实际问题与一元二次方程练习题

实际问题与一元二次方程类型归纳练习题
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一、传播问题
例题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感
，每轮传染中平均
一个人传染了几个人？
分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有
(x+1)人患
了流感；
②第
二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有(x+1)(x+1)人患了流感.
则：列方程 (x+1)2=121，解得x=10或x=-12(舍)，即平均一个人传染了10个人.
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
练习题：
1、某种植
物的主干长出若
干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？
2、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，那么全组有多少名同学？
3、一个小组若干人，新年互相发送祝福短信，若全组共发送祝福短信72条，则这个小组共有多少人？
4、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
5、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
二、增长率问题
例题：两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药品的成本是6 000元
，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.001)
分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1-x)2元.
依题意，得5 000(1-
x)2=3 000 .
解得：x1≈0.225，x2≈1.775.
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为0.23.
②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：6 000(1-y)2=3 600.
解得：y1≈0.225，
y2≈1.775(舍).
答：两种药品成本的年平均下降率相同.
练习题：
1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7 200 kg，2003年平均每公顷产8 460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
2、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份
营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
3、某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
4、来自信息产业部的统计数字显示，2007年一至四月份我国手机产量为4000万台，相当于2006年全年手机产量的80％，预计到2008年年底手机产量将达到9800万台，试求这两年手机产量平均每年的增长率：
5、某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）
A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363
C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300
三、利润问题
此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，利润率=
例题：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x）元，现每天销售衬衫为（20＋2x）件，根据等量关系：
每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。

解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得
（40－x）（20＋2x）=1200
解得x1=10，x2=20，因尽快减少库存，∴取x=20 ∴每件应降价20元。

答：略
四、面积问题
例题：如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修
建三条同样宽度
的马路，使其中两条与AB平行
，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144 m2，求马路的宽.
解：假设三条马路修在如图所示位置.
设马路宽为x，则有(40-2x)(26-x)=144×6，化简，得:x2-46x+88=0，解
得：x1=2，x2=44，由题意：40-2x>0，26-x>0，则x<20.故x2=44不合题意，应舍
去，∴x=2.
答：马路的宽为2 m.
练习题：
1、如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条
(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面
积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(精确到0.1 cm).
2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余
下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为
3、用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形，要求长
方形的面积为75 cm2.
(1)求此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？如能，说明围法.
(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2)，长方形的宽为x(cm)，求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最
大？最大面积为多少？
4、在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,那么金色纸边的宽为多少 cm？
五、数字问题
解数字问题的应用题，要能正确地表示诸如多位数、奇偶数，连续的整数的形式，如
一个三位数abc可表示为100a＋10b＋c，
连续三个偶数可表示为2n－2、2n 、2n＋2（n为整数）
连续的整数：设其中一数为x，另一数为x+1
连续的奇、偶数：设其中一数为x，另一数为x+2
练习：
1、两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。

2、一个两位数，个位数字与十位数字之和为7，把个位数字与十位数对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为1300，求原两位数。

3、一个两位数等于它的个位数字与十位数字的乘积的3倍，并且十位上的数字比个位数小2，求这个两位数。

列方程解决实际问题的一般步骤
应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：
(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系.
(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接).
(3)列：是指列方程，根据等量关系列出方程.
(4)解：就是解所列方程，求出未知量的值.
(5)验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去.
(6)答：即写出答案，不要忘记单位名称.
总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.。