算法复习材料1教学内容

算法复习材料1算法复习练习题一．计算题与简答题1. 用ΘΩO 、、表示函数f 与g 之间的关系。

(1) f(n)=10000n g(n)=n-10000(2) f(n)=2n g(n)=3n /n(3) f(n)=n 3log 2n g(n)=n 2log 3n(4) f(n)=log 2n g(n)=log 3n(5) f(n)=100n +n 100 g(n)=n!2.估计下列算法的时间复杂性的阶。

(1)算法A 的时间复杂性为∑==ni i n g 13)(，(2)算法B 的时间复杂性为⎩⎨⎧≥+==2,)2/(81,1)(n n n f n n f3. 计算下面算法中count=count+1的执行次数算法1.10 COUNT3输入：k n 22=，k 为正整数输出：count=count+1的执行次数count=0for i=1 to nj=2while j<=nj=j 2count=count+1end whileend forreturn countend COUNT3 4. 下面是冒泡排序的算法，该算法的基本运算是什么？求该算法最坏情况下的时间复杂性。

算法 BUBBLESORT输入：正整数n,n 个元素的数组A[1..n]。

输出：按升序排列的数组A[1..n]。

i=n;sorted=falsewhile i>1 and not sortedsorted=truefor j=2 to iif A[j]<A[j-1] thenA[j]↔A[j-1]sorted=falseend ifend fori=i-1end whileend BUBBLESORT5.用两种方法证明log n!= (n log n)。

(1)用代数方法(2)用积分方法6.求解递推关系式 f(n)=-6f(n-1)-9f(n-2)。

7. 分治算法由哪些基本步骤组成？分治算法的时间复杂性常满足什么样的递归方程，写出该方程的一般形式，并指出其中各参数的意义。

8. 算法有哪五个特性？9. 什么是最优子结构？10. 贪心法与动态规划有何根本区别？11. 设计回溯算法通常包括哪些步骤？12. 随机算法分成那几类，各有什么特点？三．算法填空1. 以下是计算x m的值的过程power ( x, m )//计算x m的值并返回。

if m=0 then y=____________elsey=____________y=y*yif m为奇数 then y=x*yend if____________end power2. 以下是关于矩阵链乘的算法MATCHAIN1和MATCHAIN_PRODUCT算法 MATCHAIN1输入：矩阵链长度n, n个矩阵的阶r[1..n+1], 其中r[1..n]为n个矩阵的行数，r[n+1]为第n个矩阵的列数。

输出：n个矩阵相乘的数量乘法的最小次数，最优顺序的信息数组S[1..n, 1..n]。

for i=1 to n C[i, i]=0 //对角线d0置０for d=1 to n-1 //逐条计算对角线d0~d n-1for i=1 to n-d // 计算对角线d d的n-d个元素。

____________C[i, j]= ∞for k=i+1 to jx= ____________if ____________ thenC[i, j]=x; S[i, j]=kend ifend forend forend forreturn C[1, n], Send MATCHAIN1根据S中的信息递归确定最优乘法顺序。

算法 MATCHAIN_PRODUCT输入：矩阵链长度n, n个矩阵M1, M2, …, M n , 最优乘法顺序的信息数组S[1..n, 1..n]。

输出：按最优顺序计算的矩阵链乘积M=M1M2…M n。

M=matchain_product( 1, n )return Mend MATCHAIN_PRODUCT过程 matchain_product (i, j)// 求按最优顺序计算的矩阵链乘积M i M i+1…M j并返回。

if ____________ then return M ielseA=matchain_product ____________B=matchain_product ____________C=multiply( A , B) //计算两个矩阵乘积C=AB。

return Cend ifend matchain_product3. 以下是迷宫问题的算法算法 MAZE输入：正整数m, n，表示迷宫的数组M[0..m+1, 0..n+1] (迷宫数据存于M[1..m,1..n]中)，迷宫的入口位置(ix, iy),出口位置(ox, oy)。

输出：迷宫中入口至出口的一条通路，若无通路，则输出no solution。

M[0, 0..n+1]=M[m+1, 0..n+1]=1M[0..m+1, 0]=M[0..m+1, n+1]=1 //设置迷宫边界。

tag[1..m, 1..n]=0为dx[1..4], dy[1..4]置值flag=false //flag表示是否存在通路。

x=ix; y=iy ; tag[x, y]=1 //进入入口, (x, y)表示当前位置。

i=1; k[i]=0while ____________ and not flagwhile ____________ and not flag____________ //试沿着下一个方向搜索。

x1= x+dx[k[i]]; y1= y+dy[k[i]]if M[x1, y1]=0 and tag[x1, y1]=0 then //位置(x1,y1)可走if x1=ox and y1=oy then ____________ //找到一条通路else x=x1; y=y1; tag[x, y]=1 //进入新位置。

i=i+1 ； k[i]= ____________ //准备搜索下一个位置。

end ifend if //否则，剪枝end while____________; x=x-dx[k[i]]; y=y-dy[k[i]]//回溯 end whileif flag thenoutputroute(k, i) //输出由k[1..i]表示的通路。

else output “no solution”//输出无解end MAZE4. 下面是求一个序列的多数元素的递归算法算法 MAJORITY输入：n个元素的数组A[1..n]。

输出：若A[1..n]存在多数元素，则输出；否则输出none。

c=candidate ( 1 ) // 求A[1..n]中的候选多数元素。

count=0 //以下验证c是否为A[1..n]中的多数元素。

for j=1 to nif A[j]=c then count=count+1end forif ____________ then return celse return noneend MAJORITY过程 candidate ( m )//求A[m..n]中的候选多数元素并返回。

j=m; c=A[m]; count=1while j<n and count>0j=j+1if ____________ then ____________else ____________ //除去两个不同的元素。

end whileif j=n then return c //此时序列已扫描完毕。

else return ____________end candidate5. 下面是0-1背包问题的算法算法 KNAPSACKREC输入：物品数n, n种物品的体积数组s[1..n]和价值数组v[1..n],背包容量C。

输出：装入背包物品的最大总价值，以及最优解的信息数组H[0..n, 0..C]。

for i=0 to nfor j=0 to CV[i, j]=-1maxv=knapsack(n, C)return maxv , Hend KNAPSACKREC过程 knapsack(i, j)//从i种物品中选择物品装入容量为j的背包中，求背包中//物品所能达到的最大总价值并返回，同时将最优解的相应//信息存入数组H[0..n, 0..C]。

if V[i, j]=-1 then //相应的子问题未解过。

if i=0 or j=0 then V[i,j]=0elseif s[i]>j thenV[i, j]=____________H[i, j]= ____________elsea1=____________a2=knapsack(i-1, j)if a1>=a2 thenV[i, j]=a1; H[i, j]=____________elseV[i, j]=a2; H[i, j]=0end ifend ifend ifend ifreturn ____________end knapsack算法 KNAPSACK_SOLUTION输入：物品数n , 背包容量C, n种物品的体积数组s[1..n], 相应的0/1背包问题的最优解信息数组H[0..n, 0..C]。

输出：相应的0/1背包问题的最优解X[1..n]。

y=C // y表示当前背包的剩余容量X[n]=H[n, C]for i=n to 2if X[i]=1 then y=____________X[i-1]=____________end forreturn Xend KNAPSACK_SOLUTION6. 以下是随机化的线性选择算法算法 RANDOMIZEDSELECT输入：整数n, k, 1<=k<=n, 以及n个元素的数组A[1..n]。

输出：A中的第k小元素s。

s=rselect ( A , 1, n, k )end RANDOMIZEDSELECT过程 rselect ( A , low, high, k )//求A[low..high]中的第k小元素并返回。

v=random(low, high)mm= ____________将A[low..high]分成三个数组：A1={a|a<mm}，A2={a|a=mm}, A3={a|a>mm}//以下选择一个子问题递归或直接解。

case|A1|>=k: return ____________ //求A1的第k小元素。

|A1|+|A2|>=k: return mm//此时mm为A[low..high]的第k小元素。

|A1|+|A2|<k: return rselect ____________//求A3的第k-|A1|-|A2|小元素end caseend rselect7. 以下是归并排序的分治算法MERGESORT输入：n个元素的数组A[1..n]。