高中数学全套知识点思维导图空间向量及其运算
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。
设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。
2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。
三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。
高一数学人教A版(2019)必修第二册思维导图
第六章平面向量及其应用平面向量的概念向量的几何表示向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量的模向量的大小称为向量的长度或称模记作零向量长度为的向量叫做零向量记作单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.相等向量与共线向量平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.零向量与任意向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.平面向量的运算向量的加法运算三角形法则平行四边形法则对于零向量与任意向量有向量的加法运算律交换律结合律向量形式的三角不等式当且仅当方向相同时等号成立向量的减法运算相反向量：与向量长度相等方向相反的向量叫做的相反向量记作零向量的相反向量仍是零向量.向量的减法：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.向量的数乘运算定义一般地我们规定实数与向量的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作长度与方向的规定（）当时（）当时的方向与的方向相同当时的方向与的方向相反向量数乘的运算律设为任意实数则有（）（）（）特别地，有向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数使向量的数量积向量的夹角：已知两个非零向量是平面上的任意一点作则叫做向量与的夹角当时与同向当时与反向当时与垂直记作数量积的定义：已知两个非零向量与它们的夹角为则数量叫做向量与的数量积（或内积）记作即零向量与任一向量的数列积为投影与投影向量.性质设是非零向量它们的夹角是是与方向相同的单位向量则（）（）（）当与同向时当与反向时特别地或（）数量积的运算律（）（）（）平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数使基底若不共线则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.叫做向量的坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示设两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.平面向量数乘运算的坐标表示设实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设向量共线的充要条件是平面向量数量积的坐标表示设两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.若则设则设都是非零向量是与的夹角则平面向量的应用向量在平面几何中的应用向量在物理中的应用余弦定理在中角的对边分别为正弦定理在中角的对边分别为第七章复数复数的概念数系的扩充和复数的概念形如的数叫做复数其中叫做虚数单位满足全体复数构成的集合叫做复数集复数通常用字母表示即其中的与分别叫做复数的实部与虚部与相等当且仅当且复数的分类实数虚数当时为纯虚数复数的几何意义建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数与复平面内的点一一对应复数与平面向量一一对应复数的模向量的模叫做复数的模或绝对值记作或即其中共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数的共轭复数用表示即如果那么复数的四则运算复数加、减法的运算法则设是任意两个复数则复数加法的运算律对任意有复数加法的几何意义：复数的加法可以按照对应向量的加法来进行.复数的乘法法则设是任意两个复数则复数乘法的运算律对任意有复数的除法法则且复数的三角表示一般地任何一个复数都可以表示成的形式其中是复数的模是以轴的非负半轴为始边向量所在射线射线为终边的角叫做复数的辐角叫做复数的三角表示式简称三角形式叫做复数的代数表示式简称代数形式在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作即复数乘法的三角表示两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.复数除法的三角表示两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.第八章立体几何初步基本立体图形多面体一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.旋转体一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.简单组合体由简单几何体组合而成的几何体.立体图形的直观图用斜二测画法画空间几何体的直观图的画法（）在几何体中取水平平面作互相垂直的轴再作轴使（）画出与对应的轴使或所确定的平面表示水平平面平面和表示竖直平面（）在几何体中，平行于轴，轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴，轴或轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同（）在几何体中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半（）擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图简单几何体的表面积与体积表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.圆柱是底面半径是母线长圆锥是底面半径是母线长圆台分别是上、下底面半径是母线长球是球的半径体积棱柱是底面面积是高棱锥是底面面积是高棱台分别是上、下底面面积是高圆柱（是底面半径是高圆锥是底面半径是高圆台分别是上、下底面半径是高球是球的半径空间点、直线、平面之间的位置关系空间直线、平面的平行空间直线、平面的垂直平面空间中直线与直线的位置关系空间中直线与平面的位置关系空间中平面与平面的位置关系基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点直线在平面内----有无数个公共点两个平面平行----没有公共点两个平面相交----有一条公共直线基本事实1可以说成不共线的三点确定一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：在同一平面内，没有公共点直线在平面外直线与平面相交----有且只有一个公共点直线与平面平行----没有公共点直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面平行异面直线所成的角已知两条异面直线经过空间任一点分别作直线直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）如果两条异面直线所成的角是直角那么这两条异面直线互相垂直直线与直线垂直记作如果直线与平面内的任意一条直线都垂直我们就说直线与平面互相垂直记作直线叫做平面的垂线平面叫做直线的垂面它们唯一的公共点叫做垂足过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.平面到平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点以点为垂足在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角一般地两个平面相交如果它们所成的二面角是直二面角就说这两个平面互相垂直平面与垂直记作判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.第九章统计随机抽样简单随机抽样分层随机抽样用样本估计总体简单随机抽样的特点：（）总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析（）逐个抽取：简单随机抽样是从总体中逐个进行抽取，这样便于实际操作（）不放回抽样：简单随机抽样是一种不放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算（）等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽到的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽到的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性抽签法的操作步骤：第一步，编号：将个个体编号（号码可以从到，也可以使用已有的号码）第二步，写签：将个号码写到大小、形状相同的号签上第三步，抽签：将号签搅拌均匀，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取次，并记录其编号第四步，定样：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本随机数法：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数，②用信息技术生成随机数分层随机抽样：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，在把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.分层随机抽样的平均数计算：在分层随机抽样中，以层数是层为例，如果第层和第层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，第层和第层样本的平均数分别为和，则样本的平均数总体平均数：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称为总体均值，又称总体平均数样本平均数：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称为样本均值，又称样本平均数总体取值规律的估计总体百分位数的估计总体集中趋势的估计总体离散程度的估计画频率分布直方图的步骤：求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差决定组距与组数：一般数据的个数越多所分组数也越多当样本容量不超过时常分成组为了方便起见一般取等长组距并且组距应力求取整将数据分组列频率分布表：计算各小组的频率频率频数样本容量画频率分布直方图：频率分布直方图的纵轴表示频率组距小长方形的面积组距频率组距频率在频率分布直方图中各小长方形的面积的总和等于即样本数据落在整个区间的频率为第百分数：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等众数：在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据一组数据的平均数为方差：标准差：总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为若一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为总体方差：总体标准差：样本方差：样本标准差：如果总体的个变量值中，不同的值共有个，记为，其中出现的频数为，则总体方差为。
选修2-1-第三章-空间向量及其运算知识点资料讲解
2
2
→→
→→
→→
∴ CE＝ 2MN ，∴ CE∥MN ，即 CE 与MN 共线．
例 4：如图所示，在正方体
→
→→
ABCD － A1 B1C1D 1 中， E 在 A1D1 上，且 A1E＝ 2ED 1， F 在对角线
A1C
上，且
A1F
＝
2 3
FC
.
求证： E ， F ， B 三点共线．
→
→
→
证明： 设 AB＝ a， AD ＝ b， AA1＝ c.
＝
6 6 .∴ AC
与
BD 1 夹角的余弦值为
6 6.
|BD 1||AC|
→→
②已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点， 则AE ·AF 的值为 ( )
A． a2
B.1a2 2
1 C.
a
2
4
D.
3 a
2
4
→
→
→
解析： 设 AB＝ a， AC＝ b，AD ＝ c，则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ a，且 a， b， c 三向量两两夹角为
例 5：已知 A、 B、C 三点不共线，对于平面
→ →→→
ABC 外一点
O，若
OP
＝
2 5
OA＋ 15OB＋ 25OC，则点
P 是否与
A、 B、 C
一定共面？试说明理由．
uuur 解析： ∵ OP
2 uur 1 uuur OA OB
5
5
2 uuru OC
3
2 uuur uur (OP + PA)
5
1 uuur uur (OP+ PB )
思维导图高中数学
思维导图高中数学
高中知识导图
必修一、二
集合与函数的概念
集合函数及其表示函数的基本性质
基本初等函数
指数函数对数函数幂函数
函数的应用
函数与方程函数模型及其应用
空间几何体
空间几何体的结构三视图和直观图表面积与体积
点直线平面之间的位置关系
直线、平面平行的判定及其直线、平面垂直的判定及其位置关系性质性质
直线与方程
直线的倾斜角和斜率直线的方程直线的交点坐标与距离公式圆与方程
圆的方程直线、圆的位置关系空间直角坐标系
必修三、四
算法初步
算法程序基本算法算法案例框图语句
统计
随机抽样用样本估变量间的
计总体相关关系
概率
随机事件古典概率几何概率的概率
三角函数
任意角和弧度任意角的三角三角函数的诱三角函数的图函数三角函数模型制函数导公式像与性质y=Asin(wx+ψ) 的简单应用
平面向量
基本定理及坐数量积应用例举概念线性运算
标表示
三角恒等变
换
两角和与差简单的三角
的公式统计图。
高中数学知识点思维导图--21张图梳理高中数学知识结构
高中数学知识点思维导图
----21张图理清高中数学知识结构
目录
一、集合与简易逻辑 (1)
二、函数与基本初等函数 (2)
三、导数及其应用 (3)
四、三角函数 (4)
五、解三角形与平面向量 (5)
六、数列 (6)
七、不等式 (7)
八、三视图与空间位置关系 (8)
九、立体几何 (9)
十、空间向量与立体几何 (10)
十一、直线的方程 (11)
十二、圆的方程 (12)
十三、直线系、圆系、直线与圆锥曲线关系 (13)
十四、圆锥曲线 (14)
十五、椭圆的定义与几何性质 (15)
十六、双曲线的定义与几何性质 (16)
十七、抛物线的定义与几何性质 (17)
十八、计数原理、二项式定理、推理与证明 (18)
十九、概率与统计 (20)
二十、复数 (21)
二十一、算法 (22)
一、集合与简易逻辑
二、函数与基本初等函数
三、导数及其应用
四、三角函数
五、解三角形与平面向量
六、数列
七、不等式
八、三视图与空间位置关系
九、立体几何
十、空间向量与立体几何
十一、直线的方程
十二、圆的方程
十三、直线系、圆系、直线与圆锥曲线关系
十四、圆锥曲线
十五、椭圆的定义与几何性质
十八、计数原理、二项式定理、推理与证明
十九、概率与统计
二十、复数
二十一、算法。
高一第二册数学知识点思维导图
高一第二册数学知识点思维导图一、函数与方程1. 函数的定义和性质1.1 函数的概念1.2 函数的性质2. 一次函数与二次函数2.1 一次函数的性质与图像2.2 二次函数的性质与图像3. 指数函数与对数函数3.1 指数函数的定义和性质3.2 对数函数的定义和性质4. 幂函数与反比例函数4.1 幂函数的定义和性质4.2 反比例函数的定义和性质5. 方程的解及图像5.1 方程的解5.2 方程的图像二、三角函数与解三角形1. 三角函数的基础知识1.1 弧度制与角度制1.2 三角函数的定义和性质2. 三角函数的图像与性质2.1 正弦函数的图像与性质 2.2 余弦函数的图像与性质2.3 正切函数的图像与性质3. 三角函数的计算3.1 三角函数的基本关系式3.2 三角函数的合并与分解4. 解三角形的基本概念4.1 直角三角形的解析4.2 一般三角形的解析三、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列1.1 等差数列的基本性质1.2 等比数列的基本性质2. 数列的递推关系与通项公式2.1 等差数列的递推关系与通项公式2.2 等比数列的递推关系与通项公式3. 数列的求和3.1 等差数列的求和3.2 等比数列的求和4. 数学归纳法的基本概念4.1 数学归纳法的思想和原理4.2 数学归纳法的应用四、平面向量与立体几何1. 平面向量的基础知识1.1 平面向量的定义和性质1.2 平面向量的运算法则2. 点、直线、平面与向量的关系2.1 点与向量的关系2.2 直线与向量的关系2.3 平面与向量的关系3. 空间向量与立体几何的基础概念 3.1 空间向量的定义和性质3.2 空间几何的基本公理4. 空间直线与平面的位置关系4.1 空间直线与平面的相交关系4.2 平行与垂直的判定五、概率论与数理统计1. 随机事件与概率的基础知识1.1 随机事件的概念和性质1.2 概率的定义和性质2. 随机变量与概率分布2.1 随机变量的概念和性质2.2 概率分布的基本概念和形式3. 统计与估计3.1 统计的基本概念和方法3.2 参数估计的基本原理和方法4. 假设检验与方差分析4.1 假设检验的基本概念和过程4.2 方差分析的基本原理和应用六、数学证明与数学建模1. 数学证明的基本方法1.1 直接证明法和间接证明法1.2 数学归纳法的证明方法2. 常见数学定理与证明2.1 勾股定理及其证明2.2 平行线定理及其证明2.3 傅里叶级数展开及其证明3. 数学建模的基本步骤3.1 建立模型的思路和方法3.2 模型求解的策略和技巧以上是高一第二册数学知识点的思维导图，通过这个思维导图，你可以清晰地了解到该册数学所包含的内容。
高中数学思维导图(新课标)
'
f x 与 f x 0 的区别
vt S ， at vt
'
0 0
第 二 部 分 映 射 、 函 数 、 导 数 、 定 积 分 与 微 积 分
导 数
导数概念
运动的平均速度 曲线的割线的斜率
'
0
k f
'
'
x
0
' '
； x
n
nx 1 x
定
映
A中元素在B中都有唯一的象；可一对一 （一一映射），也可多对一，但不可一对多 定义 函数的概念 表示 定义域
列表法 解析法 图象法 使解析式有意义及实际意义
第 二 部 分 映 射 、 函 数 、 导 数 、 定 积 分 与 微 积 分
射
三要素
区间 单调性 奇偶性 周期性 对称性
对应关系 值域
常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、 重要不等式、三角法、图象法、线性规划等
函数的 基本性质
函 数
函数常见的
最值
几种变换
基本初等函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用
平移变换、对称变换 翻折变换、伸缩变换
三角函数 单调性：同增异减 赋值法，典型的函数 零点 建立函数模型 求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 退出 上一页
函数的平均变化率
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线的斜率
第一部分 第二部分 第三部分 第四部分 第五部分 第六部分
集合与简易逻辑 映射、函数、导数、定积分与微积分 三角函数与平面向量 数列 不等式 立体几何与空间向量
高中数学知识框架思维导图(整理版)
点斜式：y－y0＝k(x－x0)
注意：截距可正、
可负，也可为 0.
2 −1
注意各种形式的转化和运用范围.
x y
截距式： ＋ ＝1
a b
两直线的交点
距离
一般式：Ax＋By＋C＝0
两点间的距离公式|1 2 | = √(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2 ．
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2+1 −1
− (+2)2 )
= (−1) (
1
2−1
+
错位相加法: = ( + )−1 → = ( + ) −
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
与 的关系
1 ，
= 1，
= {
− −1 ， ≥ 2．
构造等差数列
an＋1 p an
= · ＋1 转为③
qn q qn－1
⑤an + 1＝pan＋qn
第一章空间向量与立体几何-高二数学上学期(人教A版)课件
AA1 AB 2AD 2CD 4 , C(2,0,2) ， E(2,2,0) ， F(1, 4,0) ，G0,2,4 ．
CG 2, 2, 2 ， EF (1,2,0) ．
CG EF 21 0 22 6 ． （2）证明：由（1）得：CE 0,2, 2 ．
0 2m n
令 CE mCG nEF ，即 2 2m 2n
432
44
4 444
则 BG 3 BN ，又 BG,BN 有公共起点 B ，B ，G ， N 三点共线． 4
3 典型例题讲与练
考点02:空间向量的共线定理
【考试题型2】由空间向量共线求参数或值 【典例 1】（2023 下·江苏盐城·高二校联考阶段练习）已知向量a (1,1,0), b (1,0,2) ，
【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；
①零向量没有方向；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；
③若空间向量 a,b 满足 a b ，则a b； ④若空间向量 m, n, p 满足 m n, n p ，则m p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为【（ 答案】D）
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且 方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错误；
命题④显然正确；
A．4
B．3
C．2
D．1
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但 方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误．
【考试题型1】空间向量基本概念
(1)请用a,b,c 表示 BN ； (2)求证： B,G, N 三点共线.
高二立体几何(考点清单)
空间向量的线性运算（考点清单）一、思维导图二、知识回顾知识点01：空间向量的有关概念1、空间向量的有关概念（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．（2）几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a- 相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的表示表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：（1）几何表示法：用有向线段AB来表示，A 叫向量的起点，B 叫向量的终点；（2）字母表示法：用,,a b c 表示．向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB，其模记为a或AB .知识点02：空间向量的加法、减法运算1、空间向量的位置：已知空间向量,a b，可以把它们平移到同一平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA a = ，OB b=2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量AC b = ，则向量OC叫做向量,a b 的和．记作a b +，即OC AC a b==+3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量BA 叫做a 与b 的差，记作a b -，即BA OA OB a b=-=-4、空间向量的加法运算律（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：()a b c a b c++=++ 知识点03：空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积a λ仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量a λ 与向量a的关系λ的范围a λ的方向a λ 的模λ>aλ 与向量a 的方向相同||||||a a λλ= 0λ=0a λ=，其方向是任意的λ<aλ 与向量a 的方向相反3、对数乘向量a λ 与向量a的关系的进一步理解：（1）可以把向量a 的模扩大（当||1λ>时），也可缩小（当||1λ<时）；可以不改变向量a的方向（当0λ>时），也可以改变向量a的方向（当0λ<时）．（2）实数与向量的积的特殊情况：当0λ=时，0a λ= ；当0λ≠时，若0a = ，则0a λ=．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，a λ+ ，a λ-没有意义，无法运算．01空间向量有关概念【考试题型1】空间向量有关概念【解题方法】掌握向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决的关键【考试题型2】空间向量的线性运算【解题方法】空间向量加法、减法运算技巧或者利用数乘进行向量表示02空间向量数量积的运算【考试题型1】空间向量数量积的运算【解题方法】利用向量的运算律将数量积展开并转化为已知模和夹角的向量的数量积【考试题型2】利用数量积求夹角【解题方法】可以分为4个步骤：取向量、角转化、求余弦值、定结果【考试题型3】利用空间向量数量积求两点间距离【解题方法】利用|a|=，通过计算求出|a|，即得所得距离。
高二数学人教A版(2019)选择性必修第一、二册思维导图
空间向量与立体几何空间向量及其运算空间向量基本定理空间向量的应用空间向量及其运算的坐标表示线性运算数量积运算空间向量的相关概念：空间向量的定义、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量、直线的方向向量.共面向量定理：如果两个向量不共线那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对使共线向量定理：对任意两个空间向量的充要条件是存在实数使空间向量的夹角：两个非零向量的夹角记作如果那么向量互相垂直记作数量积：已知两个非零向量则叫做的数量积记作即空间向量的数量积的运算律：（）结合律（）交换律；（）分配律空间向量线性运算的运算律：交换律：；结合律：，分配律：，空间向量基本定理：如果三个向量不共面那么对任意一个空间向量存在唯一的有序实数组使得基底和基向量：叫做空间的一个基底都叫做基向量单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.由空间向量基本定理可知对空间中的任意向量均可以分解为三个向量使空间直角坐标系的相关概念：坐标轴、空间直角坐标系、坐标向量、坐标平面、右手直角坐标系.空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.空间向量运算的坐标表示：设空间两点间的距离公式：设是空间中任意两点则平面的法向量：若直线取直线的方向向量称向量为平面的法向量空间中直线、平面的平行空间中直线、平面的垂直空间中的距离、夹角问题线线平行：设分别是直线的方向向量则使得线面平行：设是直线的方向向量是平面的法向量则面面平行：设分别是平面的法向量则使得线线垂直：设直线的方向向量分别为则线面垂直：设直线的方向向量为平面的法向量为则使得面面垂直：设平面的法向量分别为则异面直线所成角：若异面直线所成的角为其方向向量分别是则线面角：设直线与平面所成的角为直线的方向向量为平面的法向量为则二面角：若平面的法向量分别是和夹角为则直线和圆的方程直线的倾斜角与斜率直线的方程倾斜角与斜率：已知直线的倾斜角为则直线的斜率为直线的斜率：经过两点的直线的斜率公式为两直线平行和垂直的判定：设两条直线的斜率分别为（）；（）点斜式方程：斜截式方程：两点式方程：一般式方程：不同时为直线的交点坐标与距离公式圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系两直线的交点坐标：方程组的解就是两直线交点的坐标两点间的距离公式：间的距离公式为点到直线的距离公式：点到直线的距离两条平行直线间的距离：若直线的方程分别为则两平行线的距离标准方程：圆心为半径为的圆的标准方程一般方程：直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系相交，有两个公共点相切，只有一个公共点相离，没有公共点判断直线与圆的位置关系的方法代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）相交，有两个公共点相切，包括外切和内切，只有一个公共点相离，包括外离和内含，没有公共点圆锥曲线的方程椭圆椭圆的定义：一般地，把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于的点的轨迹叫做椭圆椭圆的几何性质抛物线抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线不经过点的距离相等的点的轨迹叫做拋物线点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线焦点在轴上，，范围：，顶点坐标，，，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.焦点在轴上，，范围，顶点坐标，，，双曲线双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数小于的点的轨迹叫做双曲线双曲线的几何性质共同性质：；关于轴、轴、原点对称；焦距，长轴长，短轴长；离心率两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.共同性质：；关于轴、轴、原点对称；焦距，实轴长，虚轴长；离心率焦点在轴上，，范围：，顶点坐标：，焦点在轴上，，范围，顶点坐标：，渐近线：渐近线：抛物线的几何性质顶点：；离心率：焦点：准线：开口方向：向右关于轴对称焦点：准线：开口方向：向左关于轴对称范围：，焦点：准线：开口方向：向上关于轴对称范围：，焦点：准线：开口方向：向下关于轴对称范围：，范围：，一元函数的导数及其应用导数的概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率：比值，即叫做函数从到的平均变化率导数（瞬时变化率）：在处可导并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率记作或即基本初等函数的导数导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值函数的最大（小）值导数的几何意义：函数在处的导数就是切线的斜率，即这就是导数的几何意义导函数的概念：当时，是一个唯一确定的数，当变化时，就是的函数，称为的导函数简称导数的导函数有时也记作，即若为常数，则；若，且，则；若，则；若，则；若，且，则；特别地，若，则；若，且，则；特别地，若，则；函数和、差的求导法则：函数积、商的求导法则：；；复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作复合函数的导数求法：一般地，对于复合函数，导数为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积函数的单调性与导函数的正负之间的关系：在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减判断函数的单调性的步骤：第步，确定函数的定义域；第步，求出导数的零点；第步，用的零点将的定义域划分为若干个区间列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性导数与函数图象的关系：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.极值的定义：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值求函数极值的步骤：解方程，当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值最值的定义：如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值求函数最值的步骤：求函数在区间上的极值将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值画函数图象的步骤：求出函数的定义域；求导数及函数的零点；用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；画出的大致图象。
高中数学人教版(A版)选修思维导图
第二章 随机变量及其分布
2.2 二项分布及其应用 2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.4 正态分布
第三章 统计案例
3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
一、平面直角坐标系 二、极坐标系
三、简单曲线的极坐标方程 四、柱坐标系与球坐标系简介
一、曲线的参数方程 二、圆锥曲线的参数方程
三、直线的参数方程 四、渐近线与摆线
第一讲 坐标系 第二讲 参数方程
一、不等式 二、绝对值不等式
一、比较法 二、综合法与分析法 三、反证法与放缩法 一、二维形势的柯西不等式 二、一般形式的柯西不等式
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则远算
第四章 框图
4.1 流程图 4.3 结构图
1.1 命题及其关系
第一章 常用逻辑用语
1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑连接词
1.4 全称量词与特称量词
1.7 定积分的简单应用
2.1 合情推理与演绎推理
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
3.3 数学归纳法
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.3 二项式定理
2.1 离散型随机变量及其分布列
三、排序不等式 一、数学归纳法 二、用数学归纳法证明不等式举例
第一讲 不等式和绝对值不等式 第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 用数学归纳法证明不等式