2018年上中自主招生数学试卷及答案

2018上海中学数学自主招生试卷及答案

1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p

c q

=

，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b

a b

+=- 【答案】3

【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式

3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4

【解析】采用降幂来完成；

4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c

a

+= 【答案】2

【解析】同除以a ，然后采用换元法

()2

2

440b c b c a a ++-+=

5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】

4

9

【解析】难度简单，直接为2/3的平方

6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆， 则点C 的坐标是 【答案】33

(,

)2 【解析】采用画图的方法解决

7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】

454

【解析】

8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2

n

），如果n 是奇数，则将它乘以3

加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】

9. 正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为

【答案】22cm 【解析】

10. 已知212(4)(4)y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，至少有一个是正数，则m 的取值范围为 【答案】4m < 【解析】

11. 已知a 、b 、c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：

222

()()()()()()()()()

x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------

【答案】1 【解析】

备注：此题类比于这上面的做法，可以将x=a ，代入进行验证和计算；

12. 已知实数a 、b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是 【答案】133

t -≤≤- 【解析】

13.（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒.

【答案】（1）51+；（2）51

-

【解析】

14.（1）32()f x x ax bx c =+++，0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围； （2）432()f x x ax bx cx d =++++，(1)10f =，(2)20f =，(3)30f =，求(10)(6)f f +-. 【答案】（1）69c <≤；（2）8104 【解析】

（1）由于0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤得，

18422793a b c a b c a b c -+-+=-+-+=-+-+

（2）

15. 我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2） 类似给出背景知识：

平面:0Ax By Cz d α+++=； 球：2222()()()x a y b z c R -+-+-=；

点(,,)a b c 到平面:0Ax By Cz d α+++=的距离公式：2

2

2

d A B C

=

++；

球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R > 时，球与平面相离；

问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（21

12()2

x y z x y z --=++.

【答案】（1）

1

3

；（2）

1

2

3

x

y

z

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪=

⎩

【解析】

（1）代入消元来完成；

（2）

附：

1. 因式分解：32

6114

x x x

-++=

2. 设0

a b

>>，224

a b ab

+=，则

a b

a b

+

=

-

3. 若210

x x

+-=，则32

23

x x

++=

4. 已知2

1

()()()

4

b c a b c a

-=--，且0

a≠，则

b c

a

+

=

5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是

6. 直线:33

l y x

=-+x、y轴交于点A、B，AOB

∆关于直线AB对称得到ACB

∆，则点C的坐标是

7. 一张矩形纸片ABCD，9

AD=，12

AB=，将纸片折叠，使A、C两点重合，折痕长是