2018年北京大学自主招生数学试题含解析

一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ，则(
)()()2
2
2
111z y x
+++可能取到的值为（
）
A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3、已知⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,
0 x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2
+-=x a x y 的最小值记为()a g ，则当a 取遍所有实数时，()a g 的最大值为（）
A．1B．2
C．3D．前三个答案都不对
4、已知2020
210-是n 2的整数倍，则正整数n 的最大值为（
）
A．21B．22
C．23
D．前三个答案都不对
5、在凸四边形ABCD 中，4=BC ，
60=∠ADC ，
90=∠BAD ，四边形ABCD 的面积等于
2
AD
BC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（
）
A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对
二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）
6、满足等式2015
1
20151111⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______．
7、已知[]4,2,,,∈d c b a ，则
()()()
2
2
2
2
2
c
b
d
a
cd ab +++的最大值与最小值的和为_______．
8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ，22
≤++q px x ，不超过
22q p +的最大整数是_______．
9、设bc a c b x 2222-+=，ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ，则
201520152015z y x ++的值为_______．
10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集，已知i A 为奇数，n i ≤≤1，j i A A 为偶数，n j i ≤≠≤1，则n 的最大值为_______．
2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分
参考答案
一、选择题1、A
解析：(
)()()()()()()2
2
2
2
111x z z y y x z y x
+++=+++.令
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验，这组解满足题意，此时(
)()()169001112
2
2
=+++z y x ．
2、D
解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：
(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).
若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于
(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)
中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而
(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)
中，每组有且只有一个数被选中．
因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．
经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D．3、A
解析：令[]1,0cos ∈=x t ，令()122
+-=at t t h ，[]1,0∈t 则
()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,101
2a a a a a a g ，
故()a g 的最大值为1（0≤a 时等号成立）．4、D
解析：1()()()()()
155551515152152210
2345102020202020
++++-++=-=-，而
1510+模4余2，155+模4余2，15555234++++为奇数，故正整数n 的最大值为24．
5、A
解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC ,BD 的夹角为θ，则
2sin 22sin AD
BC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=
θθ,
由题意，2
AD
BC CD AB S ⋅+⋅=
，所以D C B A ,,,四点共圆，且BD AC ⊥．
故9.634≈=CD ，选A．
二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则
2015
1
20151111⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+>>⎪⎭
⎫
⎝⎛++e x x ,
若x 为负整数，令(
)
2,≥∈-=*
n N n n x ，则
1
1
11111-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+n x n x .
因为数列()
2,1111
≥∈⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-+*
-n N
n n n 关于n 单调递增，故当且仅当2016-=x 时，有2015
1
20151111⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x x .
7、
25
41解析：注意到(
)()
()()2
2
22
2
2bd ac cd ab c b
d
a -++=++,
于是()()()()()()2
2
22
2222
2
11⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-+=
++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,
显然当0=-bd ac 时，原式取得最大值为1．接下来考虑
cd
ab bd
ac +-的最大值．
由于1+⋅-
=
+-c
b d a
c b
d a cd ab bd ac ,令
αtan =d a ，βtan =c b ，则问题等价于当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时，求βα-tan 的最大值，显然为4
321arctan
2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-.因此原式的最小值为
25
16．注：可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方．8、9
解析：注意到q px x y ++=2
，[]5,1∈x 满足22≤≤-y ，因此符合题意的二次函
数只有两个：
762+-=x x y ，7
62-+-=x x y
9、1
解析：由1=++z y x ，可得
()()()
()()()()()()()
222
22
223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=，故1201520152015
=++z y x ．
10、9
解析：构造是容易的，取{}i A i =，9,,2,1 =i 即可．
用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如{}9,5,4,3,11=A ，则记
()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,
那么
j i j i A A A A =⋅.
显然，如果当10≥n 时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设
()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,
其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ，11=λ．此时考虑
()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,
那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数，这样就推出了矛盾．因此所求n 的最大值为9．
注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。