在QCD真空中夸克和胶子的虚度解读

中国科学 G辑: 物理学力学天文学 2008年第38卷第10期: 1346 ~ 1353 《中国科学》杂志社SCIENCE IN CHINA PRESS
在QCD真空中夸克和胶子的虚度
周丽娟*, 秦松梅, 武青, 马维兴①②③④
①广西工学院强子物理和非微扰QCD合作研究组, 柳州 545006;
②广西大学物理科学与工程技术学院, 南宁 530004;
③青岛大学物理系, 青岛266071;
④中国科学院高能物理研究所, 北京100049
* E-mail: zhoulijuan05@
收稿日期: 2007-11-16; 接受日期: 2008-04-25
国家自然科学基金(批准号: 10647002,10565001)和广西科学基金(编号: 0841030, 054204和0575020)资助项目
摘要 QCD非定域的真空凝聚描述了夸克和胶子在非微扰QCD真空态
中的分布. 物理上这意味着真空中的夸克和胶子有一个非零的均方动量,
称之为虚度. 夸克的虚度是定域的夸克胶子混合真空凝聚值与定域的夸克
真空凝聚值之比. 胶子的虚度是用胶子的真空凝聚值和四夸克的真空凝聚
值来表述的. 通过求解Dyson-Schwinger方程(DSEs), 计算夸克和胶子的
真空凝聚值来研究夸克及胶子的虚度. 得到的夸克虚度的理论值与QCD
求和规则和格点QCD计算等其他理论模型的预言一致. 首次计算了胶子
的虚度, 并给出了胶子虚度随强耦合常数αs(Q2)的变化关系, 其结果是十
分有意义的.
关键词夸克胶子的虚度 QCD真空凝聚非微扰QCD
非微扰QCD真空充满了夸克和胶子场的长波涨落. 这种复杂态的等级参数是由夸克场和胶子场的各种单态结合的真空矩阵元0::0, :GµνGµν:0,
aaa⎡aλ⎤0:⎢σµνGµν⎥q:0 2⎣⎦
a来表征的, 这些矩阵元称为真空凝聚. 这里q(x)为夸克场, Gµν为胶子场的场强张量, 其中a
a是色指标(a=1,2,"8), Gµν(x)可以表示为
aabGµν(x)=∂µAνa(x)−∂νAµ(x)+gsfabcAµ(x)Aνc(x), (1) λa为Gell-Mann矩阵, fabc 为SUc(3)结构常数, gs与被称为跑动耦合常数的αs(Q2)有关, 即
2αs(Q2)=gs/4π.
非零的夸克真空凝聚0::0将引起手征对称性的自发破缺. 非零的胶子凝聚1346 中国科学 G辑: 物理学力学天文学 2008年第38卷第10期
aa:GµνGµν:0定义了强子质量的标度.
非定域的真空凝聚[1](或关联子)描述了夸克和胶子在非微扰真空态中的分布. 物理上, 它表示真空中的夸克和胶子有一个非零的均方动量(即虚度). 通过非定域的夸克凝聚和胶子凝聚的一次微商定义的夸克和胶子的平均虚度是与夸克胶子场算符的真空的期待值[2]相联系的.
2λg2λq=:2q:0::0
2, (2) 2=0:fG3:0
:G:0−:g4J2:0
:G:02, (3)
真空的期待值也是QCD求和规则的参量. 这里
aabc0:fG3:0=:fabcGµνGνρGρµ:0, (4) aaJ2=JµJµ, q(x). (5) 2
方程(2)中的D(x)是协变微商, 它表示在不同方向上凝聚的非定域性质. Jµ=(x)γµλa 对现今粒子物理和核物理来讲, 研究夸克和胶子的虚度具有十分重要的意义. 因为它不但与QCD真空态的性质有关, 而且还和夸克胶子的真空凝聚有关. 夸克胶子真空凝聚值的大小反映了强相互作用手征对称性破缺的程度, 它是夸克质量产生的源泉, 因此形成了8个Goldstone玻色子. 夸克的质量是强相互作用QCD拉氏量的基本输入参数. 目前的研究表明, 奇异夸克质量的不确定性对确定CP是否守恒的观测量ε′[3]预言值的精度有很大影响, 所以研究奇异夸克的质量也是非常重要的. 轻夸克质量之比可以非常精确地从手征微扰论[4]来得到. 因此, 一旦绝对标度ms设定, 那么上夸克和下轻夸克的质量也就能完全地被确定下来了, 进而也就自然地得到了QCD的输入参数.
至今我们还没有发现有人用求解夸克传播子的QCD Dyson-Schwinger方程的办法来研究夸克的虚度. 至于胶子的虚度目前也没有发现任何已发表的参考文献. 在这篇文章里, 我们利用算符乘积展开(OPE)[5]的约束和有效的胶子传播子, 通过计算定域的夸克和胶子的QCD真空凝聚值来研究夸克和胶子的虚度.
1 夸克传播子的Dyson-Schwinger方程
为了研究夸克胶子的虚度, 我们先讨论夸克的传播子. 夸克的传播子定义为
Sq(x)=0T[q(x)0, (6) 这里q(x)为夸克场, T为编时算符. 在动量空间, 夸克的自能
∑q(p)为
−1S q(p)=ip/+mq+∑q(p), (7)
µ其中mq为夸克的流质量, 记号p/定义为p/=∑γµp, γµ为Dirac矩阵. 具体地讲, ∑q(p)由
µ
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下式给出: ∑q(p)=∫d4q
(2π)2Dab
4sµν(p−q)γµλa2Sq(q)Γνb(q,p), (8)
ab其中Dµν(p−q)为胶子的传播子, Γνb为夸克胶子的顶点耦合相互作用. 在目前的计算中, 我
们使用了所谓的“彩虹近似”, 即Γνb(q,p)=γν(λb/2).
方程(7)表明, 完全穿衣服的夸克传播子可以分为两个部分: 一个微扰部分和一个非微扰部分. 换句话说, 夸克的传播子可以写成
PTNPSq(x)=Sq(x)+Sq(x), (9) 在坐标空间里
NPSq(x)=−PTSq(x)=1γ⋅x2π2x4, (10) 10:x)q(0):0+γµ0:x)γµq(0):0, (11) 12{NP在短距离处, 非微扰夸克传播子Sq(x)的标量部分:x)q(0):0的OPE展开式是 x2
0:x)q(0):0=0:q(0):0−0:gσG(0)q(0):0+", (12) 4
其中方程(12)展开式中的定域算符是夸克的真空凝聚, 夸克和胶子的混合真空凝聚等等.
在欧几里德空间里, 我们发现夸克传播子的倒数也可以表示为
122S−/f(p)+Bf(p), (13) f(p)=ipA
而且在µ2类时空, 这个传播子是按照A(µ2)=1和B(µ2)=mq(µ2)正规化的, 其中mq(µ2)为夸
ms= 克的流质量. 对于上夸克u和下夸克d, 其值为mu,d=5.1 MeV. 对于奇异夸克, 127.5
MeV[6]. 脚标( f )分别代表夸克的味道, 即表示u, d或s夸克.
除了对夸克流质量和微扰修正之外, 函数[A(p2)−1]和B(p2)都是非微扰的物理量, 我们把它们分别称为矢量和标量传播子凝聚. 在费曼规范下, A和B所满足的Dyson-Schwinger方程就变成了一组耦合方程
[A(s)−1]s=B(s)=213π322gs∫s′ds′∫sinxD(s,s′00∞π∞πx, (14)
3π322gs∫s′ds′∫sinxD(s,s′)00B(s′)dx, (15) s′A2(s′)+B2(s′)
22这里s=
p2, gsD(s,s′)=gsD(s+s′−x). 我们现在的任务就是要求解这组耦合方程,
得到它们的解Af(s)和Bf(s).
利用费曼规范和如下所示的有效的胶子传播子
abDµν (q)=δabδµνD(q), (16)
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我们求解了这两个耦合的积分方程(即方程14, 15). D(q)由参考文献[7,8]给出, 它具有如下的形式: 2gsD(s)=4πα(s), (17) s
这里α(s)为夸克-夸克的相互作用, 它可以很好地近似为χ2−sπd+α(s)=3πs2e, (18) 24∆ln(s/∧+ε)
其中χ为相互作用的强度, ∆为它的力程参数. 方程(18)中的第一项模拟了红外增强和禁闭, 第二项保证了其结果与对数重正常化群的主要结果相一致. 参数ε在
1.0~
2.50之间变化. 然而在现在的计算中我们取ε为2.0. 强度参数χ和力程参数∆为用Dyson-Schwinger方程的解符合π 介子衰变常数来确定的, 它们的值为
∆=0.40 GeV2, χ=1.84, (19) 方程(18)中的其他参数由文献[7,8]给出, 即QCD标度参数∧=0.20 GeV, d=12(33−2Nf)= 12/27,这里味道参数为Nf=3. 非定域的夸克真空凝聚0:x)q(0):0可以由夸克传播子的倒数[9]的傅里叶变换的标量部分给出, 即
0:x)q(0):0=(−4NC)∫d4pBf(p2)
(2π)pAf(p)+Bf(p)exp(ipx)
⎡⎤⎢, (20) =−2∫ds⋅s22sAf(s)+Bf(s)⎢4π⎣3Bf(s)这里色指标NC=3. 因此, 定域(x=0)的夸克真空凝聚值可自然地写成:q(0):0=−3
4π2∫ds⋅sBf(s)
2SA2f(s)+Bf(s), (21) 按照胶子两点函数的NC展开, 夸克胶子混合真空凝聚可以写为[9, 10] :igσG(0)q(0):0=9
4π+∫ds⋅s[sBf(s)[2−Af(s)]2sA2f(s)+Bf(s) 81⋅Bf(s){2sAf(s)[Af(s)−1]+B2f(s)}
216[sA2f(s)+Bf(s)]. (22)
下一节的讨论将表明, 方程(22)与(21)之比确定了在QCD真空态中夸克的虚度. 2 QCD真空中夸克和胶子的虚度
由非定域的夸克凝聚和胶子凝聚的一级微商定义的夸克和胶子的虚度, 是跟夸克和胶子场的各种单态结合的真空期待值相关的[10]. 这些真空期待值是QCD求和规则的参量. 现在我
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们来分别计算夸克和胶子的虚度.
2.1 QCD真空中夸克的虚度
2使用方程(2)中的公式, 我们可以得到夸克虚度, 夸克虚度的精确的表达式λq可表述如
下[11]: 22λq=a0:sσµυGµυa
q:0
0::0, (23)
2因此, 如果想要知道夸克的虚度λq, 就必须计算定域的夸克-胶子混合真空凝聚值0:
asσµυGµυa
使用方程(17)和(18)中所示的完全q:0和定域的夸克真空凝聚值0::0,
穿衣服的胶子传播子D(p−q), 我们求解了Dyson-Schwinger方程, 得到自能函数
Af(s)和 Bf(s). 然后再利用方程(21)和(22)计算定域的夸克真空凝聚值和夸克胶子的混合真空凝聚值.
[7]22在截断质量µ=1 GeV的情况下, 我们分别得到了上夸克、下夸克和奇异夸克真空凝聚的
理论预测值
0::0::0u,dµ2=1 GeV2s=−(196MeV)3, (24) µ2=1 GeV2=−(209MeV)3 (25)
和
:sσGq:0u,dµ2=1 GeV2=−(718MeV)5, (26) 0:sσGq:0s
µ2=1 GeV2=−(761MeV)5. (27)
使用这些预测值, 我们最后从方程(23)得到了轻夸克虚度的理论结果. 对上夸克u 和下夸克d, 它们是 a⎡aλ⎤0:⎢igsσµυGµυ⎥q(0):021=2::0u,du,d 2λu,d=0.70 GeV2, (28)
2我们的理论结果是在λq可接受的范围[12] 0.4~1.0 GeV2之内. 标准的QCD求和规则的计算[13]
22给出λu,d=0.4±0.1 GeV, 对π介子形状因子的QCD求和规则并加参考文献[14]的分析预言
[15]2222表明λuλu,d=0.70 GeV, 格点规范QCD计算,d=0.55 GeV. 我们预言与这些结果一致. 对
奇异夸克s, 我们得到 a⎡aλ⎤:⎢igsσµυGµυ⎥q(0):021λs2=2::0ss =1.60 GeV2, (29) [16]22这与格点QCD[15]的结果λ2λs=1.40 GeV2也相一致. s=2.50 GeV, 和瞬子模型预言的结果
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2.2 QCD真空中胶子的虚度
如我们在前一节所提到的, 胶子的虚度是由夸克胶子场的真空期待值确定的, 这些真空
2
期待值又是QCD求和规则的参量. 胶子的虚度λg可以用方程(3)来表述, 其中0:G3:0由方aaa程(4)来确定, 这里J2=JµJµ, 而Jµ是由方程(5)表示.
从文献[17]中我们知道
abc
0:fG3:0=0:fabcGµνGνρGρµ:0=12π2(4παs)−3×0.0015GeV6, (30)
λaλa424aa4
:gsJ:0=:gsJµJµ:0=0:gs(x)γµq(x)γµq(0):0
22
aaλλ(31)q(x)γµq(0):0, =(4παs)2:(x)γµ22
显然, 方程(31)与四夸克的真空凝聚有关. 因此, 当x=0时, 0:gs4J2:0与定域的四夸克真空凝聚的关系是
:
42
gsJ
:0=(4παs):γµ
2
λa
2
q(0)γµ
λa
2
q(0):0
2⎤⎡4
=(4παs)2⎢−0:(0)q(0):0⎥,
⎣9⎦
(32)
[18]
要注意的是, 在推导方程(32)的最后一步时, 我们使用了因子化的等式 :
:(0)γµ
λa
2
q(0)γµ
λa
2
q(0):0=−
42
0:q(0):0. 9π
文献[18]给出了最低维数的胶子真空凝聚为
:G2:0=
π
s
0:
αs
π
aGµνGaµν:0=
s
×0.012GeV4. (33)
利用如方程(33)中的胶子凝聚值, 并将方程(30, 32和33)代到方程(3)中去, 我们最后便得到了
2
λg
2⎤⎡4
12π2(4παs)−32×0.0015GeV6+(4παs)2⎢−0:q(0):0⎥
9= 2παs×0.012 GeV3− GeV2−0.5068αs GeV2,=0.1058αs
(34)
这里我们已经在方程(34)的推导中取夸克的真空凝聚0:(0)q(0):0=−1.65×10−2 GeV3. 方
2
明显地依赖于强耦合跑动常数αs. 例如, 当αs=0.20时, 程(34)显示出胶子的虚度λg 222
λg=0.2325 GeV2. 但是, 当αs=0.50时, λg=0.086 GeV2. λg随αs的增加而减少. αs越大22λg越小. 这一点是很容易理解的, 因为随着αs的增加, 胶子与其周围的夸克和胶子间的相互2作用也会越强, 使得胶子不能以较高的动量运动. 方程(34)的另一个特征是它的第二项对λg
的贡献是可以忽略不计的, 因为0<αs<1.0. 这时方程(34)中的第一项就是非常重要的.
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2λg/2对Q2的依赖关系见本文的图1.
2图1 胶子虚度λg/2对Q2的依赖关系
3 结论
基于用DSEs方程所描述的完全穿衣服的、禁闭的夸克传播子, 我们用有效的胶子传播子在“彩虹近似”下研究了QCD真空态中夸克的虚度. 我们用数值求解的办法求解了耦合的积分方程(DSEs), 得到了方程的数值解Af和Bf. 夸克的虚度定义为定域的夸克-胶子混合凝聚与定域的夸克凝聚之比. 这两种凝聚都可以用夸克传播子函数Af和Bf来表示. 所以通过计算定域的夸克真空凝聚值和定域的夸克胶子混合真空凝聚值, 我们就得到了夸克的虚度. 我们的结果与用QCD求和规则预言的结果以及格点QCD计算的结果相符合. 夸克的虚度不但描述了在真空中夸克分布的空间宽度, 而且通过手征限制下的运动方程也与混合夸克胶子的真空凝聚紧密相关.
胶子的虚度是由胶子的凝聚和四夸克的真空凝聚所决定的. 本文也对胶子的虚度进行了数值计算. 与破坏手征对称性的夸克真空凝聚不同, 胶子的真空凝聚保持着强相互作用的手征对称性. 用来预言胶子虚度的所有的真空凝聚值都与文献上广泛使用的经验值以及其他模型, 如QCD求和规则和格点QCD计算, 所得的结果符合. 用本文现在已经得到的数值结果, 我们首次得到了QCD真空中胶子的虚度, 进而也表明了胶子在真空态中具有不为零的均方动
22量. 我们的结果清楚地表明, 胶子的虚度λg是依赖于强耦合跑动常数αs的, λg 随αs的增加
22而减少. αs越大, λg越小. 原因很简单, 因为当αs增大时, 胶子与它周围的夸克和胶子间的
相互作用也会越强, 使得胶子不能以较大的动量运动.
2需要强调的是, 虽然夸克的真空凝聚依赖于截断质量µ2, 但夸克的虚度λq对µ2的变化
是不灵敏的, 其原因是夸克的虚度是夸克胶子混合真空凝聚值与夸克真空凝聚值的比. 1352
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QCD真空态充满了夸克和胶子场的长波涨落. 这种复杂的真空态的等级参数是由一系列定域的真空凝聚, 例如夸克凝聚和胶子凝聚, 来表征的. 这些凝聚是夸克和胶子场的各种不同的单态组合的真空矩阵元. 夸克和胶子虚度的存在清楚而又直接地说明了QCD真空态非微扰结构是复杂的, 需要研究.
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