表上作业法解决运输问题
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
运输问题的求解方法
产销平衡表与单位运价表
表上作业法
产销不平衡的运输问题的求解方法
一、产销平衡表与单位运价表
运输问题还可用产销平衡表与单位运价表 进行描述。 假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1， 2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1， 2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n）， 其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。 从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将 这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价 表5.3.1。
P ,P ,P ,P ,P B ik lk ls us uj
而这些向量构成了闭回路见图
位势法
一种较为简便的求检验数的方法。
设 u1, , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的m+n 个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始 基矩阵。 Xa在目标函数中的系数Ca ，由线性规划的对 偶理论可知
（1）确定初始调运方案，即找出初始 基可行解,在产销平衡表上给出 m+n-1个数 字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算 空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存 在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始 调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非 负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果 已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转 入下一步。
考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。 xi ,n1 设 是产地Ai的储存量，于是有
n n 1 xij xi,n1 xij ai (i 1,2,, m) j 1 m j 1 xij b j ( j 1,2, n) m i 1 m n x i ,n 1 ai b j bn 1 i 1 j 1 i 1
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
表上作业法求解运输问题的思考
表上作业法求解运输问题的思考
解决运输问题的表上作业法（Table Method）是一种用于解决线性
规划问题的数学方法。
它通过在一张表中，将运输需求、供求量及其
价格等信息进行对应的方式来寻找最优的供运输体系。
总的来说，表
上作业法的步骤有：
一、建立运输问题模型：
1. 根据要求绘制好运输管理模型，规定出配送来源和配送目的地，包
括途经站点；
2. 确定进行配送的各节点、道路等的运行路径及具体情况；
3. 整理出和计算出各节点之间运输量及单位运输成本，将这些信息录
入表格；
二、建立表上作业法：
1. 根据运输问题模型中的信息进行汇总，建立表格，计算出来的表格
有4个部分：
不变量，运输供求量，单位运输成本，最优总成本；
2. 根据具体情况，计算各节点之间的运输量；
3. 将运输量填入表格中，计算出每一节点的运输成本，找出最优方案；
三、调整成本：
1. 检查各个节点的运输成本，比较并调整，计算最小成本；
2. 对最小成本进行再探索，优化调整和最小化运输供求量；
四、总结结果：
根据计算结果，进行概括性总结和说明，得到最合理的解决方案。
表上作业法，通过模型的结果来完成最优运输体系，是一种实用性很
强的模型。
由于其最大的特点在于可以有效解决大量的运输安排问题，因此有助于企业在实现安全便捷物流运输的同时，节约物流成本，提
升企业竞争力。
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法.
整数规划是研究决策变量只能取正整数的一类 规划问题。 整数规划有纯整数规划、混合整数规划与0-1整 数规划等类型。 我们只研究线性整数规划。
【例8-2】：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表： 问如何 选择甲、 货物 体积 重量 利润 每箱（m3） 每箱（百斤） 每箱（百元） 乙两种货 物的托运 甲 5 2 20 数量，使 乙 4 5 10 获得的利 托运限制 润最大？ 24 13
上周内容回顾
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其 实质是单纯形法，其计算过程(假设产销平衡)如下： 1.求初始的调运方案(初始基可行解) 方法一：最小元素法（思想：就近供应） 该方法的基本思想是采用“优先安排单位运价最小 的产地与销地之间的运输业务”这个规则来确定初始 基可行解。 方法二：差额法(伏格尔) 一个产地的产品，若不能按最小运费就近供应， 就考虑次小运费，这就有一个差额。差额越大，不 能按最小运费调运时，运费增加越多。因而应对差 额最大处，优先采用最小运费调运。
XB x2 x1 x5 -Z
x1 0 1 0 0
x2 1 0 0 0
XB x2 x1 x5 Z 非 整 数 x2 x1 x3 Z
x1 0 1 0 0 0 1 0 0
x2 1 0 0 0 1 0 0 0
x3 1/2 -1/4 -1/2 - 1/4 0 0 1 0
x4 -1/2 3/4 -1/2 -5/4 -1 1 1 -1
k
其中bi是基变量的非整数解。 （2）将aik和bi分解为整数N和正真分数f 两部分之和
a ik N ik f ik , bi N ni f bi
2
将（2）代入(1)中,然后将整数置于方程左边，分 数置于方程右变，即
第二节运输问题求解表上作业法
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
表上作业法--运输问题
12
14
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯 形法。 运输问题都存在最优解。 计算过程（假设产销平衡）： 1.找出初始基本可行解。对于有m个产地n个销地的产销 平衡问题，则有m个关于产量的约束方程和n个关于销量 的约束方程。由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独 立的约束方程，即运输问题有m+n-1个基变量。在m×n 的产销平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量 的值即为基变量的值。 2.求各非基变量的检验数，即检验除了上述m+n-1个基变 量以外的空格的检验数判别是否达到最优解，如果已是最 优，停止计算，否则转到下一步。 3.确定入基变量和出基变量，找出新的基本可行解。在表 上用闭回路法调整。 4.重复2、3直到得到最优解。
运输问题的表上作业法 某部门有3个同类型的工厂 产地），生产的产品由4个 个同类型的工厂（ ），生产的产品由 例1 某部门有 个同类型的工厂（产地），生产的产品由 个 销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（ 销售点出售，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单 位为t）以及各工厂到销售点的单位运价（ 位为 ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t）示于表 ）示于表3 中，问如何调运才能使总运费最小？ 问如何调运才能使总运费最小？
解一
销地 产地
B1
4
6
B2
12
10
B3
4 3
4
B4
11
产 量
A1 A2
A3
销 量
16 10 9 10 11
8 14
2
2
4
8 8 14
5 12
6 22 48 14
解二
销地 产地
B1
第二节 表上作业法求解运输问题 - Copy
给出的运输问题的初始基本可行解． 【例3.4】求表 给出的运输问题的初始基本可行解． 】求表3-6给出的运输问题的初始基本可行解
表3-6
B1 A1 A2 A3 bj 4 7 1 5
B2 10 7 2 10
B3 4 3 10 25
B4 4 8 6 10
ai 20 15 15 50
【解】
Bj Ai 4 A1 B1
【4 】
－
初始基可行解： 初始基可行解： x11 =0, x12 = 10，x14 =5, x21 =20, ， x23 =5 ， x34 = 20 总运费Z=10×8+5×12+20×1+5×2+20×8=330。 总运费 × × × × × 。
练习1： 练习 ： 用元素差额法求表3—6运输问题的初始基本可行解 运输问题的初始基本可行解 用元素差额法求表
2．元素差额法（Vogel近似法） ．元素差额法（ 近似法） 近似法 最小元素法只考虑了局部运输费用最小。 最小元素法只考虑了局部运输费用最小。有时为了 节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。 节省某一处的运费，而在其它处可能运费很大。元 素差额法对最小元素法进行了改进， 素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到 销地的最小运价和次小运价之间的差额， 销地的最小运价和次小运价之间的差额，如果差额 很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。 很大，就选最小运价先调运，否则会增加总运费。 例如下面两种运输方案
ai ui (1) ui (2) 30 1 1 45 1 － 25 3 【 3】 100
总运费Z=15×8+6×5+10×7+45×4+25×4=500。 × 总运费 × × × × 。
运输问题的表上作业法
am
法
收量 b1
…
bj
…
bn
求解运输问题的表上作业法的步骤：
一 、编制初始调运方案
3.2 运 输 问 题
编制初始调运方案就是求运输问题的初始基本可行解，方法有 两种
方法一 最小元素法（优先安排运价最小的单元格） 安排的数量满足下式
的
xij min ai , b j
表
上
作
（1）若ai<bj，则取xij=ai,而xik=0(k=1,2,…,j-
§3.4 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题
例5、设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相同， 有关数据如下表：
1
2
3
4
产量
A
16
13
22
17
50
B
14
13
19
15
60
C
19
20
23
---
50
最低需要量
30
70
0
10
最高需要量
50
70
30
不限
试求总费用为最低的化肥调拨方案。
产地销地b1b2b3b4销量a116a210a322产量14121448111211闭回路法销地产地b1b2b2b4产量a11016a210am1422销量141214481211解最优性检验11计算位和势销地产地b1b2b2b4产量a11016u11a210u20am1422u34销量14121448v12v29v33v4101211最优性检验12根据ijcijuivj当存在检验数为负数时要对方案调整13对检验数为负数的格进行调整调整量为奇顶点上的最小者销地产地b1b2b2b4产量a11016a210am1422销量141214481211三解的改进1434运输问题的应用一产销不平衡的运输问题例4石家庄北方研究院有一二三三个区
运输问题的表上作业法
表八
B1
B2
B3
B4
行差额
A1
3
1
3
10
0
A2
1
9
2
8
1
A3
7
4
10
5
1
列差额 2
5
1
3
（2）在行差额和列差额中选出最大者，并选择其所对应的行或列中的最小元素来 安排调运方案。本例中，差额最大为“5”，是列差，该列中最小运价为“4”，即 A3首先供应B2，观察产销平衡表，A3仓库储存9吨，零售店B2需求6吨，则运往6吨， B2的需求全部被满足，在单位运价表中划去B2列，如表十一所示。
产地 销地 A1 A2 A3 销量
产地 销地 A1 A2 A3
表三 产销平衡表
B1
B2
B3
B4
3
1
3
6
5
6
表四 单位运价表
B1
B2
B3
3
11
3
1
9
2
7
4
10
产量 7 4 9
B4 10 8 5
（3）在单位运价表中未划去的元素中找到最小运价“3”（A1到B3的运价），A1存储 量为7吨，B3还缺少4吨，故从A1配送给B34吨，B3的需求全部被满足，A1剩余7-4=3吨， 在单位运价表中划去B3所在列。结果如表五和表六所示。
表五 产销平衡表
产地
B1
销地
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
B4
4 1
6
5
6
表六 单位运价表
产量
7 4 9
产地
B1
B2
用表上作业法求解运输问题
运输问题及数学模型
1. 运输问题数学模型 本章研究单一品种物资的运输调度问题。 其典型情况是：设某种物品有个产地（或供方）Ai（
i=1，2，…，m），各产地的产量分别是ai（i=1，2，…，m）
，有n个销地Bj（j=1，2，…，n）,各销地的销量分别为bj（ j=1，2，…，n）。假定从Ai（i=1，2，…，m）产地向销地
Bj（j=1，2，…，n）运输单位物品的运价是。问怎样调运这
些物品才能使总运费最小?
这是由多个产地供应多个销地的单品种物品运输问题。
为直观起见，可列出该问题的运输表（见下页）。表中的变
量Xij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）为由产地Ai运往销 地Bj的物品数量。cij为Ai到Bj的单位运价。有时，将单位运价
然后，在余下的供、销点的供销关系中，继续按上述方
法安排调运，直至安排完所有供销任务，得到一个完整的调
运方案(完整的解)为止。这样就得到了运输问题的一个初始 基可行解(初始调运方案)。
由于该方法基于优先满足单位运价(或运距)最小的供销
业务．故称为最小元素法。
最小元素法分配的初始调运方案
单价cij
A1 供 应 地 Ai A2 A3 需求量bj 销售地Bj B1 B2 B3 B4
至得到运输问题的最优解为止。如前所述，迭代过程得出的
所有解都要求是运输问题的基可行解。
步骤：
m n （1）找出初始即可行解，即在产销平衡表上分配初始调运 ai b j i 1 j 1 方案，保证xij≥0， ，并且xij>0的格（又称实格）必须
有m+n-1个；
（2）求出各非基变量的检验数σij（空格检验数），σij≥0时
西北角法分配初始调运方案
运输问题的表上作业法的一个解释
运输问题的表上作业法的一个解释
运输问题的表上作业法，也称作基于选表法或表上方法，是一种分配类型的技术，它是用来求解类似运输问题的一种技术。
这类问题是在现实生活和技术领域中经常被遇到的，它要求将一定数量的物品从某一个地方运输到另一个地方，或者将某种资源从一个地方运输到另一个地方，再或者将某种物品从一个地方运输到多个地方，例如从苹果在北京的仓库运输到上海的几家超市。
与其他分配类型的技术相比，运输问题的表上作业法的优势在于，它可以给出最优的解决方案，而且这种解决方案可以在较短的时间内获得。
它的基本思路是，首先将数据输入到一个表格，如仓库和超市之间的距离或运输成本，然后用一个“对换”算法对表格进行优化，不断“对换”表格中直接相连的数值，使得解决方案到达最优状态，达到最优化。
首先，将运输问题用表格表示，表格中每一行表示从某一出发地到一定目的地的运输距离或运输费用，每一列表示从一定出发地到某一目的地的运输距离或运输费用。
然后，用“费用减少法”对表格进行优化，不断比较当前状态下两点之间的运输成本，如果当前状态下两点之间的运输成本比较大，则以更小的运输成本替换，从而达到最优解。
经过一定的步骤，即可得到运输问题的最优解，计算完成后可得出最小的运输成本，而且可以把最小的运输成本显示出来，使用户能
够清楚明白。
此外，表上作业法在实际应用中还有其他优势，它比较容易实现，只要将数据输入到表格中，即可完成优化，而且计算时间较短。
有时候，表上作业法也可以用来解决更复杂的问题，如经营决策问题、联盟问题和设备调度问题。
总之，运输问题的表上作业法是一种有效的配类型的技术，它可以帮助人们在短时间内得到最优解，最小化运输成本，应用范围也比较广泛，非常适合求解类似运输问题的技术。
用表上作业法求解运输问题
单独列入另一个表中，并称其为运价表。
运输单价cij A1 产地Ai A2 销售地Bi 供应量
B1
c11 c21
B2
c12 c22
…
… …
Bn
c1n c2n
ai
a1 a2
┆
Am
┆
cm1 b1
┆
cm2 b2
…
… …
┆
cmn bn
┆
am
销售量bj
A1
分布 变量 表 A2 ┆
x11
x21 ┆
x12
x22 ┆
Bj（j=1，2，…，n）运输单位物品的运价是。问怎样调运这
些物品才能使总运费最小?
这是由多个产地供应多个销地的单品种物品运输问题。
为直观起见，可列出该问题的运输表（见下页）。表中的变
量Xij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）为由产地Ai运往销 地Bj的物品数量。cij为Ai到Bj的单位运价。有时，将单位运价
i 1 j 1
一个可行解；另一方面，其目标函数有下界。目标函数值 不会趋于-∞。由此可知，运输问题必存在有限最优解。
（2）运输问题约束条件的系数矩阵
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 m行 n行
MinZ x11 6x12 2x13 10x14 7x21 3x22 5x23 8x24 3x31 2x32 9x33 4x34 s.t. x11 x12 x13 x14 20 (1) x 21 x22 x23 x24 20 (2) x 31 x32 x33 x34 40 (3) x 11 x21 x31 30 (4) x 12 x22 x32 25 (5) x 13 x23 x33 10 (6) x 14 x24 x34 15 (7) x ij 0 i 1,2,3;j 1,2,3,4.
4-02运输问题表上作业法
例 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地Ai 到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x1,1x1,3x3,3x3,4x2,4x2}1 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
B1
B2
B3
B4
A1
X11
X12
A2
X21
X22
A3
X31
X32
X13
运输问题的计算机求解
牢； （满足产量划去“行”，修改“列销”要记 牢） 划去列(行)对《运价》， 修改“行产(列销)”在《产销》； 余表再来找最小，方案很快就找到。
用西北角法确定例3-2初始调运方案
调 销地
运 量
B1
B2
B3
产量
产地
100 90 100 70
100 200 100
A1
X11
X12
X13
80 50 65 200 75 250 200
4-02运输问题表上作业法
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运输问题的表上作业法
1、单纯形法（为什麽？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用的更简洁、更方 便的方法
一、表上作业法的基本思想
先设法给出一个初始方案,然后根据确定 的判别准则对初始方案进行检查、调整、改 进，直至求出最优方案，如图3-1所示。
的公式
σij=cij-（ui+vj）
（3-8）
在 式 （ 3-7 ） 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100，u2=-25，v2=90，于是
σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20
运输问题表上作业法
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
=80+100-（90+75）=15。
得到初始调运方案为： x11=100,x13=100,x22=150,x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 *100 60* 5 15 100 *100 3087
2西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务,而是优先满足运输表中西北角左上角 上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
取
中ij最小0者对应的变量为换
入变量；
2、当迭代到运输问题的最优解时,如果 有某非基变量的检验数等于0,则说明该 运输问题有多重最优解；
3当运输问题某部分产地的产量和,与某部分销 地的销量和相等时,在迭代过程中间有可能有某 个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行 和一列,这时就出现了退化.为了使表上作业法 的迭代工作能顺利进行下去,退化时应在同时划 去的一行或一列中的某个格中填入0,表示这个 格中的变量是取值为0的基变量,使迭代过程中 基变量个数恰好为m+n-1个.
u 1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
运输问题的模型及表上作业法
04
CATALOGUE
表上作业法的实际应用
货物调运问题
总结词
货物调运问题是指如何合理安排货物的运输 ，以最小化运输成本。
详细描述
在货物调运问题中，需要考虑货物的来源、 目的地、运输方式、运输距离和运输成本等 因素。通过表上作业法，可以找到最优的运
输方案，使得总运输成本最低。
车辆调度问题
总结词
车辆调度问题是指如何合理安排车辆的运行，以最小化车辆的空驶和等待时间。
资源限制
运输问题的资源限制包括供应量 、需求量、运输能力等，这些限 制条件要求在运输过程中不能超 过资源的最大供应或需求量。
距离限制
运输问题的距离限制通常以运输 距离或运输时间为标准，要求在 运输过程中尽量缩短距离或时间 。
质量限制
在某些情况下，运输问题的质量 限制包括货物的质量、运输工具 的质量等，要求在运输过程中保 证货物的质量和运输工具的安全 。
02
CATALOGUE
运输问题的数学模型
变量与参数
变量
表示各供应地应向各需求地运输的货物量。
参数
包括各供应地的供应量、各需求地的需求量、各供应地到各需求地的单位运输费用和各货物的单位运 价。
目标函数
• 最小化总费用：目标是找到一组 运输方案，使得总运输费用最小 。
约束条件
供需平衡约束
每个供应地的供应量等于其对应需求地的需求量。
运输问题的模型及 表上作业法
contents
目录
• 运输问题概述 • 运输问题的数学模型 • 表上作业法 • 表上作业法的实际应用 • 表上作业法的优化与改进
01
CATALOGUE运输问题概述Fra bibliotek定义与特性
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谢荣华、林建、岳钱华、叶俊君
【摘要】在物资调运问题中,希望运输费用最少总是人们最为关心的一个
目标。
在各种设定条件的约束下,如何寻找使得总运输费用最少的最优的运输方案是运输问题的核心。
为给社会生产(生活)提供既便捷又经济实惠的物资调运方案,运输问题模型的求解方法可以产生最优的决策方案。
因此对运输问题的深入研究具有极其重要的理论意义和实际应用价值。
表上作业法是解决运输问题的重要方法本文讨论了产销平衡运输问题的表上作业法，利用伏格尔法求初始方案，位势法求检验数，闭合回路发对可行解进行调整和改进，直至求出最优解。
【关键词】运筹学、运输问题、改善优化、表上作业法
一、理论依据
运输问题的表上作业法步骤
1、制作初始平衡表
用“西北最大运量，然后，每增加角方法”：即在左上角先给予最大运量，然后，每增加一个运量都使一个发量或手里饱。
如果所有运量的数字少于
（m+n-1），则补0使之正好（m+n-1）个。
（注:补零时不能使这些书构成圈。
）
2、判断初始方案是否最优
（1）求位势表：对运价表加一行一列，圈出运价表中相应于有运量的项，在增加的行列上分别添上数，使这些元素之和等于圈内的元素。
这些元素称为位势数。
（2）求检验数，从而得到检验数表。
结论：若对任意检验数小于等于0，则该方案最优，否则进入3进行调整.
3、调整
（1）找回路：在检验数大于0对应的应量表上对应元素为起点，沿横向或纵向前进，如遇到有运量的点即转向，直至起点，可得到一个回路。
（2）找调整量：沿上述找到的回路，从起点开始，在该回路上奇数步数字的最小者作为调整量ε。
（3）调整方式：在该回路上奇数步-ε，偶数步+ε，得到新回路。
重复上述步骤，使所有检验数小于0，即得到最优方案。
二、背景
鉴于市场竞争日益激烈，消费者需求渐趋多样，工厂作为市场消费品的产出源头，唯有对这种趋势深刻理解、深入分析，同事具体的应用于实际中，才能使自身手艺，断发展壮大，不被新新行业所淘汰。
对于今天的重点研究对象食品工厂而言，由于在不同产品在原料使用、物料损耗、市场价格等方面均存在各种差异，如何确定各产品的生产配比，以及在最优的生产配比方案之下工厂能够达到最大的产值，都是值得进行探讨研究的现实问题。
三、实例
甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为：320、250、350万吨，由A、B 两处煤矿负责供应。
已知煤炭年供应量分别为：A—400万吨，B—450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)见表1。
由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0～30万吨，乙城市需要量应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨。
试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。
甲乙丙
A151822
B212516
分析：甲、乙、丙三个城市每年的煤炭总需求量为：320+250+350=920万吨，A、B两处煤矿年煤炭总供应量为：400+450=850万吨。
虚拟一个C煤矿，其供应量为70万吨，其单位运价如表2所示。
表2:
甲甲乙丙丙供应A1515182222400
B2121251616450
C M0M M070
需求2903025027080920
表3：
用位势法求各非基变量的检验数，如表4所示。
由于表4中的所有非基变量检验数均为非负，所以表3中的解即为最优解。
按表3中的方案可得运费最少为14650万元。
四、结论
对于运筹学在运输问题的研究，首先运筹学在寻求物流运输成本最低的运
输组合中起着重要的作用，在企业拥有资源有限的情况下，比如运输工具有限。
运输人员有限，运输时间的限制等，利用管理运筹学把现实中的抽象问题转化成具体的数学问题，再建立相应的数学模型并求解，使问题得到解决，因而使运输成本最小化。
其次，我们在算法中引进这样的运算机制：将场地、销地、运输工具、运输数量等进行综合评估后得找到最优运输方案和运输路线及运量，运用管理运筹学表上作业法算法找出最优运输方案。
第三，随着企业在运输过程中提出的目标不断增加，并且决定运输成本的因素也不断增加，问题会越来越复杂，如果不借助科学的方法，很难找到成本最低的最优组合。
正是因为这样，运筹学在物流运输成本控制中的作用越来越重要。
参考文献：[1]钱颂迪.运筹学。