清华大学2020年强基计划笔试面试真题
最新北大清华南大等7所高校2020强基计划校测笔面试真题
学甚至没有做完题目。
物理这道题为竞赛专属知识，具体解答如下：5.道尔顿分压定律这道题为预赛知识点。
6.干涉这道题为竞赛预赛知识点。
7.半衰期这道题为竞赛预赛知识点。
8.转动定律和刚体转动惯量这道题为竞赛复赛知识点。
9.电介质电容器这道题为竞赛复赛知识点。
10.狭义相对论这道题为竞赛复赛知识点。
其中力学和相对论，用高考知识完全无法入手解答，和课内知识截然不同。
大部分热学与光学题用高考知识完全无法解答，少部分的用高考知识可以读懂题，但解答起来除非学生平时自学过全部选修3-3、3-4、3-5并加以大量练习，不然不具有解答可行性。
化学高中范围内的考察知识点基本囊括必修1、必修2、选修3、选修4、选修5所有内容；还有相当一部分是高中不涉及的，多为有机，难度达到了省赛中省二难度的要求。
而且有机占整部分的四成，比重非常重。
如果在结构、平衡计算和有机方面没有学过竞赛内容，做起来相当吃力。
1. 杂化轨道形式的判断这道题是比较常规的，选项中涉及了甲基正离子和甲基负离子的杂化形式判断。
2.离域π键的判断列举了四个有机化合物，判断哪个不存在离域π键。
这个问题用高中知识是完全没办法判断的，需要较多的结构化学知识拓展。
3.晶胞参数的计算给出碳化硅的晶胞，计算其中碳硅键的长度。
这道题涉及了原子坐标的定义、六方硫化锌晶胞的形式，以及晶胞中原子间距离的计算方法，也需要较多的结构化学知识拓展。
4.反应动力学实验涉及高价态酸根氧化碘离子的动力学问题，需要较多的化学动力学知识拓展，包括速率方程、反应级数的定义和计算、准级反应等。
5.锰的不同价态反应涉及了几小问，大多是氧化还原反应的问题。
6.平衡计算有两部分，一部分是氮氢合成氨，一部分是三氯甲烷萃取平衡。
涉及到平衡的移动、平衡常数与转化率的关系、萃取效率等。
考察侧重点与高中不同，重计算。
7.有机有机在卷面上占比非常重，感觉都到快一半了。
涉及的反应基本上高中都没见过，结构都比较复杂，用高中知识基本上一道题都做不出来。
2020年北京市清华大学强基计划数学试卷
属于中档题．
二、选择题
2．非等边三角形 ABC 中，BC＝AC，O，P 分别为△ABC 的外心和内心，D 在 BC 上且 OD
⊥BP，下列选项正确的是（ ）
A．BODP 四点共圆
B．OD∥AC
C．OD∥AB
D．DP∥AC
【考点】三角形五心． 菁优网版权所有
【分析】设 DO∩BP＝R，E 为 AB 中点，推导出∠DRP＝∠CEB＝90°，从而 O，R，E，
对照选项可能 a＝3 或 4， 故选：CD． 【点评】本题考查三角形的面积的求法，以及运算能力和判断能力，属于基础题．
7．P 为双曲线 ﹣y2＝1 上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下
列为定值的是（ ）
A．tanαtanβ
B．tan tan
C．S△PABtan（α+β）
D．DP∥AC
三、解答题
3．A，B，C 均为{1，2，3，…，2020}子集，且 A⊆C，B⊆C，问有序的（A，B，C）共有 多少？
四、选择题
4．a0＝0，|ai+1|＝|ai+1|，令 A＝| ak|（ ）
A．A 可以等于 0 C．A 可以等于 10
B．A 可以等于 2 D．A 可以等于 12
5．P 为椭圆 + ＝1 上一点，A（1，0），B（1，1），求|PA|+|PB|的最值．
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【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角形三边
大小关系、三点共线，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
6．△ABC 三边均为整数，且面积为有理数，则边长 a 可以为（ ）
A．1
B．2
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清华大学2020强基计划招生试题第8题：
甲、乙、丙三人做一道题。
甲：我做错了。
乙：甲做对了。
丙：我做错了。
老师：仅有一人做对且一人说错。
下面正确的是：
A.甲对
B.乙对
C.丙对
D.以上说法都不对
分析与解：
我们理解题目是问谁做对了题目。
我们肯定要对这三个人的话以及老师的话进行分析。
我们知道这三个人的话当中只有一句是错的，让我们来考察这三个人说的话。
不难发现，甲和乙两人说的话是针锋相对的。
甲说他做错了，乙却说甲做对了。
尽管我们不知道甲到底做对了还是做错了，但可以肯定甲乙两个人说的话肯定一句是对的，另一句是错的。
考虑到三个人的话里边只有一句是错的所以并说的话就肯定是对的。
考虑到甲乙丙三个人的话里边只有一句是错的，这句错误的话又一定在甲乙之中，所以丙说的话就肯定是对的。
丙说他做错了，那他是真的做错了。
甲和乙到底哪个做对了?下面来分别考察。
分类讨论。
假设甲做对了，那么甲说的话是错的，乙说的话是对的，符合题目的意思：一个人做对（甲），一个人说错（甲）。
假设乙做对了，那么甲做错了，甲说的话是对的，乙说的话是错的，也符合题目的意思：一个人做对（乙），一个人说错（乙）。
因此甲对乙对都要选。
清华强基计划面试题(一)
清华强基计划面试题(一)面试题：清华强基计划一、基本信息•项目名称：清华强基计划•目标学生：高中生•推荐目标：全国•申请条件：年龄在16至18岁之间，有较高的学术成就和综合素质二、申请流程1.申请资格审核2.提交申请材料3.初审4.面试5.发放录取通知6.入学三、面试内容1. 学术成就•请简要介绍申请者在学术方面的成就和经历。
•申请者是否参加过竞赛或科研项目？如果有，请介绍。
2. 综合素质•申请者是否具备较强的组织协调能力？请举例说明。
•申请者是否参与过社团活动或志愿者工作？请介绍。
3. 学术兴趣•申请者对哪个学科或领域较感兴趣？请说明原因，并分享相关经历。
4. 学术规划•申请者考虑未来进入的学校或专业方向是什么？请谈谈个人的学业规划。
5. 个人品质•申请者在学业以外是否有个人特长或特别的兴趣？请介绍。
6. 面试总结•面试官可对申请者进行个人评价，并结合面试内容进行综合评定。
四、录取结果•录取通知书会在面试后两周内寄出。
•接收录取通知后，申请者需按要求办理入学手续。
以上是针对“清华强基计划”整理的一份面试题，望考生们做好准备。
祝各位申请成功！面试题：清华强基计划一、基本信息•项目名称：清华强基计划•目标学生：高中生•推荐目标：全国•申请条件：年龄在16至18岁之间，有较高的学术成就和综合素质二、申请流程1.申请资格审核2.提交申请材料3.初审4.面试5.发放录取通知6.入学三、面试内容1. 学术成就•请简要介绍申请者在学术方面的成就和经历。
•申请者是否参加过竞赛或科研项目？如果有，请介绍。
2. 综合素质•申请者是否具备较强的组织协调能力？请举例说明。
•申请者是否参与过社团活动或志愿者工作？请介绍。
3. 学术兴趣•申请者对哪个学科或领域较感兴趣？请说明原因，并分享相关经历。
4. 学术规划•申请者考虑未来进入的学校或专业方向是什么？请谈谈个人的学业规划。
5. 个人品质•申请者在学业以外是否有个人特长或特别的兴趣？请介绍。
2020年清华大学强基计划招生考试数学试题
2020年清华大学强基计划招生考试数学试题金石为开教研部整理1.已知122≤+y x ，22y xy x -+求的最值_________.2.非等边三角形ABC 中，AC BC =，P O ,分别为ABC ∆的外心和内心，D 在BC 上BP OD ⊥，下列选项正确的是（）.A.C.3.,B A 4.0=a A.A C.A 5.P 6.∆A.17.P 4β，下列为定值的是（）.A.βαtan tanB.2tan 2tanβαC.()βα+∆tan PAB S D.()βα+∆cos PAB S 8.甲乙丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（）.A.甲对B.对C.丙对D.以上说法均不对9.ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，3=AB ，1=BC0=+PC PB PA ，以下说法正确的是（）.A.︒=∠120APBB.︒=∠120BPC C.PCBP =2 D.PCAP 2=10.∞→n lim A.π4311.从39612.望()Y E 13.A.214.y x ,A.x 2+B.x y y x 4422++与可以均为完全平方数C.x y y x 5522++与可以均为完全平方数D.x y y x 6622++与可以均为完全平方数15.⎪⎭⎫ ⎝⎛++51arcsin 103arccos 1arctan sin =_________.16.正四棱锥中，相邻两侧面夹角为α，侧棱与底面夹角为β，问一个βtan 与αcos 的关系，设高为h ，底面边长为a ，余弦定理刻画αcos 即可.17.()x ee e xf x x xsin 2++=-，[]2,2-上()x f 上下界之和为_________.18.()x f 的图像如图所示，()t x a x x f ==,与直线，x 轴围成图形的面积为()t S ，问()t S '的最大值为_________，()x f '的最大值为__________.19.定义数列{}n a ，若*N n ∈∀，*N m ∈∃，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”，以下正确的是（）.A.{11222=≥-=n n n n a ，，，数列{}n a 为“某数列”B.kn a n =，k 为常数，则{}n a 为“某数列”C.忘记了D.任意的等差数列{}n a ，存在“某数列”{}n b ,{}n c ，使nn n c b a +=。
清华强基计划面试题
清华强基计划面试题
以下是清华强基计划面试题目的一个示例：
1. 请做自我介绍，包括姓名、高中学校、学校人数、高中平时排名、高中奖项、特别经历以及报考该专业的原因。
2. 你对近年来的生化科研成果有什么了解？
3. 请谈谈你对肥胖的认识，包括起因、治疗等方面。
4. 为什么人在不同地域的饮食下会感到不适，比如大肠杆菌？
5. 人类经过农业社会和工业社会的发展，正在步入生态文明社会，你如何理解生态文明？
6. 对于新冠病毒的溯源工作，你有什么思路构想？
7. 昨天的七一颁奖中有哪些科学家？他们的事迹你了解吗？
8. 孙杨禁赛的事情你知道吗？他的兴奋剂的化学本质是什么？检验的化学原理又是什么？为什么运动员要去高原进行训练？（考察EPO促红细胞生成素）
9. 云南象群夜间用什么跟踪拍摄他们？红外检测仪的化学原理是什么？
10. 从杭州一路向西到敦煌大漠，经过山川、森林、草地、戈壁，是什么造就了多样的地貌？
以上清华强经计划面试题目仅供参考，实际面试中可能会有更多样化的问题。
2020年高考数学强基计划真题：2020年清华大学强基计划数学试题(解析版)
2020年清华大学强基计划数学试题共35道选择题，为不定项选择题．1．若221x y +，则22x xy y +-的取值范围是（）．A．3322⎡-⎢⎣⎦B．[]1,1-C．5522⎡-⎢⎣⎦D．[]2,2-2．设a ，b ，c 为正实数，若一元二次方程20ax bx c ++=有实根，则（）A．{}()1max ,,2a b c a b c ++ B．{}()4max ,,9a b c a b c ++ C．{}()1min ,,4a b c a b c ++ D．{}(),m n 1,3i a b c a b c ++ 3.在非等边ABC △中，BC AC =，若O 和P 分别为ABC △的外心和内心，D 在线段BC 上，且满足OD BP ⊥，则下列选项正确的是（）．A．B ，D ，O ，P 四点共圆B．OD AC ∥C．OD AB∥D．PD AC∥4．已知集合{},,1,2,3,,2020A B C ⊆ ，且A B C ⊆⊆，则有序集合组(),,A B C 的个数是（）．A．20202B．20203C．20204D．202055．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk A a==∑的值可能是（）．A．0B．2C．10D．126．已知点P 在椭圆22143x y +=上，()1,0A ，()1,1B ，则PA PB +的最大值是（）．A．4B．4C．4+D．67．已知P 为双曲线2214x y -=上一点（非顶点），()2,0A -，()2,0B ，令PAB α∠=，PBA β∠=，下列表达式为定值的是（）．A．tan tan αβB．tan tan22αβC．()tan PAB S αβ+△D．()cot PAB S αβ+△8．甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说：“我做错了．”乙说：“甲做对了．”丙说：“我做错了．”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们仅有一人做对且仅有一人说谎了”，则根据以上信息可以推断（）．A．甲做对了B．乙做对了C．丙做对了D．无法确定谁做对了9．在Rt ABC △中，π2ABC ∠=，AB =1BC =，PA PB PC PA PB PC++=0 ，则下列说法正确的是（）．A．2π3APB ∠=B．2π3BPC ∠=C．2PC PB =D．2PA PC=10．求值：212lim arctan nn k k →+∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）．A．π2B．3π4C．5π4D．3π211．从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数abcde （a 可以等于0），则396abcde 的概率为（）．A．1396B．1324C．1315D．121012．随机变量()1,2,3,X = ，()0,1,2Y =，满足()12kP X k ==，且()mod3Y x ≡，则()E Y =（）．A．47B．87C．127D．16713．已知向量a ，b ，c 满足1a ，1b ，22++=-a bc a b ，则下列说法正确的是（）．A．c 的最大值为B．c 最大值为C．c 的最小值为0D．c 的最小值为214．若存在x ，*y ∈N ，使得2x ky +与2y kx +均为完全平方数，则正整数k 可能取值为（）．A．2B．4C．5D．615．sin arctan1arccosarcsin⎛+= ⎝（）．A．0B．12C．2D．116．已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱与底面夹角为β，则（）．A．2cos tan 1αβ+=B．2sec tan 1αβ+=-C．2cos 2tan 1αβ+=D．2sec 2tan 1αβ+=-17．已知函数()[]()e 2e sin 2,2exx x f x x x -=+∈-+，则()f x 的最大值与最小值的和是（）．A．2B．eC．3D．418．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x 的图像与直线x a =，()x t a t c =<<，x 轴围成图形的面积为()S t ，则下列说法正确的是（）．A．()()S t cf b <B．()()f S t a ' C．()()f S t b ' D．()()f S t c '19．我们称数列{}n a 为“好数列”，若对任意*n ∈N 存在*m ∈N ，使得n m a S =，其中1nn ii S a ==∑，则下列说法正确的是（）．A．若21,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨⎩，则数列{}n a 为“好数列”B．若n n a k （k 为常数），则数列{}n a 为“好数列”C．若{}n b ，{}n c 均为“好数列”，则n n n a b c =+为等差数列D ．对任意等差数列{}n a ，存在“好数列”{}n b ，{}n c ，使()*n n n a b c n =+∈N 20．22π440sin d sin cos xx x x=+⎰（）．A．πC．2π21.在ABC △中，1AC =，BC =2AB =，设M 为AB 中点，现将ABC △沿CM折起，使得四面体B ACM -的体积为212，则折起后AB 的长度可能为（）A．1D．222．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，若11z =，221212520z z z z +-=，则12OZ Z △的面积为（）A．1C．2D．23．使得sin115cos1n >+成立的最小正整数n 等于（）A．3B．4C．5D．624．已知实数x ，y ，z 满足323232111931119311193x y y y z z z x x ⎧--=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪--=⎪⎩，则（）A．(),,x y z 有1组B．(),,x y z 有4组C．x ，y ，z 均为有理数D．x ，y ，z 均为无理数25．设实数1221,,,x x x 满足()011,2,,21i x，则212111i k i k x x ==-∑∑的最大值为（）A．110B．120C．220D．24026．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形的内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（）A．10B．11C．12D．1327．设复数z 满足37i 3z -=，则2221iz z z -+-+的（）A．最大值为83B．最大值为73C．最小值为43D．最小值为2328．设α，β为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值为（）A．24B．33C．129．已知函数()()e 1x f x a x b =+-+在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为（）A．e2B．eC．2e 2D．2e 30．设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A．π5B．2π5C．4π5D．π31．已知实数a ，b 满足3331a b ab ++=，设a b +的所有可能值构成的集合为M ，则（）A．M 为单元素集B．M 为有限集，但不是单元素集C．M 为无限集，且有下界D．M 为无限集，且无下界32．已知数列{}n a 的前n 项和()1132n n n nS a n =-⋅++-，且实数t 满足()()10n n t a t a +--<，则t 的取值范围是（）A．311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．311,45⎛⎫- ⎪⎝⎭C．311,54⎛⎫- ⎪⎝⎭D．311,55⎛⎫- ⎪⎝⎭33．《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》和《西游记》四部书分列在四层架子的书柜的不同层上．小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部．现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》在第四层．则（）A．《水浒传》一定陈列在第二层B．《西游记》一定陈列在第一层C．小孙借阅的一定是第三层的书籍D．小李借阅的一定是第四层的书籍34．设多项式()f x 的各项系数都是非负实数，且()()()()11111f f f f ''''''====，则()f x 的常数项的最小值为（）A．12B．13C．14D 15．35．已知()1051051112f z z z z z ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（）A．()0f z =存在实数解B．()0f z =共有20个不同的复数解C．()0f z =复数解的模长均为1D．()0f z =存在模长大于1的复数解答案：（1）C（2）AD（3）AC（4）BC（5）BD （6）AC（7）AD（8）A（9）D（10）C (11)AD（12）C（13）C（14）D（15）AD （16）ABCD（17）A（18）C(19）D（20）ABD (21)A（22）C（23）B（24）C（25）B （26）A（27）A（28）CD(29）D（30）BC (31)B（32）A（33）B（34）CD（35）BC。
2021年和2020年全部高校强基计划数学试题
A． B． C． D．
7．设 为常数， ， ，则（ ）．
A． B． 恒成立
C． D．满足条件的 不止一个
8．已知四面体 中， ，则 体积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
9．在 中， 为 的中点， ，则 的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
A． B． C． D．前三个答案都不对
6．设 ， ， 均不为 ，其中 为整数，已知 ， ， 成等差数列，则依然成等差数列的是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D．前三个答案都不对
7．（微信公众号：乐思数学研究）方程 的整数解个数为（ ）．
A．4B．8C．16D．前三个答案都不对
8．从圆 上的点向椭圆 ： 引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆 内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）．
18．已知数列 满足 ， ．数列 满足 ， ．若正整数 满足 ，则 的最小值为________．
19．若 为非负整数，则方程 的解有________组．
20．已知 ，且 ，求 的最小值．
2021年清华大学强基计划数学试题
部分题目可能与实际考试有所出入，仅供参考.
1．甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3、2、1分．比赛结束甲获得14分第一名，乙获得13分第二名，则（ ）．
A． B． C． D．前三个答案都不对
9．使得 对所有正实数 ， 都成立的实数 的最小值为（ ）．
A．8B．9C．10D．前三个答案都不对
10．（微信公众号：乐思数学研究）设P为单位立方体 的面对角线 上的一点，则 的最小值为（ ）．
清华2020强基语文试题答案!南大繁体字写诗、浙大“二百五”修辞,考生直呼“太难!”
2020年是强基计划实施元年，选拔和校测的模式对于下届考生都是十分重要的参考。
2020年高校“强基计划”已进入校测阶段，从之前征集到的强基计划的校测试题来看，强基校测的试题难度要比高考难度更大，考查的方向也更加多元化，那么校测都考了些什么呢？下面让我们一起来看下。
清华强基校测语文真题答案1.《蜘蛛丝》芥川龙之介著【参考答案】《蜘蛛丝》是日本作家芥川龙之介创作的短篇小说，于大正7年（1918）7月发表在铃木三重吉主编的童话杂志《红鸟》上。
该作讲述某日清晨，在极乐世界莲池附近散步的释迦牟尼看到了生前杀人放火的强盗键陀多在地狱的血池中挣扎，回想到键陀多曾经放生过一只蜘蛛，释迦牟尼便大发慈悲想给键陀多一次机会，于是将一根蛛丝投入地狱。
正在苦苦挣扎的键陀多看到从天而降的蛛丝喜出望外，用尽浑身力气沿蜘蛛丝向上攀爬，希望能够逃离地狱甚至登入极乐世界。
但在中途休息时发现其他罪人也源源不断地尾随其后，吃惊、愤怒的键陀多吼道：“喂，你们这些罪人，这蛛丝是我的，谁让你们爬上来的？下去，快下去！”话音刚落，蛛丝便啪的一声断开，键陀多又重新掉入地狱的血池中。
《蜘蛛丝》是一部短篇小说，但却分成“一、二、三”三章来描写，并且“极乐——地狱——极乐。
这三个场面之间的转换十分巧妙、连贯，结构也十分合理。
2.《美国人的性格》费孝通【参考答案】（1）内容简介本书由《初访美国》、《美国人的性格》等部分组成，是费孝通先生在美国读书和考察的笔记，着重对比了美国文化与欧洲文化、美国人与欧洲人的区别，分析了美国人的性格、政治制度、文化特征、美国对世界工业文明、世界未来文化的影响。
同时本书还处处拿美国文化与中国文化作对比，让人更加清楚东西方文明的差异，有利于人们对东方文明的重建和西方文明的出路的思考。
（2）作者简介费孝通（1910—2005），主要著作有《江村经济》《生育制度》《乡土中国》《民族与社会》《从事社会学五十年》《边区开发与社会调查》《行行重行行》《人的研究在中国》等。
2020年清华强基计划试题及解析
2020年清华大学强基计划试题1. 若22+1x y ≤，则22x xy y +-的取值范围是（ ）.A.,22⎡-⎢⎣⎦B.[]1,1-C. ,22⎡-⎢⎣⎦D.[]2,2-2. 在非等边三角形ABC 中，CA CB =，若O ，P 分别为ABC ∆的外心和内心，点D 在线段BC 上，且满足OD BP ⊥，则下列说法正确的是（ ）.A.OCP 三点共线B.OD ACC.BDOP 四点共圆D.PD AC3. 已知集合{},,1,2,3,2020A B C ⊆ ，且A C ⊆，B C ⊆，则有序集合组(,,)A B C 的个数是 （ ）.A.20202B.20203C. 20204D.202054. 已知数列{}n a 满足01a =，11()i i a a i N +=+∈，则201kk A a==∑的值可能是（ ）.A.0B.2C.10D.125. 已知P 在椭圆22143x y +=上，(1,0)A ，(1,1)B ，则PA PB +的最大值是（ ）.A.4B.4+4+ D.66. 已知ABC ∆的三条边长均为整数，且面积为有理数，则AB 的值可能是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.47. 已知P 为双曲线2214x y -=上一点，(2,0)A -，(2,0)B ，令PAB α∠=，PBA β∠=，PAB∆的面积为S ，则下列表达式为定值的是（ ）. A.tan tan αβ B.tantan22αβC.tan()S αβ+ D.cot()S αβ+8. 甲、乙、丙三人一起做同一道题，甲说：“我做错了。
”乙说：“甲做对了。
”丙说：“我做错了。
”而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁可能做对了题目（ ）. A.甲 B.乙 C.丙 D.没有人9. 在直角ABC ∆中，90ABC ∠=，AB =，1BC =且0PA PB PCPA PB PC++=，则下列说法正确的是 （ ）.A.120APB ∠=B.120BPC ∠=C.2PC PB =D.2PA PC =10. 求值：212lim arctan nn k k →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（ ）. A.2πB.34π C.54π D.32π11. 从0~9这十个数中任取五个数组成一个五位数ABCDE （A 可以为0），则396ABCDE 的概率是 （ ）. A.1396 B.1324 C.1315 D.121012. 随机变量(1,2,3,)X = ，(012)Y =，，，满足1()2k P X k ==，且(mod 3)Y X ≡，则()E Y =（ ）. A.47 B.87 C.127 D.16713. 已知向量,,a b c 满足1a ≤，1b ≤，22a b c a b ++=-，则下列说法正确的是（ ）.A.c 的最大值是B.c 的最大值是C.c 的最小值是0D.c 的最小值是214. 若存在*,x y N ∈，使得22,x ky y kx ++均为完全平方数，则正整数k 可能是（ ）. A.2 B.4 C.5 D.615. 求值：sin arctan1⎛++= ⎝（ ）.A.0B.12C.2D.116. 已知四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱和底面夹角为β，则（ ）. A.2cos tan 1αβ+= B.2sec tan 1αβ+=-C.2cos 2tan 1αβ+=D.2sec 2tan 1αβ+=-17. 已知函数2()sin (22)xx xe f x x x e e-=+-≤≤+，则()f x 的最大值与最小值的和是 （ ）. A.2 B.e C.3 D.418. 已知函数()f x 图象如图所示，记()y f x =，x a =，()x t a t c =<< 及x 轴围成的曲边梯形面积为()S t ，则下列说法正确的是（ ）. A.()()S t cf b < B.()()S t f a '≤ C.()()S t f b '≤ D.()()S t f c '≤19. 我们称数列{}n a 为好数列，若对于任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得1nm ii a a==∑，则下列说法正确的是（ ）.A.若21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则数列{}n a 为好数列B.若n a kn =（k 为常数），则数列{}n a 为好数列C.存在任意两项均不相同的好数列{}n a ，且对于任意*n N ∈，n a <D.对于任意等差数列{}n a ，存在好数列{}n b ，{}n c ，使得对于任意*n N ∈，有n n n a b c =+20. 求值：2244sin sin cos xdx x xπ=+⎰（ ）. A.πC.2πD.2020年清华大学强基计划试题解析1. 【答案】C【解析】设cos x r θ=，sin y r θ=，01r ≤≤，则22222(sin cos sin cos )x xy y r θθθθ+-=+-2221sin 2cos 2,,22222r r r θθ⎡⎤⎡⎛⎫=-∈-∈-⎢⎥⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦等号显然可以取到，故选C 。
2019-2020北京大学和清华大学强基计划数学笔试试题
2019年北京大学博雅计划笔试试题1.金字塔的底座为边长是200米的正方形。
如果一个游客处于距离底座中心200米的圆周上，则游客可以同时看到金字塔两个塔面的概率为________。
A. 13B. 12C. √32D.以上答案都不对2. 已知f (x )=a sin x ,x ∈[0,π2]. 其中a >0. 若f(x)与其反函数y =f −1(x)有两个交点，则实数a 的取值范围是_________。
A.0<a <1 B. 1<a <π2C. 2π<a <π2D.以上答案都不对3.f (x )=√1+x 2+1−x 21+x 2的取值范围是___________。
A.(−2,1]B.(−2,98]C.(−2,98)D.以上答案都不对4.四面体P −ABC 的底面是边长为2的正三角形ABC ，PC 垂直于面ABC ，PC =1. M,N 分别为AB,BC 的中点，则异面直线PN,CM 的夹角的正弦值为__________。
A. 14B. √54C.√104D.以上答案都不对5.已知函数f(x)满足对任意的x ≠0或1，均有f (x )+f (11−x )=x . 求f (2). 6. 已知点A (12,√32)关于直线y =kx 的对称点A′落在圆(x −2)2+y 2=1上，则k的值为_________。
A. 12B. √33C.1D.以上答案都不对7.已知x,y,z 均为正实数。
则f (x,y,z )=xyz(1+4x)(9x+y)(4y+z)(9z+1)的最大值为_____。
A. 1576B. 11024 C. 11296D.以上答案都不对8.已知a,b,z 均为复数，对任意的|z |=1，均有|z 4+az 2+b |=1. 则ab 的值为_________。
A.i B.−i C.1 D.以上答案都不对9.从6名男员工和4名女员工中各抽取2人，组成羽毛球混合双比赛。
2020年清华大学强基计划数学试题及其详解
２０２０年清华大学强基计划数学试题及其详解甘志国(北京丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:２０２０年清华大学强基计划数学试题共２０道不定项选择题ꎬ该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.本文给出该试题(回忆版)的详细解答ꎬ对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.关键词:清华大学强基计划ꎻ数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ详细解答中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６３－０７收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ男ꎬ湖北省竹溪人ꎬ硕士ꎬ中学正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号:ＦＴ２０１７ＧＤ００３)㊀㊀全卷共２０道不定项选择题.以下试题是回忆版ꎬ但对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.针对下面的试题题号按难度渐升的顺序叙述如下:第８题是简易逻辑问题ꎻ第１６题是立体几何中的空间角问题ꎻ第１题是求二元函数的最值ꎻ第１７题考查函数的奇偶性ꎻ第５ꎬ７题是平面解析几何问题(后者是双曲线与三角函数的综合)ꎻ第１５题是反三角函数问题ꎻ第２题是平面几何问题ꎻ第９题是平面向量问题ꎻ第１３题是空间向量问题ꎻ第１２题是求期望(但涉及无穷递缩等比数列各项的和)ꎻ第１８题涉及定积分与导数ꎻ第１９题是关于数列前ｎ项和的新定义问题ꎻ第１０题是求极限(涉及反三角函数及不易想到的裂项法求数列前ｎ项和)ꎻ第３题是集合与排列组合的综合ꎻ第４题是递推数列问题ꎻ第６ꎬ１４题是初等数论中的整数性质问题ꎻ第１１题是概率与整数性质的综合问题(用枚举法求解时情况较多)ꎻ第２０题是定积分.㊀㊀一㊁试题呈现１.若ｘ２＋ｙ２ɤ１(ｘꎬｙɪＲ)ꎬ则ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的取值范围是(㊀㊀).Ａ.－３２ꎬ３２[]㊀㊀㊀Ｂ.[－１ꎬ１]Ｃ.－５２ꎬ５２[]Ｄ.[－２ꎬ２]２.在非等边ΔＡＢＣ中ꎬＢＣ＝ＡＣꎬ点ＯꎬＰ分别是ΔＡＢＣ的外心与内心.若点Ｄ在边ＢＣ上且ＯＤʅＢＰꎬ则下列选项正确的是(㊀㊀).Ａ.ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆㊀㊀㊀Ｂ.ＯＤʊＡＣＣ.ＯＤʊＡＢＤ.ＤＰʊＡＣ３.若ＡꎬＢꎬＣ⊆１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬＡ⊆ＣꎬＢ⊆Ｃꎬ则有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是(㊀㊀).Ａ.２２０２０㊀Ｂ.３２０２０㊀㊀Ｃ.４２０２０㊀㊀Ｄ.５２０２０４.若ａ０＝０ꎬａｉ＋１＝ａｉ＋１(ｉɪＮ)ꎬ则ð２０ｋ＝１ａｋ的值可以是(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.１０㊀㊀Ｄ.１２５.已知点Ａ(１ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ１).若Ｐ为椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１上的动点ꎬ则ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是(㊀㊀).㊀Ａ.４＋２ꎬ４－２㊀㊀Ｂ.４＋３ꎬ４－３Ｃ.４＋５ꎬ４－５Ｄ.４＋６ꎬ４－６６.若一个三角形的各边长均为整数且其面积为有理数ꎬ则该三角形某一边的长可以是(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４７.已知两点Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＰ为双曲线ｘ２４－ｙ２＝１上不是顶点的动点.若øＰＡＢ＝αꎬøＰＢＡ＝βꎬ则下列各式中为定值的是(㊀㊀).Ａ.ｔａｎαｔａｎβ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｔａｎα２ｔａｎβ２３６Ｃ.ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)Ｄ.ＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)８.甲㊁乙㊁丙三人做同一道题.甲说 我做错了 ꎬ乙说甲做对了 ꎬ丙说 我做错了 ꎬ老师说 有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若老师说的话一定正确ꎬ则(㊀㊀).Ａ.甲说的对㊀㊀Ｂ.乙说的对Ｃ.丙说的对Ｄ.甲㊁乙㊁丙说的均不对９.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＢＣ＝９０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＢＣ＝１ꎬＰＡңＰＡң＋ＰＢңＰＢң＋ＰＣңＰＣң＝０ꎬ则(㊀㊀).Ａ.øＡＰＢ＝１２０ʎＢ.øＢＰＣ＝１２０ʎＣ.２ＢＰ＝ＰＣ㊀㊀Ｄ.ＡＰ＝２ＰＣ１０.ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝(㊀㊀).Ａ.３π４㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.７π３１１.若从０ꎬ１ꎬ２ꎬ ꎬ９中选取５个两两互异的数字依次排成一个五位数(包括０在首位的五位数ꎬ其大小就是把０去掉后的四位数)ꎬ则它能被３９６整除的概率是(㊀㊀).㊀Ａ.１３９６㊀Ｂ.１３２４㊀㊀Ｃ.１３１５㊀㊀Ｄ.１２１０１２.已知Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝１２ｋ(ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ )ꎬ若Ｙ为Ｘ除以３所得的余数ꎬ则随机变量Ｙ的期望是(㊀㊀).Ａ.４７㊀Ｂ.８７㊀㊀Ｃ.１２７㊀㊀Ｄ.１６７１３.若空间向量ａꎬｂꎬｃ满足｜ａ｜ɤ１ꎬ｜ｂ｜ɤ１ꎬ｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜＝｜ａ－２ｂ｜ꎬ则｜ｃ｜的最值为(㊀㊀).Ａ.最大值为４２Ｂ.最大值为２５Ｃ.最小值为０Ｄ.最小值为２１４.若ｘꎬｙɪＮ∗ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.ｘ２＋２ｙ与ｙ２＋２ｘ可以均为完全平方数Ｂ.ｘ２＋４ｙ与ｙ２＋４ｘ可以均为完全平方数Ｃ.ｘ２＋５ｙ与ｙ２＋５ｘ可以均为完全平方数Ｄ.ｘ２＋６ｙ与ｙ２＋６ｘ可以均为完全平方数１５.ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀Ｄ.１１６.若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为αꎬ侧棱与底面所成线面角的大小为βꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃｏｓα＋ｔａｎ２β＝１㊀㊀Ｂ.ｓｅｃα＋ｔａｎ２β＝－１Ｃ.ｃｏｓα＋２ｔａｎ２β＝１Ｄ.ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１１７.函数ｆ(ｘ)＝２ｅｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)的最大值与最小值之和是(㊀㊀).Ａ.２㊀Ｂ.ｅ㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４图１１８.已知ｙ＝ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬｘ＝ｃ是其极大值点ꎬ函数ｙ＝ｆ(ｘ)的部分图象如图１所示.若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象与直线ｘ＝ａꎬｘ＝ｔ(ａ<ｔ<ｂ)ꎬｙ＝０围成图形的面积为Ｓ(ｔ)ꎬ则当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)ꎬＳᶄ(ｘ)的最大值分别是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｂ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｂ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｂ)Ｃ.ｆ(ｃ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｄ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｃ)１９.把数列ａｎ{}的前ｎ项和记作Ｓｎ.若∀ｎɪＮ∗ꎬ∃ｍɪＮ∗ꎬＳｎ＝ａｍꎬ则称数列ａｎ{}为 某数列 .以下选项中正确的是(㊀㊀).Ａ.若ａｎ＝１ꎬｎ＝１２ｎ－２ꎬｎȡ２{ꎬ则ａｎ{}为 某数列Ｂ.若ａｎ＝ｋ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为 某数列 Ｃ.若ａｎ＝ｋｎ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为 某数列Ｄ.对于任意的等差数列ａｎ{}ꎬ均存在两个 某数列ｂｎ{}ꎬｃｎ{}ꎬ使得ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ２０.ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(㊀㊀).Ａ.π㊀Ｂ.２π㊀㊀Ｃ.２π㊀㊀Ｄ.５π㊀㊀二㊁试题解析１.Ｃ.可设ｘ＝ｒｃｏｓθꎬｙ＝ｒｓｉｎθ(０ɤθ<２πꎬ０ɤｒɤ１)ꎬ得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝ｒ２１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θæèçöø÷.由辅助角公式ꎬ可得１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ的取值范围是－５２ꎬ５２[].再由０ɤｒɤ１ꎬ可得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的最大值与最图２小值分别是５２ꎬ－５２.２.ＡＤ.由题设ꎬ可得点ＯꎬＰ不重合.㊀如图２所示ꎬ可得点ＯꎬＰ在等腰әＡＢＣ底边上的高ＣＥ上(点Ｅ是边ＡＢ的中点).可设直线ＯＤꎬＢＰ交于点Ｒꎬ可得øＲ＝øＣＥＢ＝９０ʎꎬ所以ＯꎬＲꎬＥꎬＢ四点共圆.４６再由题设 点Ｐ是әＡＢＣ的内心 ꎬ可得øＣＢＰ＝øＲＢＥ＝øＲＯＰꎬ所以ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ得选项Ａ正确.㊀由ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ可得øＢＤＰ＝øＢＯＰ.由题设 点Ｏ是әＡＢＣ的外心 ꎬ可得øＢＯＰ＝２øＢＣＯ＝øＢＣＡꎬ所以øＢＤＰ＝øＢＣＡ.所以ＤＰʊＡＣꎬ得选项Ｄ正确ꎬ选项Ｂ错误.若ＯＤʊＡＢꎬ由ＣＥʅＡＢꎬ可得ＣＥʅＯＤ.又由ＰＢʅＯＤꎬ可得ＰＢʊＣＥ.而直线ＰＢꎬＣＥ交于点Ｐꎬ所以选项Ｃ错误.３.解法１㊀Ｄ.若集合Ｃ已确定ꎬ由Ａ⊆Ｃ可得集合Ａ有２Ｃ种可能(其中Ｃ表示集合Ｃ的元素个数)ꎻ同理ꎬ由Ｂ⊆Ｃ可得集合Ｂ有２Ｃ种可能.所以有序集合组(ＡꎬＢ)的组数是２Ｃ２Ｃ＝４Ｃ.所以有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是ð２０２０Ｃ＝０(ＣＣ２０２０４Ｃ)＝(１＋４)２０２０＝５２０２０.图３解法２㊀Ｄ.如图３所示ꎬ其中Ｕ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬ可得元素１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０均有５种填法:∁ＵＣꎬ∁Ｕ(ＡɣＢ)ꎬ∁Ａ(ＡɘＢ)ꎬＡɘＢꎬ∁Ｂ(ＡɘＢ).由分步乘法计数原理ꎬ可得所求答案是５２０２０.４.ＢＣ.先用数学归纳法证明ａ２ｋꎬａ２ｋ＋１(ｋɪＮ)分别是偶数㊁奇数.当ｋ＝０时成立ꎬａ０＝０ꎬａ１＝ʃ１.假设ｋ＝ｎ时成立ꎬ即ａ２ｎꎬａ２ｎ＋１分别是偶数㊁奇数.可得ａ２ｎ＋２＝ａ２ｎ＋１＋１ꎬ所以ａ２ｎ＋２是偶数ꎻ再由ａ２ｎ＋３＝ａ２ｎ＋２＋１ꎬ可得ａ２ｎ＋３是奇数.所以ｋ＝ｎ＋１时也成立.所以欲证结论成立.由题设ꎬ得ａ２ｋ＝ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ＝－ａ２ｋ－１－１(ｋɪＮ∗)ꎬ所以ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝－１(ｋɪＮ∗).可设ａ２ｋ－１＝２ｍ－１(ｍɪＺ)ꎬ当ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１时ꎬ可得ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝４ｍ－１.所以总有ａ２ｋ－１＋ａ２ｋʉ－１(ｍｏｄ４).因而ð２０ｋ＝１ａｋʉ２(ｍｏｄ４)ꎬ进而可排除选项ＡＤ.当(ａ０ꎬａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａ２０)＝(０ꎬ－１ꎬ０ꎬ－１ꎬ０ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ４)时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝２ꎬ所以选项Ｂ正确.当ａ０＝ａ２＝ａ４＝ ＝ａ２０＝０ꎬａ１＝ａ３＝ａ５＝ ＝ａ１９＝－１时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝１０ꎬ所以选项Ｃ正确.５.Ｃ.由题意ꎬ得椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１的左㊁右焦点分别为Ａᶄ(－１ꎬ０)ꎬＡ(１ꎬ０).由椭圆定义ꎬ得ＰＡ＋ＰＢ＝４＋(ＰＢ－ＰＡᶄ)ꎬＰＢ－ＰＡᶄɤＡᶄＢ＝(１＋１)２＋(１－０)２＝５.所以ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是４＋５ꎬ４－５.㊀６.ＣＤ.因为三边长分别是３ꎬ４ꎬ５的三角形的面积６是有理数ꎬ所以选项Ｄ正确.若满足题设的三角形的某一边长可以是１ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(１ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由 三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得１＋ｂ>ｃꎬ即１＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃꎬ所以ｂ＝ｃ.可得该三角形的面积１２１ｂ２－１４＝４ｂ２－１４ꎬ因而设４ｂ２－１＝(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２(ｂ２－ｎ２＋ｎ)＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!所以选项Ａ错误.若满足题设的三角形的某一边长可以是２ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(２ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由 三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得２＋ｂ>ｃꎬ即２＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃ－１.所以ｂ＝ｃ－１或ｃ.若ｂ＝ｃ－１ꎬ由海伦公式ꎬ可得该三角形的面积是１４３[４ｂ(ｂ＋１)－３]ꎬ因而设４ｂ(ｂ＋１)－３＝３(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２[ｂ(ｂ＋１)－３ｎ２＋３ｎ－１]＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!若ｂ＝ｃꎬ可得该三角形的面积１２２ ｂ２－１＝ｂ２－１(ｂȡ２).由(ｂ－１)２<ｂ２－１<ｂ２ꎬ可得ｂ２－１∉Ｑꎬ与题设矛盾!所以选项Ｂ错误.７.ＡＣ.由对称性知ꎬ可不妨设点Ｐ(ｍꎬｎ)(ｍ>２ꎬｎ>０)ꎬ得ｍ２４－ｎ２＝１ꎬ即４－ｍ２＝－４ｎ２.所以ｔａｎα＝ｎｍ＋２ꎬｔａｎβ＝－ｎｍ－２＝ｎ２－ｍ.所以ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２ ｎ２－ｍ＝ｎ２４－ｍ２＝－１４.故选项Ａ正确.所以ｔａｎ(α＋β)＝ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２＋ｎ２－ｍ１＋１４＝１６５ ｎ４－ｍ２＝－４５ｎꎬｃｏｔ(α＋β)＝－５４ｎꎬＳәＰＡＢ＝１２(２＋２)ｎ＝２ｎ.５６所以ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)＝－８５ꎬＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)＝－５２ｎ２.故选项Ｃ正确㊁Ｄ错误.可选(ｍꎬｎ)＝(４ꎬ３)ꎬ得ｔａｎα＝１２３ꎬｔａｎβ＝－３２ꎬ所以ｔａｎα２＝１３－２３ꎬｔａｎβ２＝２３＋２１３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝２３９＋２７３－６７－１２３.还可选(ｍꎬｎ)＝(６ꎬ２２)ꎬ得ｔａｎα＝１２２ꎬｔａｎβ＝－１２ꎬ所以ｔａｎα２＝３－２２ꎬｔａｎβ２＝２＋３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝３２＋３３－２６－４.可证得２３９＋２７３－６７－１２３<３２＋３３－２６－４ꎬ所以选项Ｂ错误.８.Ａ.若仅甲说的对ꎬ则甲做错了ꎻ可得乙㊁丙均说错了ꎬ得丙做对了.满足题设 有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若仅乙说的对ꎬ则甲做对了ꎻ可得甲㊁丙均说错了ꎬ得丙也做对了.不满足题设 有且仅有一人做对 .若仅丙说的对ꎬ则丙做错了ꎻ可得甲说错了ꎬ得甲做对了ꎻ还可得乙说错了ꎬ得甲也做错了.前后矛盾!综上所述ꎬ可得仅甲说的对.图４９.ＡＢＣＤ.如图４ꎬ设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＤң＋ＰＥң＝ＰＦңꎬ可得菱形ＰＤＦＥꎬ且射线ＰＦ平分øＡＰＢ.所以ＰＦң＋ＰＣңＰＣң＝０.所以ＣꎬＰꎬＦ三点共线ꎬ得øＡＰＣ＝øＢＰＣ.同理ꎬ可得øＢＰＣ＝øＢＰＡ.再由øＡＰＣ＋øＢＰＣ＋øＢＰＡ＝３６０ʎꎬ可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ因而选项ＡꎬＢ均正确.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬ可得øＢＡＣ＝３０ʎꎬøＡＣＢ＝６０ʎ.设øＰＡＣ＝θ(０ʎ<θ<３０ʎ)ꎬ可得øＰＣＡ＝６０ʎ－θꎬøＰＣＢ＝θꎬ所以әＰＡＣʐәＰＣＢꎬ得ＰＣＰＢ＝ＰＡＰＣ＝ＡＣＣＢ＝２ꎬ即２ＢＰ＝ＰＣꎬＡＰ＝２ＰＣꎬ因而选项ＣꎬＤ均正确.注㊀在图４中ꎬ若设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＣңＰＣң＝ＰＨңꎬ由题设可得ＰＤң＝ＰＥң＝ＰＨң＝１ꎬＰＤң＋ＰＥң＋ＰＨң＝０ꎬ进而可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ也得选项ＡꎬＢ均正确.点Ｐ是әＡＢＣ的费马点.１０.Ａ.先证明ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)(ｋɪＮ∗)成立.因为ｔａｎ[ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)]＝(ｋ＋１)－(ｋ－１)１＋(ｋ＋１)(ｋ－１)＝２ｋ２ꎬ又ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２[öø÷(ｋɪＮ∗)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)>ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ꎬ所以ａｒｃｔａｎ２ｋ２ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ所以欲证结论成立.因而ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ－ａｒｃｔａｎ１－ａｒｃｔａｎ０]＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ]－π４＝ｌｉｍｎң¥π－ａｒｃｔａｎ２ｎ＋１ｎ２＋ｎ－１[]－π４＝π－π４＝３π４.１１.Ｃ.可得３９６＝４ˑ９ˑ１１.若排成的五位数是９的倍数ꎬ则这５个数字之和是９的倍数ꎬ进而可得所选取的５个数字只可能是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ５ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ９ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎻ０ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ０ꎬ３ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ８ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎻ１ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ９ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ８之一.若所选取的５个数字是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎬ由排成的五位数是４的倍数ꎬ可得末两位数只可能是２０ꎬ６０ꎬ１２ꎬ９２ꎬ１６ꎬ９６之一.再由排成的五位数是１１的倍数ꎬ可得排成的五位数只可能是１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６之一.又由４ꎬ９ꎬ１１两两互质ꎬ所以得到的４个五位数均满足题设.进而可得满足题设的五位数共９６个:１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６ꎬ１７８２０ꎬ８７１２０ꎬ２１７８０ꎬ７１２８０ꎬ０８７１２ꎬ７８０１２ꎬ０７１２８ꎬ１７０２８ꎬ１３８６０ꎬ８３１６０ꎬ３１６８０ꎬ６１３８０ꎬ０８３１６ꎬ３８０１６ꎬ０３１６８ꎬ１３０６８ꎬ１５８４０ꎬ８５１４０ꎬ４１５８０ꎬ５１４８０ꎬ０１５８４ꎬ５１０８４ꎬ０５１４８ꎬ１５０４８ꎬ３０４９２ꎬ４０３９２ꎬ２９３０４ꎬ３９２０４ꎬ３７６２０ꎬ６７３２０ꎬ２３７６０ꎬ７３２６０ꎬ０６７３２ꎬ７６０３２ꎬ０２３７６ꎬ３２０７６ꎬ４７５２０ꎬ５７４２０ꎬ２５７４０ꎬ７５２４０ꎬ０４７５２ꎬ７４０５２ꎬ０７５２４ꎬ５７０２４ꎬ３５６４０ꎬ６５３４０ꎬ４３５６０ꎬ５３４６０ꎬ０３５６４ꎬ５３０６４ꎬ０４３５６ꎬ３４０５６ꎬ６８９０４ꎬ９８６０４ꎬ６０９８４ꎬ９０６８４ꎬ３８４１２ꎬ４８３１２ꎬ２１３８４ꎬ３１２８４ꎬ１４６５２ꎬ６４１５２ꎬ１４２５６ꎬ２４１５６ꎬ８７９１２ꎬ９７８１２ꎬ８１９７２ꎬ９１８７２ꎬ４７９１６ꎬ９７４１６ꎬ６６４１９７６ꎬ９１４７６ꎬ５７８１６ꎬ８７５１６ꎬ５１８７６ꎬ８１５７６ꎬ８５９３２ꎬ９５８３２ꎬ８３９５２ꎬ９３８５２ꎬ７６８２４ꎬ８６７２４ꎬ７２８６４ꎬ８２７６４ꎬ４６７２８ꎬ７６４２８ꎬ４２７６８ꎬ７２４６８ꎬ４５９３６ꎬ９５４３６ꎬ４３９５６ꎬ９３４５６.所以所求答案是９６Ａ５１０＝１３１５.注㊀用电脑编程可以验证上述答案是正确的.１２.Ｂ.可得Ｐ(Ｙ＝０)＝１２３＋１２６＋１２９＋ ＝１２３１－１２３＝１７ꎻＰ(Ｙ＝１)＝１２１＋１２４＋１２７＋ ＝１２１１－１２３＝４７ꎻＰ(Ｙ＝２)＝１２２＋１２５＋１２８＋ ＝１２２１－１２３＝２７所以随机变量Ｙ的期望是Ｅ(Ｙ)＝０ˑ１７＋１ˑ４７＋２ˑ２７＝８７.１３.ＢＣ.由题设ꎬ可得｜ａ－２ｂ｜＝｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜ȡ｜ｃ｜－｜ａ＋２ｂ｜ꎬ｜ｃ｜ɤ１ ｜ａ＋２ｂ｜＋１ ｜ａ－２ｂ｜.由柯西不等式ꎬ可得(１ ｜ａ＋２ｂ｜＋１ ｜ａ－２ｂ｜)２ɤ(１２＋１２)(｜ａ＋２ｂ｜２＋｜ａ－２ｂ｜２)＝４(｜ａ｜２＋４｜ｂ｜２)ɤ２０.所以｜ｃ｜ɤ２５.当ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(－４ꎬ－２)时满足题设ꎬ且｜ｃ｜＝２５.综上ꎬ｜ｃ｜的最大值为２５ꎬ故选项Ａ错误ꎬＢ正确.还可得ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(０ꎬ０)满足题设ꎬ进而可得｜ｃ｜的最小值为０ꎬ故选项Ｃ正确ꎬＤ错误.１４.ＣＤ.由对称性知ꎬ可不妨设ｘɤｙ.对于选项Ａꎬ由ｙ２<ｙ２＋２ｘɤｙ２＋２ｙ<(ｙ＋１)２ꎬ所以ｙ２＋２ｘ不为完全平方数ꎬ故选项Ａ错误.对于选项Ｂꎬ由ｙ２<ｙ２＋４ｘɤｙ２＋４ｙ<(ｙ＋２)２ꎬ所以若ｙ２＋２ｘ为完全平方数ꎬ则ｙ２＋４ｘ＝(ｙ＋１)２ꎬ２(２ｘ－ｙ)＝１ꎬ这不可能!故选项Ｂ错误.选ｘ＝ｙ＝４ꎬ得ｘ２＋５ｙ＝ｙ２＋５ｘ＝６２ꎬ故选项Ｃ正确.选ｘ＝ｙ＝２ꎬ得ｘ２＋６ｙ＝ｙ２＋６ｘ＝４２ꎬ故选项Ｄ正确.１５.１.设复数ｚ１＝１＋ｉꎬｚ２＝２＋ｉꎬｚ３＝３＋ｉꎬ可得ａｒｇｚ１＝ａｒｃｔａｎ１ꎬａｒｇｚ２＝ａｒｃｓｉｎ１５ꎬａｒｇｚ３＝ａｒｃｃｏｓ３１０.所以ｚ１ｚ２ｚ３＝(１＋ｉ)(５＋５ｉ)＝１０ｉꎬａｒｇ(ｚ１ｚ２ｚ３)＝π２.所以ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝ｓｉｎπ２＝１.１６.Ｄ.如图５ꎬ设正四棱锥的底面边长ＡＢ＝２ꎬ高ＰＯ图５＝ｈꎬ可得ｔａｎβ＝ｔａｎøＰＡＯ＝ＰＯＡＯ＝ｈ２.㊀㊀在ＲｔәＰＯＢ中ꎬ可求得ＰＢ＝ＰＯ２＋ＯＢ２＝ｈ２＋２.设等腰әＰＡＢ的底边ＡＢ的中点是Ｍꎬ可得ＰＭʅＡＢ.还可求得ＰＭ＝ＰＡ２＋ＡＭ２＝ｈ２＋１.作ＡＨʅＰＢ于点Ｈꎬ连接ＣＨꎬ可得α＝øＡＨＣꎬＣＨ＝ＡＨ.还可得２ＳәＰＡＢ＝ＡＢ ＰＭ＝ＡＨ ＰＢ.所以ＣＨ＝ＡＨ＝ＡＢ ＰＭＰＢ＝２ｈ２＋１ｈ２＋２ꎬＡＣ＝２２.在әＡＣＨ中ꎬ由余弦定理ꎬ可求得ｃｏｓα＝ｃｏｓøＡＨＣ＝ＡＨ２＋ＣＨ２－ＡＣ２２ＡＨ ＣＨ＝ ＝－１ｈ２＋１.进而可得ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１.１７.Ａ.由 闭区间上的连续函数存在最大值与最小值 ꎬ可得函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值均存在.可得ｆ(ｘ)－１＝ｅｘ－ｅ－ｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－１(－２ɤｘɤ２)是奇函数.当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬｇ(ｘ)<２ꎬ所以函数ｇ(ｘ)的最大值与最小值均存在且互为相反数ꎬ可分别设为Ｍꎬ－Ｍ.所以函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值分别是１＋Ｍꎬ１－Ｍ.所以所求答案是(１＋Ｍ)＋(１－Ｍ)＝２.１８.Ｄ.由ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬ可得ｆᶄ(ｘ)是减函数ꎬ所以当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)的最大值是ｆᶄ(ａ).还可得Ｓ(ｔ)＝ʏｔａｆ(ｘ)ｄｘꎬ所以Ｓᶄ(ｘ)＝ｆ(ｘ).由题设及图１ꎬ可得Ｓᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｃ).１９.ＡＢＤ.对于选项Ａꎬ可求得Ｓｎ＝２ｎ－１(ｎɪＮ∗)ꎬ所以Ｓｎ＝ａｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬ故选项Ａ正确.选项Ｂ错误.若ｋ＝１２ꎬ则∀ｍɪＮ∗ꎬＳ２＝１ʂａｍ.选项Ｃ正确.∀ｎɪＮ∗ꎬＳｎ＝ｋ(１＋２＋ ＋ｎ)＝ａ１＋２＋ ＋ｎ.选项Ｄ正确.设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ可得ａｎ＝ｄｎ＋(ａ１－ｄ)(ｎɪＮ∗).选ｂｎ＝ｄｎꎬｃｎ＝ａ１－ｄꎬｎ＝１０ꎬｎȡ２{(ｎɪＮ∗)ꎬ易知ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ.由于∀ｎɪＮ∗ꎬＴｎ＝ａ１(其中Ｔｎ表７６示数列ｃｎ{}的前ｎ项和)ꎬ所以ｃｎ{}是 某数列 .由选项Ｃ正确ꎬ知ｂｎ{}是 某数列 .２０.解法１㊀Ｂ.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ(ｘɪＲ)ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋π)ꎬｆ(ｘ)＝ｆ(π－ｘ)(ｘɪＲ)ꎬ所以π是函数ｆ(ｘ)的一个周期且函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝π２对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏπ０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏπ/２０１－ｃｏｓ２ｘ１－１２ｓｉｎ２２ｘｄ(２ｘ)＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ２－ｓｉｎ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ－２ʏπ０ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｔ＝ｕ＋π２)２ʏπ/２－π/２１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＋２ʏπ/２－π/２ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕｄｕ.再由ｙ＝１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕꎬｙ＝ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕ－π２ɤｕɤπ２æèçöø÷分别是偶函数㊁奇函数ꎬ可得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＝(设ｕ＝π/２－ｖ)－４ʏ０π/２１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝４ʏπ/２０１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝２２ʏπ/２０ｄｔａｎｖ２æèçöø÷ｔａｎｖ２æèçöø÷２＋１＝(设ｗ＝ｔａｎｖ２)２２ʏ＋¥０ｄｗｗ２＋１＝２２ａｒｃｔａｎｗ＋¥０＝２２π２－０æèçöø÷＝２π.解法２㊀Ｂ.在解法１中ꎬ已得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(设ｘ＝ｔ＋π２)ʏ０－π/２ｃｏｓ２ｔｓｉｎ４ｔ＋ｃｏｓ４ｔｄｔ＝(设ｔ＝－ｘ)ʏπ/２０ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｔａｎ２ｘ＋１ｔａｎ４ｘ＋１ｄｔａｎｘ＝(设ｔａｎｘ＝ｔ)２ʏ＋¥０ｔ２＋１ｔ４＋１ｄｔ＝２ʏ＋¥０ｄｔ－１ｔæèçöø÷ｔ－１ｔæèçöø÷２＋２＝(设ｔ－１ｔ＝ｕ)２ʏ＋¥－¥ｄｕｕ２＋２＝２２ａｒｃｔａｎｕ２＋¥－¥＝２π２－－π２æèçöø÷[]＝２π.解法３㊀Ｂ.由降幂公式ꎬ可得ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ２１－ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＋１＋ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋ｃｏｓ２２ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋１＋ｃｏｓ４ｘ２＝２(１－ｃｏｓ２ｘ)３＋ｃｏｓ４ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ２π０１－ｃｏｓ２ｘ３＋ｃｏｓ４ｘｄ(２ｘ)＝(设ｔ＝２ｘ)ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ.设函数ｆ(ｔ)＝１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓｔ(ｔɪＲ)ꎬ可得ｆ(ｔ)＝ｆ(ｔ＋２π)ꎬｆ(ｔ)＝ｆ(２π－ｔ)(ｔɪＲ)ꎬ所以２π是函数ｆ(ｔ)的一个周期且函数ｆ(ｔ)的图象关于直线ｘ＝π对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏ２π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝４ʏπ０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｕ＝ｃｏｓｔ)２ʏ１－１１－ｕ(１＋ｕ２)１－ｕ２ｄｕ＝２ʏ１－１１１＋ｕ２１－ｕ１＋ｕｄｕ＝(设ｖ＝１－ｕ１＋ｕ)４ʏ＋¥０ｖ２ｖ４＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖｖ２－２ｖ＋１ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖｖ２＋２ｖ＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２æèçöø÷＋１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２æèçöø÷－１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ８６＋ʏ＋¥０ｄｖｖ－１２æèçöø÷２＋１２＋ʏ＋¥０ｄｖｖ＋１２æèçöø÷２＋１２＝２ʏ＋¥－ｗｗ２＋１２ｄｗ－２ʏ＋¥ｗｗ２＋１２ｄｗ＋ʏ＋¥－ｄｗｗ２＋１２＋ʏ＋¥ｄｗｗ２＋１２＝２ʏ－ｗｗ２＋１２ｄｗ＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥－＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥＝２π２－－π４æèçöø÷[]＋２π２－π４æèçöø÷＝２π.(因为ｙ＝ｗｗ２＋１２－１２ɤｗɤ１２æèçöø÷是奇函数)解法４㊀Ｂ.因为ｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝(ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ)２－２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ＝１－１２ｓｉｎ２２ｘꎬ可得１２ɤｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ１ꎬｓｉｎ２ｘɤｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ２ｓｉｎ２ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ.再由ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ＝２ｘ－ｓｉｎ２ｘ４２π０＝πꎬ可得π<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２π.再由排除法ꎬ可知答案是Ｂ.[责任编辑:李㊀璟]换元转化㊀化难为易叶文明㊀李㊀阳(浙江省松阳二中㊀３２３４０６)摘㊀要:换元法是解数学题的一种常用方法ꎬ它的实质是通过换元转化ꎬ从而把复杂问题简单化ꎬ有利于问题的解决.关键词:换元ꎻ绝对值ꎻ最值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６９－０２收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:叶文明(１９６７－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.李阳(１９９１－)ꎬ男ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解数学题时ꎬ常把某个式子看成一个整体ꎬ用一个变量去代替它ꎬ从而使问题得到简化的方法叫换元法.换元法的实质是转化ꎬ把复杂问题简单化.换元法在研究方程㊁不等式㊁函数㊁数列㊁解析几何等问题中有广泛的应用ꎬ它几乎涵盖高中阶段的所有内容ꎬ是一种常用的解题方法.例１㊀(２０２０浙江新高考学考模拟卷五)已知正数ｘꎬｙ满足ｘ＋ｙ＝１ꎬ则ｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１的最小值为.解析㊀方法一㊀４ｘ＋２＋１ｙ＋１＝１４ˑ４ｘ＋２＋１ｙ＋１æèçöø÷ｘ＋２＋ｙ＋１()ȡ９４ʑｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１＝ｘ－２＋４ｘ＋２＋ｙ－１＋１ｙ＋１＝４ｘ＋２＋１ｙ＋１＋ｘ＋ｙ－３ȡ１４ꎬ即最小值为１４.方法二㊀(换元)令ｘ＋２＝ａꎬｙ＋１＝ｂꎬ则ａ＋ｂ＝４.９６。
高中资料库 2020年清华大学强基计划笔试试题
2020年清华大学强基计划笔试试题1.已知实数x,y满足x2+y2≤1，则x2+xy−y2的最大值为__________。
A.1B. √52C. √103D.√22.设a,b,c均为正实数，若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则__________。
A.max{a,b,c}≥12(a+b+c) B.max{a,b,c}≥49(a+b+c)C.min{a,b,c}≤14(a+b+c) D.min{a,b,c}≤13(a+b+c)3.已知平面向量a,b满足|a|≤2,|b|≤1，且c满足|a−2b−c|≤|a+2b|.那么对所有可能的c而言，|c|的__________。
A.最大值为4√2B.最大值为2√6C.最小值为0D.最小值为√24.在ΔABC中，AC=1，BC=√3，AB=2.M为AB中点。
将ΔABC沿CM折起，使得B−ACM的体积为√22，则折起后AB的长度可能为__________。
A.1B.√2C.√3D.25.已知A(1,1),Q(1,0)，P为椭圆x24+y23=1上的动点，则|PA|+|PQ|的________。
A.最大值为4+√3B.最大值为4+√5C.最小值为4−√3D.最小值为4−√56.已知A,B分别为双曲线x24−y2=1的左、右顶点，P为该双曲线上不同于A,B 的任意一点。
设∠PAB=α,∠PBA=β，ΔPAB的面积为S，则__________。
A. tanαtanβ为定值B. tanα2tanβ2为定值C.S⋅tan(α+β)为定值D.S⋅cot(α+β)为定值7.设正四棱锥的侧棱与底面所成角为α，相邻两侧面所成角为β，则__________。
A.cosβ=cos2αcos2α−2B.cosβ=cos2α−1cos2α+1C.tanβ2=sinα D.cotβ2=sinα8.已知复数z1,z2在复平面内对应的点为Z1,Z2.O为坐标原点，若|z1|=1，5z12−2z1z2+z22=0，则ΔOZ1Z2的面积为__________。
2020清华强基面试题
2020清华强基面试题
面试题目整理：2020清华强基
一、学术能力
1.请介绍你的研究方向和具体项目经验。
2.你在研究中遇到了哪些难题？如何解决？
3.请谈谈你对清华强基计划的理解和认识。
二、团队合作
1.请描述一次你在团队合作中的经历，你在其中的角色和贡献。
2.你如何处理与团队成员的分歧和冲突？
3.请谈谈你对团队合作的重要性的看法。
三、沟通能力
1.请举例说明你在研究报告或学术会议上的沟通经验。
2.你最近一次解释复杂概念给非专业人士的经历是什么？
3.请谈谈你在团队中如何有效沟通的方法。
四、项目管理
1.请描述一次你成功管理项目的经验，包括项目目标、资源分配和
进度控制。
2.你如何解决项目中出现的问题和挑战？
3.请谈谈你对项目管理的理解和方法。
五、个人发展
1.你如何保持自己的学术水平的持续提升？
2.请谈谈你对终身学习的看法和态度。
3.你在研究中遇到失败的经历是什么？你是如何应对和反思的？
六、其他问题
1.你为什么选择申请清华强基计划？
2.你在清华大学的就读期间有什么打算和期望？
3.请谈谈你的长期职业目标和规划。
以上是一些面试题目的参考，希望对您的面试能起到帮助作用。
___2020年强基计划笔试面试真题
___2020年强基计划笔试面试真题___2020年强基计划笔试面试真题
在面试中，考生需要阅读一篇材料，然后根据材料进行5
分钟的演讲，并回答提问。
今年的面试材料是《我的书院我做主》，介绍了___新设立的五大书院，旨在推进强基计划人才
培养。
考生需要在现场写出演讲提纲，并进行演讲和回答问题。
考官会提问考生关于竞赛获奖和相关问题，主要考查信息提炼总结、观点表达以及临场应变能力，同时考量学生对___的关
注和认同。
语文部分是不定项选择题，包括《蜘蛛丝》___、《美国
人的性格》___、文言文智子疑邻和赋得暮雨送___。
数学部分包括三角形和向量、和折叠相关的立体几何问题、正四棱锥的角度问题以及0-9的数字排列成的数被396整除的
个数。
物理部分包括电与电路以及磁矩。
化学部分整体难度较简单，主要考察定义问题，竞赛内容较少。
36所高校强基计划面试真题！考生速看！
36所⾼校强基计划⾯试真题！考⽣速看！强基计划⾯试是强基计划中⽐较重要的⼀部分，包含科研潜质及创新素养评估，主要考察考⽣分析问题、解决问题的能⼒、表达能⼒和创新思维等。
⼀般考⽣对笔试⽐较熟悉，对⾯试⽐较陌⽣，不了解其考查模式及考查⽅向。
⾼校强基计划⾯试题⼀般会涉及到个⼈基础信息与特长考察型、⾼中基础知识理解考察型、报考⾼校考察型、关键能⼒考察型、创新意识考察型、道德观考察型、时政类考察、批判性思维考察型、价值考察型等九种题型200余道试题。
请根据⾃⼰报考专业选择相应试题。
2020年强基计划⾯试真题如下01个⼈基本信息与特长考察主考官⼀般是根据考⽣在申报表或个⼈介绍中呈现的个⼈信息(如家庭、兴趣、特长、潜⼒、获奖情况、社会实践等)来命题。
案例：1.做⼀下简单的⾃我介绍，你有什么特长、兴趣和爱好，平时喜欢读什么书？⼀般考官会根据考⽣的回答进⾏延伸提问。
（清华⼤学）2.除了⼤学教材之类的书籍，你还阅读哪些⽣物相关的书籍？（清华⼤学）3.你认为最好的⽣活状态是怎么样的？（清华⼤学）4.对哪个⽅⾯的研究感兴趣？有什么新奇的想法？（清华⼤学）5.最近三年你做过的⼀件违反你⽗母或者⽼师意愿的⼀件事是什么？（清华⼤学）6.你到现在经历的最⼤的挫折是什么？（清华⼤学）7.除了⽣物学教材等专业书籍，平时看什么书？列举三部，简要说明。
（清华⼤学）8.喜欢和什么样的同学交往？（清华⼤学）9.在学校喜欢参加什么活动？在活动中担任怎样的⾓⾊？（清华⼤学）10.你如何让我们确信你对科研的兴趣？举个例⼦。
（清华⼤学）11.你对⽣命科学的哪⽅⾯感兴趣？为什么？（清华⼤学）12.你遭遇过什么挫折？如何应对？（清华⼤学）13.对你影响最⼤的⼈是谁？（清华⼤学）14.你当过班⼲部吗？对你有怎样的影响？（清华⼤学）15.以后想从事什么职业？（清华⼤学）16.⾃⾝有什么优势？（清华⼤学）17.你和同学之间的关系怎么样（清华⼤学）18.在⼈际交往中你是怎样处理让你感到尴尬的事情的？（北京师范⼤学）19.你的兴趣爱好是什么？（哈尔滨⼯业⼤学）20.你打游戏吗？你认为游戏利⼤于弊还是弊⼤于利？（哈尔滨⼯业⼤学）21.你了解儒家⽂化吗？它有什么意义？（哈尔滨⼯业⼤学）22.你了解⽂学吗？你印象最深的作品？（哈尔滨⼯业⼤学）23.你喜欢⼲什么？有什么爱好？（上海交通⼤学）24.平常读的书，喜欢的作者是谁？（上海交通⼤学）25.介绍⼀本你最爱的书（英⽂）（浙江⼤学）26.⾼晓松的“诗和远⽅”的看法.27.思想进步对你个⼈的影响？28.有⼈说，说谎会让⼈变傻，谈⼀下你的对此问题的看法。
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清华大学2020年强基计划笔试面试真题
（一）面试面试形式为阅读一篇材料，并根据材料进行5分钟演讲，并回答提问，准备时间为45分钟。
来自不同省份的多位考生都表示面试材料为《我的书院我做主》。
今年清华本科招生的一大动作是新设立致理、未央、探微、行健、日新五大书院，统筹推进强基计划人才培养。
一位浙江考生说，面试现场发放了书院相关的材料，写出演讲提纲再参加面试。
面试中先进行5分钟的演讲，之后再回答现场提问。
考官提问：北京十一学校一位考生的简历中写有生物竞赛获奖信息，评委还问到跟竞赛相关的问题。
一位来自湖北的考生点评说，这次面试主要考查信息提炼总结、观点表达以及临场应变能力，同时考量学生对清华的关注和认同。
（二）语文语文都是不定项选择题，题目有：1、《蜘蛛丝》芥川龙之介2、《美国人的性格》费孝通3、文言文智子疑邻4、赋得暮雨送李胄
（三）数学1、三角形和向量。
向量关系式指向的信息是费马点。
2、和折叠相关的立体几何问题。
3、通过侧棱与底面的角度和相邻侧面的二面角分别确定同一个正四棱锥，问这两个角度之间的关系。
4、0-9的数字排列成的数被396整除的个数。
（四）物理1、电容器与电路。
2、磁矩
（五）化学整体难度很简单，很多都是考察定义问题，竞赛内容很少。
（六）其他1、敦煌文化一文，谈谈文章给自己印象最深刻部分的内容，并解释其理由；2、谈论自己对文化交流与文明交融的的理解与认识；3、谈论自己对国家“一带一路”战略的看法和认识。