集合概念与符号_图文
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苏教版(2019)必修第一册 1-1 集合的概念与表示 课件(37张)
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在
这个集合中就确定了.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.任何两个
相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.
（3）无序性：集合中的元素无先后顺序之分.
些对象的全体，而非个别对象.
【示例】中国古代四大发明组成一个集合，那么集合的元素就是造纸术、指南针、火药、印刷术.
二十一世纪中国有新四大发明：高铁、移动支付、共享单车和网购.这四大发明就组成了一个集合.
即时巩固
［多选题］下列所给对象能构成集合的是（AD）
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.《高中数学必修第一册》课本上的所有难题
两个集合相等，记作A＝B.
【提示】（1）两个集合相等时，其元素个数一定相等.
（2）当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相同.
如：集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等.
（3）两个集合是否相等，不能只看形式.
如：不等式0<x<1的解集与不等式 0<y<1的解集是两个相等的集合.
三、集合的表示方法
，即
∈{
}.
2.常用数集及其记法（要牢记）
数学中一些常用的数集及其记法：
全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N；
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.
【提示】（1）N比N*（或N+）多一个元素0；（2）N*中*在右上角，N+中+在右下角.
这个集合中就确定了.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.任何两个
相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.
（3）无序性：集合中的元素无先后顺序之分.
些对象的全体，而非个别对象.
【示例】中国古代四大发明组成一个集合，那么集合的元素就是造纸术、指南针、火药、印刷术.
二十一世纪中国有新四大发明：高铁、移动支付、共享单车和网购.这四大发明就组成了一个集合.
即时巩固
［多选题］下列所给对象能构成集合的是（AD）
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.《高中数学必修第一册》课本上的所有难题
两个集合相等，记作A＝B.
【提示】（1）两个集合相等时，其元素个数一定相等.
（2）当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相同.
如：集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等.
（3）两个集合是否相等，不能只看形式.
如：不等式0<x<1的解集与不等式 0<y<1的解集是两个相等的集合.
三、集合的表示方法
，即
∈{
}.
2.常用数集及其记法（要牢记）
数学中一些常用的数集及其记法：
全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N；
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.
【提示】（1）N比N*（或N+）多一个元素0；（2）N*中*在右上角，N+中+在右下角.
第1章 集合、映射与关系
������
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
高一数学集合的概念PPT课件 图文
－Ｐ４回答下列问题 • １．集合的概念 • ２．集合的表示法 • ３．元素和集合之间的关系 • ４．元素的性质 • ５．重要数集
观察下列对象:
（1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
Ａ＝｛２，４成，６，８，１０｝， 其中集合中的２元，素４为，８，１０
（２）所有直角三角形，可表示为 Ａ＝｛x/x是直角三角形｝
注：“｛｝”本身包含“所有”“全体” 的意义，在｛｝内元素应去除“所 有”“全体”的字样．
３3．．集元合素元与集素合的之性间质的：关系
如果a是集合A的元素，就说a
属于集合A，记作a ∈ A；
1. 定 义
一般地, 把一些能够确定的 不同对象看成一个整体， 就说这个整体是由这些对 象的全体构成的 集合.
集合中每个对象叫做这个
集合的元素.
2. 集合的表示法
集合常用大写字母Ａ，Ｂ， Ｃ．．．表示,且用“｛｝” 括起来．
元素则常用小写字母a，b， c，．．．表示.
例如 （１）２，４，６，８，１０可表示
如果a不是集合A的元素，就
说a不属于集合A，记作a A．
例如：Ａ＝｛１，３，５，７｝，则
１∈ Ａ，３∈ Ａ，２ Ａ
４．集合中元素的性质 （1）确定性：集合中的元素必须是 确定的．
(2)互异性：集合中的元素必须
是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素是无 先后顺序的． 集合中的任何两个 元素都可以交换位置．
例：判断下列说法是否正确
× １．著名的科学家构成一个集合 × ２．很小的数构成一个集合 √ ３．身高超过１．８０米的学生构成一个集合 × ４．｛１，２，２，３｝集合中有４个元素
观察下列对象:
（1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
Ａ＝｛２，４成，６，８，１０｝， 其中集合中的２元，素４为，８，１０
（２）所有直角三角形，可表示为 Ａ＝｛x/x是直角三角形｝
注：“｛｝”本身包含“所有”“全体” 的意义，在｛｝内元素应去除“所 有”“全体”的字样．
３3．．集元合素元与集素合的之性间质的：关系
如果a是集合A的元素，就说a
属于集合A，记作a ∈ A；
1. 定 义
一般地, 把一些能够确定的 不同对象看成一个整体， 就说这个整体是由这些对 象的全体构成的 集合.
集合中每个对象叫做这个
集合的元素.
2. 集合的表示法
集合常用大写字母Ａ，Ｂ， Ｃ．．．表示,且用“｛｝” 括起来．
元素则常用小写字母a，b， c，．．．表示.
例如 （１）２，４，６，８，１０可表示
如果a不是集合A的元素，就
说a不属于集合A，记作a A．
例如：Ａ＝｛１，３，５，７｝，则
１∈ Ａ，３∈ Ａ，２ Ａ
４．集合中元素的性质 （1）确定性：集合中的元素必须是 确定的．
(2)互异性：集合中的元素必须
是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素是无 先后顺序的． 集合中的任何两个 元素都可以交换位置．
例：判断下列说法是否正确
× １．著名的科学家构成一个集合 × ２．很小的数构成一个集合 √ ３．身高超过１．８０米的学生构成一个集合 × ４．｛１，２，２，３｝集合中有４个元素
集合的概念ppt课件
04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
集合的概念与表示ppt课件
由此能总结出集合元素有什么特性？
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.
互异性 一个集合中的任何两个元素都互不相同。
也就是说，集合中的元素互不相同
探究3： 将某学校高一（1）班全体学生组成的集合记为集合A， 改变这个班同学的座次，集合A是否发生改变？
集合A不发生改变，即不管班里的学生怎么改变座次，学生改 变座次后的集合仍然还是学生改变座次之前的集合.
描述法 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。
一般地可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}
例如，集合 D={x∈R|x<10}也可表示为D={x|x<10}； 集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示为E={x|x=2k+1,k∈Z}.
思考：你能用列举法表示不等式 x-7<3的解集吗?
如上述思考中不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数 有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示，
但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：x是实数， 且x<10，因此把解集表示为{x|x<10}.
整数集Z可以分为奇数集和偶数集。 对于每一个x∈Z，如果它能表示为x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它 是一个奇数;反之，如果x是一个奇数，那么它能表示为x=2k+1(k∈Z) 的形式。 所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可 以表示为：{x|x=2k+1,k∈Z}.
5、集合的表示方法
思考：从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢? 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做列举法。
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋}； “方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1，2}.
集合的概念与表示方法ppt课件
③互异性，即同一集合中的元素是互不相同的．
能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合（简称集）。
练习1
1、下列说法中，正确的有______．（填序号）
2
①单词 book 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个；
②集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是△ABC 的三
边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
5
∉
A
集合与元素的关系
集合与元素的关系：
①属于，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作a∈A
；
②不属于，如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记
作 a∉A．
0
∉
Ф
集合的三大特性
集合三要素：
①确定性，即同一集合中的元素必须是确定的；
②无序性，即同一集合中的元素之间不考虑顺序；
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
习题：
1、被 3 除余 2 的正整数集合；
解：（1）
{x|x＝3n＋2，n∈N}
2、平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
（2）
{(x，y)|xy＝0}
三、韦恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称
为韦恩图，一般画成椭圆或矩形．
问题3 使用韦恩图表示中0-10之间的偶数集合。
0
10
2
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合
集合的概念与表示方法
你眼中的
集合
你眼中的
集合
高一数学课件：1.1 集合的含义与表示(新人教版必修1)
6.如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)， 而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合 特征性质 A的 . 7.描述法的表示形式为 {x∈I|p(x)} .
返回
学点一 集合的概念 下列各组对象能否组成集合. (1)小于10的自然数：0,1,2,3,…,9; (2)满足3x-2>x+3的全体实数; (3)所有直角三角形;
所以x∈R且x≠±1且x≠0.
【评析】解决这类问题的主要依据是集合元素的性质特征—
互异性，列出两两元素的关系式求解，通常要用到分类讨论.
返回
集合{3,x,x2-2x}中，x应满足的条件是 【解析】 x≠3且x≠0且x≠-1根据构成集合的元素的 互异性，x应满足
.
x3 2 x 2x 3 x 2 2x x
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成
的集合.
返回
（1）由
2 x 3 y 14 3x 2 y 8
得
x4 y 2
方程组的解集为{(4,-2)}. （2）1 000以内被3除余2的正整数可以表示为x=3k+2,k∈N的 形式. 故所求的集合为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1 000}.
③因为N中最小元素为0,故当a∈N,b∈N时,a+b的最小值为0,故 错误.
返回
学点三
集合中元素的性质
已知由1,x,x2三个实数构成一个集合，求x应满足的条件. 【分析】1，x,x2是集合中的三个元素，则它们是互不相等的. 【解析】根据集合中元素的互异性，得
x 1 2 x 1 x x 2
1 1 1 1 a
集合的概念ppt课件
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
(
)
C
)
3．若以方程x2－3x＋2＝0和x2－5x＋6＝0的所有解为元素组成集合A，则A中元素的
个数为
(
A．1
B．2
C．3
D．4
C )
解析： 方程x2 - 3x +2=0的解为1，2，方程x2 -5x+6=0的解为2，3由于两方程有相
借助判别式的符号求解.
素养形成
典例 已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.
(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;
(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;
(3)若A中至多有一个元素,试求a的值.
【规范答题】
解 (1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,
于不确定的概念,因此“2020年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一
个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能
够组成集合.故选B.
探究二
元素与集合的关系
例2. (1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是(
A.0∈M,3∈M
B.0∉M,3∈M
√
可能只含有一个元素.
素养形成
利用分类讨论思想求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集
一般地,形如ax2+bx+c=0是关于x的方程,当a≠0时,该方程是关于x的一元
二次方程,当a=0,b≠0时是关于x的一元一次方程,求解此类方程的解集问题,
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
(
)
C
)
3．若以方程x2－3x＋2＝0和x2－5x＋6＝0的所有解为元素组成集合A，则A中元素的
个数为
(
A．1
B．2
C．3
D．4
C )
解析： 方程x2 - 3x +2=0的解为1，2，方程x2 -5x+6=0的解为2，3由于两方程有相
借助判别式的符号求解.
素养形成
典例 已知集合A是由方程ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合.
(1)1是A中的一个元素,求集合A中的其他元素;
(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B中元素的个数;
(3)若A中至多有一个元素,试求a的值.
【规范答题】
解 (1)若1是A中的一个元素,则只需a+2+1=0,
于不确定的概念,因此“2020年高考数学难题”不能构成集合;由于任意给一
个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,能
够组成集合.故选B.
探究二
元素与集合的关系
例2. (1)已知不等式2x-5<0的解集为M,则以下表示方法正确的是(
A.0∈M,3∈M
B.0∉M,3∈M
√
可能只含有一个元素.
素养形成
利用分类讨论思想求解一类关于x的方程ax2+bx+c=0的解集
一般地,形如ax2+bx+c=0是关于x的方程,当a≠0时,该方程是关于x的一元
二次方程,当a=0,b≠0时是关于x的一元一次方程,求解此类方程的解集问题,
集合的概念ppt课件
(2) 设x B, 则x是整数,则x Z,且10 x 20. 因此, 用描述法表示为： B { x Z | 10 x 20}
因此,用列举法表示为 B {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}.
学习新知
我们约定, 如果从上下文的关系看, x R, x Z 是明确的， 那么, x R, x Z 可以省略, 只写其元素x.
学习新知
在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？如：
自然数的集合
有理数的集合
不等式的解的集合
到一个定点的距离 等于定长的点的集合
到一条线段的两个端点 距离相等的点的集合
......
学习新知
观察下列实例：
1 1～10以内的所有奇数 2 方程x2－9＝0的实数根 3 小于8的素数
集合
设A是一个集合，我们把集合A中，所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的
集合表示为：
x A P(x)
我们称这种方法为描述法。
x为该集合的代表元素
P(x)表示该集合中的元素x所具有的性质
学习新知
例如，实数集R 中，有限小数和无限循环小数都具有 q ( p, q Z, p 0) 的 p
形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为：
{0}.
(4) b
{a,b,c}.
【总结提升】求解此类问题必须要做到以下两点： ①熟记常见的数集的符号； ②正确理解元素与集合之间的“属于”关系。
总结新知 判断元素与集合关系的两种方法
直接法:
如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否 出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的。
总结新知 思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？
集合的基本概念、关系及运算
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(2)当B A时，又可分为： (a) B≠时，即B ={0}，或B ={-4}， Δ = 4(a+1)2 -4(a2 -1) = 0,解得a = -1 B ={0}满足条件； (b)B = 时，Δ = 4(a+1)2 -4(a2 -1) < 0,解得a < -1 综合(1)、(2)知，所求实数a的值a -1,或a =1.
AC
(3)对于两个集合A，B，如果A B 且 B A ,那么
A=B (4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 子集,即 Φ A
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例 写出集合｛ a , b ｝的所有子集，并指出哪些是它的
真子集.
解：集合{ a , b }的所有子集为 ,{a},{b},{a,b}.
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知识要 点
3.集合相等与真子集的概念
如 果 集 合 A是 集 合 B的 子 集 (AB)， 且 集 合 B是 集 合 A的 子 集 （ BA） ， 此 时 ， 集 合 A与 集 合 B中 的 元 素 是 一 样 的 ， 因 此 ， 集 合 A与 集 合 B相 等 . 记 作 A＝ B
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2.在数学中，经常用平面上的封闭曲线的 内部代表集合，这种图称为Venn图.
A B用Venn图表示如下：（有两种情况）
A
B
A（B）
思考1
包含关系{a} A与属于关系 a A有什么区别吗？
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注意
与 的区别：前者表示集合与集合之间的关系；
后者表示元素与集合之间的关系.
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幂集合
• 空集的幂集合是什么？集合{Φ }的幂集 合是什么？ • P(Φ )={Φ } P({Φ })={Φ ,{Φ }} • 如果一个集合有n个元素，那么它的幂集 合有2n个元素。
2. 笛卡尔积
• 定义7 有序n元组（a1,a2,…,an)是以a1为第 一个元素，a2为第2个元素，…，an为第n 个元素的有序组。 • 2元组特称为有序偶。 • 集合A和B的笛卡尔积C=AB表示所有有 序偶(a,b)的集合, 其中aA, bB. 也就是 AB={(a,b) | aA且 bB}
• 由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了 各种公理化集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的 ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . Gö del)公理化体系最为流行. 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得 到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研 究结果推陈出新，大量涌现．在同一时代，美国数学 家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年 代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种 理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论， 受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有 多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献．
集合论
1. 集合概念与符号
• • • • 集合(直观描述) 集合相等和子集合 子集的表示方式和全集 常用数学符号和常用集合记号
起源
• 集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追 溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研 究．但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家 康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理 论研究中创立的．康托尔对具有任意特性的无穷集合 进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数 和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此， 康托尔被誉为集合论的创始人．但随着集合论的发展， 以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初， 出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗 素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了 集合论的发展．
集合的基数
• 定义4 令S为集合。若S中恰有n个不同元 素，n是非负整数，就说S是有限集合， 而n是集合S的基数，用| S |表示。 • 例 令A为小于10的正奇数集合，则| A | = 5 • 空集Φ 没有元素，所以| Φ | = 0 • 定义5 如果一个集合不是有限的，就说 它是无限的。
幂集合
笛卡尔积
• 定义9 集合A1, A2,…,An的笛卡儿积用 A1×A2×…×An表示，这是有序n元组 (a1,a2,…,an)的集合，其中对于i=1,2,…,n， ai∈Ai。 • 什么是笛卡儿积A×B×C，其中 A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}?
笛卡尔积
• 什么是笛卡儿积A×B×C，其中 A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}?
• 集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言 学等方面都有着重要的应用．对子从事计算机科学的 工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和 掌握它是十分必要的．
集合(直观描述)
• 具有某种属性的对象总体(通常用大写字 母表示，如A,B等)，这些对象称为其元 素 (通常用小写字母表示，如x,y等). • x是A的元素记为: xA (读作x属于A) • x不是A的元素记为: xA (读作x不属于A) • 集合的基本特性是，对于给定的集合A， 任何对象x, xA与xA中有且只有一个 成立.
• 解： A×B×C={(0,1,0),(01,1),(0,1,2),(0,2,0),(0, 2,1),(0,2,2),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),(1,2,0),(1, 2,1),(1,2,2)}
• 小于10的正奇数集合A={1, 3, 5, 7, 9} • 表面看起w Jerseg} • 集合B={x | x是小于10的正奇数} • 上例中集合A=B
集合相等和子集合
• 集合相等：如果两个集合A和B有同样的 元素组成，就说集合A和B相等，记作A= B或B=A. • 子集合: 如果集合B的元素都是集合A的 元素，B叫做A的子集合(简称子集). 记作 BA (读作B包含于A)，或AB (读作A包 含B). • 命题： A= B当且仅当AB且AB.
• 很多问题都要检查一个集合的元素的所 有可能的组合，看它们是否具有某种性 质。为了考虑集合元素所有可能的组合， 我们构造一个新集合，它以S的所有子集 作为它的元素。
幂集合
• 定义6 已知集合S, S的幂集合是集合S所 有子集的集合，用P(S)表示。 • 例 集合{0, 1, 2}的幂集合是 P({0,1,2}={Φ ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2 },{1,2},{0,1,2}}。 • 空集的幂集合是什么？集合{Φ }的幂集 合是什么？
子集的表示方式和全集
• 设A是一个集合,其子集B通常用下面的形 式表示：B={xA | P(x)}, 其中P(x)表示x 在B中所要满足的条件 • 空集：不含任何元素的集合叫做空集,用 符号表示,空集是任何集合的子集： ={xA | x x} • 在数学的讨论中，常常涉及到的是某个 固定集合的子集，例如，实数的子集. 这 个固定集合叫做全集. 一般用E表示.
笛卡尔积
• 例 令A为某大学所有学生的集合，B表示 该大学开设的所有课程的集合。A和B的 笛卡儿积A×B是什么？ • 解：笛卡儿积A×B由形为(a, b)的所有有 序偶组成，其中a是学生，而b是该校开 的一门课。集合A×B可以用来表示该校 学生选课的所有可能情况。
笛卡尔积
• 例 A={1,2}, B={a, b, c}, A×B=? • 上例中A×B是否等于B×A