有限差分法基本知识
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有限差分法
有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。
是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。
把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
有限差分法
两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
有限差分法的基本原理
f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差； 舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差； 稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式； 减小网格间距或时间步长； 选择合适的初始条件和边界条件； 选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
第五章 有限差分法 知识讲解课件
的 m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。从这些表可以看出，一般地说，随着
差分阶数的增大和对应差商精度的提高，差分表达式所包含的项数将增多。
表 5-1
j
n0 1 2 34
1 -1
aj 1
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
表 5-3 j
n0 1 2345 aj
1 -3 4 -1 2 2 -5 4 -1 3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如 n 阶前差
分为
∆n y = ∆(∆n−1 y) = ∆[∆(∆n−2 y)]
⋯⋯ = ∆{∆⋯[∆(∆y)]} = ∆{∆⋯[∆( f (x + ∆x) − f (x)]}
n 阶的向后差分、中心差分的型式类似。
（5-6）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差
二阶差商多取中心式，即
∆2 y ∆x 2
=
f (x + ∆x) − 2 f (x) + (∆x) 2
f (x − ∆x) 。
（5-9） （5-10） （后的二阶差商。 以上是一元函数的差分与差商。多元函数 f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
应地，上式中的 ∆y 、 ∆x 分别称为函数及自变量的差分， dy //#######为函数对 dx
自变量的差商。 在导数的定义中 ∆x 是以任意方式趋近于零的，因而 ∆x 是可正可负的。在差
分方法中， ∆x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式： 向前差分 向后差分 中心差分
偏微分方程数值解 有限差分法的基本知识2
u( x j
,
tn
)
o(
),(向前差商）(1.2)
u( x j1 ,
tn) h
u( x j
,
tn )
x
u( x j
,
tn
)
o(h),(向前差商）(1.3)
u( x j
,
tn
)
u(xj1, h
tn
)
x
u(
xj
,
tn
)
o(h),(向后差商）(1.4)
u( x j1 ,
tn) u(xj1, 2h
(1.1)在D上积分，得 D（ 到 ut cux）dxdt 0
t
H
L3
G
L4
L2
E
L1
F
o
x
利用 Gree公 n 式，得
（ucu）dxdt
D t x
（ L unt cunx)ds0
(1.14)
其中 nx与nt分别L是 的外法向单位 n沿向 x方量 向
与沿 t方向的两个分量。
把(1.14)左端分成在L1，L2，L3，L4，上的四个积分，
得近似方程
~ u1h
cu2~
~ u3h
cu4~
0
既
u3
u1
c~
h~
(u2
u4 )
(1.15)
这里h~是L1与L3的长度，~是L2与L4的长度，
ui是可按不同方式确定u的在Li上的近似函数值。
在 网 格E中 ,F,G， ,H依 点次 (n为 1,j1), 22
(n1,j1)(,n1,j1)(,n1,j1), 22 22 22
写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。
有限差分法基本原理
该方法基于差分原理，即用离散点的 差商来代替微商，将微分方程转化为 差分方程，以便于通过代数方法求解。
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
有限差分法
第四章有限差分方法4.1引言有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分方程的方法。
物理学和其他学科领域的许多问题在被分析研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微分方程的求解问题。
一般说来，处理一个特定的物理问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。
有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。
在有限差分方法中，我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变量离散取值后对应的函数值。
但是从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。
因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值插值计算来近似得到。
这种方法是随着计算机的诞生和应用而发展起来的。
其计算格式和程序的设计都比较直观和简单，因而，它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组成部分。
有限差分法的具体操作分为两个部分：(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； (2)求解差分方程组。
在第一步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的分割方式。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网络线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点；反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。
有限差分法的差分格式：一个函数在x 点上的一阶和二阶微商，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分来表示。
如对一个单变量函数f(x)，x 为定义在区间[a,b]的连续变量。
以步长h=Δx 将[a,b]区间离散化，我们得到一系列节点x = a , x = x + h , x = x + h = a + 212132Δx , ..., x = x + h = b , 然后求出 f(x)在这些点上的近似值。
1-有限差分法的基本知识汇总
x x 2u( x, t ) u( x x, t ) u( x, t ) T xg x F ( , t )dx 2 x x x t
等号两边用中值定理：并令 x 0
2u ( x, t ) 2u ( x, t ) T g F ( x, t ) 2 2 x t
Q1 Q2
2
M
S
热场
k TdV dt
2 t1 V
t2
t2
t1
T c dVdt t V
三维热传导方程
T k T c t
T k 2 T a 2 2T t c
T a 2 2T f t
Q3
t2
t1
FdV dt
二维波动方程：
2 2 2u u u 2 a 2 2 f ( x, y , t ) 2 t y x
三维波动方程：
2 2 2 2u u u u 2 a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y
V
有热源三维热传导方程
☆ 一维浓度扩散方程
☆ 动量输运方程
抛物型 方程
C 2C 2 F x, t t x
C为物质浓度，λ为扩散系数。
u 2u f t x 2 x
u为速度，fx为流体体积力，ν 为流体粘性系数。
显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同
☆ 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。 一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、 L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向 振动时，求这根弦上各点的运动规律。
有限差分法基础ppt课件
由（1）得到，
f (x x) f (x) x d f (x) (x)2 d 2 f (x) (x)3 d 3 f (x) (x)4 d 4 f (x)
dx
2! dx2
3! dx3
4! dx4
d f (x) f (x x) f (x) O(x)
dx
x
（3） （4）
9
d f (x) f (x x) f (x) O(x)
如果1更靠近0点则可以用x方向的线性插值给出0点的函数值如果2更靠近0点则可以用x方向的线性插值给出0点的函数值21c双向插值法i1ji1ji1j1i1j1ij1i1j1i1j1i1i1j1变步长二次偏导数222第二类和第三类边界条件对于点o过o点向边界g做垂线pq交边界于q交网线段vr于popahprbhvpch因为p一般不是节点其值应当以点和pr点的插值给出代入第二三类边界条件23图中o与r重合图中v与r点重合2第二类和第三类边界条件2424差分方程对于具体地球物理问题的偏微分方程组利用上述差分格式可以给出偏导数的微商近似进一步得到差分方程组
3. 如何数值求解差分方程组
6
2.2 网格剖分
• 网格剖分就是研究区域和边界的离散化 • 1.矩形分割 • 2.三角形分割 • 3.极网格分割
7
对地球物理问题的连续求解区域通过网格划分离散为空间上得一系 列网格点，接下来需要利用一定的差分格式对偏微分方程组中的导 数用差商进行近似，从而将偏微分方程组离散化为差分方程组。
dx
2x
单侧，一阶精度 单侧，一阶精度 对称，二阶精度
d2 dx2
f (x)
f (x x) 2 f (x) (x)2
f (x-x)
二阶精度
13
• 定解问题的有限差分解法 1．离散
《有限差分法初步》课件
改进方向
高阶有限差分法
通过引入高阶差分方案，可以提高有限 差分法的精度，减少数值误差。
并行算法优化
进一步优化并行算法，提高有限差分 法的计算效率。
自适应网格技术
采用自适应网格技术，根据问题求解 的需要动态地调整网格的密度和分布 ，以提高计算效率和精度。
边界条件处理技术
研究和开发更有效的边界条件处理技 术，减少有限差分法的误差累积。
离散化原理
离散化原理是有限差分法的基础，它通过将连续 的问题离散化，将连续的函数和微分转化为离散 的数值和差分，从而将原问题转化为有限差分方 程组进行求解。
离散化原理的应用范围广泛，可以用于求解微分 方程、积分方程以及偏微分方程等。
离散化原理的关键在于选择合适的离散点，以确 保离散化的结果能够近似反映原问题的真实情况 。
《有限差分法初步》ppt课件
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点01
有限差分法是一种数值计算方法，通过将偏微分方 程离散化，将其转化为差分方程进行求解。
02
它将连续的空间离散为有限个点，并使用离散点的 差分近似表示原方程中的导数。
对学习者在学习过程中可能遇到的问 题进行了详细解答，帮助解决疑惑， 提高学习效果。
展望
深入研究
鼓励学习者在掌握有限差分 法的基础上，进一步探索该 方法的理论和应用，提高自 己的学术水平。
实际应用
提倡将有限差分法应用于实 际问题中，通过实践加深对 该方法的理解和掌握，提高 解决问题的能力。
交流与合作
04
有限差分法的实现
编程语言的选择
Python
Python是一种易于学习且功能强大的 编程语言，适合初学者和科学计算。
有限差分法基本原理-较好
如折射、反射、散射等现象。
电磁波控制
03
在电磁场模拟中，有限差分法还可以用于研究电磁波的调控技
术，如波导、滤波器等器件的设计和优化。
有限差分法在气候模拟中的应用
气候模型
气候模拟是有限差分法的另一个重要应用领域，用于研究地球气 候系统的演变和预测。
大气环流模型
通过有限差分法，可以建立大气环流模型，模拟大气中温度、湿 度、风速等变量的变化和传播。
有限差分法的稳定性分析
稳定性定义
有限差分法的稳定性是指当时间步长趋于无 穷小时，数值解的误差不会发散，而是趋于 零。
稳定性条件
为了确保有限差分法的稳定性，需要满足一定的条 件，例如CFL条件（Courant-Friedrichs-Lewy条件 ）等。
不稳定性分析
对于某些初始条件和参数，有限差分法可能 会出现数值不稳定的情况，需要进行不稳定 性分析并采取相应的措施。
3
边界条件处理
在流体动力学应用中，有限差分法需要考虑复杂 的边界条件，如固壁、滑移边界等，以实现准确 的数值模拟。
有限差分法在电磁场模拟中的应用
麦克斯韦方程
01
有限差分法可以用于求解电磁场中的麦克斯韦方程，以模拟电
磁波的传播和散射等行为。
电磁波传播
02
通过有限差分法，可以模拟电磁波在复杂介质中的传播特性，
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未来研究方向与展望
研究方向 展望
针对有限差分法的局限性和不足，未来的研究可 以关注如何改进算法，提高计算精度和稳定性， 以及如何拓展该方法的应用范围。
随着计算机技术的不断发展和数值计算方法的进 步，有限差分法有望在未来得到更广泛的应用和 更深入的研究，为解决各种科学和工程问题提供 更加有效的数值计算方法。
04有限差分法.ppt
uin n 1 n 1 a n n n ui ui ui 1 ui 1 2 ui 1 2uin uin 1 2h h uin n a n n 1 n n ui ui ui 1 ui 1 2 ui 1 2uin uin 1 或 2h h
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
n Rj
O t x
2
无条件稳定
2.一维混合问题
u 2u 2 0 t x u x ,0 F x u a, t t u b, t t
0 x b, t 0, 0
对于[a，b]区间的内点，可以构造以上各种格式。 如四点显式
例:驱动腔内的流体流动。
3.网格划分
x h y l xi ih
-----称为步长。
u x, y u i , j
xi , y j i, j
y j jl
4.差分格式 将u在(i,j)附近展成Taylor级数
ui 1, j ui , j ui 1, j ui , j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j 1 2u 1 3u u h 2 h 2 3 h 3 ... 2 x 3! x x i , j i, j i, j
-----中心差分式
O h 表示具有二阶精度。
2
两Taylor展式相加
2u 1 ui 1, j 2ui , j ui 1, j O h 2 x 2 h2 i, j
有限差分方法基础
2!
3!
4!
（1-14）
f (x x) f (x) f (x) f (x) x f (x) (x)2 f IV (x) (x)3 O((x)4 )
x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似替代，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点旳对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面有关逼近误差旳分析懂得，用时间向前差商替代时间导数时旳误差为 O(t) ,
用空间中心差商替代空间导数时旳误差为 O((x)2 )，因而对流方程与相应旳差分方程之间也存在一种误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi , tn t) (xi , tn ) (xi x, tn ) (xi x, tn )
0
t x
（2-1）
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
xi x0 ix, i 0,1, 2,
tn nt,
n 0,1, 2,
图2-1 差分网格
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T u ( x x x , t ) u ( x x , t ) x g x 2 u ( t x 2 , t ) x x x F ( , t ) d x
等号两边用中值定理：并令 x0
T 2 u (x ,t)g 2 u (x ,t) F (x ,t) 等号两边除以
(1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x, t ) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
x 2
t2
2ua22ugf(x,t) t2 x2
f (x,t) F(x,t)
为单位质量在 x 点处所受外力。
弦振动方程中只含有两个自变量：x , t 。由于它描写的是
弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波 动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：
其中：c o s 1c o s' 1
y
横向： T (x ) T (x x )' 0
也就是说，张力 T 是一个常数。
M'
s
T'
'
M
gs
T
x
x x x
纵向： T ( x ) s i n T ( x x ) 's i n ' s g s a
a 为 小 弦 段 在 纵 向 的 加 速 度
s i n t a n u ( x , t ) ,s i n ' t a n ' u ( x x , t )
x
x
T u ( x x x ,t ) u ( x x ,t ) x g x 2 u ( t x 2 ,t ) 0
☆ 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位 移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。 在杆中隔离出一小段(x, x + )，分析受力：
通过截面x，受到弹性力P()S的作用 通过截面x + 受到弹性力P(x + , t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．
根据第二定律，就得到：
P (x d x,t) P (x,t)SS d x 2 tu 2
根据胡克定律 P E u
x
2u E 2u 0
t2 x2
2tu2 a2
2u x2
0
令：a
E
2u t 2
P x
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
设ρ为空气的密度，u为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：
u u 0
t x x
u u u 1 p t x x
a2 p Biblioteka 动力学方程 连续性方程 物态方程
考虑到微小压力波，u 是一阶小量，u 和uu是二阶小量
x x
t u x， u t 1 p x
二维波动方程：
2 tu 2a2 x 2u 2 y 2u 2 f(x,y,t)
三维波动方程： 2 tu 2 a 2 x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2 f(x ,y ,z,t)
建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。 由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象 能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素， 使问题得到适度的简化。
间无关。即 x 点处的张力记为T ( x )。
由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
由于振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据牛顿
运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。
横向：T ( x ) c o s T ( x x ) 'c o s'
x
x x x
2u(tx2,t)T u 2(xx2,t)g
令： a 2 T
a 就是弦的振动传播速度
2ua2 2ug
t2
x2
………一维波动方程
自由项 非齐次方程
忽略重力作用：
2u a2 2u
t2
x2
齐次方程
当存在外力作用时：
假设外力在 x 处外力密度为：F (x, t) 方向垂直于 x 轴。
由中值定理：
u ( x x , t ) u ( x , t ) 2 u ( x x , t ) x0 1
x x
x 2
y
令 x 0 ， 此 时 x x x
M'
s
T'
'
T 2 u ( x x 2 ,t) x x g x 2 u ( tx 2 ,t) 0T M gs
简化假设：
在弦上任取一小段 (x,xx)它的弧长为：
xx
s x
1( u x)2dx
y
M'
s
T'
'
M
gs
T
x
x x x
由于假定弦在平衡位置附近做微小振动， u 很小，从而
x
xx
s 1dxx
可以认x为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可 知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时
8.1 预备知识
三类典型的偏微分方程
8.1.1 波动方程
☆ 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。
一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、 L两点，当它在平衡位置附近做垂直于方向的微小横向振动 时，求这根弦上各点的运动规律。
y
O
Lx
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。 要确定弦的运动方程，需要明确：