2021年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷(74)(有答案解析)
2021-2022学年浙江省金华市某学校数学高职单招试题(含答案)
2021-2022学年浙江省金华市某学校数学高职单招试题（含答案）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(10题)1.不等式-2x2+x+3<0的解集是（）A.{x|x＜-1}B.{x|x＞3/2}C.{x|-1＜x＜3/2}D.{x|x<-1或x＞3/2}2.函数的定义域( )A.[3,6]B.[-9,1]C.(-∞,3]∪[6，+∞)D.(-∞，+∞)3.设全集={a，b,c，d}，A={a，b}则C∪A=()A.{a,b}B.{a，c}C.{a,d)D.{c,d}4.一条线段AB是它在平面a上的射景的倍，则B与平面a所成角为（）A.30°B.45°C.60°D.不能确定5.从1，2,3,4这4个数中任取两个数，则取出的两数之和是奇数的概率是（）A.1/5B.1/5C.2/5D.2/36.下列函数为偶函数的是A.B.C.7.有四名高中毕业生报考大学，有三所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则报考的方案数为（）A.B.C.D.8.已知集合M={1，2,3,4}，以={-2,2}，下列结论成立的是（）A.N包含于MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}9.函数f（x）的定义域是（）A.[-3，3]B.（-3，3）C.（-，-3][3，+）D.（-，-3）（3，+）10.已知a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b)×a=( )A.1B.-1C.0D.2二、填空题(10题)11.12.已知一个正四棱柱的底面积为16，高为3，则该正四棱柱外接球的表面积为_____.13.函数的定义域是_____.14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=32，则a2+2a5十a6=_______.15.某校有高中生1000人，其中高一年级400人，高二年级300人，高三年级300人，现釆取分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高三年级应抽取的人数是_____人.16.17.在△ABC 中，若acosA = bcosB，则△ABC是三角形。
2021年浙江省舟山市普通高校高职单招数学自考真题(含答案)
2021年浙江省舟山市普通高校高职单招数学自考真题(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.已知a∈(π，3/2π)，cosα=-4/5，则tan(π/4-α)等于（）A.7B.1/7C.-1/7D.-72.A.B.C.D.3.已知集合，A={0,3}，B={-2,0，1，2}，则A∩B=()A.空集B.{0}C.{0,3}D.{-2,0，1，2,3}4.已知等差数列中，前15项的和为50，则a8等于（）A.6B.C.12D.5.以坐标轴为对称轴，离心率为，半长轴为3的椭圆方程是（）A.B.或C.D.或6.已知椭圆x2/25+y2/m2=1(m＜0)的右焦点为F1(4,0)，则m=()A.-4B.-9C.-3D.-57.下列四组函数中表示同一函数的是( )A.y=x与y=B.y=2lnx与y=lnx2C.y=sinx与y=cos()D.y=cos(2π - x)与y=sin(π - x)8.9.把6本不同的书分给李明和张强两人，每人3本，不同分法的种类数为( )A.B.C.D.10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a=，c=2，cosA=2/3，则b=()A.B.C.2D.311.执行如图所示的程序框图，输出n的值为（）A.19B.20C.21D.2212.已知互相垂直的平面α，β交于直线l若直线m，n满足m⊥a，n⊥β则（）A.m//LB.m//nC.n⊥LD.m⊥n13.A.B.C.14.A.（1,2）B.（3,4）C.(0,1)D.(5,6)15.函数y=lg(x+1)的定义域是（）A.(-∞，-1)B.(-∞,1)C.(-l,+∞)D.(1,+∞)16.下列命题正确的是（）A.若|a|=|b|则a=bB.若|a|=|b|，则a＞bC.若|a|=|b丨则a//bD.若|a|=1则a=117.的展开式中，常数项是( )A.6B.-6C.4D.-418.在△ABC中，A=60°，|AB|=2，则边BC的长为（）A.B.7C.D.319.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16,则a5=()A.1B.2C.4D.820.若102x=25，则10-x等于（）A.B.C.D.二、填空题(20题)21._____；_____.22.已知（2,0)是双曲线x2-y2/b2=1(b＞0)的焦点，则b =______.23.拋物线的焦点坐标是_____.24.设A=(-2,3)，b=(-4,2)，则|a-b|= 。
招生国统一考试数学理试题浙江卷,含答案试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学理〔卷，含答案〕本套试卷分为选择题和非选择题两局部。
全卷一共五页，选择题局部1至2页。
非选择题局部3至5页。
总分值是150分，考试时间是是120分种。
请考生按规定用笔将所有试题之答案标号涂、写在答题纸上。
选择题局部〔一共50分〕本卷须知：1、 每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题纸上对应试题之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在答题纸上。
参考公式：假设事件A ，B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕； 假设事件A ，B 互相HY ，那么P 〔A ．B 〕=P 〔A 〕．P 〔B 〕假设事件Ａ在一次试验中发生地概率是ｐ，那么ｎ次HY 重复试验中事件Ａ恰好发生Ｋ次的概率：k k n k m n k P P-（K ）=C （1-P ）（=0，1，2，...n ） 球的外表积公式：24S R π=球的体积公式：343VR π= 其中Ｒ表示球的半径 棱柱的体积公式Ｖ＝Ｓｈ其中Ｓ表示棱柱的底面积，ｈ表示棱柱的高，棱锥的体积公式：1h 3V S =其中Ｓ表示棱锥的底面积，ｈ表示棱锥的高，棱台的体积公式：1h 3V =12（S ）其中分别表示棱台的上、下底面积、h 表示棱台的高一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
（1） 设U=R ，{|0}{|1}u A x x B x x B =>=>⋂=，，则A〔A 〕{|01}x x ≤<k k n km n k P P-（K ）=C （1-P ）（=0，1，2，...n ） 〔B 〕{|01}x x <≤〔C 〕{|0}x x <〔D 〕{|1}x x >〔2〕a 、b 是实数，那么“a>0，b>0”是a+b>0且ab>0的〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件24S R π=〔3〕设z=1+i 〔i 是虚数单位〕，那么22z z+= 〔A 〕-1-i 〔B 〕-1+i 〔C 〕1-i 〔D 〕1+i 〔4〕在二项式5)1(xx -的展开式中，含x 4的项的系数是 〔A 〕-10〔B 〕10 〔C 〕-5〔D 〕5〔5〕在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 式侧面BB 1C 1C 的中心，那么AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是〔A 〕300〔B 〕450〔C 〕600〔D 〕90〔6〕某程序框图如下列图，该程序运行后输出的k 的值是〔A 〕4〔B 〕5〔C 〕6〔D 〕7〔7〕设向量a,b 满足︱a ︱=3,︱b ︱=4,b a ⋅=0.以a,b,a-b 的模为边长构成三角形，那么它的边与半径为1的圆的公一共点个数最多为〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕5〔D 〕6〔8〕a 是实数，那么函数f 〔x 〕=1+asinax 的图像不可能是〔9〕过双曲线12222=-by a x 〔a ＞0,b ＞0〕AB =BC 21,那么双曲线的离心率是〔A 〕2〔B 〕3〔C 〕5〔D 〕10〔10〕对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数f 〔x 〕构成的集合：R x x ∈∀21,且2x ＞1x ,有-α〔2x -1x 〕＜f 〔2x 〕-f 〔1x 〕＜α〔2x -1x 〕.以下结论正确的选项是〔A 〕假设2121)()(,)(,)(αααα⋅∈⋅∈∈M x g x f M x g M x f 则 〔B 〕2121)()(,0)()(,(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且）若 〔C 〕2121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g M x f 则若〔D 〕121,)(,)(ααα且若M x g M x f ∈∈＞212)()(ααα-∈-M x g x f ，则2021年普通高等招生全国统一考试数学〔理科〕 非选择题局部〔一共100分〕本卷须知：1.用黑色字迹的签字笔或者钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2020年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷(72)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（72）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知当时，，那么，当时，A. B. C. D. 72.在中，，的平分线交AC于则A. sin BB. cos BC. tan BD. cot B3.四条直线，，，围成正方形现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标，则点P落在正方形面上含边界的概率是A. B. C. D.4.已知函数，当时，则函数的图象可能是下图中的A. B.C. D.5.有一堆形状大小都相同的珠子，其中只有一粒比其它都轻些，其余一样重．若利用天平不用砝码最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有A. 8粒B. 9粒C. 10粒D. 11粒6.在中，，，且a、b、c满足：，，，则A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）7.已知，化简______ ．8.若关于x的方程有四个不同的解，则k的取值范围是______ ．9.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿上，的“分裂”中最大的数是______，若的“分裂”中最小数是21，则______．10.已知，则______．11.如图，在中，，为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于D，且与AC相切．则D到AC的距离为______ ．12.在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有______个．三、计算题（本大题共1小题，共11.0分）13.甲，乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？四、解答题（本大题共5小题，共55.0分）14.用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．试写出四个符合上述条件的六位数；请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？15.已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为二次函数与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得面积最大．16.如图，已知锐角的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，若，求的大小．17.已知实数a，b，c满足：，又，为方程的两个实根，试求的值．18.如图，已知菱形ABCD，，内一点M满足，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．答案和解析1.【答案】C【解析】解：把，代入得：，即把代入得：故选C．把代入解得，把当成一个整体代入后面式子即可解答．能够根据指数的意义发现代数式之间的关系，然后整体代值计算．2.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角函数的定义．根据角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算．【解答】解：过点D作于E．则．可证≌，．，又，，，．故选A．3.【答案】D【解析】解：连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标，共种；符合题意的有：共15个，概率是．故选：D．首先确定点P的坐标，根据这个坐标可求出点P落在正方形面上含边界的概率．本题将概率的求解设置于点P的坐标中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．4.【答案】A【解析】解：因为函数，当时，所以可判断，可知，所以可知，，则，不妨设则函数为函数即则可判断与x轴的交点坐标是，，故选A．当时，，所以可判断，可知，，所以可知，，则，不妨设进而得出解析式，找出符合要求的答案．要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a，b，c的值．从条件可判断出，可知，；所以可知，，，从而可判断后一个函数图象．5.【答案】B【解析】解：这堆珠子最多有9个．将这堆珠子平均分成3组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量；若天平平衡，那么较轻的珠子在没称的那堆珠子里；若天平不平衡，那么较轻的珠子就在较轻的那堆珠子里；然后将较轻的那堆珠子进行第二次测量，同第一次测量一样，将其中两个放在天平的两端；若天平平衡，那么没称的珠子就是所找的珠子；若天平不平衡，那么较轻的珠子就是所找的珠子．因此最多用两次即可找出较轻的珠子．故选B．已知最多两次就找出这粒较轻的珠子，那么第二次所测的珠子的个数最多为3个；即将其中的两个放在天平的两边，若天平平衡，那么不在天平中的珠子就是最轻的珠子，如果天平不平衡，很较轻的珠子就是所找的珠子．同理，在第一次测量中，最多可测出三组珠子，因此这堆珠子最多有9个．本题的解答关键是找出每次能测量出的珠子堆的最多的个堆数．6.【答案】C【解析】解：，，，，，，，，，这个三角形的形状是直角三角形，，故选：C．利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．再运用三角函数定义求解即可．本题考查完全平方公式和勾股定理的逆定理在实际中的运用，注意运用几个非负数的和为0，那么这几个数均为0这个知识点是解题关键．7.【答案】【解析】解：，，原式．因为，，又，所以，即．注意当时，．8.【答案】【解析】解：关于x的方程有四个不同的解，，即，解得或，而时，的值不可能等于0，所以．故填空答案：．因为关于x的方程有四个不同的解，所以，即，解得或；又因为方程中一次项中未知数带着绝对值符号，一次项的系数不能为正数，否则等式不成立．所以当时，不符合题意，故取．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，也涉及了绝对值方程的应用，同时注意通过根与系数的关系求出的k值一定要代入到原方程检验，把不符合题意的值舍去．本题最后舍去是最容易出错的地方，要求具有严谨的数学思维．9.【答案】9 5【解析】解：中，最大数是；若的“分裂”中最小数是21，则，或负数舍去．根据所给的数据，不难发现：在中所分解的最大的数是；在中，所分解的最小数是根据发现的规律，则中，最大数是；若的“分裂”中最小数是21，则，或负数舍去．此题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在中所分解的最大的数是；在中，所分解的最小数是．10.【答案】0【解析】解：，，即，整理得，．本题不应考虑直接求出与的值，而应根据已知等式的特点，用配方法进行求解．本题考查了完全平方公式，根据式子特点，等式两边都减去，转化为完全平方式是解题的关键．11.【答案】15【解析】解：连接OD、OE，则；，；，，；；因此OE即为所求的D到AC的距离．，，解得：．故D到AC的距离为15．设AC与的切点为E，连接OE、OD；在等腰和等腰中，可求得，由此可证得；由于AC与相切，所以，那么OE即为所求的D到AC的距离．在中，已知了斜边OA的长和的正弦值，即可求出OE的长．本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、正弦的概念等知识的综合应用能力．12.【答案】9【解析】解：只能出现0或5，因此必须有9个5，0不能出现在首位，因此共有9个．故答案为9．被9整除的数，数字和一定是9的倍数．只能出现0或5，因此必须有9个5，0不能出现在首位，因此共有9个．解决本题的关键是得到被9整除的十位数的特点．13.【答案】解：设尽可能远离A地的甲汽车共走了x千米，乙汽车共走了y千米，则，且所以x最大为4320千米．设从A到尽可能的离A的距离是m千米，其中借给对方油的那辆车走了n千米后停下，那么千米那么需要用油升，那么就是走这个最远距离一次单趟需要120升油，那么可得出的方案是：甲，乙共同走720千米，乙停下等甲，并且给甲60升汽油，甲再走1440千米后回头与乙会合，乙再给甲60升汽油后，两车同时回到A地．也可画图表示为：如右图．【解析】本题中由于两车相互借对方的油，那么他们所走的距离和，他们所走的距离差由此可得出自变量的取值范围．如果要让一辆车尽可能的远离A地并同时返回，那么就必须让一辆车行驶一段后，把油给对方要刚好留下回A地的油，让对方走掉加的这些油后开始向A地返回，两者碰头后一起回A地．那么这个离A地最远的距离就应该是车行驶一段的距离停下后给对方的油量可行驶的距离要留下回A地的油根据此关系可求出走这个最远距离所需的油量，然后进行分配即可．本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．14.【答案】解：以1开头的数有等10个数；，131232，123123，123132，121323，121332，132123，132132，123213，132312，213123，213132，312123，312132，212313，213213，312312，313212，213231，312321，231213，231312，321213，321312，231231，231321，321231，321321，232131，323121则共30个符合条件的六位数．【解析】为了让相邻位不允许用相同的数字，可以依次对1、2、3进行排列．如123123，132132等；根据要求，先确定1的位置，再依次确定2，3的位置，从而求解．解决问题的关键是读懂题意，要特别注意：相邻位不允许用相同的数字．15.【答案】解：由题意可得，代入方程得．二次函数为与x轴的交点为，，当点M的横坐标为或或时，的面积可能取最大，经比较可得时，的面积取最大，此时即点，．【解析】方程可化简为方程只有时才有增根，可推出；将代入方程得即，再根据a的值求出c并确定解析式，再根据顶点坐标公式和x的取值范围确定面积最大时M点的坐标．学会巧妙地利用分式方程的性质来解决问题，同时要明确增根问题可按如下步骤进行：确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16.【答案】解：设，则，；，，，为等腰三角形，；，，．【解析】设，则，根据三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，得根据等腰三角形的三线合一和等边对等角的性质和三角形的内角和定理，分别表示出和，进一步计算出发现等腰三角形则ON是OB的一半，根据直角三角形的性质可以求得度．再求得的大小．综合运用了等腰三角形和直角三角形的性质．要熟练掌握三角形和圆的有关性质才能灵活解题．17.【答案】解：，，，2ab为方程的二根，，由得，或把两组值代入原方程得到的方程相同．即，．【解析】把，2ab分别看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系解答则可．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18.【答案】证明：连接PD，DQ，由已知，，∽，∽．，．，又．，又，∽，．，，D，Q三点共线．【解析】求证：P，D，Q 三点共线就是证明平角的问题，可以求证，根据∽，∽，可以得出；进而证明∽，得出，则结论可证．本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等．第11页，共11页。
2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案
2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案2021年浙江省重点高中自主招生数学试卷及答案2021年浙江省重点高中自主招生考试数学试题卷本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。
每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）1．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则．小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A ．1112 B ． C ． D ． 43232．若关于x 的一元一次不等式组⎨有解，则m 的取值范围为（▲ ）A ．m b 成立的函数是（▲ ）A ．y =-2x +3B ．y =-2(x +3) +4C ．y =3(x -2) -1D ．y =-4．据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克) ，那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（▲ ）A ．64B ．71C ．82D ．1045．十进制数2378，记作2378(10) ，其实2378(10) =2⨯10+3⨯10+7⨯10+8⨯10，二进制数1001(2) =1⨯2+0⨯2+0⨯2+1⨯2．有一个（0165(k ) ，把它的三个数字顺序颠倒得到的k 进制数561(k ) 是原数的3倍，则k =（▲ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 6．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（▲ ）A ．4B ．3C ．2 D7．如图，在Rt △AB C 中，AC =3，BC =4，D 为斜边上一动点，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。
2021浙江卷 数学(解析版)
普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c ==，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
2021年普通高等学校招生全国统一考试 数学 浙江卷(附答案解析)
AP
MO R
NF
x
Q
B l
(第 21 题图)
22. (本小题满分 15 分)
设 a, b 为实数, 且 a > 1, 函数 f (x) = ax − bx + e2 (x ∈ R).
(1) 求函数 f (x) 的单调区间;
(2) 若对任意 b > 2e2, 函数 f (x) 有两个不同的零点, 求 a 的取值范围;
1. 设集合 A = {x | x ⩾ 1}, B = {x | −1 < x < 2}, 则 A ∩ B =( ).
A： {x | x > −1}
B： {x | x ⩾ 1}
C： {x | −1 < x < 1}
2. 已知 a ∈ R, (1 + ai)i = 3 + i (i 为虚数单位), 则 a =( ).
8. 已知 α, β, γ 是互不相同的锐角, 则在 sin α cos β, sin β cos γ, sin γ cos α 三个值中, 大于 1 的个数的最大值是 2
( ).
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
9. 已知 a, b ∈ R, ab > 0, 函数 f (x) = ax2 + b (x ∈ R). 若 f (s − t), f (s), f (s + t) 成等比数列, 则平面上点 (s, t) 的轨迹是 ( ).
.
三、解答题：共 5 小题, 共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. (本小题满分 14 分)
设函数 f (x) = sin x + cos x (x ∈ R).
2021年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(46)(有答案解析)
，，
四边形ACDB是平行四边形．
沿BC折叠得，、D两点重合，
．
平行四边形ACDB是菱形．
．
故答案为：4．
当、D两点不重合时，
．
证明：过点作，垂足为E，过点D作，垂足为F，如图2，
，，
四边形ACDB是平行四边形．
．
沿BC折叠得，
．
．
E .
E .
，，
．
．
四边形是平行四边形．
7.答案：49
解析：解：设三个小三角形，，的顶点分别为D、E、F、G、H、I，如图所示：
由题意可得：，，
∽，∽，∽，∽
∽∽
，，图中阴影部分的面积分别是1，4和16
它们的边长比为1：2：4
，，
四边形BDMG与四边形CEMH均为平行四边形
，
设，
则
：：1
1
：：
设三个小三角形，，的顶点分别为D、E、F、G、H、I，先由，，
14.如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动点C在点D的左侧，
，已知，a、b间的距离为，连接AC、BD、BC，把沿BC
折叠得．
当、D两点重合时，则______cm；
当、D两点不重合时，
连接，探究与BC的位置关系，并说明理由；
若以、C、B、D为顶点的四边形是矩形，求AC的长．
--------答案与解析--------
．
．
Ⅰ如图，
过点C作，垂足为H，此时．
四边形是矩形，
．
沿BC折叠得，
．
．
，
．
．
∽．
．
．
，，
．
解得：或．
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(72)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（72）一、选择题（每小题4分，共24分.以下每小题均给出了代号A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确的代号填入括号里，不填、多填或错填得0分）1．（4分）已知535y ax bx cx =++-．当3x =-时，7y =，那么，当3x =时，(y = )A ．3-B ．7-C ．17-D ．72．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，B ∠的平分线交AC 于D ．则(AB BC AD -= )A ．sinB B ．cos BC ．tan BD ．cot B3．（4分）四条直线6y x =--，6y x =-+，6y x =-，6y x =+围成正方形ABCD ．现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点P 落在正方形面上（含边界）的概率是( )A ．12B ．34C ．79D ．5124．（4分）已知函数2y ax bx c =++，当0y >时，1123x -<<．则函数2y cx bx a =-+的图象可能是下图中的( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）有一堆形状大小都相同的珠子， 其中只有一粒比其它都轻些， 其余一样重 ． 若利用天平 （不 用砝码） 最多两次就找出了这粒较轻的珠子， 则这堆珠子最多有( )A ． 8 粒B ． 9 粒C ． 10 粒D ． 11 粒6．（4分）在ABC ∆中，BC a =，AB c =，CA b =．且a 、b 、c 满足：2823a b -=-，21034b c -=-，267c a -=，则2sin sin (A B += )A ．1B ．75C ．2D ．125二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）已知01a <<，化简1122a a a a++-+-= ． 8．（5分）若关于x 的方程2||40x k x -+=有四个不同的解，则k 的取值范围是 ．9．（5分）对于大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿上，25的“分裂”中最大的数是 ，若3m 的“分裂”中最小数是21，则m = ．10．（5分）已知22(2008)(2007)1a a -+-=，则(2008)(2007)a a --=g ．11．（5分）如图，在ABC ∆中，40AB AC ==，3sin 5A =．O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆交BC 于D ，且O e 与AC 相切．则D 到AC 的距离为 ．12．（5分）在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有 个．三、解答题（每小题11分，共66分）13．（11分）用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．（1）试写出四个符合上述条件的六位数；（2）请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？14．（11分）已知关于x 的方程：2102x a a x +--=-有一个增根为b ，另一根为c ．二次函数2337()22y ax bx c x =+++-剟与x 轴交于P 和Q 两点．在此二次函数的图象上求一点M ，使得PQM ∆面积最大．15．（11分）如图，已知锐角ABC ∆的外心为O ，线段OA 和BC 的中点分别为点M ，N ．若4ABC OMN ∠=∠，6ACB OMN ∠=∠．求OMN ∠的大小．16．（11分）甲，乙两辆汽车同时从同一地点A 出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km ，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A ，并求出这辆车一共行驶了多少千米？17．（11分）已知实数a ，b ，c 满足：22221a b c ab +++=，2221()8ab a b c ++=．又α，β为方程2()(2)()0a b x a c x a b +-+-+=的两个实根，试求33αβαβ++的值． 18．（11分）如图，已知菱形ABCD ，60B ∠=︒，ADC ∆内一点M 满足120AMC ∠=︒，若直线BA 与CM 交于点P ，直线BC 与AM 交于点Q ，求证：P ，D ，Q 三点共线．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(77)(含答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（77）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.在我们的周围，有很多美丽的图案，下面是一些汽车的标志，请欣赏下面标志，并注意分析其中是中心对称图形的是A. B.C. D.2.如图，宽为的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为A. B. C. D.3.在直角坐标系中，的圆心在原点，半径为3，的圆心A的坐标为，半径为1，那么与的位置关系是A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切4.如图，要判断的面积是的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是A. 3次以上B. 3次C. 2次D. 1次5.若，则的值是A. 8B. 7C.D.6.若对上的一切实数x，不等式恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.7.如图：四边形ABMN，BCPQ是四角都是直角的全等四边形，点R在线段AC上移动，则满足的点R的个数是A. 1个B. 2个C. 1个或2个D. 无数多个8.二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，则化简二次根式的结果是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形阴影部分的面积，验证了一个等式是______．10.已知整数对序列，，，，，，，，则第30对数为______．11.在中国古代诗词中，有很多诗句体现了数学的某些意境，如“明月松间照，清泉石上流”体现了对称的意境；“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”体现了极限或无限的意境，请你再举出一例并说明其蕴涵的数学意义：______．12.如果定义，那么______．13.如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙，圆的两条弦最多可将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦最多可将圆分成7部分．由此推测，圆的n条弦最多可将圆分成______．14.如图，等腰梯形ABCD中，，，，点E，F分别在AD，BC上，且，，设四边形DEFC的面积为y，则y关于x 的函数关系式是______不必写自变量的取值范围．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）15.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）16.若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值．17.已知正比例函数和反比例函数的图象如图，请你画出函数的大致图象，并用文字说明所画图象的特征．18.求函数当时的最小值．19.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度u行走，另一半时间以速度v行走；乙有一半路以速度u行走，另一半路以速度v行走．如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点？并说明理由．20.如图，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，O为坐标原点，A点的坐标为，若P为y轴点除外上的一点，过P作轴交直线AB于C，设线段PC的长为l，点P的坐标为．如果点P在线段点除外上移动，求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；如果点P在射线、O两点除外上移动，求当m为何值时，．21.如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，，于M，求证：．22.设，且，抛物线被x轴截得的线段长为l，求l的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合选项即可得出答案．此题考查了中心对称的知识，解答本题一定要熟练中心对称的定义，关键是寻找中心对称点，要注意和轴对称区分开来．2.【答案】A【解析】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由图形可知，解得：．所以一个小长方形的面积为．故选：A．根据矩形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形的长小长方形的宽，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．此题考查了二元一次方程的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小正方形的长与宽的关系．3.【答案】B【解析】解：根据题意得点A到点O的距离是，即两圆的圆心距是2，所以半径与圆心距的关系是，根据圆心距与半径之间的数量关系可知与的位置关系是内切．故选B．首先求得点A到点O的距离是，再根据圆心距与半径之间的数量关系判断与的位置关系．本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为P，则：外离；外切；相交；内切；内含．4.【答案】D【解析】解：连接AD并延长交BC于M，作交AP于点F．一次测量即可得AD，AM长，即可算出DM长，由，即可求出的面积是的面积的几倍．所以只量一次．故选D．根据同底三角形的面积比等于高之比，即可得到答案．此题考查了同底三角形的面积的度量．5.【答案】B【解析】解：由，得，由题知，x不等于0，两边同除x得：，又知将代入得，原式．故选：B．将原方程转化为，利用完全平方公式将转化为完全平方式，再将代入所得完全平方式即可求解．本题主要考查了利用完全平方公式将代数式化为完全平方式并求代数式的值，利用整体思想是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：变形得，当，，即，对上的一切实数x，不等式恒成立，，m取最小值，，即；当时，恒成立，当时，，即，时，m取最大值，，即，实数m的取值范围是．故选：B．先变形得到，讨论：当，，即；当时，恒成立；当时，，即，而对上的一切实数x，不等式恒成立，当，m取最小值，时，m取最大值5，然后综合得到m的范围．本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质先去括号或去分母，再把含未知数的项移到不等式的左边，常数项移到右边，合并同类项后，然后把未知数的系数化为1即可．7.【答案】C【解析】解：设两个矩形的长是a，宽是连接PN，延长PQ交AN于H，连接BN，BP，在中，根据勾股定理可得：，过PN的中点E作于点F．则EF是梯形ANPC的中位线，则；以PN为直径的圆，半经为的圆，又，而只有是等号才成立，由，可得圆与直线AC相交或相切，则直角顶点R的位置有两个或一个．故选：C．首先设两个矩形的长是a，宽是连接PN，延长PQ交AN于H，连接BN，BP，利用勾股定理可求得PN的值，然后求得梯形ANPC的中位线的中位线长，利用几何不等式，可得圆与直线AC相交或相切，则可求得答案．此题考查了圆周角定理，梯形的中位线的性质、矩形的性质以及几何不等式的应用．此题难度较大，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8.【答案】D【解析】解：图象开口向下，，，，图象和y轴的交点在正半轴上，，当时，，，，当时，，，原式，故选D．由于图象开口向下，那么；易知，可得；而图象和y轴的交点在正半轴上，则有，当时，以求，即，于是，，据图可知当时，，即，据此可化简所给式子，根据二次根式的性质计算即可．本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象找出图象特点，并能代入一些x的特殊值如：时y取值情况．9.【答案】【解析】解：左边图形中，阴影部分的面积，右边图形中，阴影部分的面积，两个图形中的阴影部分的面积相等，．故答案为：．分别表示出两个图形中的阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．本题考查了平方差公式的几何解释，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．10.【答案】【解析】解：，两数的和为2，共1个，，，两数的和为3，共2个，，，，两数的和为4，共3个，，，，第30对数是两个数的和为9的8个数对中的第二对数，即．故答案为：．根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第30对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．本题是对数字变化规律的考查，规律比较隐蔽，观察出括号内的两个数的和的变化情况是解题的关键．11.【答案】“满园春色关不住，一支红杏出墙来”；体现了微积分教学中的无界变量，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一支红杏越出园子的范围．诗的比喻如此恰切，其意境把枯燥的数学语言形象化了．【解析】解：如：“满园春色关不住，一支红杏出墙来”；体现了微积分教学中的无界变量，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一支红杏越出园子的范围．诗的比喻如此恰切，其意境把枯燥的数学语言形象化了．故答案为：根据题目举例结合生活实际举例并说明其蕴涵的数学意义．此题考查的知识点是数学常识，也考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，在平时注重理论联系实际，学以致用．12.【答案】【解析】解：．故答案为：．根据新定义得到，再约分计算即可求解．考查了规律型：数字的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．13.【答案】【解析】解：一条弦最多可将圆分成部分，二条弦最多可将圆分成部分，三条弦最多可将圆分成部分，四条弦最多可将圆分成部分，n条弦最多可将圆分成部分．故答案为：．根据每增加一条弦，增加了多少个部分，由易到难，寻找变化规律．考查了计数方法，本题是规律探讨性题型，解题的关键是由基本图形，逐步寻找一般规律．14.【答案】【解析】解：过E作EG垂直AB于G，过F作FH垂直AB于H，，EG垂直AB，，FH垂直AB，，过E作EG垂直AB于G，过F作FH垂直AB于H，根据等式梯形ABCD的面积，分别求得各部分的面积从而可得到函数关系式．此题主要考查学生对等腰梯形的性质及三角形的面积公式的综合运用．15.【答案】解：过P作于C点，据题意知：，，，，，在中：，即：，，客轮不改变方向继续前进无触礁危险．【解析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险．此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．16.【答案】解：方程组与方程组有相同的解，方程组的解也是它们的解，解之得：，代入其他两个方程得，解之得：，【解析】将方程和组成二元一次方程组后求得其解，然后代入剩余两个方程组成的方程组即可求得a、b的值．此题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，解题时首先正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组即可求解．x 1 2 3y 0 0描点、连线：所画图象有两个分支，两个分支关于原点对称且都不与y轴相交．【解析】根据函数图象的画法，列表、描点、连线即可．本题考查了函数图象的画法，要知道，画函数图象要列表、描点、连线，同时要能根据函数图象得到函数的性质．18.【答案】解：对称轴，，即时，范围内，y随x的增大而增大，当时，y最小，最小值，，即时，当时有最小值，最小值，，即时，范围内，y随x的增大而减小，当时，y最小，最小值，综上所述，时，最小值为1，时，最小值为，时，最小值为．【解析】先求出抛物线对称轴，然后分，，三种情况，根据二次函数的增减性解答．本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．19.【答案】解：设从出发点到指定地点的路是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，，依题意有：，，，，．．故甲先到达指定地点．【解析】不等式的应用与作差法比较大小，由题意知，可分别根据两人的运动情况表示出两人走完全程所用的时间，再对两人所胡的时间用作差法比较大小即可得出谁先到达．此题主要考查了应用类问题中一个不等式的实际应用题，根据实际情况建立起函数模型，再利用不等式的性质比较大小，熟练掌握比较大小的方法作差法，及根据题设情况建立起正确的模型是解题的关键20.【答案】解：在直线上，，解得，轴交直线AB于C，，；当点P在线段BO上时，，，，即，解得或4，当P点在y轴的负半轴时，，，则，解得舍去，，或4或．【解析】将代入直线中，可求得，将P点纵坐标m代入直线中，得C点横坐标为，由此可表示PC的长，即求l与m的函数关系式；分P点在线段BO上，P点在y轴的负半轴，两种情况分别表示的面积，再求m的值．本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据一次函数点的坐标表示线段的长和三角形面积．21.【答案】证明：在MA上截取，连接BE，，，，，，，而，，又，，，，≌，，．【解析】首先在MA上截取，连接BE，由，根据垂直平分线的性质，即可得到，得到；再由，得到，而，则，根据圆内接四边形的性质得，易得，从而可证出≌，得到，即有．此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．22.【答案】解：，，，，被x轴截得的线段的长为l，令，则，设，，，把代入上式，得，，，，，，，，，，，，，，，．【解析】利用已知条件得到b和a，c的关系，令解方程求出抛物线和x轴交点的横坐标，求出l的表达式，利用一元二次方程的判别式，求出l的取值，再由，推出，可得，推出，由此即可解决问题．本题考查了二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．。
招生国统一考试数学浙江卷含答案试题
卜人入州八九几市潮王学校绝密★启用前2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕数学本试题卷分选择题和非选择题两局部。
全卷一共4页，选择题局部1至2页；非选择题局部3至4页。
总分值是150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．在答题之前，请必须、准考证号用黑色字迹的签字笔或者钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“本卷须知〞的要求，在答题纸相应的位置上标准答题，在本套试题卷上的答题一律无效。
参考公式：假设事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 假设事件A ，B 互相HY ，那么()()()P AB P A P B = 假设事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次HY 重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k kn k n n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的外表积公式 24S R =π球的体积公式 343V R =π 其中R 表示球的半径选择题局部〔一共40分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
1．全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，那么()U A B =A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是AB ．1CD ．23．假设实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，那么z =3x +2y 的最大值是A ．1-B ．1C ．10D ．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，那么积不容异〞称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．假设某柱体的三视图如下列图〔单位：cm 〕，那么该柱体的体积〔单位：cm 3〕是 A ．158 B ．162C ．182D ．3245．假设a >0，b >0，那么“a +b ≤4〞是“ab ≤4〞的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是 7．设0＜a ＜1，那么随机变量X 的分布列是 那么当a 在〔0,1〕内增大时， A ．D 〔X 〕增大B ．D 〔X 〕减小C ．D 〔X 〕先增大后减小D ．D 〔X 〕先减小后增大8．设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点〔不含端点〕．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，那么 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．假设函数()y f x ax b =--恰有3个零点，那么 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >010．设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ，那么A ．当b =12时，a 10>10 B ．当b =14时，a 10>10C ．当b =–2时，a 10>10D ．当b =–4时，a 10>10非选择题局部〔一共110分〕二、填空题：本大题一一共7小题，多空题每一小题6分，单空题每一小题4分，一共36分。
2021年8月浙江省普通高校自主招生模拟测试考试数学试题及答案
绝密★考试结束前2021年8月浙江省普通高校自主招生模拟测试考试数 学★试题介绍：A.本试题卷分选择题和非选择题两部分。
B.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
C.满分150分。
考试用时120分钟。
★考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
★参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k kn kn nP k p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V S S S S h =++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式 24S R =π球的体积公式 343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的。
）1.已知集合A ，集合B ，集合C 满足右图所示的关系图，则阴影部分在下列表达式中正确的是（ ） A. B. C. D.2.已知，则z 的实部与虚部相加为（ ）A.4B.2C.-2D.-4 第1题图3. 已知实数a 与b 满足p ：，q ：a ＞-b ＞0，则q 是p 的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.如右图三视图，其中侧视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C.4 D.25.若实数x 与y 满足，则的最大值是（ ）A. B. C.5 D. 第4题图学校 年级 班级 姓名 考场 考号（密封线内不准答题，答题一律不给分）6.如图所示，ABCD-EFGH是一个长方体，其中|AB|=|AD|=2，|AH|=4，P是面EFGH内部中的一点，连接AP，则AP与面CDGF的夹角正弦值最大为（）A. B. C. D.7.已知正整数x与y满足x+xy+y=17，则x与y的组解共有（）A.2组B.4组C.6组D.8组第7题图8.如图所示，抛物线的焦点为F，M为抛物线第一象限上一点，连接MF，过F作PF直线交y轴于P点，连接MP,若∠MFP=60°，∠MPF=90°，则M点的横坐标为（）A. B. C. D.39.已知向量与均为单位向量，且满足，是任意一向量，则当有最小值时，||的值为（）A. B. C. D.110.已知数列满足，，记为数列的前n项和，则当n→（趋近于）时，第8题图下列对于的值的分析正确的是（）A. B. C. D.非选择题部分（共110分）二、（填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(76)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（76）一、选择题（每小题6分，共30分）1．（6分）将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）．如果:3:2DM MC =，则::(DE DM EM = )A ．7:24:25B ．3:4:5C ．5:12:13D ．8:15:172．（6分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( ) A ．8分钟B ．7分钟C ．6分钟D ．5分钟3．（6分）已知：二次函数22(y x x a a =++为大于0的常数），当x m =时的函数值10y <；则当2x m =+时的函数值2y 与0的大小关系为( ) A ．20y > B ．20y < C ．2y O =D ．不能确定4．（6分）记200720072007200811112212221S =+++⋯+++-，则S 所在的范围为( )A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<5．（6分）如图，点A 是函数1y x=的图象上的点，点B ，C 的坐标分别为(2B -，2)-，(2C 2)．试利用性质：“函数1y x=的图象上任意一点A 都满足||2AB AC -=下面问题：作BAC ∠的角平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知当点A 在函数1y x=的图象上运动时，点F 总在一条曲线上运动，则这条曲线为( )A．直线B．抛物线C．圆D．反比例函数的曲线二、填空题（每小题6分，共36分）6．（6分）已知关于x的不等式(2)2a b x a b->-的解是52x>，则关于x的不等式0ax b+<的解为．7．（6分）已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使ABC∆的面积为3个平方单位．则这样的点C共有个．8．（6分）直角坐标系中，点(0,0)A，(2,0)B，(0C，23)，若有一三角形与ABC∆全等，且有一条边与BC重合，那么这个三角形的另一个顶点坐标是．9．（6分）n个单位小立方体叠放在桌面上，所得几何体的主视图和俯视图均如图所示．那么n的最大值与最小值的和是．10．（6分）对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”，仿此，36的“分裂”中最大的数是 ．11．（6分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每-局的输方去当下-局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方一定是 ． A ．甲B ．乙C ．丙三、解答题（每小题16分，共64分）12．（16分）ABC ∆和DEF ∆是两个等腰直角三角形，90A D ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 位于边BC 的中点上．（1）如图1，设DE 与AB 交于点M ，EF 与AC 交于点N ，求证：BEM CNE ∆∆∽； （2）如图2，将DEF ∆绕点E 旋转，使得DE 与BA 的延长线交于点M ，EF 与AC 交于点N ，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．13．（16分）已知函数2(1)(y x b x c b =+-+，c 为常数） ，这个函数的图象与x 轴交于两个不同的点1(A x ，0)和2(B x ，0)． 若1x ，2x 满足211x x ->； （1） 求证：22(2)b b c >+；（2） 若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小， 并加以证明 ．14．（16分）有A 、B 、C 、D 、E 5 位同学依次站在某圆周上， 每人手上分别拿有小旗 16 、 8 、 12 、 4 、 15 面， 现要使每人手中的小旗数相等 ． 要求相邻的同学之间相互调整 （不 相邻的不作相互调整） ，设A 给B 有1x 面1(0x >时即为A 给B 有1x 面；1x O <时即为B 给A 有1x 面 ． 以下同） ，B 给C 有2x 面：C 给D 有3x 面，D 给E 有4x 面，E 给A 有5x 面，问1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为多少时才能使调动的小旗总数12345||||||||||x x x x x ++++最小？15．（16分）如图：已知a 为常数，21(20F a -+，0)，22(20F a +，0)，过2F 作直线l ，点A ，B 在直线l 上，且满足12122AF AF BF BF a -=-=，M ，N 分别为△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心．（1）设M e 与12F F 相切于点1P ，N e 与12F F 切于点2P ，试判断1P 与2P 的位置关系，并加以证明；（2）已知218sin 9BF F ∠=，且92MN =，试求a 的值．2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（76）参考答案与试题解析一、选择题（每小题6分，共30分）1．（6分）将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）．如果:3:2DM MC =，则::(DE DM EM = )A ．7:24:25B ．3:4:5C ．5:12:13D ．8:15:17【解答】解：由折叠知，EM EA =， 设5CD AD a ==，5DE a EM ∴=-，3DM a =，2MC a =， 在Rt EDM ∆中，222EM DE DM =+， 即222(5)(3)ME a ME a =-+， 解得175ME a =85ED a ∴=817:::3:8:15:1755DE DM EM a a a ∴==．故选：D ．2．（6分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为( ) A ．8分钟B ．7分钟C ．6分钟D ．5分钟【解答】解：第一分钟通知到1个学生； 第二分钟最多可通知到123+=个学生； 第三分钟最多可通知到347+=个学生；第四分钟最多可通知到7815+=个学生； 第五分钟最多可通知到151631+=个学生； 第六分钟最多可通知到313263+=个学生； 答：至少用6分钟． 故选：C ．3．（6分）已知：二次函数22(y x x a a =++为大于0的常数），当x m =时的函数值10y <；则当2x m =+时的函数值2y 与0的大小关系为( ) A ．20y >B ．20y <C ．2y O =D ．不能确定【解答】解：Q 抛物线与x 轴有两个交点∴△2240a =->，即1a <又0a >，对称轴为1x =- 据题意画草图可知当20x -<<时，0y < 而当x m =时的函数值10y < 故20m -<<则当2x m =+时，函数值2y 与0的大小关系为20y >．故选A ．4．（6分）记200720072007200811112212221S =+++⋯+++-，则S 所在的范围为( )A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<【解答】解：200720072007200811112212221S =+++⋯+++-，根据题意每个数都大于2008121-，每个数都小于200712，总共有20072个数，故20072007200820071102.2.212s <<<-，故01S <<．故选：A ．5．（6分）如图，点A是函数1yx=的图象上的点，点B，C的坐标分别为(2B-，2)-，(2C，2)．试利用性质：“函数1yx=的图象上任意一点A都满足||22AB AC-=”求解下面问题：作BAC∠的角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数1yx=的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为()A．直线B．抛物线C．圆D．反比例函数的曲线【解答】解：如图：延长AC交BF的延长线于G，连接OF．AF BG⊥Q，90AFB AFG∴∠=∠=︒，90BAF ABF∴∠+∠=︒，90G GAF∠+∠=︒，AEQ为BAG∠的平分线，BAF FAG∴∠=∠，ABF G∴∠=∠，AB AG∴=，AF BG⊥Q，BF FG ∴=，(B Q ，，C ，OB OC ∴=，12OF CG ∴=，AC AG CG =-Q ，AB AG =， AB AC CG ∴-=，||AB AC -=Q ，CG ∴=OF ∴=∴点F 在以O 为半径的圆上运动．故选：C ．二、填空题（每小题6分，共36分）6．（6分）已知关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解是52x >，则关于x 的不等式0ax b +<的解为 8x >- ．【解答】解：Q 关于x 的不等式(2)2a b x a b ->-的解是52x >， 20a b ∴->，22a bx a b->- 2a b ∴>，2522a b a b -=- 24105a b a b ∴-=- 8a b ∴= 28a a ∴> 0a ∴< 0ax b +<Q ax b ∴<-b x a∴>-8a b =Q 8x ∴>-故答案为：8x >-．7．（6分）已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C ，连接AB ，AC ，BC ，使ABC ∆的面积为3个平方单位．则这样的点C 共有 6 个．【解答】解：如图，符合条件的点有6个．8．（6分）直角坐标系中， 点(0,0)A ，(2,0)B ，(0C ，3)，若有一三角形与ABC ∆全等， 且有一条边与BC 重合， 那么这个三角形的另一个顶点坐标是 (2，23)或3)或(3)- ．【解答】解：(0,0)A Q ，(2,0)B ，(0C ，3)，60ABC ∴∠=︒分三种情况进行讨论：（1） 当另一是点D ，当ABC ∆≅△2D BC 时， 点A 与点D 关于BC 对称， 过点D 作DE AB ⊥于点E ，1BE ∴=，123AE =+=，22sin603D E =⨯︒=，2D ∴的坐标是3)；（2） 当ABC ∆≅△1D CB 时， 当1D 在直线BC 的上面时， 则四边形ABDC 是矩形， 因而D 的坐标是(2，3)；（3） 当ABC DCB ∆≅∆时， 当3D 在直线BC 的下面时， 过D 作3D F x ⊥轴， 则1AF =，3DF =，D ∴的坐标是(1,3)-．∴这个三角形的另一个顶点坐标是(2，23)或(3,3)或(1,3)-9．（6分）n 个单位小立方体叠放在桌面上，所得几何体的主视图和俯视图均如图所示．那么n 的最大值与最小值的和是 23 ．【解答】解：综合主视图和俯视图，底面有3216++=个，第二层最多有5个，最少有2个，第三层最多有3个，最少有1个，那么n 的最大和最小值的和是66523123+++++=． 故答案为：23．10．（6分）对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如图方式的“分裂”，仿此，36的“分裂”中最大的数是 41 ．【解答】解：设最大的奇数为n ，则36216(2)(4)(6)(8)(10)n n n n n n ==+-+-+-+-+- 解得41n =， 所以最大的数为41．11．（6分）甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每-局的输方去当下-局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方一定是 ． A ．甲B ．乙C ．丙【解答】解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛， 又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局， 三个人之间总共打了(8413)25++=局，考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次．所以当n 是偶数时，第n 局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲． 三、解答题（每小题16分，共64分）12．（16分）ABC ∆和DEF ∆是两个等腰直角三角形，90A D ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 位于边BC 的中点上．（1）如图1，设DE 与AB 交于点M ，EF 与AC 交于点N ，求证：BEM CNE ∆∆∽； （2）如图2，将DEF ∆绕点E 旋转，使得DE 与BA 的延长线交于点M ，EF 与AC 交于点N ，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．【解答】证明：（1）ABC ∆Q 是等腰直角三角形， 45MBE ∴∠=︒，135BME MEB ∴∠+∠=︒又DEF ∆Q 是等腰直角三角形，45DEF ∴∠=︒ 135NEC MEB ∴∠+∠=︒BME NEC ∴∠=∠，（4分） 而45B C ∠=∠=︒， BEM CNE ∴∆∆∽．（6分）（2）与（1）同理BEM CNE ∆∆∽，∴BE EMCN NE=．（8分） 又BE EC =Q ，∴EC EMCN NE=，（10分） 则ECN ∆与MEN ∆中有EC MECN EN=， 又45ECN MEN ∠=∠=︒， ECN MEN ∴∆∆∽．（12分）13．（16分）已知函数2(1)(y x b x c b =+-+，c 为常数） ，这个函数的图象与x 轴交于两个不同的点1(A x ，0)和2(B x ，0)． 若1x ，2x 满足211x x ->； （1） 求证：22(2)b b c >+；（2） 若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小， 并加以证明 ． 【解答】证明： （1）Q 令2(1)y x b x c =+-+中0y =， 得到2(1)0x b x c +-+=，2(1)(1)4b b cx --±--∴=，又211x x ->， ∴2(1)41b c -->，22141b b c ∴-+->，22(2)b b c ∴>+；（2） 由已知212(1)()()x b x c x x x x +-+=--，212()()x bx c x x x x x ∴++=--+， 212()()t bt c t x t x t ∴++=--+，2112112()()()(1)t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=--+，1t x <Q ， 10t x ∴-<， 211x x ->Q ， 121t x x ∴<<-， 210t x ∴-+<， 12()(1)0t x t x ∴--+>，即21t bt c x ++>．14．（16分）有A 、B 、C 、D 、E 5 位同学依次站在某圆周上， 每人手上分别拿有小旗 16 、 8 、 12 、 4 、 15 面， 现要使每人手中的小旗数相等 ． 要求相邻的同学之间相互调整 （不 相邻的不作相互调整） ，设A 给B 有1x 面1(0x >时即为A 给B 有1x 面；1x O <时即为B 给A 有1x 面 ． 以下同） ，B 给C 有2x 面：C 给D 有3x 面，D 给E 有4x 面，E 给A 有5x 面，问1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为多少时才能使调动的小旗总数12345||||||||||x x x x x ++++最小？【解答】解： 由于共有小旗面数为1681241555++++=面， 要使每人手中的小旗面数相等， 每人均为 11 面 ．由题意：1223344581112114111511x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎪⎨+-=⎪⎪+-=⎩，变形得：123242523162x x x x x x x x =+⎧⎪=+⎪⎨=-⎪⎪=-⎩，123452222222222|||||||||||3||||1||6||2||3||1||||2||6|x x x x x x x x x x x x x x x ∴++++=+++++-+-=+++++-+-，设实数2x 在数轴上的对应点为P ，实数3-，1-， 0 ， 2 ， 6 在数轴上的对应点分别为1P ，2P ，3P ，4P ，5P ，1234512345|||||||||||||||||||x x x x x PP PP PP PP PP ∴++++=++++，当且仅当P 在线段15P P 上时15||||PP PP +有最小值 9 ， 当且仅当P 在线段24P P 上时24||||PP PP +有最小值 3 ， 当且仅当P 与点3P 重合时3||PP 有最小值 0 ， 即当且仅当P 与点3P 重合2(0)x =时，1234512345||||||||||x x x x x PP PP PP PP PP ++++=++++有最小值 12 ．当13x =，20x =，31x =，46x =-，52x =-时12345||||||||||x x x x x ++++有最小值 12 ．15．（16分）如图：已知a 为常数，21(20F a -+0)，22(20F a +0)，过2F 作直线l ，点A ，B 在直线l 上，且满足12122AF AF BF BF a -=-=，M ，N 分别为△12AF F ，△12BF F 的内切圆的圆心．（1）设M e 与12F F 相切于点1P ，N e 与12F F 切于点2P ，试判断1P 与2P 的位置关系，并加以证明；（2）已知218sin 9BF F ∠=，且92MN =，试求a 的值．【解答】解：（1）1P 与2P 重合． 证明：由题意得AC AD =， 122AF AF a -=Q ， 122CF DF a ∴-=；又111221FC F PF D F P ==Q ， 11122PF PF a ∴-=，同理21222P F P F a -=， 1P ∴与2P 重合．（2）由（1）知：112MP F F ⊥，212NP F F ⊥，1P，2P 重合． M ∴，1P ，N 共线，且12MN F F ⊥，连接MN ，NE ，MD ，则90NED MDE ∠=∠=︒ 过N 作NH MD ⊥，H 为垂足；12290MPF MDF ∠=∠=︒Q ，21HMN BF F ∠=∠，218sin sin 9HMN BF F ∴∠=∠=， 又92MN =， sin 4NH MN HMN ∴=∠=，4ED ∴=；而2212DF F P F E ==， 212F P ∴=，又由（1）11122PF PF a -=， 1122PF a ∴=+，2111222220PF PF a a ∴+=++=+解得4a ．。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)(附答案详解)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(浙江卷)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x⩾1} , B= {x|−1<x<2}，则A∩B=()A. B. C. D.2.已知a∈R，(1+ai) i =3+i(i为虚数单位)，则a=()A. B. C. D.3.已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗，则“a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗”是“a⃗=b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某几何体的三视图如图所示(单位：厘米)，则该几何体的体积是(单位：cm3)()A.B.C.D.5.若实数x , y满足约束条件{x+1≥0x−y≤02x+3y−1≤0，则z=x−12y最小值是()A. B. C. D.6.已知正方体，，分别是，，，的中点，则()A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线与直线相交，直线平面D. 直线与异面，直线平面7.已知函数，则为右图的函数可能是()A.B. y =f(x)−g(x)−14 C.D.8. 已知，，是三个锐角，则，，中，大于的数至多有( )A. 个B. 个C. 个D. 个9. 已知 a , b ∈ R , a b >0，若函数f(x)=ax 2+b (x ∈R)，且f(s −t)，f(s)，f(s +t)成等比数列，则平面上点(s , t)的轨迹是( )A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10. 已知数列满足，，记数列的前和项，则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)，若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2，则S1S 2= ．12. 已知，函数；若，则_________． 13. 已知多项式，则__________；__________．14. 在中，，，是的中点，，则__________；__________．15.袋中有4个红球，个黄球，个绿球，现从中任取两个球，记取出的红球数为；若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_________，_________．16.已知椭圆，焦点，；过的直线和圆相切，并与椭圆的第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是_________，椭圆的离心率是__________．17.已知平面向量，，满足，，，，记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为，则的最小值的等于__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．1证明：；2求直线与平面所成角的正弦值．20.已知数列a n的前n项和为S n，a1=−9，且4S n+1=3S n−9(n∈N∗).4(1)求数列a n的通项公式；(2)设数列{b n}满足3b n+(n−4)a n=0(n∈N∗)，记{b n}的前项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围．21.如图，已知F是抛物线y2=2px (p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2．(1)求抛物线方程；(2)设过点F的直线交抛物线于A , B两点，若斜率为2的直线l与直线MA , MB , AB , x轴依次交于点P , Q , R , N，且满足|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的取值范围．22.设a , b为实数，且a>1，函数f(x)=a x−b x+e2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围；(3)当a=e时，证明：对任意b>e4，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2(x1<x2)，且满足x2>blnb2e2x1+e2b．答案和解析1.【答案】D【知识点】相等关系与不等关系、交集及其运算【解析】【解析】由题意可知，A∩B= { x | 1⩽x<2 }，故选D．2.【答案】C【知识点】复数的概念、复数的四则运算、复数相等的充要条件【解析】【解析】∵(1+ai) i = −a+i = 3+i，∴a=−3.故选：C．3.【答案】B【知识点】推理、必要条件、充分条件与充要条件的判断、向量的数量积【解析】【解析】∵a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗，∴(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=0，即(a⃗−b⃗ )⊥c⃗，但a⃗≠b⃗ 不一定成立，故充分性不满足，若a⃗=b⃗ ，则a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗必成立，故必要性满足，所以是必要不充分条件．故选：B．4.【答案】A【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、数学模型与数学探究活动、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间几何体的三视图【解析】【解析】由三视图可得，直观图如图所示，四棱柱A B C D−A1B1C1D1，由俯视图可知，底面A B C D为等腰梯形，将四棱柱补形成棱长为2的长方体，则BE=√22，所以V=12×(√2+2√2)×√22⋅1=32．故选：A．5.【答案】B【知识点】数学思想和方法、范围与最值问题、二元一次不等式（组）与平面区域【解析】【解析】由题意可知，可行域如图所示，令直线l：y=2x−2z，当直线l过点A(−1 ,1)时，z有最小值−32．故选：B．6.【答案】A【知识点】空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征、空间中的位置关系 【解析】【解析】连接AD 1，则AD 1与A 1D 交于M ，AD 1⊥AD 1， 在正方体中，∵A B ⊥平面ADD 1A 1，∴A B ⊥A 1D ， ∴AD 1⊥平面ABD 1， ∴A 1D ⊥D 1 B ， ∵M 为AD 1中点， N 为D 1 B 中点， ∴M N//A B ，∴M N//平面A B C D ． 故选：A ．7.【答案】D【知识点】函数的图象、函数的奇偶性、复合函数的单调性、数学模型与数学探究活动 【解析】【解析】易知函数图像表示的是奇函数，y =f(x)+g(x)−14=x 2+sinx 与y =f(x)−g(x)−14=x 2−sinx 均为非奇非偶函数，排除A 和B ，对于C ，y =f(x)g(x)=(x 2+14) sinx 在[0， π2]上单调，与题意不符． 故选：D ．8.【答案】C【知识点】推理、运用反证法证明、三角恒等变换【解析】【解析】假设sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα均大于12，即sinαcosβ>12，sinβcosγ>12，sinγcosα>12，则(sinαcosβ)⋅(sinβcosγ)⋅(sinγcosα)>18，而另一方面，(sinαcosβ)(sinβcosγ)(sinγcosα)=(sinαcosα)(sinβcosβ)(sinγcosγ)，化简得，12sin2α⋅12sin2β⋅12sin2γ=18sin2α⋅sin2β⋅sin2γ≤18，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12，取β=π4，α=π3，γ=π6，得到sinαcosβ=√64>12，且sinβcosγ=√64>12，∴大于12的数至多有2个．故选：C．9.【答案】C【知识点】数学思想和方法、圆锥曲线中的对称性问题、直线方程的综合应用、双曲线的概念及标准方程【解析】【解析】∵f(s−t)，f(s)，f(s+t)成等比数列，∴f2(s)=f(s−t)⋅f(s+t)⇒[a(s−t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2，⇒a2(s2−t2)2+a b(2s2+2t2)+b2=a2s4+2abs2+b2，⇒a2(s4−2s2t2+t4)+2abs2+2abt2+b2=a2s4+2abs2+b2，∴a2t4−2a2s2t2+2abt2=0⇒at4−2as2t2+2bt2=0⇒t2(at2−2as2+2b)= 0，当t=0时，(s , t)的轨迹是直线，当at2−2as2+2b=0时，2s2−t2=2ba>0，即s2ba−t2a=1，此时(s , t)的轨迹是双曲线．故选：C．10.【答案】A【知识点】运用放缩法证明不等式、数列的递推关系、数列的求和【解析】【解析】∵a n+1=n1+√a ⇒a n+1+a n+1√a n =a n ，∴a n+1=n n+1√a ，∵√a n >12(√a n +√a n+1)， ∴a n+1<n n+112(√a +√a )=2(√a n −√a n+1)，∴S 100<1+2(√a 1−√a 2+√a 2−√a 3+⋯+√a 99−√a 100)=1+2(1−√a 100)<3， 易知：n ⩾2时，a n ≤12，先证明：n ⩾2时，√a n <712(√a n +√a n+1)⇔5√a n <7√a n+1⇔25 a n <49 a n+1，即：25a n <49⋅n1+√a ⇔√a n <2425(n ⩾2)成立，当n ⩾2，a n+1>n n+1712(√a +√a )=127(√a n −√a n+1)， 由a n+1=n 1+√a ⇒1an+1=1+√a n a n=1a n+√1a n ⇒1a n+1−1a n =√1a n≥1，则1a 2−1a 1>1 , 1a 3−1a 2>1 , ⋯ , 1a100−1a 99>1 ⇒1a 10>100，即a 100<1100， ∴S 100>1+12+127(√a 2−√a 3+√a 3−√a 4+⋯+√a 99−√a 100)=1+12+6√27−127√a 100≥32+6√27−635>52，综上：52<S 100<3． 故选：A ．11.【答案】25．【知识点】数学思想和方法、数学模型与数学探究活动【解析】【解析】由题意可知，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，则S 1S 2=251= 25．故答案为：25．12.【答案】2.【知识点】函数的解析式、复合函数、分段函数【解析】【解析】f(√6)=(√6)2−4=2，f(2)=|2−3|+a =3，解得a =2． 故答案为：2．13.【答案】5；10．【知识点】数学思想和方法、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】【解析】a 1 x 3=C 30x 3(−1)0+C 41x 3=5x 3，则a 1=5； a 2 x 2=C 31x 2(−1)1+C 42x 2=3x 2，则a 2=3； a 3 x =C 32x 1(−1)2+C 43x =7x ，则a 3=7； a 4=C 33x 0(−1)3+C 44=0；a 2+a 3+a 4=3+7+0=10． 故答案为：5；10．14.【答案】2√13；2√3913．【知识点】解三角形、数学模型与数学探究活动、余弦定理 【解析】【解析】因为= 60∘ ，AB =2 ，AM =2√3 ，所以BM =4 ，所以BC =8 ，AC = √AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB = 2√13 ， cos∠MAC =AC 2+AM 2−CM 22⋅AC⋅AM = 2√3913。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(73)-教师用卷
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（73）一、选择题（本大题共5小题，共30.0分）1.关于x的方程x2+|x|−a2=0的所有实数根之和等于()A. −1B. 1C. 0D. −a2【答案】C【解析】解：方程x2+|x|−a2=0的解可以看成函数y=x与函数y=−x2+a2的图象的交点的横坐标，根据对称性可知：所有实数根之和等于0．故选：C．利用图象法解决问题即可．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．2.抛物线y=x2上有三点P1、P2、P3，其横坐标分别为t，t+1，t+3，则△P1P2P3的面积为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：分别从点P1、P2、P3向x轴作垂线，因为P1、P2、P3，其横坐标分别为t，t+1，t+3，而三点在抛物线y=x2上，所以三点纵坐标分别是：t2，(t+1)2，(t+3)2，则S△P1P2P3=12×3×[t2+(t+3)2]−12×[(t+1)2+t2)]−12×2×[(t+1)2+(t+3)2]=3．故选：C．分别从点P1、P2、P3向x轴作垂线构造梯形，利用面积差求解．则△P1P2P3的面积为：1 2×3[t2+(t+3)2]−12[(t+1)2+t2]−12×2[(t+1)2+t2]=3．主要考查了梯形的面积公式的运用和一次函数图象上点的坐标特征，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理和面积公式求解．3.已知a、b、c为自然数，且a2+b2+c2+42<4a+4b+12c，且a2−a−2>0，则代数式1a +1b+1c的值为()A. 1B. 76C. 10D. 11【答案】A【解析】解：由a2−a−2>0，a为自然数，可知a>2，将化a2+b2+c2+42<4a+4b+12c为(a−2)2+(b−2)2+(c−6)2<2，因为(a−2)2、(b−2)2、(c−6)2都大于0，当a≥4时，上式不成立，所以自然数a只能取值为3．当a=3时，代入上式，得：(b−2)2+(c−6)2<1，所以只能使(b−2)2=0，(c−6)2=0，即b=2，c=6，所以1a +1b+1c=1．故选：A．先由a2−a−2>0得到a>2或a<−1，再变形a2+b2+c2+42<4a+4b+12c为：(a−2)2+(b−2)2+(c−6)2<2，得到a=3，进而得到(b−2)2+(c−6)2<1，再得到b=2，c=6，故能求得1a +1b+1c的值．本题的关键是把不等式转化成平方的形式，然后分析在什么情况下小于2，从而求出a，b，c的值．4.正五边形广场ABCDE的边长为80米，甲、乙两个同学做游戏，分别从A，C两点处同时出发，沿A−B−C−D−E−A的方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，则两人第一次刚走到同一条边上时()A. 甲在顶点A处B. 甲在顶点B处C. 甲在顶点C处D. 甲在顶点D处【答案】D【解析】解：①二人在1条边上，二人地距离差小于或等于80米．②甲在A点，乙在C点，二人的距离差是160米，甲要追回80米需要的时间是80比(50−46)是20分钟．③20分钟甲走了1000米，正好走到CD的中点设为F；20分钟乙走920米走到DE距D点40米处设为G．④甲从F走到D是40比50等于0.8分钟；乙用0.8分从G点走出0.8乘46等于36.8米距E点80−36.8−40=3.2米．⑤由此得知甲走到D点时乙走在DE线上距E3.2米处．故选：D．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系求解．本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．5.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在抛物线y=ax2+2ax+4(0<a<3)上，若x1<x2，x1+x2=1−a，则()A. y1>y2B. y1<y2C. y1=y2D. y1与y2大小不能确定【答案】B【解析】解：将点A(x1,y1)，B(x2,y2)分别代入y=ax2+2ax+4(0<a<3)中，得：y1=ax12+2ax1+4----①，y2=ax22+2ax2+4----②，②−①得：y2−y1=(x2−x1)[a(3−a)]，因为x1<x2，3−a>0，则y2−y1>0，即y1<y2．故选B．将点A(x1,y1)，B(x2,y2)分别代入y=ax2+2ax+4(0<a<3)中得y1=ax12+2ax1+ 4----①；y2=ax22+2ax2+4----②；利用作差法求出y2−y1>0，即可得到y1>y2．本题难度较大，要充分利用数据特点，进行计算．二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）6.如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，则阴影部分的面积为______．【答案】30cm2【解析】解：连接E、F两点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC=S△BCF，∴S△EFQ=S△BCQ，同理：S△EFD=S△ADF，∴S△EFP=S△ADP，∵S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，=30cm2，∴S四边形EPFQ故阴影部分的面积为30cm2．连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFG=S△BCQ，S△EFP=S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．7.如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1、A2、A3、….若从O点到A1点的回形线为第一圈(长为7)，从A1点到A2点的回形线为第二圈，…，以此类推，则第11圈的长为______．【答案】87【解析】解：观察图形发现：第一圈的长是2(1+2)+1=7；第二圈的长是2(3+4)+1=15；第三圈的长是2(5+6)+1=23；则第n圈的长是2(2n−1+2n)+1=8n−1．所以，当n=11时，原式=88−1=87．故答案为87．根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算．此题主要考查图形变化的规律，结合图形发现：图形的周长正好能转化为长方形的周长再加1.重点分析对应长方形的周长：第n个长方形的长是对应的偶数，宽是对应的奇数．8.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的自然数，从中任意抽出两张卡片，则两张卡片中的数字之和为偶数的概率为______．【答案】25【解析】解：共有6×5=30种可能，两张卡片中的数字之和为偶数的有12种，所以概率是25．依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.如图，AB为⊙O的直径，D为AB上一点，且AB=5AD，CD⊥AB，垂足为D，C在圆上，设∠COD=α，则sinα2=______．【答案】√55【解析】解：设AD=x，则AB=5x，即⊙O的直径为5x，∴OA=OC=12×5x=5x2，OD=OA−AD=3x2，∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，∵圆心角∠AOC=α与圆周角∠B所对的弧都为AC⏜，∴∠B=12∠AOC=α2，在Rt△OCD中，根据勾股定理得：CD2+OD2=OC2，∴CD=2x，在Rt△ACD中，AD=x，CD=2x，根据勾股定理得：AC=√5x，在Rt△ABC中，sinB=sinα2=√5x5x=√55．由同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，得到所求式子的角α2与角B相等，求出sin B即可求出所求的，方法为：根据题中所给的条件设出AD=x，AB=5x，可将OD 和OC的值表示出来，在直角三角形OCD中，根据勾股定理表示出CD，在直角三角形ADC中，再利用勾股定理表示出AC，最后在直角三角形ABC中，根据锐角三角函数的定义，即可求出sin B的值，即为所求sinα2的值．考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．10.今有一副三角板(如图1)，中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内(如图2)，则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为______ cm2.(不计三角板的厚度，精确到0.1cm2)【答案】14.9【解析】解：如图，BC=4，∠BAC=30°，作AD⊥BC，当点D是BC的中点时，△ABC的面积最大，此时由中垂线的性质知，AB=AC，∠B=75°，S△ABC=12BC⋅BDtan75°=12×4×2×3.732≈14.9cm2．作AD⊥BC，当点D是BC的中点时，△ABC的面积最大，此时由中垂线的性质知，AB=AC，∠B=75°，可求S△ABC=12BC⋅BDtan75°．本题利用了中垂线的性质，三角形的面积公式，正切的概念求解．11.已知点A(0,2)，B(4,0).点C，D分别在直线x=1与x=2上，且CD//x轴，则AC+CD+DB的最小值为______．【答案】1+√13【解析】解：作法如图，过A作直线x=1的垂线，垂足为M，连接BM交直线x=2于D点，过D点作直线x=1的垂线，垂足为C点，此时，AC+CD+DB的最小，AC+CD+DB=MD+CD+DB=BM+CD=√MN2+NB2+CD=√13+1．可以把直线x=1，x=2形成的图形理解为一条河，CD为一座桥，求AC+CD+DB的最小值，可转化为“修桥问题”．本题要善于将实际问题转化为数学模型“修桥问题”，结合图形进行计算．三、解答题（本大题共4小题，共64.0分）12.请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明．【答案】解：如图，在AD边上任取一点N，使点N不是边AD的中点．分别作出线段AN、DN的中点O1、O2，只要把正方形ABCD沿BO1、CO2剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形．答案不唯一：【解析】由题意知，只要剪两刀后，剪下的两个直角三角形中有一边与另一个三角形的一边的和能与余下的正方形的部分重合，或才能与原正方形的一边重合的都能符合要求．本题的答案不唯一，可以拓展学生的空间想象能力，又可以培养动手能力．13.甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1>v2)，甲前一半的路程使用速度v1、后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v2、后一半的时间使用速度v1．(1)甲、乙两人从A地到达B地的平均速度各是多少(用v1和v2表示)(2)甲、乙两人谁先到达B地，为什么？(3)如图是甲从A地到达B地的路程s与时间t的函数图象，请你在图中画出相应的乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象．【答案】解：V甲(1)设AB两地的路程为s，乙从A地到B地的总时间为a．v 甲=s12sv1+12sv2=2v1v2v1+v2，(3分)v乙=v1a2+v2a2a=v1+v22.(3分)(2)v乙−v甲=(v1−v2)22(v1+v2)∵0<v2<v1，∴v乙−v甲>0，乙先到B地．(4分)(3)如图(6分)(只要两对平行线及三点共线即可得分)【解析】(1)设AB两地的路程为s，乙从A地到B地的总时间为a．先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度=路程÷时间求出V甲；先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度=路程÷时间求出V乙；(2)看甲、乙两人谁先到达B地，因为路程一定，比较V甲，V乙的大小即可；(3)乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象，乙的时间短，前一半的时间的图象与甲后一半的路程的图象平行，后一半的时间的图象与甲前一半的路程的图象平行．本题重点考查了实际应用和一次函数图象相结合的问题，是一道难度中等的题目．14.已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，AH=2，连接CF．(1)当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；(2)当△FCG的面积为1时，求DG的长；(3)当△FCG的面积最小时，求DG的长．【答案】解：(1)∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH(AAS)∴DG=AH=2(2)作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，∵AB//CD，∴∠AEG=∠MGE∵HE//GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF．在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG．∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．×2×GC=1，解得GC=1，DG=6．因此S△FCG=12(3)设DG=x，则由第(2)小题得，S△FCG=7−x，又在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，x≤√37，∴S△FCG的最小值为7−√37，此时DG=√37．【解析】(1)当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2 (2)作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，可以证明△AHE≌△MFG，则FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.根据△FCG的面积为1，就可以解出GC，DG的长．(3)先求出DG的取值范围，S△FCG的面积可以表示成x的函数，根据函数的性质，就可以求出最值．求最值的问题一般是转化为函数问题，根据函数的性质求解．15.设点O(0,0)、点A(2,0)，分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P．(1)当r =1时，求点P 的坐标；(2)当23<r <2时，能否找到一定点Q ，使PQ 为定值？若能找到，请求出Q 点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由．【答案】解：(1)设P(x,y)， 由勾股定理，得{x 2+y 2=22(2−x)2+y 2=12解得{x =74y =√154(舍去负值) ∴P(74,√154)；(2)设P(x,y)，由题意，得x 2+y 2=4[(x −2)2+y 2] 化简，得x 2+y 2−163x +163=0即(x −83)2+y 2=169∴定点为(83,0)，定值为43．【解析】(1)过P 点作x 轴的垂线，把△OPA 分割成两个直角三角形，设P(x,y)，在两个三角形中使用勾股定理，列方程组，解答本题； (2)根据勾股定理，列方程求解．考查了运用勾股定理解二元二次方程组(二元二次方程)、圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．。
2021年8月数学科目答案
2021年8月浙江省普通高校自主招生模拟测试考试数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.A2.D3.B4.A5.C6.C7.B8.D9.C 10.A第10题解析：分析Step1：，故分析Step2：＜0分析Step3：分析Step4：，可列得=，得→1二、（填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
）11.30°或60°；或 12.；213.15 14.；15.0 16.7（提示构造a（b-1）=b+1）17.；，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）（1）∵f（x）=（2分）∴=（4分）∴（6分）（2）由（1）知f（x）=，故有（k∈Z）上单调递增（8分）∴f（x）的单增区间为（其中k∈Z）（10分）∵=·=（12分）∴y的最大值为，且仅当x时满足（14分）（黑色框为易失分点，化简一定要全，步骤要到位）19.（本题满分15分）（1）取C中点M，连接EM,MF∵E,MF分别为C，C,BC的中点∴EM∥，MF∥（2分）又∵∴∥（4分）又∵EF面∴EF∥（6分）（2）由题意条件建立如图所示坐标系，其中O为原点故可列得C：（（7分）设D点横坐标为a，则有：A’；D’故）故）（9分）则（11分）令t=，则=（12分）记f（t），则又因为，∴t∈，故当t=24时有最大值∴（14分）∴，综上：与直线的夹角的最小正弦值为（15分）（黑色框为易失分点，条件要充分，结论要清晰，步骤要到位）20.（本题满分15分）（1）由——①得——②（2分）则①-②得=由-2——③，得-2——④（n≥2）（4分）则④-③=，经检验n=1时也符合条件（5分）故=n+1（6分）（2）∵（7分）∴——⑤（8分）∴——⑥⑥-⑤得=，（11分）故=（14分）由0，，故，∴（15分）（黑色框为易失分点，放缩要适当，检验不可落，步骤要到位）20.（本题满分15分）（1）由，且，故得（2分）由抛物线方程，解得（3分）取其中A点坐标：（，）代入椭圆方程解得，故椭圆方程为（5分）（2）∵|NT|=|MS|，∴|NM|=|TS|，设直线方程为，其中将直线与抛物线、椭圆分别联立，得：抛物线：，椭圆：（7分）故可得，（9分）故有得，（10分）两边开平方化简得：=令，则有（13分）得，解得，此时（14分）故此时不存在符合条件的n值，使得|NT|=|MS|因此也无符合条件的k值，使得|NT|=|MS|（15分）（黑色框为易失分点，圆锥曲线计算要耐心，计算方法要巧妙）22.（本题满分15分）（1）∵∴（1分）当a＜0时，，故f（x）此时只存在极小值（2分）∴在上单调递增，（上单调递减（4分）∴只需使即可故=，解得（6分）（2）由题意得g（x）=（7分）故，当时，可知故g’（x）应当存在极小值点，其对应的横坐标为m（9分）要证：，只须证明设满足0故，＜m（10分）则只须证明）即证明（11分）构造函数故故对于，，（14分）故t（x）＞0在x＞m时恒成立，故证明成立综上可得恒成立（15分）（黑色框为易失分点，导数作为压轴题对考生思维考查含量较高，方法要更加灵活）。
2021年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷(74)(有答案解析)
2021年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷(74)(有答案解析)2021年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（74）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1.“割圆术”是求圆周率的一种算法．公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”请问上述著名数学家为A. 刘徽B. 祖冲之C. 杨辉D. 秦九昭2.某校食堂有4元、5元、6元三种价格的饭菜供学生们选择每人限购一份三月份销售该三种价格饭菜的学生比例分别为、、，则该校三月份学生每餐购买饭菜的平均费用是A. 元B. 元C. 5元D. 元3.在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线是任意实数交点的个数为A. 必有一个B. 一个或两个C. 至少一个D. 至多一个4.同时掷两个骰子，其中向上的点数之和是5的概率是A. B. C. D.5.给你一列数：1，l，2，6，24，请你仔细观察这列数的排列规则，然后从四个供选择单选项中选出一个你认为最合理的一项，来填补其中的空缺项，使之符合原数列的排列规律．A. 48B. 96C. 120D. 1446.已知．二次函数是实数，当自变量任取，时，分别与之对应的函数值，满足，则，应满足的关系式是A. B.C. D.7.在8个银元中混进了一个大小形状颜色完全一样的假银元，已知7个真银元的重量完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少次就能找出这枚假银元．A. lB. 2C. 3D. 48.如图，P是圆D的直径AB的延长线上的一点，PC与圆D相切于点C，的平分线交AC于点Q，则A.B.C.D.9.十进制***-*****二进制***-********-**********观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是A. 61B. 62C. 63D. 64二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）10.某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为______．11.如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，，且，则平行四边形ABCD的周长是______ ．12.在一个木制的棱长为3的正方体的表面涂上颜色，将它的棱三等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为l的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入口袋，从这个口袋中任意取出一个小正方体，则这个小正方体的表面恰好涂有两面颜色的概率是______．13.已知关于x的一元二次方程与有一个公共实数根，则______．14.一个样本为1、3、2、2、a，b，已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为______．15.如图，在梯形ABCD中，，，，，则该梯形的面积______．16.某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有______种．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.已知，求的值．四、解答题（本大题共5小题，共53.0分）18.在凸四边形ABCD中，，且四个内角中有一个角为，求其余各角的度数．19.某商店若将进价为100元的某种商品按120元出售，一天就能卖出300个．若该商品在120元的基础上每涨价l元，一天就要少卖出10个，而每减价l完，一天赢可多卖出30个．问：为使一天内获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？20.如图，，是等边三角形，点，在函数的图象上，点，在x轴的正半轴上，分别求，的面积．21.如图，在中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知，．求证：O是的外心；若，，求的大小．22.如图，正三角形ABC的边长为l，点M，N，P分别在边BC，AB上，设，，，且．试用x，y，z表示的面积求面积的最大值．答案和解析1.A解：上述著名数学家是刘徽．故选：A．根据数学史的了解进行选择．此题考查了数学常识的知识，要多读书，了解一些有关数学的故事等．2.B解：平均费用为元．故选：B．用加权平均数的计算方法计算即可．此题考查了加权平均数的知识，属于简单题目．把所有数据相加后再除以数据的个数即得平均数．3.D解：任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线，在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，只有反比例函数与时，没有交点，其他只有一个交点．它们的图象与任意一条直线交点的个数至多有一个．故选：D．根据直线是任意实数的性质，得出一次函数、反比例函数和二次函数等函数中与它的关系，直接得出答案．此题主要考查了函数图象与直线是任意实数的性质，根据已知得出任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线是解决问题的关键．4.C解：列表得：共有种等可能的结果，向上的点数之和是5的情况有4种，两个骰子向上的一面的点数和为5的概率为．故选：C．列举出所有情况，看点数之和为5的情况占总情况的多少即可．此题考查了树状图法与列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．5.C 解：观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，故可知第六个数．故选：C．观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，故可知第六个数，继而即可得出答案．本题考查规律型中的数字变化问题，仔细观察题中所给数字，可知第n个数第个数．6.D解：，抛物线对称轴为，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，又，满足，可得，故选：D．在利用二次函数的增减性解题时，对称轴是非常重要的．根据、、，与对称轴的大小关系，判断、、的大小关系．本题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，难度一般，解答本题的关键是正确寻找出对称轴，这是解答本题的突破口．7.B解：8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组，再一次把较轻的一组分开放在天平的两边进行第二次测量，则较轻的是假银元，所以用一台天平最少2次就能找出这枚假银元．故选：B．可以把8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组；再把这组分开用天平测，可找出假银元．此题考查的知识点是推理与论证，关键是首先分成4组，先找出较轻的一组，再测即得．8.B解：连接BC交PQ于E，与圆D相切于点C，，为直径，，平分，，，，．故选：B．首先连接BC交PQ于E，由PC与圆D相切于点C，根据弦切角定理，即可得，又由AB为直径，即可得，然后由PQ平分与三角形外角的性质，即可证得，则可求得的度数．此题考查了圆的切线的性质，圆周角的性质，弦切角定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．9.C解：表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是*****，能表示十进制是：．故选：C．根据表可以得到二进制的数转化十进制的数，，，，；表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是*****，根据规律即可求得十进制表示的数．本题考查了有理数的计算，关键是正确观察图表，理解二进制的数写成十进制的数的方法．10.解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，今年的投资金额为：；明年的投资金额为：；所以根据题意可得出的方程：．故答案为：．本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程．增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．11.8要求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明．解：，，，则，，设，则，在中，根据勾股定理可得，同理可得则平行四边形ABCD的周长是故答案为8．12.解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，故概率为．故答案为．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是表面恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，根据等可能事件的概率得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查计数原理，考查正方体的结构特征，是一个综合题目，在解题时注意分割后的小正方体一定要数清楚，本题是一个易错题．13.解：与有一个公共实数根，有一个实数根，，把代入得：．故答案为：．本题需先根据与有一个公共实数根，求出x的值，再把x的值代入原方程即可求出m的值．本题主要考查了一元二次方程的解的概念，在解题时要能够灵活应用解的概念求出结果是本题的关键．14.解：因为众数为3，可设，，c未知平均数，解得根据方差公式故填．因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为另一个未知利用平均数定义求得，从而根据方差公式求方差．本题考查了众数、平均数和方差的定义．15.18解：取CD的中点E，连接BE，，是菱形，，，，，，，．四边形ABCD的面积是18．故答案为18．取CD的中点E，连接BE，从而得到进而判定四边形ABED是菱形，得到，从而得到然后得到：．本题考查了梯形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线，熟记梯形中常用辅助线的作法对解决此类题目有很大的帮助．16.7解：设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意得：，，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，舍去，当，时，，当，时，舍去，当，时，舍去，当，时，，当，时，舍去，当，时，舍去，不同的选购方式共有7种．故答案为：7．首先设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意即可得不等式组：，解此不等式组，然后根据分类讨论的思想求解即可求得答案．此题考查了不等数组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是注意理解题意，根据题意求得方程组，然后根据其性质解题，注意分类讨论思想的应用．17.解：，，原式．先化简，再代入求值即可．本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．18.解：设，则，，，，．1、时，，，，；2、时，，，，，．3、时，，，，，4、，，，，，．可设，根据四边形内角和等于，分四种情况进行讨论，从而求解．本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于，由于四个内角中有一个角为，不确定，故应该分类讨论．19.解：按120元出售，一天就能卖出300个，可获得利润：元；设涨价为x元，则可卖出个，设利润为y元，则；若设降价x元，则可以卖出个，设利润为y元，则：；，所以当售价定为115元获得最大为6750元．综上所述，当定价为115元时，商店可获得最大利润6750元．分别以120元为基础，当涨价时，大于120元，当降价时，小于120元，利用每个商品的利润卖出数量总利润分别写出函数关系式；利用配方法求得两个函数解析式的最大值，比较得出答案．此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用，根据利润售价进价卖的件数，列出函数解析式，求最值是解题关键．20.解：分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，设，．，是等边三角形，，，，，的坐标为，的坐标为，又点在函数的图象上，，解得舍去，，．点在函数的图象上，，解得，舍去，，，的面积，的面积．分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到，，，得到的坐标为，的坐标为，然后先把的坐标代入反比例解析式求得m的值，再把的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的倍计算即可．本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．21.解：证明：连接OA、OB、OC、OE、OF，是的内心，，在和中≌，，同理，，是的外心．是的外心，，在等腰三角形，，同理，，答：的度数是．连接OA、OB、OC、OE、OF，证≌，推出，即可；根据三角形的内角和定理求出，，再根据三角形的内角和定理求出即可．本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．22.解：正三角形ABC的边长为l，，，，，，，，；，，，当时，等号成立，．由正三角形ABC的边长为l，，，，即可求得MC，NA，PB的值，又由与，即可求得的面积；由与，即可求得的最大值，继而求得面积的最大值．此题考查了三角形的面积问题，几何不等式的应用问题，以及正三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意几何不等式的应用．。
2021年宁波三校强基创新班招生测试数学 - 答案
2021年宁波三校强基创新班招生测试数学一. 选择题(第1~8题各6分，第9~10题各8分，共64分) 1. 计算2a 2·3a 4的结果是（C ） A.5a 6 B.5a 8 C.6a 6 D.6a 82. 从1,2,3,4中任取一个数记为b ，再从余下的三个数中，任取一个数记为c ，则关于x 的方程x 2+bx +c =0有实数根的概率为（C ） A.41 B.31 C.21 D.32 解：12×，13×，14×，21√，23×，24×，31√，32√，34×，41√，42√，43√61122P ==3. 若nm 11>，则下列结论正确的是A.m +n >0B.m -n <0C.m 2>n 2D.m 2n <n 2m 解：取m=-2，n=-1，排除A ；取m=2，n=-1，排除B ；取m=2，n=3，排除C ；故选AA 的证明：22()110,0,0,()0m n m n m n mn m n n m mn mn---<<<-<，∴m 2n <n 2m4. 已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-->2315a x x 有四个整数解，则a 的取值范围是（B ）A.1≤a <2B.1<a ≤2C.0≤a <1D.0<a ≤15. 函数y =-x +1和x y 2-=的图像如图所示，则当xx 21->+-时，x 的取值的范围是（A ） A.0<x <2或x <-1B.x >2或x <-1C.-1<x <2或x >2D.-1<x <0或0<x <26. 已知y =x 2+ax +b (a >0，b >0)，z =xy ，若z 关于x 的函数图像与x 轴有三个交点，横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则（C ） A.x 1=0<x 2<x 3 B.x 1<x 2=0<x 3 C.x 1<x 2<x 3=0 D.x 1<x 2<x 3<07. 从甲地到乙地运送一批货物，可用卡车车辆数足够多，车型及运费如下表，根据交通法车型 A B 载重(吨/辆) 4 7 运费(元/辆)10001500A.116吨B.117吨C.118吨D.119吨 解：设A 型x 辆，B 型y 辆，则1000x+1500y ≤25000，化简得2x+3y ≤50， ∴载重量=4x+7y=2(2x+3y)+y ≤100+y ≤100+16=116 8. 已知y =|x -1|-|x +2|，则x 2+y 2的最小值为（B ） A.61 B.51 C.55 D.1解：3(1)12(21)3(2)x y x x x -≥⎧⎪=---≤<⎨⎪<-⎩，当x ≥1时，222910x y x +=+≥，最小值=10；当21x -≤<时，2221(21)5415x x x x ++=++≥，最小值=15；当x ≤-2时，222913x y x +=+≥，最小值=13；综上所述，最小值=159. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =8，AC =6，AD 为△ABC 的中线，点F 在边AC 上(不与端点重合)，BF 与AD 交于点E ，若AF =EF ，则AE 的长为（A ） A.514B.3C.516D.4 解：如图倍长AD 至G ，易证BE=BG=AC=6，设AF=EF=x ，则2227(6)8,3x x x +=+=，设AE=y ，由相似三角形，得714,36105yy y ==⨯- 10. 如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数)0(>=k xky 的图像交于C 、D 两点(点C 在点D 的左边).若OB =OC ，OD 平分∠COA ，则OAOB的值为 A.21 B.53 C.215- D.22设∠COD=∠AOD=α，则∠BOC=90-2α，∠OBC=∠OCB=45+α， ∴∠BAO=45-α，∴∠BDO=45°，作OH ⊥AB 于H ，则OH=HD ， 设OB= OC=a ，OA=b ，BC=AD=nb ，CD=na ，则在△OHD 中222()()22nb nb na a ++=，在△AOH 中，22223()()22nb nb na a b ++-=，变形得222222,222a b a n n b a a ab b -==+++，则3223440a a b ab b +--=， 22(4)()0a b a b -+=，∴b=2a方法2：如图作辅助线，设OB= OC=a ，OA=b ，OE=FA=mb ，EF=ma ，利用A 字型，得22a ab CE a b +=+，∵2mb+ma=b ，∴2,22b b m OE mb a b a b===++，在Rt △OCE 中，2222222a ab b a a b a b ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，展开并化简，得323230a a b b +-=，3223220a a b a b b ++-=，2220a ab b +-=，∴b=2a二. 填空题(第11~14题各6分，第15~16题各8分，共40分)11. 已知数1，3，6，10，a ，其中a 是这组数据的平均数，则该组数据的中位数是______.4 解：513610,4a a a =++++=， 12. 若a 2+5a =-3，则11+-a a =______.-4 13. 直线y =-2x +6与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，D 是点O 关于直线AB 的对称点，直线AD 交y 轴于点C ，则点C 的坐标为______. 解：如图2223,363a b a b =-=+，解得a=4，∴C(0,-4)14. 在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+4ax +4a -4的图像经过四个象限，则a 的取值范围为______.解：2(2)4y a x =+-，根据图象知a>0，且4a-4<0，∴0<a<115. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，将四边形DCEF 沿EF 折叠得到四边形HGEF ，此时点G 恰为△ABE 的重心，则EGBEAF +的值为______.16. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC =1，点D 是边BC 上一个动点，点D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E .以AE 、AF 为邻边构造平行四边形AEGF ，EG 与BC 交于点H ，则BH 的最小值为______.三. 解答题(第17~18题各6分，第19题14分，第20题18分，第21~22题各20分，共96分)17. A 、B 两地相距80km ，甲开汽车，乙骑电动车从A 地出发沿一条公路匀速前往B 地.设乙行驶的时间为t (h )，甲、乙行驶的路程分别为s 甲、s 乙，路程s (km )与时间t (h )的函数关系如图所示. (1)求甲、乙的行驶速度；(2)设甲、乙两人之间的距离为y (km )，当0≤t ≤4时， 求y 关于t 的函数表达式.解：（1）80420/V km h =÷=乙，1.5,30480s s ==甲甲， 30(1.51)60/V km h =÷-=甲（2）20(01)6040(1 1.5)74060(1.5)378020(4)3t t t t y t t t t ≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎪⎩18. 如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 的顶点为D ，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴正半轴交于点A ，OB =2OA . (1)当OA =1时，求二次函数y =x 2+bx +c 的表达式；(2)点D 坐标为(m ,n )，求点C 的坐标.(用含n 的代数式表示). 解：（1）对称轴为x=1，B(-2，0)，∴y=x 2-2x-8； （2）设2()y x m n =-+，∵B(-2m ，0)，∴9m 2+n=0，即22()9y x m m =--，∴2(0,8)C m -，∴8(0,)9C n延长DA 和CG 交于I ，J ，设GJ=a ，则GE=2a ，IJ=3a ，IF=IE=6a ， AF+BE=AF+AI=6a ，∴632a AF BE EG a +==设BF=x ，BH=y ，由相似三角形，得22111x x +=+，22311()24y x x x =-+=-+，∴min 34BH =19. 已知—ab 表示十位数为a ，个位数为b 的两位数，b a ab +=10—，kab ba ab M -⨯=——(k 为正整数).(1) 根据下列条件完成填空：①当k =81时，化简得：M =22102010a ab b ++；因式分解得：M =210()a b +； ②当k =72时，化简得：M =22102910a ab b ++；因式分解得：M =(52)(25)a b a b ++； (2) 无论a 、b 为何值，M 始终为非负数，求满足题意的最大整数k .解：2210(101)10M a k ab b =+-+=222(101)10110()[10]2040k k a b b --++-当2(101)10040k --≥时M 始终为非负数，解得81121k ≤≤，所以k max =12120. 如图，矩形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 分别在平行四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 上.(1)求证：△BEF ≌△DGH ；(2)若四边形ABCD 为菱形，E 为AB 的中点，CF =3B F ，求sin ∠DAB .（1）延长DC ，EF 交于点P ，∴∠DGH=∠P=∠FEB ，又HG=FE ，∠D=∠B ， ∴△BEF ≌△DGH ；（2）如图，作点H 关于AC 对称点I ，取EI 中点K ，则PE=PI ，PK ⊥AB ，设EK=KI=1，则IB=2，AE=4，PK ==tan PK PAB AK∠==，∴2tan tan 2DAB PAB ∠=∠==sin ∠DAB21. 如图，AB =AC ，D 为弧AB 上一动点，过点C 作CE ⊥AD 交直线AD 于点E . (1)求证：∠BAC =2∠ECD ；(2)设CE 与圆相交于点F ，连结DF ，若DF =5，BC =8. ①求⊙O 的半径； ②若2∠DFC =180°+∠ABC ，求CF 的长.PAD BCE F GHIK解：（1）设∠ECD=x ，则∠CDE=90-x=∠ABC ，∴∠BAC=180-2(90-x)=2x=2∠ECD ； （2）①如图，作直径AG ，连CG ，由（1）知∠GAC=∠DAF ，∴CG=DF=5，∵CH=4，∴GH=3，∵2CG GA GH =⨯，∴253AG ==d②设∠G=∠ABC=∠EDC =2α，则∠DFC=90+α，∴∠EDF=∠CDF=α，∵△CDE ∽△GCH ，∴设DE=3k ，CE=4k ，DC=5k ，∵DF 平分∠CDE ，∴EF:FC=3:5，32EF k =，∴22235(3)(),2k k k =+=52CF k ==22. 在矩形ABCD 中，BE ⊥CF ，)10(<<=k k ADAB(1)如图1，证明：△ABE ∽△BCF ；(2)如图2，作CP ⊥BD ，M ，N 分别为线段CF ，BE 上一动点，若存在CM ·CF =BN ·BE ，试用含k 的代数式表示tan ∠PMN ； (3) 如图3，在(2)的基础上，当PM ⊥CF 时有CP 2=CM ×CD ，试用含k 的代数式表示cos ∠BCF ； (4)如图4，在(2)的基础上，连结CN 交MP 于点H ，连结BM ，若2CH k NH=，求BM ，MN ，BC的数量关系.（图1） （图2） （图3） （图4）解：（1）略．（2）如图，连NP ，由CM ·CF =BN ·BE ，得CM BE AB k BN CF BC ===，又CP AB k BP BC==，∴CM CP BN BP =，∵∠MCP=∠NBP ，∴△MCP ∽△NBP ，∴PM k PN=，且∠MPC=∠NPB ，∴∠MPN=90°，∴tan ∠PMN =1/k ．FHE COABD（3）由CP 2=CM ×CD ，得△CMP ∽△CPD ，∴∠1=∠2=∠3=∠4，设AB=ka ，AD=a ，BE=DE=x ，则222()()x ka a x =+-，212k xa +=， ∴22cos cos 1ka k BCF ABE x k ∠=∠==+ （4）N PEDA BC F M4321N PEDAB CFM。
2021年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(57)(有答案解析)
解析：
此题考查了对完全平方公式及整体代入的掌握情况，有一定的综合性．
将和相加，得到，再将转化成关于，，的完全平方的形式，再将，和整体代入即可．
解：，，两式相加得，，
原式
．
12.答案：3或2
解析：解：如图1：过点P作的平行线，或者作的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；
过点P可作直线交边AC于点F，使得，可得∽，有3条；
个质数等于______．
15.如图，，是等腰直角三角形，点，在函数的图象上，斜
边，都在x轴上，则点的坐标是______．
16.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆
18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是______分钟．
细分析题意，切忌看见比较长的题目就无从下手．
20.答案：证明：根据题意，，
∽
；
∽
；分
是平行四边形，
；同理，；
则，．
解析：若将所求的等式左边进行通分，解起来会非常麻烦，所以要通过相似三角形得出的对应成比例相等来求证；根据∽、∽得出的对应成比例线段，用分母为AB的
式子替换掉、，然后再通过这些线段和AB的关系来证明所求的结论．
根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．
解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E、F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果．
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2021年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷(74)(有答案解析)2021年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（74）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1.“割圆术”是求圆周率的一种算法．公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”请问上述著名数学家为A. 刘徽B. 祖冲之C. 杨辉D. 秦九昭2.某校食堂有4元、5元、6元三种价格的饭菜供学生们选择每人限购一份三月份销售该三种价格饭菜的学生比例分别为、、，则该校三月份学生每餐购买饭菜的平均费用是A. 元B. 元C. 5元D. 元3.在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线是任意实数交点的个数为A. 必有一个B. 一个或两个C. 至少一个D. 至多一个4.同时掷两个骰子，其中向上的点数之和是5的概率是A. B. C. D.5.给你一列数：1，l，2，6，24，请你仔细观察这列数的排列规则，然后从四个供选择单选项中选出一个你认为最合理的一项，来填补其中的空缺项，使之符合原数列的排列规律．A. 48B. 96C. 120D. 1446.已知．二次函数是实数，当自变量任取，时，分别与之对应的函数值，满足，则，应满足的关系式是A. B.C. D.7.在8个银元中混进了一个大小形状颜色完全一样的假银元，已知7个真银元的重量完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少次就能找出这枚假银元．A. lB. 2C. 3D. 48.如图，P是圆D的直径AB的延长线上的一点，PC与圆D相切于点C，的平分线交AC于点Q，则A.B.C.D.9.十进制***-*****二进制***-********-**********观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是A. 61B. 62C. 63D. 64二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）10.某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为______．11.如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，，且，则平行四边形ABCD的周长是______ ．12.在一个木制的棱长为3的正方体的表面涂上颜色，将它的棱三等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为l的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入口袋，从这个口袋中任意取出一个小正方体，则这个小正方体的表面恰好涂有两面颜色的概率是______．13.已知关于x的一元二次方程与有一个公共实数根，则______．14.一个样本为1、3、2、2、a，b，已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为______．15.如图，在梯形ABCD中，，，，，则该梯形的面积______．16.某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有______种．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.已知，求的值．四、解答题（本大题共5小题，共53.0分）18.在凸四边形ABCD中，，且四个内角中有一个角为，求其余各角的度数．19.某商店若将进价为100元的某种商品按120元出售，一天就能卖出300个．若该商品在120元的基础上每涨价l元，一天就要少卖出10个，而每减价l完，一天赢可多卖出30个．问：为使一天内获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？20.如图，，是等边三角形，点，在函数的图象上，点，在x轴的正半轴上，分别求，的面积．21.如图，在中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知，．求证：O是的外心；若，，求的大小．22.如图，正三角形ABC的边长为l，点M，N，P分别在边BC，AB上，设，，，且．试用x，y，z表示的面积求面积的最大值．答案和解析1.A解：上述著名数学家是刘徽．故选：A．根据数学史的了解进行选择．此题考查了数学常识的知识，要多读书，了解一些有关数学的故事等．2.B解：平均费用为元．故选：B．用加权平均数的计算方法计算即可．此题考查了加权平均数的知识，属于简单题目．把所有数据相加后再除以数据的个数即得平均数．3.D解：任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线，在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，只有反比例函数与时，没有交点，其他只有一个交点．它们的图象与任意一条直线交点的个数至多有一个．故选：D．根据直线是任意实数的性质，得出一次函数、反比例函数和二次函数等函数中与它的关系，直接得出答案．此题主要考查了函数图象与直线是任意实数的性质，根据已知得出任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线是解决问题的关键．4.C解：列表得：共有种等可能的结果，向上的点数之和是5的情况有4种，两个骰子向上的一面的点数和为5的概率为．故选：C．列举出所有情况，看点数之和为5的情况占总情况的多少即可．此题考查了树状图法与列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．5.C 解：观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，故可知第六个数．故选：C．观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，故可知第六个数，继而即可得出答案．本题考查规律型中的数字变化问题，仔细观察题中所给数字，可知第n个数第个数．6.D解：，抛物线对称轴为，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，又，满足，可得，故选：D．在利用二次函数的增减性解题时，对称轴是非常重要的．根据、、，与对称轴的大小关系，判断、、的大小关系．本题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，难度一般，解答本题的关键是正确寻找出对称轴，这是解答本题的突破口．7.B解：8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组，再一次把较轻的一组分开放在天平的两边进行第二次测量，则较轻的是假银元，所以用一台天平最少2次就能找出这枚假银元．故选：B．可以把8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组；再把这组分开用天平测，可找出假银元．此题考查的知识点是推理与论证，关键是首先分成4组，先找出较轻的一组，再测即得．8.B解：连接BC交PQ于E，与圆D相切于点C，，为直径，，平分，，，，．故选：B．首先连接BC交PQ于E，由PC与圆D相切于点C，根据弦切角定理，即可得，又由AB为直径，即可得，然后由PQ平分与三角形外角的性质，即可证得，则可求得的度数．此题考查了圆的切线的性质，圆周角的性质，弦切角定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．9.C解：表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是*****，能表示十进制是：．故选：C．根据表可以得到二进制的数转化十进制的数，，，，；表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是*****，根据规律即可求得十进制表示的数．本题考查了有理数的计算，关键是正确观察图表，理解二进制的数写成十进制的数的方法．10.解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，今年的投资金额为：；明年的投资金额为：；所以根据题意可得出的方程：．故答案为：．本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程．增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．11.8要求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明．解：，，，则，，设，则，在中，根据勾股定理可得，同理可得则平行四边形ABCD的周长是故答案为8．12.解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，故概率为．故答案为．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是表面恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，根据等可能事件的概率得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查计数原理，考查正方体的结构特征，是一个综合题目，在解题时注意分割后的小正方体一定要数清楚，本题是一个易错题．13.解：与有一个公共实数根，有一个实数根，，把代入得：．故答案为：．本题需先根据与有一个公共实数根，求出x的值，再把x的值代入原方程即可求出m的值．本题主要考查了一元二次方程的解的概念，在解题时要能够灵活应用解的概念求出结果是本题的关键．14.解：因为众数为3，可设，，c未知平均数，解得根据方差公式故填．因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为另一个未知利用平均数定义求得，从而根据方差公式求方差．本题考查了众数、平均数和方差的定义．15.18解：取CD的中点E，连接BE，，是菱形，，，，，，，．四边形ABCD的面积是18．故答案为18．取CD的中点E，连接BE，从而得到进而判定四边形ABED是菱形，得到，从而得到然后得到：．本题考查了梯形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线，熟记梯形中常用辅助线的作法对解决此类题目有很大的帮助．16.7解：设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意得：，，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，舍去，当，时，，当，时，舍去，当，时，舍去，当，时，，当，时，舍去，当，时，舍去，不同的选购方式共有7种．故答案为：7．首先设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意即可得不等式组：，解此不等式组，然后根据分类讨论的思想求解即可求得答案．此题考查了不等数组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是注意理解题意，根据题意求得方程组，然后根据其性质解题，注意分类讨论思想的应用．17.解：，，原式．先化简，再代入求值即可．本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．18.解：设，则，，，，．1、时，，，，；2、时，，，，，．3、时，，，，，4、，，，，，．可设，根据四边形内角和等于，分四种情况进行讨论，从而求解．本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于，由于四个内角中有一个角为，不确定，故应该分类讨论．19.解：按120元出售，一天就能卖出300个，可获得利润：元；设涨价为x元，则可卖出个，设利润为y元，则；若设降价x元，则可以卖出个，设利润为y元，则：；，所以当售价定为115元获得最大为6750元．综上所述，当定价为115元时，商店可获得最大利润6750元．分别以120元为基础，当涨价时，大于120元，当降价时，小于120元，利用每个商品的利润卖出数量总利润分别写出函数关系式；利用配方法求得两个函数解析式的最大值，比较得出答案．此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用，根据利润售价进价卖的件数，列出函数解析式，求最值是解题关键．20.解：分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，设，．，是等边三角形，，，，，的坐标为，的坐标为，又点在函数的图象上，，解得舍去，，．点在函数的图象上，，解得，舍去，，，的面积，的面积．分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到，，，得到的坐标为，的坐标为，然后先把的坐标代入反比例解析式求得m的值，再把的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的倍计算即可．本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．21.解：证明：连接OA、OB、OC、OE、OF，是的内心，，在和中≌，，同理，，是的外心．是的外心，，在等腰三角形，，同理，，答：的度数是．连接OA、OB、OC、OE、OF，证≌，推出，即可；根据三角形的内角和定理求出，，再根据三角形的内角和定理求出即可．本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．22.解：正三角形ABC的边长为l，，，，，，，，；，，，当时，等号成立，．由正三角形ABC的边长为l，，，，即可求得MC，NA，PB的值，又由与，即可求得的面积；由与，即可求得的最大值，继而求得面积的最大值．此题考查了三角形的面积问题，几何不等式的应用问题，以及正三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意几何不等式的应用．。