静电场的能量
第十章静电场中的能量
第十章静电场中的能量1电势能和电势一、静电力做功的特点1．静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W＝qEl cos θ.其中θ为静电力与位移方向之间的夹角．2．特点：在静电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关．(1)静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似．(2)无论是匀强电场还是非匀强电场，无论是直线运动还是曲线运动，静电力做功均与路径无关．二、电势能1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用E p表示．2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：W AB＝E p A－E p B.(1)静电力做正功，电势能减少；(2)静电力做负功，电势能增加．3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功E p A＝W A0.4．电势能具有相对性电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零．(1)电势能E p是由电场和电荷共同决定的，是电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能．(2)电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关。
确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。
(3)电势能是标量，有正负但没有方向。
在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能。
5．静电力做功与电势能变化的关系(1)W AB＝E p A－E p B.静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．(2)在同一电场中，正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小．三、电势1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．2．公式：φ＝E p q。
(1)φ取决于电场本身；(2)公式中的E p 、q 均需代入正负号。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V ,1 V ＝1 J/C.4．电势高低的判断：(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．(2)电势能判断法：由φ＝E p q知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．5．电势的相对性：只有规定了零电势点才能确定某点的电势，一般选大地或离场源电荷无限远处的电势为0.6．电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，同一电场中电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．7．电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关．在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为零，在实际应用中常取大地的电势为零．8．电势虽然有正负，但电势是标量．在同一电场中，电势为正值表示该点电势高于零电势，电势为负值表示该点电势低于零电势，正负号不表示方向．2 电势差一、电势差1．定义：电场中两点之间电势的差值，也叫作电压．U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，U AB ＝－U BA .2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．U AB >0，表示A 点电势比B 点电势高．3．单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V .4．静电力做功与电势差的关系(1)公式：W AB ＝qU AB 或U AB ＝W AB q. (2)U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时静电力所做的功．二、电势差的理解1．电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．2．电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低，且U AB ＝－U BA ，与零电势点的选取无关．3．电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差．三、静电力做功与电势差的关系1．公式U AB＝W ABq或W AB＝qU AB中符号的处理方法：把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大．2．公式W AB＝qU AB适用于任何电场，其中W AB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．3．电势和电势差的比较1．定义：电场中电势相同的各点构成的面．2．等势面的特点(1)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直．(3)电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．3．等势面的特点及应用(1)在等势面上移动电荷时静电力不做功，电荷的电势能不变．(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面，由此可以绘制电场线，从而可以确定电场的大致分布．(3)等差等势面密的地方，电场强度较强；等差等势面疏的地方，电场强度较弱，由等差等势面的疏密可以定性确定场强大小．(4)任意两个等势面都不相交．4．几种常见电场的等势面(如图1所示)图1(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．(2)等量异种点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，两点电荷连线的中垂线是一条等势线．(3)等量同种点电荷的等势面①等量正点电荷连线的中点电势最低，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．②等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高．(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．3 电势差与电场强度的关系一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．2．公式：U AB ＝Ed .二、公式E ＝U AB d的意义 1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．3．电场强度的另一个单位：由E ＝U AB d可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V /m.1 V/m ＝1 N/C.三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．公式E ＝U AB d及U AB ＝Ed 的适用条件都是匀强电场． 2．由E ＝U d可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势． 式中d 不是两点间的距离，而是两点所在的等势面间的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．4．电势差的三种求解方法(1)应用定义式UAB ＝φA －φB 来求解．(2)应用关系式UAB ＝WAB q来求解． (3)应用关系式UAB ＝Ed(匀强电场)来求解．5．在应用关系式UAB ＝Ed 时可简化为U ＝Ed ，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．四、利用E ＝U d定性分析非匀强电场 U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．(1)在非匀强电场中，公式U ＝Ed 中的E 可理解为距离为d 的两点间的平均电场强度．(2)当电势差U 一定时，场强E 越大，则沿场强方向的距离d 越小，即场强越大，等差等势面越密．(3)距离相等的两点间的电势差：E 越大，U 越大；E 越小，U 越小．五、用等分法确定等势线和电场线1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U ＝Ed ，其中d 为两点沿电场方向的距离． 由公式U ＝Ed 可以得到下面两个结论：结论1：匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC ＝φA ＋φB 2，如图1甲所示． 图1结论2：匀强电场中若两线段AB ∥CD ，且AB ＝CD ，则U AB ＝U CD (或φA －φB ＝φC －φD )，同理有U AC ＝U BD ，如图乙所示。
静电场的能量
【解】带电球形电容器的电场分布是对称的，由有介质中 的高斯定理可求其电场强度的大小为
E
Q
40 rr 2
则电场能量密度为
we
1 2
0
r
E
2
Q2
322 0 r r 4
现取半径为r、厚为dr的球壳为一体积元，则该体积元的体积为
dV 4r2dr
因此，球壳中储存的电场能量为
于是总能量为
dWe
wedV
Q2
8 0 r r 2
U Ed
将平行板电容器的电容公式（7-38）带入式（7-43），可得
We
=
1 2
CU
21 20r Sd(Ed )21 2
0r E2Sd
1 2
E 2V
上式说明了电场能量的携带者是电场本身。
由上式可得单位体积电场内所具有的电场能量为
we
We V
=
1 E2
2
上式表明，电场的强度越大，电场的能量密度也越大。上 式虽然是从平行板电容器中求得的，但可以证明，对于任意电 场，这个结论也成立。
对于非均匀电场，我们可以任取一体积元dV，可以认为dV 内是均匀电场，则在dV内电场所储存的能量为
dWe
wedV
1 E2dV
2
因此，整个电场的能量为
We
V dWe =
V wedV
1 E2dV
V2
【例7-11】一球形电容器，内、外半径分别为R1和R2，所 带电量分别为＋Q和－Q，两球间充满相对电容率为εr的电介 质，如下图所示。求此电容器储存的电场能量是多少？
物理学
静电场的能量
1.1 电容器的静电能
电容器充电时，电源必须做功，才能克服电容器极板上
静电场能量
1 2
[q1 1
q2
2
q3 3)
1 2
3 i 1
qi i
•
N个导体（等势体）系统：
We
1 2
N
i1
qi i
对电荷连续分布，也可推出相应公式：
• 体电荷分布系统：
We
1 2
d
dq d sds ldl
• 面电荷分布系统：
W e
1 2
S s d S
• 线电荷分布系统：
W e
1 2
L l dl
N = 2 即两导体电容器 ： q1 = q，q2 = -q
We
1 2
q(1
2)
1 2
qU
1 CU 2 1 q2
2
2C
3. 静电能的场矢量计算式：
R
讨论：
We
1 2
Φd
1 2
V
(•
D)Φd
•(ΦA) Φ• AΦ• A
V
1 2
V
[•
(D)
•
D]d
S 1 D • d S 1 E • Dd
R5
0 60
150
⑵
We
1 2
V
0E 2d
1 2
1 0 E12d
1 2
2 0E22d
1 2
0
R 0
( r0 3 0
) 2 4r
2dr
1 2
0
(
R
R3 3 0 r
0 2
)2
4r
2dr
40
2
R5
150
可见结果是一样的
We
1 2
E • Dd
V
静电能公式
静电能公式
电场能量为电场所具有的能量，相当于其等效电容中的电能，公式：
w=1/2*u^2*c=1/2*q^2/c。
电场能量就是电场所具有的能量，电场能量等于电场能量密度对电场所处空间的积分，点电荷产生的静电场的能量正比于点电荷的带电量的平方。
电场能量为电场所具有的能量，相当于其等效电容中的电能，公式：
w=1/2*u^2*c=1/2*q^2/c。
电场能量就是电场所具备的能量，电场能量等同于电场能量密度对电场所处空间的分数，点电荷产生的静电场的能量正比于点电荷的磁铁量的平方。
对每个元电容不许考虑边缘效应，因为每个局部元电容中的场被周围元电容中的场加以保护。
这样任意一个自由空间是由无数个元电容组构成的一个电容结构，而每个元电容都相当于一个无限大平行板电容器。
所以用理想平行板电容器的均匀场研究空间电场能量分布具有普遍意义。
电容器在电路中的促进作用：
1、当电容器两端电压增加时，电容器从电源吸收能量并储存起来；
2、当电容器两端电压减少时，电容器便把它原来所储存的能量转化成。
3、即电容器本身只与电源进行能量交换，而并不损耗能量，因此电容器是一种储能元件。
静电场的能量5
W球面 <W球体 e e
课堂讨论
13.5 静电场的能量 (electrostatic energy)
定义： 定义： 把系统从当前状态无限分裂到彼此相距无 限远的状态中静电场力作的功， 限远的状态中静电场力作的功，叫作系统 在当前状态时的静电势能。简称静电能。 在当前状态时的静电势能。简称静电能。 或： 把这些带电体从无限远离的状态聚合到当 前状态过程中，外力克服静电力作的功。 前状态过程中，外力克服静电力作的功。
r
比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。 比较均匀带电球面和均匀带电球体所储存的能量。
q
0 E = q 4 r2 πε0
R
R
r <R r >R
q
R
r q 4 ε R π0 3 E = q 4 ε0r2 π
∞
r <R r >R
1 1 2 2 2 2 W = ∫ ε0E ⋅ 4 r dr +∫ ε0E ⋅ 4 r dr π π e 2 2 0 R
3.电容器储存的能量 电容器储存的能量
K
a
b
开关倒向a，电容器充电。 开关倒向 ，电容器充电。 开关倒向b，电容器放电。 开关倒向 ，电容器放电。
灯泡发光
←电容器释放能量
←电源提供
计算电容器带有电量Q，相应电势差为U 计算电容器带有电量 ，相应电势差为 时所 具有的能量。 具有的能量。
电容器中的能量是在充电过 程中建立起来的。 程中建立起来的。 充电过程， 充电过程，使电容器的两极 板分别带上等量的正负电荷， 板分别带上等量的正负电荷，这 相当于将某一极板上的电荷拉到 另一极板上。 另一极板上。这是电荷在两极板 间的搬迁过程。 间的搬迁过程。 搬迁过程中， 搬迁过程中，随着极板上电 荷的累积，要做的功越来越大， 荷的累积，要做的功越来越大， 这就像粮仓中粮食的囤积过程， 这就像粮仓中粮食的囤积过程， 粮越来越高，再往上倒， 粮越来越高，再往上倒，就越来 越困难。 越困难。
静电场的能量公式
静电场的能量公式好的，以下是为您生成的关于“静电场的能量公式”的文章：咱们在学习物理的时候，静电场可是个挺有意思的家伙。
说到静电场，就不得不提到它的能量公式，这玩意儿可是藏着不少奥秘呢！先来说说静电场能量公式到底是个啥。
简单来讲，静电场的能量可以用公式 $W = \frac{1}{2} \int \varepsilon E^2 dV$ 来表示。
这里头的$\varepsilon$ 是介电常数，$E$ 是电场强度，$dV$ 是体积元。
这公式看起来可能有点复杂，但别慌，咱们慢慢捋捋。
就拿我曾经观察过的一个小实验来说吧。
有一次，我在教室里给同学们演示静电实验。
我拿了一块塑料板和一些碎纸屑，把塑料板在头发上摩擦了几下，然后靠近碎纸屑。
嘿，那些碎纸屑就像被施了魔法一样，纷纷跳起来粘在了塑料板上。
这其实就是静电场在起作用。
那这个和静电场的能量公式有啥关系呢？其实，当塑料板摩擦产生静电的时候，就形成了一个小小的静电场。
这个静电场具有一定的能量，而这个能量的大小就可以用咱们刚才提到的公式来计算。
只不过这个实验中的静电场比较简单，真正复杂的静电场，比如在电容器中，那能量的计算可就没这么轻松啦。
咱们再回到这个公式，为啥会有这样的形式呢？想象一下，电场就像是一个大力士，它在空间中“使劲”，而这个“使劲”的程度就由电场强度 $E$ 来表示。
介电常数 $\varepsilon$ 呢，则反映了介质对电场的影响。
就好像在不同的环境中，大力士发挥的效果不一样。
比如说在空气里和在水里，同样的电场强度，产生的效果可能就不同。
而积分 $\int dV$ 则是把空间中每一个小部分的能量都加起来，这样才能得到整个静电场的总能量。
在实际应用中，静电场的能量公式可重要了。
比如说在电子电路中，电容器储存电能就是依靠静电场。
我们要设计一个高效的电路，就得搞清楚电容器中静电场的能量有多少，这时候这个公式就派上用场啦。
还有在研究电磁辐射的时候，也离不开对静电场能量的理解。
静电场的能量
= W互 + W自
5
W互是带电系统内N个带电体之间的相互作用能， 简称为系统的互能。
W自是每个带电体的静电能之和，简称为自能。
静电能 = 自能 + 相互作用能
⑵ 点电荷的自能
设想点电荷q是由半径为R（ R → 0 ）的均匀带电
球收缩半径而成，则球内一点产生的电势为
∫ ∫ ∫ U =
∞r r E ⋅ dl =
12
例1 如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶 点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个 点电荷+2e，求此带电系统的相互作用能量 。
解：法一
8个顶点上的负电荷的相 互作用能为12对，即
e2 12
4πε 0 d
6个面上对角顶点负电荷的相 互作用能为12对，即
12 e2 4πε0 2d
−e −e
R 0
Qr 4πε 0 R 3
2
4π
r 2dr
+
ε0 2
∞ R
Q 4πε 0 r 2
2
4π
r 2dr
= 3Q2
20πε 0 R
20
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
解：由高斯定理， r
w1 = 0 (r < R1)
w4 = 0 (r > R2 )
w2
=
1 ε E2 2
=
32π
q2 2ε0ε r1r 4
(R1 < r < R)
w3
=
32π
q2 2ε 0ε r 2r 4
(R < r < R2 )
高考物理复习：静电场中的能量
(1)在电场中,两点之间电势的差值叫作电势差。
(2)公式:UAB=φA-φB,UAB=-UBA。
(3)静电力做功与电势差的关系: UAB=
。
知识点二
等势面
1.定义:电场中电势相等的各点组成的面。
2.四个特点。
(1)等势面一定与电场线垂直。
(2)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
把一带正电荷的物体C置于A附近,贴在A、B下部的金属箔片都张开,则
( C )
A.此时A带正电,B带负电
B.此时A电势低,B电势高
C.移去C,贴在A、B下部的金属箔片都闭合
D.先把A和B分开,然后移去C,贴在A、B下部的金属箔片都闭合
解析:由静电感应可知,A带负电,B带正电,A、B的电势相等,选项A、B错误。
训练突破
1.(多选)空间存在如图所示的静电场,a、b、c、d为电场中的四个点,则
( AD )
A.a点的电场强度比b点的大
B.d点的电势比c点的低
C.质子在d点的电势能比在c点的小
D.将电子从a点移动到b点,静电力做正功
解析:a点的电场线比b点的电场线密,根据电场线的疏密程度表示电场强度
的大小,可知a点的电场强度比b点的电场强度大,故A正确。根据沿着电场
的位置如图所示,三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的
是(
)
ABD
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点,静电力做功为9 eV
思维点拨根据a、b、c三点的电势关系可以找出等势面,进而求出等势面
知识点四
静电场的能量
r
b,
E
D
1 21r
b r c, E
D
2 2 2r
r c, E 0
c
b
b
Vac
Edl
a
dr
dr
a 21r
a 2 2r
b c
ln
ln
21 a 2 2 b
单位长 度旳C:
C
Vac
ln b
ln c
21 a 2 2 b
1
1 ln b 1 ln c
21 a 2 2 b
单位长 度旳We:
解：①充电后断开电源，插入介质；
极板上电量不变 0 , q q0
电位移矢量 D D0
r
介质中场强 E D E0
d
0 r r
电压 U Ed E0 d U0
r
r
K U0
0 , q q0 ,
E
E0
r
,
U
U0
r
电容：电容器电容与电量无关，但
与介质有关，插入介质后
C
q U
q0 U0
r
rC0
电容器储存旳能量：
We
q2 2C
q02
2 rC0
We0
r
0 0
r
d K U0
② 充电后保持电压不变，插入 r 介质；
电压不变即电键 K 不断开。
电压 U U 0
0 0
场强 U U0 ,
E
U d
U0 d
E0
电位移矢量与自由电荷面密度
D E, D0 0 0E0
ln
R2 R1
存能 最多
dWe dR1
π
0Eb2R1(2 ln
第2章 静电场(8) 静电场的能量
2
400 R 5Q
2
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We Q 80 R
400 R
35
均匀带电球体
We 6Q
2
400 R
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We 5Q
2
400 R
36
[结论] 将“带电金属球”改为同样大小的 “均匀带电球面”，结果？
Answer: 改为球面, We不变； 同样大小的“均匀带电球体”？
20
能量体密度：
（定义）
1 we D E 2
we E 2 1
2
（2-103）
对于理想介质： （2-104）
物理意义：
电场是一种物质，它具有能量。
21
注释：
We 1
2
d V
（2-97）
V
★适用范围： 仅适用于静电场
★适用范围：
（反映了：静止电荷所具有的静电位能）
即位移是虚设的，故称为虚位移法。
45
★虚位移法
★原理：能量守恒
外力做的功=静电场能量的变化+电场力做功
d W d We f g d g
d W k dqk
与各带电导体 相连的外电源 提供的能量；
K
第p号导体作dg 位移后电场储 能We的增量；
f 在 g 方向 的分量。
46
★方法：
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
静电场的能量
结论：一个带电体系所具有的静电能就是该体系所 具有的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状 态聚集成该带电体系的过程中，外界所作的功。
带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还 是由电荷激发的电场所携带？能量定域于电荷还是 定域于电场？在静电场中没有充分的理由进行说明 ，但在电磁波的传播中能充分说明场才是能量的携 带者。
能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。
在电容器充电过程中,设某时刻两极板间的电压
为UAB , 在外力作用下持续地将dq电量从负极板移 到正极板时，外力因克服静电场力作的功为
dA
U
ABdq
1 C
qdq
(1)
+
A Q q dq 1 Q 2 1 CU 2 1 QU (2) C
0C
2C 2
2
9
R
所以在电容器中储存的能量为
We
Q2 A
2C
1 CU 2 2
1 2
QU
(3)
因为电容器中的电量和电压分别为:
Q = S = ES , UAB=Ed
由此可以求得电 容器中静电能量
We
1 2
QU
1 E 2 (Sd ) (4)
2
电容器中静电 能的能量ຫໍສະໝຸດ 度weWe Sd1 E2
2
1 2
DE
1 E2
2
(5)
对于非匀强电场，在体
元d 内的电场能量为
dWe wed
1 E 2d (6)
2
整个电场的能量可以表示为
We
dWe
1 2
E2d
1 2
DEd
(7)
在各向异性电介质中，一般说来 D 与 E 的方向
静电场能量电势能的计算方法
静电场能量电势能的计算方法静电场是指在物体表面或物体附近存在的电场，其能量可以通过计算电场的电势能来表示。
本文将介绍静电场能量电势能的计算方法。
一、电势能的定义和计算公式电势能是指电荷在电场中所具有的能量，它与电荷的电量大小和电场的强度有关。
电势能的计算公式为：U = qV，其中，U表示电势能，q表示电荷的电量，V表示电场势。
电场势可以通过电场的电势差来计算。
二、电场的电势差计算方法1. 点电荷的电势差计算对于点电荷，其电势差计算公式为：V = k * (Q / r),其中，V表示电势差，k表示电场常数，Q表示电荷的电量，r表示距离。
2. 均匀带电球壳的电势差计算对于均匀带电球壳，其电势差计算公式为：V = k * (Q / R),其中，V表示电势差，k表示电场常数，Q表示球壳的总电量，R 表示球壳的半径。
3. 均匀带电平面的电势差计算对于均匀带电平面，其电势差计算公式为：V = E * d,其中，V表示电势差，E表示电场强度，d表示距离。
三、电势能的计算方法在了解了电场的电势差计算方法后，我们可以根据电势差的数值来计算电势能。
具体的计算方法如下：1. 对于点电荷的电势能计算如果已知点电荷的电势差V，可以使用电势能的计算公式 U = qV 来计算电势能。
2. 对于均匀带电球壳的电势能计算如果已知球壳的电势差V和球壳的总电量Q，可以使用电势能的计算公式 U = QV 来计算电势能。
3. 对于均匀带电平面的电势能计算如果已知平面的电势差V和电场强度E，可以使用电势能的计算公式 U = EV 来计算电势能。
四、实例分析假设有一个点电荷q1 = 2C和一个均匀带电球壳Q = 5C，球壳的半径为R = 3m。
我们需要计算点电荷在球壳附近的电势能。
首先，根据点电荷的电势差计算公式，计算出点电荷在球壳表面的电势差V1。
然后，根据均匀带电球壳的电势差计算公式，计算出球壳的电势差V2。
最后，将V1和V2相乘，即可得到点电荷在球壳附近的电势能U。
大学物理电学第六节
E = EBC
+
+
dl +
+
Y
+ + +
A
a
O B dE
θ
a
θ
+
C dE
a
D
X
取电荷元 dl ， dq 所以
= λdl dq λdl dE = = 2 2 4πε0a 4πε0a
E x = ∫ dE x = 0
由对称性分析： 由对称性分析：
+ + + +
Y
+ + +
a
A
a
λdl E = E y = ∫ dE y = ∫ dE sin θ = ∫ sin θ 2 4πε 0 a
2
+ dq
外力作功
把微小电荷 + dq 移到另一个极板外力克服电场力作功
dA = (V1 − V2 )dq
' '
q 电容器电容为C，此时带电量为q， V1′ − V2′ = C q dA = dq 所以
C 当电容器由 q = 0 到 q = Q 外力作功
A = ∫ dA = ∫
Q
0
这个功应等于电容器的静电能。 这个功应等于电容器的静电能。 Q = C (V1 − V2 ) 电容器的静电能
解： D =
q 4π r 2
dr
E=
D
ε
=
q 4πε r
2
2
r R2
R1
dV = 4π r dr
1 q 2 we = ε E = 2 2 8πε r
2
dWe = we dV
1 q 1 − We = ∫ wedV =∫ dr = 2 R R R 8 1 8πε 1 πε r 2
静电场能量
静电场能量是指由于电荷在静电场中所具有的能量。
在一个静电场中，电荷之间存在电势差，当电荷在电场中移动时，它们会受到电势差的作用而发生势能的转化。
对于两个点电荷之间的静电场能量，可以使用库仑定律来计算。
库仑定律描述了电荷之间的相互作用力与它们之间的距离和电荷量之间的关系。
静电场能量的表达式为：
E = k * (Q1 * Q2) / r
其中，E表示静电场能量，k是库仑常数（约为9 ×10^9 N·m^2/C^2），Q1和Q2分别是两个电荷的电荷量，r是两个电荷之间的距离。
静电场能量是正的，它的单位是焦耳（J）或电子伏特（eV）。
当两个电荷之间的电荷量或距离增加时，静电场能量也会增加。
静电场能量可以在电荷之间的相互作用中转化为其他形式的能量，如动能、热能等。
静电场的能量密度公式
静电场的能量密度公式静电场的能量密度公式可以通过对电场能量进行分析得到。
首先，我们需要知道电场能量在空间的不同位置上具体是多少。
静电场能量密度（U）是指单位体积空间中电场能量的大小。
在充满静电场的空间中，任意体积元内包含的电场能量可以表示为：dU = ε/2 E^2 dV其中，dU是体积元dV内的电场能量，ε是真空介电常数（ε ≈ 8.85 × 10^-12 F/m），E是电场强度。
将电场能量密度公式积分，可以得到整个空间的静电场能量。
设整个空间的体积为V，整个空间的静电场能量为U，可以表示为：U = ∫(ε/2 E^2)dV为了更好地理解这个公式，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有两个平行带电板，它们之间的距离为d，电场强度为E。
我们希望计算这个空间中的电场能量密度。
首先，从第一个平行板开始，我们可以将其认为是一个电容器的上板。
如果在该平行板上施加电势差ΔV，可以得到电场强度E = ΔV/d。
根据前面的能量密度公式，可以得到该电场能量密度为：U₁ = ∫(ε/2E^2)dV = ∫(ε/2 (ΔV/d)^2)dV对上述积分进行化简，使用ΔV/d = E，可以得到：U₁ = ∫(ε/2 E^2)dV = (ε/2) E^2 ∫dV = (ε/2) E^2 V同样的，对于第二个平行板，电场能量密度为：U₂ = ∫(ε/2 E^2)dV = (ε/2) E^2 V由于两个平行板之间的电场相等，整个空间的电场能量密度为：U = U₁ + U₂ = (ε/2) E^2 V + (ε/2) E^2 V = ε E^2 V这个例子中的计算结果说明了能量密度公式的有效性。
特别地，如果将上述的公式化简，可以得到静电场能量密度与电场强度的平方成正比，表明电场强度越大，能量密度也越大。
在实际应用中，静电场的能量密度公式对于电容器、电动机和静电场研究等领域的分析和计算具有重要意义。
通过该公式，我们可以了解不同位置上电场能量的分布情况，并且可以根据需要进行优化设计和安全评估。
第五讲 静电场中的能量
Vi
除 qi 以外所有电荷在 qi 出激发的电势。
2、自能： 一个孤立带电体系其静电能一般称为自能或固有能。 从功的角度定义：
将带电体系的各部分电荷，从无限远分离的状态，聚集成 带电体状态时，外力反抗电场力所做的功。
设 带电体电量为Q，元电荷dq从无穷远整个电荷过程中 外界反抗电场力做元功：
dA udq
－
A dA
0
Q
Q
0
q 1 2 dq Q C 2C
C
dq
dq
U
Q CU
W 1 1 Q CU 2 QU 2 2 2C
2
设电容器正负极板的电荷 +Q，-Q，两极板的电势 代入静电体系的总静电能公式：
1 2 1 1 W Q jU j [(QU ) (QU )] QU 2 j 1 2 2
U2
4 0 R2
Q2
4 0 r
Q1
1、2两球的总静电能：
1 Q1 Q2 1 Q2 Q1 W Q1 ( ) Q2 ( ) 2 4 0 R1 4 0 r 2 4 0 R2 4 0 r Q12 Q2 QQ 1 2 8 0 R1 8 0 R2 4 0 r
2
此式也是1、2两球球面激发的静电场能量。
解2： 带电体系的总静电能等于两球的自能与两球的相互作用 能之和。
W W 12 自 1 W 自2 W
1 Q12 W自1 Q1U1 2 4 0 R1
2 1 Q2 W自2 Q2U 2 2 4 0 R2
可以将两球看成点电荷，求互能：
，
1 W QU 2
结论：该式是电容器的总静电能
6静电场的能量
2 a ⎛ 1 1 Q Q 3 r ⎞ 2 We = ∫ ρ udV = ∫ ⎟ ⎜ 4 π r dr − 3 3 ⎟ ⎜ 2 2 0 4 π a 3 8πε 0 ⎝ a a ⎠
3Q 2 = 16 πε 0 a 3
∫
a
0
2 ⎛ ⎞ r 3 2 r ⎜ ⎜ a − a3 ⎟ ⎟dr ⎝ ⎠
Q
a
3Q We = 20 πε 0 a
1 q2 = 2C
4 πε R1 R2 C= R2 − R1
思考: 半径为R、带电量为Q的均匀带电球面, 其静电能与球体 的静电能相比, 哪个大?
2 1 q we = ε E 2 = 2 8πε r 2
dWe = we dV
静电场的能量
We = ∫ we dV = ∫
计算电容量:
R2
R1
q2 q2 dr = 2 8πε r 8πε
⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎜R −R ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1
q2 1 We = 2 4 πε R1 R2 R2 − R1
2
静电场的能量
解法二:
We = ∫ we dV = ∫0
=∫
a 2
a
∞1 1 2 ε 0 E1 dV + ∫ ε 0 E22 dV a 2 2
2
o
∞1 ⎛ Q ⎞ 1 ⎛ Qr ⎞ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ r r 4 π r dr 4 π d ε0⎜ ε + 0⎜ 3 ⎟ 2 ∫ ⎟ ⎜ a 2 2 ⎝ 4 πε 0 a ⎠ ⎝ 4 πε 0 r ⎠
1 2 We = ε E Sd 2
电容器体积: V = Sd
静电场的能量
Hale Waihona Puke 电场的能量密度: 单位体积电场所具有的能量
静电场的能量
17
∴
W =∫
R
0
4πρ 2 4 3Q 2 ⋅ r dr = 3ε 0 20πε 0 R
解法二: 利用静电能量的公式
1 W = ∫ Udq 2
此处电势U是在电荷己分布完毕，空间各点确定 的电势，都不再随时间变化。 根据对称性和高斯定理得
r ρ r Er = r 3ε 0 r Q r ˆ E0 = r 4πε 0 r 2 r≤R r≥R
7
电子的实际半径远小于此值。
三.导体组的静电能
电容器的储（静电）能
1 1 W = ∫ dqAUA + ∫ dqBUB +L 2 ( QA) 2 ( QB )
电容器储能 带等量异号的电荷
导体是等势体
1 QiU i ∑ i 2
Q A = − QB
1 1 1 W = QAU A − QAUB = Q( ∆U ) 2 2 2
20
2
3Q = 20πε 0 R
例4 球形电容器的内、外半径分别为R1和R2，所带电荷为Q。 若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，求此电容器贮存 的电场能量。
1 Q 解：由高斯定理， r ˆ E= r 2 4πε 0 r 球壳内的场强为 电场能量密度为 we = 1 ε E 2 =
2 dV = 4π r 2dr
1
二. 点电荷之间的静电能 以两个点电荷系统为例
状态a
第二步 再将 q 2 从无限远移过来 使系统处于 状态a 外力克服 q1 的场做功
想象 q1 q 2 初始时相距无限远 第一步 先将 q1 摆在某处 外力不做功
q1 r
q2
W = − Aq1
∞ r r r r = −∫ q2 E1 ⋅ dl = q 2 ∫ E 场的能量 一.带电体系的静电能 electrostatic energy 状态a时的静电能是什么？ 定义：把系统从状态 a 无限 分裂到彼此相距无限远的状态 中静电场力做的功，叫作系统 在状态a时的静电势能。简称 静电能。
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ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2r = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 解 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球 面上，方法之一:
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
第一项是设想体系的电 荷集中于原点上时在外 场中的能量 第二项是体系的电 偶极矩在外电场中 的能量 第三项是四极 子在外电场中 的能量
W (0 ) = Qϕ e (0 )
W
(2 )
(1)
v v = p ⋅ Ee (0 )
只有在非均匀场 中四极子的能量 才不为零
W
v 1 t = − D : ∇Ee 6
六、静电场的能量 电荷体系与 外电场的相互作用
1、静电场能量
1 v v W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得 v v v v v E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇ ⋅ (ϕD) + ϕ ∇ ⋅ D v = −∇ ⋅ (ϕD) + ρϕ 因此
v 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD )dV 2 2
代入得
3 1 3 ∂ ∂2 W = ∫ ρ ϕ e (0 ) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L dV 2! i , j =1 ∂xi ∂xi ∂x j i =1 1 ∂ ∂2 ϕ e (0 ) + ∑ Dij ϕ e (0) + L = Qϕ e (0 ) + ∑ pi 6 i, j ∂xi ∂xi ∂x j i 1 t v = Qϕ e (0 ) + p ⋅ ∇ϕ e (0 ) + D : ∇∇ϕ e (0 ) + L 6
2、电荷体系在外电场中的能量
电荷体系在外电场中的能量为
W = ∫ ρϕ e dV
设电荷分布于小区域内，取区域内适当点为坐标 原点，把ϕe(x)对原点展开
3 ∂ 1 3 ∂2 v ϕ e (x ) = ϕ e (0) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L ∂xi 2! i , j =1 ∂xi ∂x j i =1