导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
／ 一… 一 一 … … … … … … … 一… 一
～一 …一 ． ． … … … …一 … ～ … …
翻 豳 苣 ｌ ｉ 餮 ｌ … 一 … 、 一 一 … … … … … … 一 一 ～ 一 一 一 … … ～ … … … … … ＼
思索 前 后 两个 函 数 都 有 一 个
ａ
形 式 可 以分 成 ａ ＝ ０ ， ａ ＞ Ｏ ， ａ ＜ Ｏ 三 种 情 况进行 讨论 ． 通过 数形 结合进行 选择 ．
合 的 思 想 和 转 化 变 换 的 思 想 研 究
重 点 ：了解 函数 单 调 性 和 导 数 的 关 系 ．能 利 用 导数 研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 函数 的单 调 区 间 ； 了解 函 数 在某 点取 得 极 值 的 必要 条 件 和充 分条件 ； 会 用 导 数 求 函 数 的极 大值 、
基 础 知识 进 行 考 查 的 同 时 ，还 注重
结到位 ． 并 不 断进 行训 练． ３ ．要 加 强 交 汇 ．注 意 导 数 与 函
出一 个 “ 用” 字， 其 中利 用 导 数 判 断 单 调性 起 着 基 础 性 的 作 用 ，对 导 数
数、 方程 、 不 等 式 等 知识 的 交 汇，由 导 数 方法 研 究 方 程 、 不等式时 ， 一 般
是 先 构造 一 个 函数 ，这 里要 考 虑是
在 解 决 函数 单 调 性 、 最值、 极 值 等方
面 的应 用 ． 要做到抓 主线 ， 攻重点 ， 熟 知方 法 ， 并 不 断 进行 训 练 ．要 注 意
考 查 能力 ， 特 别 是 解 导 数解 答 题 ， 往
往 要 站在 数 学 思 想 方 法 的 高 度去 考 虑 问题 ．对 求 解 目标 的理 解 应 该 如
导数在研究函数中的
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，通过求 导并令导数等于0，可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ，但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$，令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$，进一步分 析导数符号可知，当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) > 0$；当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) < 0$。因 此，$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点，$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点，即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负，可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知，当$x < 0$时，$f''(x) < 0$；
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系，通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况，帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
04
导数在高等数学中的进一步 应用
导数在研究函数中的应用PPT课件
是减函数，求a的取值范围.
例4（09年宁夏/海南卷）已知函数 3 2 x f ( x) ( x 3x ax b)e . （1）若a＝b＝－3，求f(x)的单调区间 （2）若f(x)在(－∞，α )，(2，β )内 单调递增，在(α ，2)，(β ，＋∞)单调 递减，证明：β －α ＞6. 【解题要点】 求导后要指出定义域→由导数大于0得递 增开区间，定义域内其余区间为递减区 间→单调递增条件转化为导数非负.
考点2 导数在函数极值问题中的应用 3 x 2 例5 求函数 f ( x) 的极值 . 2 ( x 1) 例6 已知函数 f ( x) ( x ax a)e 有极小值0，求实数a的值.
2 x
例7（09年湖南卷文）已知函数 3 2 f ( x) x bx cx 的导函数的图象关于 直线x＝2对称，且函数f(x)在x＝t处取 得极小值g(t)，求函数g(t)的定义域和 值域.
10.2
导数在研究函数中的应用
知识梳理
1 5730 p 2
t
1.导数与函数的单调性： f ′(x)≥0 Ûf(x)单调递增； f ′(x)≤0 Û f(x)单调递减， 其中f ′(x)不恒等于0.
2.函数极值的概念： 函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近 的所有的点，都有 （1）f(x)＞f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极小值； （2）f(x)＜f(x0)，则f(x0)为函数f(x)的 极大值.
例8（09年全国卷）已知函数 2 x 1和x 2， f x x aIn 1 有两个极值点 x 且x 1＜x 2. （1）求实数a的取值范围；
1 2 In2 （2）证明 f x2 . 4
【解题要点】 由导函数的变号零点确定极值点→结合 图象确定极值类型.
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用学习目标：1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）重难点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。
函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。
在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。
利用导数研究函数的性质
（五）利用导数研究函数的性质【知识精讲】导数在研究函数中的应用：1、利用导数求函数()y f x =单调区间的步骤：① 确定()f x 的定义域； ② 求导数'()f x ；③ 令'()0f x >，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递增区间， 令'()0f x <，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递减区间.2、对于含参数的函数()y f x =，若已知此函数在某区间单调递增（或单调递减），则此函数的导函数'()0f x ≥（或'()0f x ≤）在此区间上恒成立.处理恒成立问题，常用图象法或分离参数法，从而可求得参数的取值范围.3、求可导函数 )(x f y =极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'0y =的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f y =在这个根处取得极大值.4、在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：① 函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；．② 求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值③ 将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.【例题选讲】例1.【2014·全国大纲卷（理22）】已知函数3()ln(1)3x f x x x =+-+.讨论()f x 的单调性；例2.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论14a =-时函数()f x 的单调性.例3.【2014·福建卷（理20）】已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.求a 的值及函数()x f 的极值；例4.【2014·四川卷（文21）】已知函数3()12x f x e x =--，求函数()f x 在区间[0,1]上的最值；【练习巩固】1.求函数ln ()x f x x=的单调区间.2.设函数22()(ln )x e f x x x x=++求函数()f x 的单调区间3..【2014·湖南卷（理22）】已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；4.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数238()13f x x x x =+--，其中0a >. (Ⅰ)讨论()f x 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值5.【2014·江西卷（理18）】已知函数. （1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b 的取值范围.。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件
或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+
导数在函数中的应用
导数在函数中的应用
现代社会中，微积分在各个领域都有着广泛的应用，而其中最重要的就是导数的应用。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势，可以提供有关函数的关键信息，它在科学、工程、数学、物理等众多领域有着重要的作用。
首先，导数可以用来确定函数的极值，即求解函数的最大值和最小值。
函数的极值是指函数在定义域内所取得的最大值或最小值，利用导数可以轻松地求出函数的极值。
其次，导数可以用来分析函数的变化趋势，即函数图像的上升或下降速度。
函数的变化趋势是指函数在定义域内的变化状况，其中导数可以用来描述函数的变化速度，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化趋势。
此外，导数可以用来解决最优化问题，即找出某一函数的最优解。
最优化问题是指在一定条件下，求出能够使函数取得最大值或最小值的解，用导数可以计算出函数的极值，从而可以找出函数的最优解。
最后，导数还可以用来研究函数的变化率，即求出函数在某一点的变化率。
函数的变化率是指函数在某一点的变化率，其中导数可以用来描述函数在某一点的变化率，可以帮助我们更清楚地了解函数的变化状况。
总之，导数在函数中有着重要的作用，它可以用来求解函数的极值、分析函数的变化趋势、解决最优化问题和研究函数的变化率，它在各个领域都有着重要的作用。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像，并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质，这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势，可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率，进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用，通过求导数找到利润函数的极值点 ，从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中，最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点，从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如，在投资 组合优化中，通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在研究物体 的运动轨迹时，通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时，导数可以用来描述温度随时间的变 化率，通过求解导数方程，可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述应力和应变的关系，通 过求解导数方程，可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色，通过求导数找到成本函数的极值点，从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中，最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点，从而确定在什么情况下成本最低。例如，在生产过程中，通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。
导数在研究函数中应用之函数单调性
导数在研究函数中应用之函数单调性函数的导数在研究函数的性质时有着广泛的应用，其中之一就是研究函数的单调性。
函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在实际应用中，研究函数的单调性可以帮助我们分析函数的变化趋势，找出函数取值的最大值和最小值，进而解决一些实际问题。
首先，我们来回顾一下函数的导数定义：对于函数y=f(x)，如果在点x处导数存在，那么函数在点x处的导数就是函数在该点的切线斜率，用符号f'(x)表示。
注意，函数的导数可以看作是函数的变化率，因此函数在其中一区间上单调增加的条件就是函数在该区间上导数恒大于0；同理，函数在其中一区间上单调减少的条件就是函数在该区间上导数恒小于0。
在研究函数的单调性时，我们可以通过分析函数的导数来判断函数在其中一区间上的单调性。
具体来说，我们通过以下几个步骤来研究函数的单调性：1.首先，找出函数的定义域。
函数的定义域是指使得函数有意义的x的取值范围。
在研究函数单调性时，我们只关注函数的定义域内部的区间。
2.接下来，求出函数的导函数。
导函数是函数的导数函数，用来描述函数的变化趋势。
3.然后，解方程f'(x)=0，找出函数导数的零点。
当导数的值为0时，函数可能存在极值点，因此我们需要找出这些点。
4.根据求出的导数的零点，将函数的定义域划分成多个区间，在每个区间内分别讨论函数的单调性。
5.最后，根据导函数的正负变化情况判断函数在每个区间上的单调性。
导函数的正负变化可以通过判断导函数的符号来实现。
如果导函数在一些区间上始终为正，那么函数在该区间上单调增加；如果导函数在一些区间上始终为负，那么函数在该区间上单调减少。
通过以上分析，我们可以得出一个重要结论：函数在导数大于0的区间上单调增加，在导数小于0的区间上单调减少。
当然，导数为0的点除外，因为这些点可能是函数的极值点。
函数的单调性在实际应用中有着很重要的作用。
例如，我们在经济学中经常研究产品的生产与销售关系。
《导数在研究函数中的应用》教学设计
《导数在研究函数中的应用》教学设计一、学情分析我校高二学生在经历了一年多的高中学习，抽象思维能力有所提高，但对于形象的事物则更容易理解并掌握。
在前一个月，不断地通过数形结合的方式，引导学生认识、掌握、运用导数。
目前，学生对于导数的基础知识较好的掌握。
然而，学习若只停留在“被动接受”的阶段，而没有“主动出击”的经历，那么，学习便无乐趣，学生便无能力。
如何激发学生的自主探究的激情，明确探究的内容，制定探究的方案，越过探究的难点，享受成功的喜乐。
这对于教师来说，是一个大挑战。
在较好掌握一阶导数在函数单调性中的应用后，学生自然而然会产生一种纵向挖掘导数新知的欲望，那就是探究二阶导数的相关知识。
（也可能是横向挖掘：探究导数在奇偶性、周期性等方面的应用）这为本节课的学习提供了情感基础。
二、教学思路【教材地位和作用】本节课是属于导数知识的拓展课。
凹凸性是一个重要的函数性质，虽不在高中学习的范畴内，但在高等数学中有着重要的地位（与拉格朗里定理，柯西不等式都有着重要的联系）。
并且也常有以二阶导数为背景的高考题目。
因此，本节课既着眼于提高学生的探究能力，也在一定程度上拓宽了学生的数学知识、素养。
【教学重、难点以及突破】重难点：（1）如何引出猜想（即[f'(x)]'决定f(x)的凹凸性）（2）面队大量的素材，如何有效的分析（3）解释结论突破：（1）如何引出猜想？突破方法：通过对汽车启动和刹车时的s(t)图形特点的思考，从而引导学生从“加速度对s(t) 图形的影响”联想到“[f'(x)]'对f(x)图形的影响。
（2）通过计算具体函数的[f'(x)]',并画出f(x),[f'(x)]'的图形。
在面对纷繁杂乱的素材时，如何才能高效地处理素材，提取出有效的信息，用于验证猜想？突破方法：将图形按照[f'(x)]'的符号来分类，通过分析同一类的f(x)图形共性，不断地验证猜想，并加强对“凹凸”的直观感知。
导数在研究函数中的应用教学设计
导数在研究函数中的应用教学设计一、教学目标1.理解导数的定义以及导数的几何意义。
2.理解导数的运算规则。
3.掌握常见函数的导数计算方法。
4.能够应用导数分析函数的变化规律和局部特性。
二、教学内容1.导数的定义和几何意义。
2.导数的运算规则。
3.常见函数的导数计算方法。
4.导数在函数分析中的应用。
三、教学过程1.导入与导入(5分钟)教师可以提出一个问题，如一辆汽车在其中一时刻的速度如何计算？引导学生思考，在不同时间点的速度是否一样？为什么？通过讨论，引出导数的定义。
2.导数的定义和几何意义(20分钟)教师通过示意图和实例，介绍导数的定义：若函数 f(x) 在点 x0 处的导数存在，记作 f'(x0) 或 dy/dx ，x=x0，定义为函数 f(x) 在该点处的切线的斜率。
然后，通过几何意义的解释，引导学生理解导数表示函数在其中一点局部的变化率和斜率的关系。
3.导数的运算规则(30分钟)教师通过示例引导学生研究导数的运算规则，让学生自己发现和总结。
例如，一次幂函数的导数等于原函数的系数，常数倍规则，和差规则等。
然后，对这些规则进行总结和讲解，使学生深刻理解导数的运算规则。
4.常见函数的导数计算方法(30分钟)教师以常见函数为例，引导学生计算其导数。
例如，常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
需要强调一些特殊函数的导数计算方法，例如乘积、商、复合函数的导数计算方法。
5.导数在函数分析中的应用(30分钟)教师通过实际问题的分析，让学生应用导数来分析函数的变化规律和局部特性。
例如，求函数的极值点、拐点，讨论函数的增减性、凸凹性等。
通过具体例题引导学生掌握应用导数解决实际问题的方法。
6.练习与巩固(15分钟)教师提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
练习题包括导函数的计算和实际问题的应用。
教师可以设置不同难度的题目，逐渐提高学生的解题能力。
四、教学评价1.在课堂实践中，教师可以通过学生的回答问题、作业完成情况以及小组讨论的情况来评价学生对导数的理解和应用水平。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教案目录：一、教材分析二、教学目标三、教学重难点四、教学方法五、教学过程一、教材分析本节课的内容是高中数学选修模块中导数在研究函数中的应用部分。
这部分内容是在学生已经掌握了导数的基本概念、求导法则和导数的应用基础上进行讲解的。
教材通过引入实际问题，引导学生利用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题，培养学生的数学应用能力。
二、教学目标1. 理解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
2. 学会利用导数解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学重难点1. 重点：导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
2. 难点：如何利用导数解决实际问题，找到合适的切线方程。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究导数在研究函数中的应用。
2. 通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的作用。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示函数图像和切线方程。
4. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾导数的基本概念、求导法则，引导学生关注导数在研究函数中的应用。
2. 知识讲解：讲解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用，引导学生理解并掌握相关概念。
3. 实例分析：选取实际问题，让学生利用导数解决，体会导数在实际问题中的作用。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养团队协作能力。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
六、教学评价1. 学生对导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的理解程度。
2. 学生能否灵活运用导数解决实际问题。
3. 学生的小组协作能力和团队意识。
七、教学反思在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习情况，发现问题时应及时调整教学策略。
教师还应注重培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力，提高学生的实际问题解决能力。
导数在研究函数中的应用 精品教案
《导数在研究函数中的应用》【教材分析】导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。
在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。
【考纲解读】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。
3.会利用导数解决某些实际问题。
【教学目标】1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题【学 法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
【教 法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
【授课类型】复习课【教学过程】一、要点梳理温馨提醒：若函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y ＝f (x )1．函数的单调性与导数在区间(a ，b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增;如果____________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )＞0 f ′(x )＜0在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧___f ′(x )＜0_______，右侧__ f ′(x )>0_____，则点a 叫做函数y ＝f (x )的__极小值点___，f (a )叫函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____，右侧___f ′(x )＜0_______，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．3．函数的最值与导数假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条_连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b)内是可导 的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．温馨提醒：最值与极值的区别与联系：(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．二、课前热身1．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或184．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________． 5．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.－173 5.3 三、例题讲解考点一：利用导数研究函数的单调性例1、已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当t >0时，求f (x )的单调区间．【解】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2. 方法感悟：(1)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：①求f ′(x )；②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；③作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．考点二：由函数的单调性求参数的取值范围因为t >0，则－t <t 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－t ，t 2.例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ，y )，点P 关于点A(0，1)的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x. (2)g (x )＝x 2·[f (x )－a ]＝x 3－ax 2＋x ，方法感悟：函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．考点三：利用导数研究函数的极值(最值)例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 又g (x )在区间[1，2]上为增函数，∴g ′(x )＝3x 2－2ax ＋1≥0在[1，2]上恒成立，即2a ≤3x ＋1x 对任意的x ∈[1，2]恒成立． 注意到函数r (x )＝3x ＋1x 在[1，2]上单调递增， 故r (x )min ＝r (1)＝4. 于是2a ≤4，a ≤2.即实数a 的取值范围是(－∞，2]．(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.方法感悟：(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【课堂小结】1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数【布置作业】练习册60练 p19【板书设计】课题一、要点梳理三、例题讲解二、课前热身四、课堂小结【教学反思】以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
导数在研究函数中的应用
1.导数与函数单调性的关系 (1)函数y=f(x)，区间(a,b). ①如果在区间(a,b)上，f′(x)>0，那么f(x)在该区间上是 增函数 _______； ②如果在区间(a,b)上，f′(x)<0，那么f(x)在该区间上是
减函数 _______.
(2)单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上是单调函数，则f′(x)在该区间 上不变号.
2.函数的极值与导数
x
a左侧
a
a右侧
极小值f(a)
极大值f(a)
f′(x)＜0
f′(x)＞0 __________
f′(x)=0
f′(x)=0 _________
f′(x)＞0 __________
f′(x)＜0
3.函数极值与最值的求法
(1)求可导函数极值的步骤：
第一步：求导数f′(x)； 第二步：求方程f′(x)=0的根； 第三步：列表，检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符 号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性)，确定是否为极值，是 极大值还是极小值.
(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函数f(x)在区间(0，+∞)
上的图象如图所示，则f(x)·f′(x)>0 的解集是__________. (4)函数y＝x－2sinx在区间 2 , 2 上的最大值为________．
3 3
(5)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极 小值，则实数a的取值范围是________． (6)已知函数f(x)＝－x2＋blnx在区间(1，＋∞)上是减函数， 则b的取值范围是________．
(2)求函数最值可分两步进行： 极值 第一步：求y=f(x)在(a,b)内的_______； 第二步：将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 最大的一个 最小的一个 比较，其中___________为最大值，___________为最小值.
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导数在研究函数中得应用(1)
一、教学目标
1、理解函数得单调性与导数得关系；会利用导数研究函数得单调性。
2、会用导数求不超过三次得多项式函数得极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次得多项式函数最大值、最小值。
3、理解函数在某点取得极值得条件；
二、知识梳理
１、给出下列命题：
①若在区间上就是增函数,都有
②若在区间上可导,则必为上得单调函数
③若对任意,都有，则在上就是增函数
④若可导函数在区间上有，则区间上有
其中真命题得序号就是
2、下列结论中正确得就是
①若，则就是函数得极值
②若在内有极值，则在内不就是单调函数
③函数得极小值一定小于它得极大值
④在定义域上最多只能有一个极大值与一个极小值
3、求函数在最值得一般步骤为：(1）；（2）；（3）。
三、诊断练习
题1:函数得单调减区间就是__________．
题2。
函数有极 ___值_____.
题3.函数得最大值就是________、
题４。
函数在处取得极小值.
要点归纳
（1）要熟悉求函数单调区间、求极值得一般步骤方法，如诊断练习题１、题2
（２)分析原函数、导函数得图象，牢记“正增负减”四个字，即“导数得正负决定原函数得增减”。
遵循此规律，函数得增减性、极值情况一目了然.
四、范例导析
例1、已知函数、（1）判断函数得奇偶性;（2）求函数得单调区间、
【变式】：已知函数，求函数得单调区间。
例2：设函数,已知就是奇函数。
(１）求、得值。
(2）求得单调区间与极值。
例3：已知函数，其中ｅ就是自然对数得底数、
（1)证明:就是Ｒ上得偶函数；
（2)若关于得不等式≤在上恒成立,求实数得取值范围；
注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理得范围。
变式：已知函数。
（１）若函数在上就是增函数,求得取值范围;
（2)若在时取得极值，且时，恒成立，求得取值范围。
五、解题反思
1、与初等方法相比，导数在研究函数性质时,具有一般性与有效性。
运用导数知识，我们可以解决一些非整式型函数得单调区间、最值问题。
牢记求导公式就是根本,同时一定要熟练掌握求单调区间,求极值、最值得解题基本步骤.如例1
2、要注意函数在处取得极值得充要条件，体会就是函数在区间上单调递增得充分不必要条件，注意端点处情况得讨论.如例３得第（1）问。
3、求字母参数得取值范围问题,可考虑生成一个恒成立得不等式，最终转化为函数求最值问题。
如诊断练习４，例3第（２)问。
4、要会读图、识图。
要搞清楚原函数图像与其导函数图像之间得相互关系,这对概念得理解、作三次函数得简图等都大有裨益。
课后作业
1、函数y＝1
x＋2lｎx得单调减区间为_＿__＿＿__。
2、若函数f(x）＝e x－ax在x＝1处取到极值,则ａ=_____＿__.
３、函数f (x)＝sinx＋错误!ｘ在区间[0，２π］上得值域为_____＿__.
4、已知函数f（x）＝－＼f（1，2)ｘ2+blnｘ在区间[错误!，＋∞）上就是减函数,则b 得取值范围就是＿_______。
５、已知函数ｆ（x)=alｎｘ-ax—3（a∈R）.
(1) 当a>0时，求函数f(x）得单调区间；
(２）若函数y＝f(x)得图象在点（2，f(2)）处得切线得倾斜角为45°，且函数g（x）=错误!x2＋nｘ＋mf′（x）(m，n∈R）当且仅当在x=１处取得极值,其中f′（x)为ｆ(x）得导函数，求m得取值范围。
6、已知函数f（x）＝ax+lｎx,x∈（１，e),且f(ｘ）有极值.
（１）求实数a得取值范围;
（2) 求函数f(x）得值域。