北京大学自主招生数学试题及答案
初中数学北大自主招生试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3.5B. -2.3C. -1.8D. -1.62. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点是（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）3. 下列方程中，解集为空集的是（）A. x^2 - 4 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 5 = 04. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 15，S10 = 50，则数列的公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(-1)的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则a10 = ________。
7. 在直角坐标系中，点P（-3，2）到直线2x - 3y + 6 = 0的距离是 ________。
8. 函数f(x) = x^3 - 3x在x = 0处的导数是 ________。
9. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，q = 3，则S5 = ________。
10. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，∠C = 75°，则cosA + cosB + cosC = ________。
三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 3，f(2) = 7，f(3) = 11，求a、b、c的值。
12. （10分）已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，公差d = 3，求前n项和Sn的表达式。
13. （10分）在直角坐标系中，已知点A（2，3）和B（-3，-2），求直线AB的方程。
14. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值。
2018年北京大学自主招生数学试题含解析
一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ，则()()()222111z y x+++可能取到的值为（）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0 x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为()a g ，则当a 取遍所有实数时，()a g 的最大值为（）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4、已知2020210-是n 2的整数倍，则正整数n 的最大值为（）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中，4=BC ，60=∠ADC ，90=∠BAD ，四边形ABCD 的面积等于2ADBC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）6、满足等式2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______．7、已知[]4,2,,,∈d c b a ，则()()()22222cbdacd ab +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ，22≤++q px x ，不超过22q p +的最大整数是_______．9、设bc a c b x 2222-+=，ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ，则201520152015z y x ++的值为_______．10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集，已知i A 为奇数，n i ≤≤1，j i A A 为偶数，n j i ≤≠≤1，则n 的最大值为_______．2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分参考答案一、选择题1、A解析：()()()()()()()2222111x z z y y x z y x+++=+++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验，这组解满足题意，此时()()()16900111222=+++z y x ．2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D．3、A解析：令[]1,0cos ∈=x t ，令()122+-=at t t h ，[]1,0∈t 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,1012a a a a a a g ，故()a g 的最大值为1（0≤a 时等号成立）．4、D解析：1()()()()()1555515151521522102345102020202020++++-++=-=-，而1510+模4余2，155+模4余2，15555234++++为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC ,BD 的夹角为θ，则2sin 22sin ADBC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=θθ,由题意，2ADBC CD AB S ⋅+⋅=，所以D C B A ,,,四点共圆，且BD AC ⊥．故9.634≈=CD ，选A．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+>>⎪⎭⎫⎝⎛++e x x ,若x 为负整数，令()2,≥∈-=*n N n n x ，则1111111-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x n x .因为数列()2,1111≥∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+*-n Nn n n 关于n 单调递增，故当且仅当2016-=x 时，有2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .7、2541解析：注意到()()()()222222bd ac cd ab c bda -++=++,于是()()()()()()22222222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,显然当0=-bd ac 时，原式取得最大值为1．接下来考虑cdab bdac +-的最大值．由于1+⋅-=+-cb d ac bd a cd ab bd ac ,令αtan =d a ，βtan =c b ，则问题等价于当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时，求βα-tan 的最大值，显然为4321arctan2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此原式的最小值为2516．注：可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方．8、9解析：注意到q px x y ++=2，[]5,1∈x 满足22≤≤-y ，因此符合题意的二次函数只有两个：762+-=x x y ，762-+-=x x y9、1解析：由1=++z y x ，可得()()()()()()()()()()22222223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=，故1201520152015=++z y x ．10、9解析：构造是容易的，取{}i A i =，9,,2,1 =i 即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如{}9,5,4,3,11=A ，则记()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,那么j i j i A A A A =⋅.显然，如果当10≥n 时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ，11=λ．此时考虑()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数，这样就推出了矛盾．因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案
北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案引言：北京大学作为国内一流的高等学府，一直致力于选拔具有学术潜力和创新精神的优秀人才。
为了全面考查学生的数学素养和解决问题的能力，北京大学2024年强基计划招生考试数学试题难度适中，紧扣考试大纲，注重基础知识的掌握和综合运用。
本文将结合参考答案，深入剖析试题特点及解题技巧，为广大考生提供有益的备考启示。
试题特点及解题技巧：1、基础知识考查：试题中涉及到的知识点包括函数、数列、几何、概率与统计、微积分等，考查学生对数学基础知识的掌握程度。
针对这部分内容，考生需要在平时的学习中认真理解概念，熟练运用公式，注重知识点的巩固和拓展。
2、综合能力考查：试题在基础知识的基础上，注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。
例如，解答题中的函数与几何结合的问题，需要考生通过分析题意，挖掘几何与函数的联系，综合运用所学知识解决问题。
3、解题技巧：选择题和填空题在解题方法上可以采用逆推法、特殊值法、排除法等技巧，以简化计算，节省时间。
解答题则要求考生在掌握知识点的基础上，灵活运用各种解题方法，如分析法、综合法、反证法等。
备考建议：1、夯实基础：考生要在掌握基本概念、公式的基础上，注重知识体系的建立，将各个知识点串联起来，形成完整的知识框架。
2、提升综合能力：在备考过程中，要有意识地培养自己的数学思维能力和实际应用能力，注重知识的迁移和运用。
3、解题技巧训练：通过大量练习，熟练掌握各种解题技巧和方法，提高解题速度和准确性。
4、模拟测试：在备考阶段，要进行模拟测试，模拟真实考试环境，提高应试能力和心理素质。
总之，北京大学2024年强基计划招生考试数学试题注重基础知识的掌握和综合运用，要求考生在备考过程中全面复习、查漏补缺，不断提高解题能力和思维能力。
希望本文的解析能为广大考生提供有益的参考和启示，祝愿大家在考试中取得优异的成绩！。
北京大学自主招生强基计划北大自招数学2017
1.已知实数a,b 满足(a 2+4)（b 2+1）=5(2ab-1),求b （a+1a
）。
A.1.5
B.2.5
C.3.5
D.以上答案均不正确
2.在三角形ABC 中，已知sinA=45，cosB=413，则△ABC 为（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.无法确定
D.以上答案均不正确
3.已知x+2x 和x 2+2x 2均为整数，则正实数x 的可能取值有（）个
A.1
B.2
C.4
D.以上答案均不正确
4.复数z 满足z+2z 为实数，求|z+i|的最小值（）
5.满足√a 2−4√5 =√m -√n 的实数（a,m,n ）有（）组
6.圆上四点ABCD 逆时针排列，已知AB=1，BC=2，BD=3，∠DBC=∠DBA ，求圆的直径（）
A.2√3
B. 2√5
C. 2√7
D.以上答案均不正确
7.已知p 为100以内的质数，且满足p 3+7p 2为完全平方数,求p 的个数（）
8.函数∫（x ）=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为（）
A.-1.5
B.-1
C.-2
D.以上答案均不正确
9.已知三角形的两条高为10和20，求第三条高的取值范围（）
10.已知三角形的三条中线为9,12,15，求三角形的面积（） 11.已知，求不大于S 的最大整数（）
12.求方程log 4（2x +3x ）=log 3(4x -2x )整数解的个数（）
13.求（1+cos π5）（1+cos 3π5）的值（）
14.设ABCD 是边长为1的正方形，正方形所在平面上的点P 满足|PA|2+|PB|2=|PC|2，求|PD|max （）。
2023年北京大学自主招生考试数学试题及答案详解
北京大学 2023 年优秀中学生寒假学堂数学试题说明：本试题为考生回忆版，共 20 题，每题 5 分，考试时间 60 分钟。
1．设复数,,a b c 满足2223330,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则202320232023a b c ++的值为A ．0B ．3C ．2023D ．其它三个答案都不对2．方程组2223334,6,10x y z x y z x y z ++=++=++=的解的个数为A ．0B ．3C ．6D ．其它三个答案都不对3．设三角形ABC 的三个顶点为复平面上的三点123,,z z z ，满足1231231223310,82i,1510i z z z z z z z z z z z z =++=+++=+，则三角形ABC 内心的复数坐标z 的虚部所在区间为A ．(0.0,5) C ．(1,2)B ．(0,0.5)D ．其它三个答案都不对4．若P 是三角形ABC 的外心，0,120PA PB BC C λ++==︒∠，则实数λ的值为B ．其它三个答案都不对2A ． -1C ． −3D ．12-5．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成60︒的二面角，顶点A 在BCD 的投影H 是三角形BCD 的垂心，G 是三角形ABC 的重心，若4,AH AB AC ==，则GH 的长度是ABC ．其它三个答案都不对D6．过单位正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 做截面，则截面面积的最小值为A．3B．4C ．其它三个答案都不对D ．627．已知直线l 与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>两支分别交于点,P Q ，O 为原点，若OP OQ ⊥，则O 到直线l 的距离为A ．abb a-B ．2ab b a -C ．其它三个答案都不对D8．在三角形ABC 中，444222,,,2(),72AB c AC b BC a a b c c a b A ===++=+∠=︒，则B ∠=A ．其它三个答案都不对B ．63︒C ．45︒D ．60︒9．设222121011133520212023S =+++⋅⋅⋅ ，则[]S 的值为A ．251B ．252C ．其它三个答案都不对D ．25310．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点1F 做倾角为60︒的直线l 交椭圆与,A B 两点，若2AF BF =，则椭圆的离心率为A ．34B ．23C ．其它三个答案都不对D ．1211．以一个正方体的顶点为顶点构成的棱锥的个数为A ．其它三个答案都不对B ．104C ．106D ．10812．已知函数:f →R R 的图像关于点3(,0)4-中心对称且3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(1)(2)(2022)f f f +++ 的值为A ．其它三个答案都不对B ．6-C ．6D ．013．已知数列{}n a 满足12111,1,,2n n n a a a a a n +-===+≥，则2020202320212022a a a a ⋅-⋅的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．其它三个答案都不对14．对于任意的实数z ，方程组22,231,x ay z xy z z +=⎧⎨=++⎩有实数解(,)x y ，则参数a 的变化范围是A ．[4,0)-B ．[2,2)-C ．其它三个答案都不对D ．[0,4)15．以一个给定正2022边形的4个顶点为顶点的梯形称为好梯形，好梯形的个数为A ．100910101011⋅⋅B ．100810091010⋅⋅C ．100010111012⋅⋅D ．其它三个答案都不对16．已知圆内接四边形的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 的面积为A．B．C．D ．其它三个答案都不对17．设π,(0,)2x y ∈，则222211cos sin sin cos x x y y+的最小值为A ．8B ．10C ．9D ．其它三个答案都不对18.设=2023,x y =20232023，且y nn n=a x ,x n=b y ，则（ ）A.∃N ∈ n ∀n >,N a n <b ,n +a b n <∀n > ∀∈n ,n a b C. ++，使得nB.D. 其它三个选项<均不对19.数列{a }n 满足a 012=1,=2,a a =6且+32+1=7n n n n a a a a +5++，记k =(2023)!，则a k −1模 ） B.13179的余数为（ A.166C.1D.其它三个选项均不对20.有六件货物，其中两件为次品，其余四件合格，每次从中抽取一件检验后不放回，求恰好需要四次检验就能确定出次品的概率.2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试题答案1.解：因为2222()2220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++⇒++=且3332223()()=1a b c abc a b c a b c ab bc ca abc ++-=++++---⇒从而我们有=001a b c ab bc ca abc ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩由韦达定理知,,a b c 是方程310x -=的三个根.由于20231(mod 3)≡，所以202320232023=0a b c a b c ++++=故选择A .2.解：类似于上题，我们可以得到=452x y z xy yx zx xyz ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩从而,,x y z 是方程324520t t t -+-=的三个根，注意到322452(1)(2)t t t t t -+-=--从而,,x y z 是1,1,2的一个排列，即原方程组的解有3组，故选择B .3.解：不失一般性，设10z =，则1212+=8+21510z z i z z i=+，从而有23=532z z i=+，不妨设23,z z 对应的点为A 和B ，内心为I ，从而有5,13,8OA OB AB ===且3Im()()OA z OA AB OB r ⋅=++⋅所以105138r =++于是我们有510100.5165169594r <=<<=++++从而选择B 4.解：设AB 的中点为D ，则2PA PB PD +=.由0PA PB PC λ++=，有20PD PC λ+= 所以向量,PD PC共线，又P 是ABC ∆外心，故PA PB PD AB =⇒⊥，从而CD AB ⊥，因为120ACB ∠=，所以120APB ∠=，即四边形APBC 是棱形，于是2PA PB PD PC+== 所以20PD PC PC PC λλ+=+= 所以1λ=-，故选择A .5.设平面AHD 交BC 于F ，则BC DF ⊥，从而BC ADF ⊥面，于是BC AF ⊥，这说明AFH ∠为平面ABC 与平面BCD 成的二面角，即60AFH ∠=.在ABC ∆中，由AB AC =可知BF CF =，从而G 在AF 上且13GF AF =.在直角三角形AHF 中，4AF =，所以FH AF GF ===.在GFH ∆中，由余弦定理可得2221122cos 27GH GF FH GH HF AFH =+-⋅∠=从而9GH ==，故选择B6.解：由对称性，我们只需要考虑截面与面1AD 的交线交线段1AA 于E 的情形.注意到截面面积1112BD A BED F S S S BD d ∆===⋅=四边形其中d 为点E 到线段1BD 的距离.要使得截面面积S 最小，只需要考虑1AA 上的点到1BD 的距离d 最小.取E 为1AA 的中点，易得1OE BD ⊥，且1OE AA ⊥，此时d OE =为异面直线1AA 到1BD 的距离，为d 的最小值且min 122d EF ==.于是截面面积min min 2622S ===故选择D .7.解：不妨设OP m OQ n ==，且POx θ∠=。
北大数学单招试题答案详解
北大数学单招试题答案详解【试题一】题目：证明对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
答案详解：首先，我们考虑等式左侧的求和公式，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\cdots + n^2 \)。
我们可以通过数学归纳法来证明这个等式。
基础步骤：当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。
归纳步骤：假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)。
现在我们需要证明当\( n = k + 1 \)时，等式仍然成立。
将\( k + 1 \)代入等式左侧，我们得到：\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 \)。
根据归纳假设，我们可以将前\( k \)项的和替换为\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)，所以：\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \)。
将\( (k+1)^2 \)展开并合并同类项，我们得到：\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} =\frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} \)。
进一步化简，我们得到：\( \frac{k(k+1)(2k+1) + 6k^2 + 12k + 6}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} \)。
最后，我们可以将分子中的\( 2k^2 + 7k + 6 \)重写为\( 2(k+1)^2 + 1 \)，得到：\( \frac{(k+1)(2(k+1)^2 + 1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \)。
2019北京大自主招生考试数学(网传试题与解析)
综上可知 x 2ab ab
法二：
2
2
考虑到
x2
2ax a2
x2
2bx b2 =
x
2 2
a
a2
2
x
2 2
b
b2 可视为 2
点
P
x,
0
到点
A
2 a, 2
2 2
a
与点
B
2 b, 2
2 2
b ຫໍສະໝຸດ 的距离之和.显然 OA a, OB b ， AB a2 b2
A
显然有 PA PB AB ，结合题意，故 PA PB = AB
即 P 在 AB 上。
2a 2b
2a
由 kPA kPB 可得
2 2 a
2 2b
2 2 ax
22
2
O
P‘
P
B
求得 x 2ab ab
2. 复数 z1, z2 满足 z1 3i 2, z2 8 1 ，则由复数 z1 z2 所确定区域的面积是
解析：考虑到 z1 3i z2 8 z1 z2 3i 8 z1 3i z2 8
即1 z1 z2 3i 8 3
5+
2
5 + 5
5 2 62 3 1 2sin2 sin
2 5+ 5 5 5
5
1 5
故 IP 1 5 sin
8.已知数列an 满足： ak1 ak 4k 3k 1, 2, ，求 a2 a2020
解析：
a2 a1 a3 a2 a4 a3 a2019 a2018 a2020 a2019 a1 a2020 41009+4 2019+3=4043
北京大学2024年强基计划笔试数学试题
北京大学2024年强基计划笔试数学试题考试时间 2024年6月30日上午9：00-11：00以下为理科数学试题，共20题.2024ii=1模 7 的余数.1. 求∑�19ii20�2. 求sin36∘−sin3114∘+sin3126∘ .3. 求1,2,…,8的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,…,78 .4. 已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… ,求第 2024 项模 5 的余数.5. 求四元组(aa1,aa2,aa3,aa4)的个数,使得aa ii∈{1,2,3} ,且10<aa1aa2aa3aa4< 20.6. 求(0,2ππ]上方程2cosxx=sin xx的解的个数.7. 求ℝ上方程xx�ee xx4−1−1�+(xx−1)(xx4−1)=0的解的个数.8. 求ℝ上方程xx2−13[xx]+11=0的解的个数.9. 在体积为 1 的正方体内取一个点, 过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为 8 个长方体,求这些小长方体中体积不大于18的长方体个数的最小值.10. 在离心率为√32的椭圆中, FF1,FF2是两个焦点, PP是椭圆上一点,且∠FF1PPFF2=ππ3,|PPFF1|−|PPFF2|=3 ,求SS△PPFF1FF2 .11. 用SS(nn)表示正整数nn的数码和,求满足SS(nn+1)与SS(nn)均为 5 的倍数的nn的最小值.112. 称正整数nn为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数mm满足�nn10mm�>0 ,都有�nn10mm�∣nn ,求最大的好数的范围. (选项为(0,1000),(1000,2000),(2000,3000) .)13. 在△AAAAAA中,求cos AA cos AA cos AA的最小值.14. 在△AAAAAA中,若AAAA边上的高为13aa ,求(bb+cc)2bbcc的范围.15. 在△AAAAAA中,若aa=2,bb=√2,cc=2√2,DD在AAAA上,比较AADD2与2DDAA×DDAA的大小.16. 在△AAAAAA中,若OO为形外一点,满足∠AAOOAA=2∠AAAAAA ,线段OOAA与线段OOAA交于DD ,且OOAA=OOAA=3,OODD=2 ,求AADD×AADD .17. 在△AAAAAA中,若DD在AAAA上, AADD平分∠AAAAAA,△AADDAA的内心与△AAAAAA的外心重合,求∠AA .18. 在△AAAAAA中,若DD在AAAA上, AADD平分∠AAAAAA,AAAA=AADD=3,AADD= 2 , 求△AAAAAA的周长.19. 在△AAAAAA中,求2sin AA+sin AA+sin AA的最小值.20.aa1=√2, aa nn+1=[aa nn]+1{aa nn} ,求∑aa kk2024kk=1 .2北京大学2024年强基计划笔试数学试题解析345678。
2020年北京海淀区北京大学自主招生文科数学试卷(暑期学堂)-学生用卷
2020年北京海淀区北京大学自主招生文科数学试卷（暑期学堂）-学
生用卷
一、解答题（本大题共5小题）
1、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第1题
已知正整数a，b，n满足a!+b!=5n，求a，b，n．
2、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第1题
证明：双曲线的切线与渐近线的交点与双曲线的两个焦点四点共圆．
3、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第3题
判断函数f(x)=sinx+sin(√2x)是否为周期函数，如果是，求出最小正周期；如果不是，请说明理由．
4、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第4题
2020年北京海淀区北京大学自主招生理科（暑期学堂）第2题
在4×4方格表中，将若干格子染成黑色，求每行每列均恰有2个黑色格子的方法数．
5、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生文科（暑期学堂）第5题
对于任意的正整数k，证明：存在无穷个正整数n为k的倍数，在十进制条件下，n的最左四位为2020．
1 、【答案】a=1，b=4，n=2．
;
2 、【答案】证明见解析．
;
3 、【答案】不是，证明见解析．
;
4 、【答案】90．
;
5 、【答案】证明见解析．;。
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
北大初中自主招生数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个数是整数？A. √4B. √9C. √16D. √252. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，它的周长是多少？A. 18cmB. 20cmC. 24cmD. 28cm3. 下列哪个数是负数？A. 2B. -3C. 5D. 04. 小明有5个苹果，小红有7个苹果，他们一共有多少个苹果？A. 12B. 15C. 20D. 225. 下列哪个图形是正方形？A. 矩形B. 菱形C. 三角形D. 圆形二、填空题（每题5分，共25分）6. 2的平方根是______。
7. 下列数中，最小的数是______。
8. 一个圆的半径是10cm，它的直径是______cm。
9. 下列算式中，正确的算式是______。
A. 3 + 4 = 7B. 5 - 2 = 3C. 6 × 2 = 12D. 4 ÷ 2 = 210. 小华有20元，他买了一个书包花去了10元，他还剩下______元。
三、解答题（每题10分，共20分）11. （10分）一个数加上它的倒数等于2，求这个数。
12. （10分）一个长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm，求它的体积。
四、应用题（共15分）13. （5分）小明家住在楼层高度为15米的住宅楼，他从一楼走到五楼，他走了多少层楼梯？（每层楼梯高度为3米）14. （5分）一个圆形的面积是50π平方厘米，求这个圆的半径。
15. （5分）小明骑自行车从家出发，向东行驶了8km，然后向北行驶了6km，他现在距离家有多远？（答案需用勾股定理计算）答案：一、选择题1. B2. C3. B4. A5. B二、填空题6. ±27. -38. 209. C10. 10三、解答题11. 解：设这个数为x，则x + 1/x = 2，解得x = 1或x = -1。
12. 解：长方体的体积V = 长×宽×高= 4cm×3cm×2cm = 24cm³。
北大自主招生数学(理)试题答案
1.AB 为单位正五边形边上的点，证明：AB 最长为512+ (25分) 解：（1）首先利用三角形相似求得对角线长为512+；（10分） （2）再证明AB 运动时对角线长是最长的，可分3类； （i ）AB 同在一条边时，显然AB ≤1，（ii ）AB 在相临边上时，如图1，易证111A B AB AB ≤≤=512+；（15分） (iii) AB 在相对边上时，如图2，只需证明，1AB AB ≤且11A B AB ≤ 先证1AB AB ≤，考虑ABD ∆中，512AB AD +==，11180AB D AB B ∠+∠=︒ 故11,AB D AB B ∠∠︒与中必有一个大于或等于90不妨设1,AB B ∠≥︒90 则1AB AB <，再证11A B AB ≤，又由(ii)知，1B C AB ≤， 在1AB C ∆中，同上可证得：11||A B 至少小于11,AB CB 中的一条即证得：11A B AB ≤综上可得：AB 最长为512+。
（25分） 2.AB 为y=1-x 2上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值。
(25分) 2．如图，只需求CDE S ∆的最小值。
设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，120.0x x <> 则可求得：2y x '=-, 122,2CD CE k x k x =-=-，CD 方程为： 1112(),y y x x x -=-- 21121y x x x ⇒=-++，①令y=0,得：211112x x x +=，即D （211112x x +，0），(5分)AB B 1A 1 ABB 1A 1 DCDC图1图2A B C DE xo y同理可得CE 方程为：22221y x x x =-++②，E （222112x x +，0）（7分）联立①，②解得：C 点坐标为（122x x +，121x x -）,（10分） 222211*********11(1)()111||()(1)244CDEC x x x x x x S DE y x x x x x x ∆++--==--=-,（15分） 21122x x x x -≥-,令12(0)x x t t -=>，则S 221(1)2t t +≥，设221(1)()2t g t t += 2222222214(1)(1)(1)(31)()22t t t t t g t t t+-++-'==，令3()0(0)3g t t t '=>⇒=（20分） 此时221(1)2t t +取最小值为839，即1233,33x x =-=时，min 839S =.（25分） 3. 向量OA 与OB 夹角为θ，|OA |=2，|OB |=1，OP =t OA ，OQ=（1-t ）OB ，|PQ|在t 0处取得最小值，问当0<t 0<1/5时，夹角θ的取值范围。
北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)
2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。
二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。
北大自主招生数学试题
北大自主招生数学试题一、下列哪个数列不是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 10, 8, 6, 4, ...D. -1, 0, 1, 2, ...（答案：B）二、若复数z满足(1+i)z=2i，则z等于？A. 1-iB. 1+iC. -1+i（答案）D. -1-i三、设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2，则f(x)的极小值点为？A. x = 0B. x = 1C. x = 2（答案）D. x = 3四、在三角形ABC中，若sinA:sinB = 3:4:5，则cosC的值为？A. 1/5B. -1/5（答案）C. 3/5D. 4/5五、已知向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与b的夹角θ的余弦值为？A. √5/5B. 2√5/5（答案）C. 1/√5D. -1/√5六、设集合A = {x | x2 - 5x + 6 = 0}，B = {x | x2 - ax + a - 2 = 0}，若B是A的子集，则a的取值范围是？A. a = 2或a = 3或a = 5B. a = 3或a = 5（答案）C. a = 2或a = 5D. a = 2或a = 3七、已知圆C的方程为x2 + y2 - 2x - 5 = 0，直线l的方程为2x - y - 1 = 0，则圆心C到直线l的距离为？A. √5B. 2√5/5C. √5/5（答案）D. 3√5/5八、若实数x, y满足约束条件x + y ≤ 2, x - y ≤ 1, x ≥ 0，则z = 2x + y的最大值为？A. 2B. 3C. 4D. 5（答案）九、设函数f(x) = ex - e(-x)，则不等式f(x + 2) < f(1 - x)的解集为？A. (-∞, 3/2)B. (-3/2, +∞)（答案）C. (-∞, -1/2)D. (1/2, +∞)十、已知矩阵A = [1 2; 3 4]，向量β = [5; 6]，若向量α满足Aα = β，则α为？A. [-1; 2]B. [2; -1]（答案）C. [1; 1]D. [-2; 1]。
高三清华北大自主招生数学训练题含答案
数学自主招生训练题（2）1.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24，2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC 上，BEBC ，DFDC .若1AE AF，23CE CF，则（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）7123.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<4.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A ． 4.56% B ． 13.59% C ． 27.18% D ． 31.74%6.一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ． ﹣或﹣ B ． ﹣或﹣ C ． ﹣或﹣ D ．﹣或﹣ 7.设函数f （x ）=，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（ ）A ．[，1]B ． [0，1]C ．[，+∞）D ． [1，+∞）8.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ） 02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 9．若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 ．10.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。
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南方球队总得分为 =189
北方球队总得分为 =21
南方球队内部比赛总得分 =105
北方球队内部比赛总得分 =15
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
因为11×15=165<189
所以南方球队中至少有一支得分超过11分．
冠军在南方球队中
当x=8时
所有球队总得分为 =300
4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）
解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支
所有球队总得分为
南方球队总得分为
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分
北方球队内部比赛总得分
解得：
因为 为整数
x=6或x=8
当x=6时
南方球队总得分为 =270
北方球队总得分为 =30
南方球队内部比赛总得分 =136
北方球队内部比赛总得分 =28
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
因为9×17=153<270
所以南方球队中至少有一支得分超过9分．
冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队
5 （理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内 绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π，求C上未被照到的长度。
北京大学自主招生数学试题及答案
1 求证：边长为1的正五边形对角线长为
略解：三角形ABE∽三角形DAE，则：
2．已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，
求证：△ABC面积是六边形AC1BA