绝对值不等式的证明与应用

3b9
求证 x2y3z .
例2 已知 xa,0yb,y 0,M ，
2M
2a
求证 xyab.
证明：x a y x b y y y a a a y b x a a y b
yx aay bM a. 2 M 2a
.
例题
ab a b
例3
求证
1ab 1a 1b
.
证明：在 a b 0 时，显然成立.
还有别的证法吗？
由a aa与 b bb ，
得 a b a b a b.
当我们把 a b 看作一个整体时，上式逆 用 xaaxa可得什么结论？
abab.
.
定理探索
能用已学过得的 abab
证明 abab吗？
可以a表示为 aabb.
a a b b a b b .
即 abab.
就是含有绝对值不等式的重要定理， 即 ababab.
当 a b 0时，左边
1 1 1
ab
1 1
ab
b
11ab1ab
a 1 a
b
1 b
.
ab
.
练习
1．①已知
1
xr0,a0，求证 ax
1 ar.
②已知 an l 1, 求证 an l 1 .
2．已知 Aa,Bb，求证：
2
2
① ABab；
② ABab.
3．求证 x1 2 x0 .
x .
小结
1．定理 ababab. 把 a 、
用定理 ababab及其推论．
3．对 abab ab 0， abab a b0要特别重视.
.
作业
1．若 xam,yan，则不列不等式
一定成立的是（ ）． A． xy 2m B． xy 2n
C． xy nm D． xy nm
2．设a , b 为满足ab0的实数，那么（ ）．
A．abab B． abab
含有绝对值的不等式
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问题
我们在初中学过绝对值的有关概念， 请说出绝对值是怎样定义的？
a a 0; 当 aR 时，则有：a 0 a 0;
a a 0.
那么 a与 a 及 a 的大小关系怎样？
.
问题
这需要讨论：
当 a0时a， a,aa；
当 a0时， aaa；
当a0时a ， aa.
综上可知： a aa.
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推论
由于定理中对 a , b 两个实数的绝对值， 那么三个实数和的绝对值呢？
nnN个实数和的绝对值呢？
亦成立 a 1a2a 3a 1a2a3
a 1 a 2 a n a 1 a 2 a nnnN
这就是定理的一个推论，由于定理中
对 a , b 没有特殊要求，如果用 b 代换 b
会有什么结果？ .
C．ab ab D． abab
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作业wk.baidu.com
3．能使不等式 n 1 1 成立的正整数n的
n1 5
值是__________.
4．求证：（1） abab2a；
（2） abab2b.
5．已知 fafbab，
求证 fx 1x2.
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而ab ab 显然成立， 故 abab.
那么怎么证 abab？
同样可用分析法， .
定理探索
当 a b 0 时，显然成立，
当 a b 0时，要证 abab. 只要证 a2 2ab b 2a22 a b b 2，
即证 ab ab.
而 ab ab显然成立．
从而证得 ababab.
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定理探索
b 、a b 看作是三角形三边，很象三角形两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样 理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可 以推广到比较复数的模长，并有其几何意义， 有时也称其为“三角形不等式”.
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小结
2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝 对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可 平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需
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问题
我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？
abab， a ab0.
bb
当 a0 时，有：xa x2a2 xa
或 xa.
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定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差， 我们猜想：
ababab.
怎么证明你的结论呢？
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定理探索
用分析法，要证 abab，
只要证 ab2ab2.
即证 ab ab.
推论
ababab，
用 b代 b得 a b a b a b ，
即 ababab.
这就是定理的推论 2. abab
成立的充要条件是什么？
abab a2b22ab a 2 2 a b b 2 a b a b a b 0
那么 abab成立的充要条件是什么？
ab0..
例题
例1 已知 x, y,z，