域的问题转化为一个代数方程组。
通过求解方程组，可以得到方程的数值解。
有限元法具有较高的适用性和精确度，并且可以处理复杂的几何结构。
3.其他数值方法：除了有限差分法和有限元法之外，还可以利用其他数值方法进行近似解的求取。
例如，谱方法基于将原方程展开为一组函数的级数，然后通过调节级数中的系数使得方程在一些选定的离散点满足。
神经网络方法则通过训练神经网络来逼近方程解。
这些方法在特定问题和特定条件下可能会有更好的效果。
总之，二阶非线性双曲型方程的数值求解可使用有限差分法、有限元法或其他数值方法。
具体选择哪种方法需要根据问题的特点和求解精度的要求来决定。
我们可以根据具体问题的需求进行合适的选择，并使用相应的技术工具来实现近似解的求取。
有限差分法
班级：通信13-4 姓名：学号：指导教师：**成绩：电子与信息工程学院信息与通信工程系求解金属槽的电位分布1.实验原理利用有限差分法和matlab软件解决电位在金属槽中的分布。
有限差分法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解.然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题。
2.有限差分法方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
2.1有限差分法原理图1-1 有限差分法的网格划分导体槽中静电场的边值问题的拉普拉斯方程为：22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ (1-1) 为简单起见，将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h ，0h →。
计算电磁学-第4章-有限差分法
同样对微分方程的解y(x)在点(xn,yn)进行泰勒展开
yn1 yn hf ( xn , yn )
1 ' 2 1 '' 3 y ( xn 1 ) y ( xn ) f n h f n h f n h 2! 3!
比较上面两式，只要它们前面项的系数尽可能多的相等，就 保证了截断精度。
1、差分与差商
用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。 这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于 零时，差分变成微分
f ( x) f ( x h) f ( x)， h x
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
f ( x) f ( x h) f ( x) f ( x) x h
龙格-库塔法
选取α、β、ω系数，使两式项的系数相等
1 fn , 2 f , 3 f , 4 f ,
' n '' n ''' n
如果该关系式能够一直维持到第m阶仍能成立， 但m＋1阶不再成立，就称为m阶龙格-库塔法
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
cem@
CST粒子仿真
Pierce Gun
ＭＡＧＩＣ
cem@
dy f ( x, y ) dx y x x 0 y0
y( x) y0 f (t , y(t )dt
x0
x
欧拉近似法在函数图上用阶梯的折线代替曲线
f(x) y(x)
yn+1 yn y(x n+1)1) f(n+
【计算流体力学】第3讲-差分方法1
a2u j
a3u j1+a4u j+2
扰动波传播方向
… j-2 j-1 j j+1 …
更多地使用上游信息
一般双曲守恒律方程
u f (u) 0 t x
f (u) f (u) f (u)
u f + f 0 t x x
df (u) 0 du
df (u) 0 du
例：
f 1 f u
u x j
时间积分，计算 出下一时刻的值
u lim u(x x) u(x) u j1 u j
x j x0
x
x
沿各自方向一维离散
➢多维方程的差分法： 维数分裂
u f1(u) f2 (u) 0 t x y
u
1. 构建差分格式
x j
已知均匀网格点上物理量的分布为uj ，
f1
x
f1
x
f2
y
f2
y
RAE2822翼型周 围的网格
问题： 原先需要计算2次导数，变换后需要计算4次，计算量增加 ✓利用坐标变换的性质，可以合并
14
坐标变换Jocabian系数的计算
已知 x x( ,)
y
y(
,)
需计算： x ,y ,x ,y
Step 1: 利用差分（或其他方法）计算出
网格间距变化要缓慢，否则会带 来较大误差
12
方法2） 在非等距网格上直接构造差分格式 （不易推广到高维）
原理： 直接进行Taylor展开，构造格式 格式系数是坐标（或网格间距）的函数
u x
j
a1u j2
a2u j1 a3u j
a4u j1 O(3 )
… j-2 j-1 j
有限差分法解偏微分方程
有限差分法解偏微分方程综述绪论有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法
一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法一维稳态扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。
然而，在某些情况下，我们需要研究物质在二维平面中的扩散行为，例如热传导、流体传输等。
本文将介绍一类二维稳态对流-扩散方程的有限差分法。
二维稳态对流-扩散方程可以写作：∇·(D∇u) + ∇·(cu) + fu = 0 —— (1)其中，D是扩散系数，c是速度场，u是待求解的物理量，f是源项。
在这个方程中，第一项表示物质的扩散项，第二项表示对流项，第三项表示源项。
我们需要求解方程(1)，找到u的分布。
为了应用有限差分法来求解二维稳态对流-扩散方程，需要将二维空间离散化为一个网格。
假设我们将x方向离散为Nx个等距的节点，y方向离散为Ny个等距的节点，那么我们可以得到一个(Nx+1)×(Ny+1)的网格。
我们在网格节点上定义未知量u，然后将方程(1)对节点处的u进行离散化。
首先，我们对方程(1)的扩散项进行离散化。
我们使用五点差分格式来近似二维Laplace算符∇·(D∇u)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(Dij(xi+1,yj)ui+1,j + Dij(xi-1,yj)ui-1,j +Dij(xi,yj+1)ui,j+1 + Dij(xi,yj-1)ui,j-1 -4Dij(xi,yj)ui,j) / ∆x^2 + (Dij(xi,yj)ui,j) / ∆y^2其中，∆x和∆y是网格步长，Dij是扩散系数。
接下来，我们对方程(1)的对流项进行离散化。
我们使用中心差分格式来近似二维梯度算符∇·(cu)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(cxi+1/2,yj(ui+1,j - ui,j)) / ∆x + (cxi-1/2,yj(ui,j - ui-1,j)) / ∆x + (cyi,j+1/2(ui,j+1 - ui,j)) / ∆y + (cyi,j-1/2(ui,j - ui,j-1)) / ∆y其中，cxi+1/2,yj、cxi-1/2,yj、cyi,j+1/2和cyi,j-1/2是速度场在节点(x,y)处的中心点处的x和y分量。
国际物流考试试题及答案
国际物流考试试题及答案一、选择题1、在国际贸易中，以下哪个术语最常用于描述货物的运输？A.国际贸易B.国内物流C.国际物流D.配送物流答案：C.国际物流2、下列哪一项不是国际物流的主要特点？A.复杂性B.标准化C.风险性D.无障碍性答案：D.无障碍性3、在国际物流中，以下哪个环节最重要？A.运输B.仓储C.配送D.信息管理答案：A.运输二、简答题1、请简述国际物流的概念及其重要性。
答：国际物流是指不同国家之间物品的流动和转移，包括从出口国到进口国的运输、仓储、配送等环节。
它是国际贸易的重要组成部分，对于促进国际贸易的发展、提高国家的经济实力和国际竞争力具有重要意义。
2、请解释国际贸易中的“国际贸易壁垒”及其对国际物流的影响。
答：国际贸易壁垒是指进口国对进口商品实行的各种限制措施，包括关税、数量限制、技术壁垒等。
这些壁垒会对国际物流产生不利影响，如增加物流成本、阻碍货物流动、降低贸易效率等。
因此，国际物流需要在克服这些壁垒的同时，寻求更加高效、可靠和环保的解决方案。
3、请说明国际物流中的“最后一公里配送”及其挑战。
答：“最后一公里配送”是指将货物从配送中心或仓库送到最终收货人的过程。
在国际物流中，由于涉及到不同国家之间的法规、文化、交通环境等因素，最后一公里配送面临诸多挑战，如清关延误、配送不准确、货物安全等问题。
因此，需要采取有效的措施来提高最后一公里配送的效率和可靠性。
自学考试国际贸易试题及答案一、单项选择题1、在国际贸易中，下列哪一项是正确的？A.卖方承担运输和保险费用B.买方承担运输和保险费用C.买卖双方均承担运输和保险费用D.运输和保险费用由双方协商确定正确答案是：B.买方承担运输和保险费用。
国际贸易中，通常由买方承担运输和保险费用。
因此，答案为B。
2、下列哪一项不是国际贸易的进口环节？A.报关B.商检C.结汇D.纳税正确答案是：C.结汇。
国际贸易的进口环节包括报关、商检和纳税，而结汇是出口环节的一部分，因此不是进口环节。
有限元法与有限差分法的主要区别
有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM) 是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
《有限差分法初步》课件
改进方向
高阶有限差分法
通过引入高阶差分方案，可以提高有限 差分法的精度，减少数值误差。
并行算法优化
进一步优化并行算法，提高有限差分 法的计算效率。
自适应网格技术
采用自适应网格技术，根据问题求解 的需要动态地调整网格的密度和分布 ，以提高计算效率和精度。
边界条件处理技术
研究和开发更有效的边界条件处理技 术，减少有限差分法的误差累积。
离散化原理
离散化原理是有限差分法的基础，它通过将连续 的问题离散化，将连续的函数和微分转化为离散 的数值和差分，从而将原问题转化为有限差分方 程组进行求解。
离散化原理的应用范围广泛，可以用于求解微分 方程、积分方程以及偏微分方程等。
离散化原理的关键在于选择合适的离散点，以确 保离散化的结果能够近似反映原问题的真实情况 。
《有限差分法初步》ppt课件
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点01
有限差分法是一种数值计算方法，通过将偏微分方 程离散化，将其转化为差分方程进行求解。
02
它将连续的空间离散为有限个点，并使用离散点的 差分近似表示原方程中的导数。
对学习者在学习过程中可能遇到的问 题进行了详细解答，帮助解决疑惑， 提高学习效果。
展望
深入研究
鼓励学习者在掌握有限差分 法的基础上，进一步探索该 方法的理论和应用，提高自 己的学术水平。
实际应用
提倡将有限差分法应用于实 际问题中，通过实践加深对 该方法的理解和掌握，提高 解决问题的能力。
交流与合作
04
有限差分法的实现
编程语言的选择
Python
Python是一种易于学习且功能强大的 编程语言，适合初学者和科学计算。
数学中的波动方程数值求解
数学中的波动方程数值求解波动方程是数学中的重要方程之一，它描述了许多自然界中的现象，例如声波、电磁波、地震波等等。
对于这些波动现象，我们通常要求能够对其进行预测和模拟，以方便实际应用。
求解波动方程通常需要使用数值方法，因为波动方程并不一定有解析解，即使有解析解，也常常很难求出。
因此，数值方法是波动方程求解中非常重要的一部分。
本文将介绍波动方程数值求解的一些常见方法，并分析其优缺点，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、有限差分法有限差分法是一种最基础的数值求解方法，它的思想很简单：用差商来近似导数，然后用差分来近似微分方程。
对于波动方程，可以将其离散化为$$u_{i,j+1}=2u_{i,j}-u_{i,j-1}+c^2\Delta t^2(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}-2u_{i,j})$$其中，$u_{i,j}$表示波动方程在第$i$个空间点和第$j$个时间点的值，$c$是波速，$\Delta t$是时间步长。
这个式子就是有限差分法的核心部分。
有限差分法的主要优点是简单易懂，容易实现。
缺点是精度比较低，需要使用较小的时间步长和空间步长才能得到较好的数值解。
二、有限体积法有限体积法是一种比有限差分法更高级的数值求解方法。
它的主要思想是将物理区域划分成许多小的体积单元，并在每个单元中求解方程，然后将各个单元的解连接起来得到整个物理区域的数值解。
对于波动方程，有限体积法的离散化形式为$$\frac{1}{V_i}\int_{V_i}\frac{\partial^2u}{\partialt^2}dV=c^2\frac{1}{S_i}\int_{S_i}(\nabla u)\cdot ndS$$其中，$V_i$和$S_i$分别表示第$i$个体积单元的体积和表面积，$n$是表面上的法向量。
有限体积法的优点是精度较高，在一定条件下可以得到较为准确的数值解。
缺点是实现比较复杂，需要大量的计算和存储，而且算法的收敛性需要仔细分析。
有限差分法
一阶导数
第4章 有限差分法
即是无限小的微分
除以无限小的微分
应用差分，显然，它可近似地表达为
的商，
即有限小的差分Δf(x)除以有限小的差分Δx 的商，称为差商。同理，一阶导数
f ' (x) 还可近似表达为
第4章 有限差分法
式（4-2）、 式（4-3）和式（4-4）分别称为一阶向前、 向后和中心差商。 如图 4-1 所示， 对应于点 P 的一阶向前、 向后和中心差商，在几何意义上 可分别表征为弧线 PB、 AP 和 AB的斜率，而在理论上它们对于该点一阶导 数的逼近度则分别可从以下泰勒公式的展开式中得知，即由
第4章 有限差分法
对于场域内典型的内节点 o (xi，yj)， 如图 4-2 所示， 它与周围相邻的节 点 1、 2、 3 和 4构成一个所谓对称的星形。今采用双下标(i，j)的识别方法， 设在这些离散节点上的待求位函数 u 的 近 似 值 分 别 记 作 uo = u（i，j）、 u1 = u(i+1，j)、 u2 = u(i，j+1)、 u3 = u(i-1，j) 和u4 = u(i，j-1)， 则参照式 (4-7)，二维泊松方程（4-8）可近似离散化表示为
同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为
第4章 有限差分法
4.3 差分格式的构造
现以二维静态电、 磁场泊松方程的第一类边值问题为例， 来具体阐明有 限差分法的应用。设具有平行平面场特征的电磁场场域 D， 如图 4-2 所示， 为一由闭合边界 L 所界定的平面域，其定解问题可表述为
4.3.1 偏微分方程的离散化—五点差分格式
对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的 步骤通常是：
1）采用一定的网格剖分方式离散化场域；
有限元法与有限差分法的主要区别资料
有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分法 有限体积法 有限单元法相同点
有限差分法有限体积法有限单元法相同点示例文章篇一：《有限差分法、有限体积法、有限单元法的相同点》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊那些听起来有点高深，但其实很有趣的数学方法，就是有限差分法、有限体积法和有限单元法。
你们可能一听这名字就觉得头疼，哎呀，这都是些啥呀？其实呀，只要我跟你们好好讲讲，你们就会发现它们就像三个有着共同秘密的小伙伴呢。
先来说说有限差分法吧。
我想象它就像一个特别细心的小工匠，在一块大大的板子上，一格一格地去测量东西。
比如说，我们想知道一块木板上不同地方的温度变化。
这个有限差分法呢，就会把木板分成好多好多小格子，然后去计算每个小格子和它周围小格子温度的差别。
就像我们数格子里的小糖果一样，一颗一颗地数得可仔细啦。
再看看有限体积法呢。
这个呀，我觉得它有点像一个很会管理小盒子的管理员。
假如我们有好多小盒子，每个小盒子里都装着不同的东西，就像每个小盒子里装着不同量的沙子。
有限体积法呢，就会去关注每个小盒子里的东西总量，还有这些小盒子之间东西是怎么交换的。
这就好比小盒子里的沙子可能会从这个盒子流到那个盒子，它就会把这些流动的情况都搞清楚。
还有有限单元法呀，这个我觉得它像一个神奇的拼图高手。
我们有好多形状各异的小拼图块，有限单元法就会把这些拼图块按照一定的规则拼在一起。
比如说我们要建造一个很复杂的模型，有限单元法就把这些小的单元（就像拼图块）组合起来，让它们成为一个完整的大模型。
那这三个看起来干着不同事儿的方法，有啥相同点呢？第一个相同点就是它们都在处理复杂的问题时，想办法把大问题变成小问题。
这就好比我们要吃一个超级大的蛋糕，一口肯定吃不下呀。
那怎么办呢？我们就把这个大蛋糕切成一小块一小块的，这样就好下嘴啦。
有限差分法把大的区域分成小格子，有限体积法把大的空间分成小盒子，有限单元法把大的模型分成小单元，都是这个道理。
如果不这么做，那些复杂的数学计算就像一团乱麻，根本理不清。
你们说是不是呢？要是直接对着一个超级复杂的大问题傻瞪眼，那可不行，就像对着一座大山，不知道从哪里开始爬一样。
使用C语言解常微分方程 C ODE【范本模板】
解常微分方程姓名:Vincent年级：2010，学号：1033**＊＊，组号：5（小组)，4（大组)1. 数值方法:我们的实验目标是解常微分方程，其中包括几类问题。
一阶常微分初值问题，高阶常微分初值问题，常微分方程组初值问题，二阶常微分方程边值问题，二阶线性常微分方程边值问题。
对待上面的几类问题，我们分别使用不同的方法。
• 初值问题使用 龙格-库塔 来处理 • 边值问题用打靶法来处理 • 线性边值问题有限差分法初值问题我们分别使用• 二阶 龙格—库塔 方法 • 4阶 龙格—库塔 方法 来处理一阶常微分方程。
理论如下：对于这样一个方程'()(,)y t f t y =当h 很小时，我们用泰勒展开，12111111(,)(,)(,)k k k k i i k k j j i ij k hf t y k hf t h y k k hf a b a b t h y h k -===++=++∑当我们选择正确的参数 a[i][j],b ［i ］[j]之后，就可以近似认为这就是泰勒展开. 对于二阶,我们有：()01()()y t h y t h Af Bf+=++其中010(,)(,)P f f t y f f t y h Qhf ==++经过前人的计算机经验，我们有，选择 A=1/2,B=1/2,则 P=1,Q=1,于是又如下形式，这也使休恩方法的表达式。
所以我们称其为 龙格(库塔）休恩方法()()()(,)(,(,))2hy t h y t f t y f t h y hf t y +=++++对于4阶龙格方法，我们有类似的想法， 我们使用前人经验的出的系数，有如下公式112341213243(22),6(,),(,),22(,),22(,).n n n n n n n n n n h y y k k k k k f t y h h k f t y k h h k f t y k k f t h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩对于高阶微分方程及微分方程组 我们用• 4阶龙格-库塔方法来解对于一个如下的微分方程组'111'1(,,,),(,,,).n nn n y f t y y y f t y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 101,00,0(),()n n y t y y t y=⎧⎪⎨⎪=⎩ 我们可以认为是一个一阶向量微分方程，所以可以用龙格-库塔方法的向量形式解。
有限差分法【范本模板】
利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的.例如,在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是,就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。
在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。
在发射系统中进行天线的有效设计时,关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。
为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手.依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频)运行条件下的情况.但是,在高频应用中,则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场,在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此,计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。
对电磁场理论而言,计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法,手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。
常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类,其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。
对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的(如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解.在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。
有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.差分运算的基本概念:有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。
有限差分法模拟一维(二维)谐振子
目录第1章概述 (1)第2章有限差分方式 (2)有限差分法大体思想 (2)差分方程组的求解 (3)2.2.1高斯-赛德尔迭代法 (3)2.2.2逐次超松弛法 (3)第3章求解谐振子的微分方程 (4)一维谐振子 (4)二维各向同性谐振子 (6)第4章总结 (9)参考文献 (10)附录 (11)附1一维线性谐振子的程序设计 (11)附基态一维线性谐振子 (11)附第一激发态一维线性谐振子 (12)附第二激发态一维线性谐振子 (13)附2二维线性谐振子的程序设计 (13)第1章概述微分方程和积分微分方程数值解的方式。
大体思想是把持续的定解区域用有限个离散点组成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把持续定解区域上的持续变量的函数用在网格上概念的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以够取得原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方式即能够从离散解取得定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分法可普遍用来求解偏微分方程的近似解，在电磁场中求解点位函数的拉普拉斯方程时，可采用有限差分法的大体思想是：用网格将场域进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格点处的点位作为未知数的差分方程式来进行代换，将求解拉普拉斯方程解得问题变成求联立差分方程组的解得问题]1[，在差分网格超级多和情形下，利用并行计算方式对其进行区域分解，每一个进程负责运算一部份区域，区域边界之间进行必腹地通信可有效提高计算速度，解决更大规模的问题。
往往只讨论它在静态场中的应用，即泊松方程或拉普拉斯方程的有限差分形式，很少涉及到它在时谐场（即亥姆霍兹方程）中的应用。
本文重点讨论亥姆霍兹方程的有限差分形式和它在时谐场中的应用。
同时，有限差分法（finite difference method）是基于差分原理的一种数值计算方式，在求解微分方程定解问题中普遍应用。
使用C语言解常微分方程 C ODE
解常微分方程姓名：Vincent年级：2010，学号：1033****，组号：5（小组），4（大组）1. 数值方法:我们的实验目标是解常微分方程，其中包括几类问题。
一阶常微分初值问题，高阶常微分初值问题，常微分方程组初值问题，二阶常微分方程边值问题，二阶线性常微分方程边值问题。
对待上面的几类问题，我们分别使用不同的方法。
• 初值问题使用 龙格-库塔 来处理 • 边值问题用打靶法来处理 • 线性边值问题有限差分法初值问题我们分别使用• 二阶 龙格-库塔 方法 • 4阶 龙格-库塔 方法 来处理一阶常微分方程。
理论如下：对于这样一个方程'()(,)y t f t y =当h 很小时，我们用泰勒展开，12111111(,)(,)(,)k k k k i i k k j j i ij k hf t y k hf t h y k k hf a b a b t h y h k -===++=++∑L当我们选择正确的参数 a[i][j],b[i][j]之后，就可以近似认为这就是泰勒展开。
对于二阶，我们有：()01()()y t h y t h Af Bf+=++其中010(,)(,)P f f t y f f t y h Qhf ==++经过前人的计算机经验，我们有，选择 A=1/2,B=1/2,则 P=1,Q=1，于是又如下形式，这也使休恩方法的表达式。
所以我们称其为 龙格（库塔）休恩方法()()()(,)(,(,))2hy t h y t f t y f t h y hf t y +=++++对于4阶龙格方法，我们有类似的想法， 我们使用前人经验的出的系数，有如下公式112341213243(22),6(,),(,),22(,),22(,).n n n n n n n n n n h y y k k k k k f t y h h k f t y k h h k f t y k k f t h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩对于高阶微分方程及微分方程组 我们用• 4阶龙格-库塔方法来解对于一个如下的微分方程组'111'1(,,,),(,,,).n nn n y f t y y y f t y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩L LL 101,00,0(),()n n y t y y t y=⎧⎪⎨⎪=⎩L我们可以认为是一个一阶向量微分方程，所以可以用龙格-库塔方法的向量形式解。
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在电磁散射计算方法中，有限差分法自上世纪五十 年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简 单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更 有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其 重要地位。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数 学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离 散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上 函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的 偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方 程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函 数值—离散解。
频域麦克斯韦方程只适用于正弦稳态时变电磁场
(2)广泛的适用性。 时域有限差分法的直接出发点是概括电 磁场普遍规律的 Maxwell 方程，这就预示着 这一方法具有最广泛的适用性。在网格空间 中媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和 非线性等均能很容易地进行精确模拟。任何 问题只要能正确地对源和结构进行模拟，时 域有限差分法就能够给出正确的解答，不管 是散射、辐射、传输、透人或吸收中的哪一 种，也不论是瞬态问题还是稳态问题。
中心差商
（4-5）
df f ( x) f ( x h) f ( x h) （4-6） dx x 2h
在上面三种差商形式中，中心差商的精度最高。
函数 f ( x) 的二阶导数 f ( x) 为
''
d f 1 df df ( ) 2 dx x dx x x dx x 1 f ( x h) f ( x ) f ( x ) f ( x h) h h h f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) 2 h
时域有限差分法的特点
(1)直接时域计算。 时域有限差分法直接把含时间变量的 Maxwell 旋度方程在 Yee 氏网格空间中转换 为差分方程，使电磁波的时域特性被直接反 映出来。这一特点使它能直接给出非常丰富 的电磁场问题的时域信息。如果需要频域信 息，则只需对时域信息ห้องสมุดไป่ตู้行 Fourier 变换。为 获得宽频带的信息，只需在宽频谱的脉冲激 励下进行一次计算。
'
'
故 f ( x) 可表示为差分 f ( x) 除以有限小 差分 x 的商，称为差商。
一阶导数 f ( x) 还可表示为： 向前差商
'
df f ( x) f ( x ) f ( x h) dx x h
向后差商
（4-4）
df f ( x) f ( x h) f ( x ) dx x h
(4-7)
2
u 对偏导数，可仿照上述方法，将 表示为： x u u ( x h, y, z ) u ( x, y, z ) （4-8） x h
同样，二阶偏导数可表示为：
u u ( x h, y, z ) 2u ( x, y, z ) u ( x h, y, z ) 2 2 x h
(3)节约存储空间和计算时间 时域有限差分法所需要的存储空间 直接由所需的网格空间决定，与网格总 数 N 成正比，所需的计算时间也是与网 格总数 N 成正比。相比之下，若离散单 元也是 N，则矩量法所需的存储空间与 2 (3N) 成正比，而所需的 CPU 时间则与 2 3 (3N) 至(3N) 成正比。
§4.1 差分与差商
设函数 f ( x) 的自变量 x 有一小增量 x h ，则
f ( x) 的增量为 f ( x) f ( x h) f ( x) （4-1）
f ( x) 为函数 f ( x) 的一阶差分。当增量 h 足够小，差分
f 与微分 df 之间的差才足够小。
一阶差分 f 是自变量 x 的函数。按式（4-1）计算 f ( x) 的差分 f ( x) 称二阶差分，且
2
2 f ( x) f ( x h) f ( x) （4-2）
函数 f ( x) 的一阶导数 f ( x) 为：
'
df f ( x) f ( x) lim dx x 0 x
'
应用差分，
f ( x) 可表示为 f ( x) f ( x h) f ( x) ' f ( x) (4-3) x h
2
（4-9）
§4.2 Yee 氏网格和 Maxwell 旋度方程的有限差分法
在三维电磁空间， 为了建立差分方程， 首先要将求解空间离散化，通常是以一定 形式的网格来划分求解空间，取空间网格 节点上的未知量作为计算对象，用差分代 替微商，用离散变量的差分方程近似替代 连续变量的微分方程进行求解。
为最大可能地达到隐身效果，F—117A隐形战机采用多面体外形设计。由于雷达探测范围一般在飞机水平 面上下30度的角度内，因此F—117A的大多数表面与垂直面的夹角均大于30度，这样可以把雷达波上下偏转出 去，以避开辐射源。另一方面，F—117A的前后缘被设计得尖锐笔直，机体表面其它边缘设计成与主波束方向 一致，对方雷达接收不到连续的信号，难以确定该飞机是一个实在目标还是一种瞬变噪声。 F—117A隐形战斗轰炸机的全动V型尾翼和机翼均采用菱形翼剖面设计，2台发动机装入机体内部，进气口 采用特殊的复合材料格栅设计，可保证进气口对10长或更长的雷达波的隐身效果。这种格栅进气口同时还具 有向发动机提供均匀气流的优点，从而使F—117A更适应大仰角和侧滑飞行。 F—117A的发动机尾喷口设计采用展向“开缝”式喷口设计，喷口下缘底面阻止红外探测器及雷达从后面 探测到涡轮部件。发动机排出的气流能够与从发动机旁经过的冷空气迅速混合，使排气速下降到66摄氏度， 这样即可以有效地降低发动机的红外辐射特征。这种埋入式发动机设计及特殊的进，排气设计可有效降低发 动机噪声。 F—117A机体材料以铝合金结构为主，整体外表涂满黑色的磁性铁氧体雷达吸波材料，可以有效地吸收高 频率雷达波或低频率雷达波，增强隐形效果。
时域和频域的麦克斯韦方程
时域 频域
H E t H J E t E B 0
E j H H J j E E B 0