辽宁省鞍山市第二中学九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径(1)教学案(无答案)

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人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1

人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册的一节重要内容。

本节内容主要介绍了垂径定理及其应用。

教材通过实例引导学生探究圆中垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些实际问题。

本节内容既是前面所学知识的延续，也为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。

但是，他们对圆的性质和应用的理解还不够深入。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，逐步引导学生理解和掌握垂径定理，并能够运用这一定理解决实际问题。

三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决一些实际问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。

四. 教学重难点1.重难点：垂径定理的理解和运用。

2.难点：如何引导学生从实际问题中发现垂径定理的规律，并能够一般性地表述这一规律。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、总结等方式发现和理解垂径定理。

2.运用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例分析，帮助学生直观地理解垂径定理。

3.采用分组合作学习的方式，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养他们的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学多媒体课件和教学素材。

2.准备一些实际问题，用于引导学生运用垂径定理解决实际问题。

3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考圆中垂直于弦的直径的性质。

例如，在一个圆形水池中，有一根绳子绕着水面漂浮，绳子的两端分别固定在圆形水池的两侧，求绳子的中点与水池中心的距离。

2.呈现（10分钟）通过多媒体展示垂径定理的证明过程，让学生直观地理解垂径定理。

同时，引导学生观察和思考垂径定理的适用范围和条件。

24.1.2垂直于弦的直径(教案)九年级上册初三数学(人教版)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂直于弦的直径的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过弦的中点且与弦垂直的圆直径。（详细解释概念）。它的重要性在于能够将弦平分，并且平分弦所对的两条弧。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了垂直于弦的直径在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.增强学生的问题解决与实际应用能力：将垂径定理应用于解决实际问题，使学生能够运用所学知识解决几何图形中的弦长、半径等问题，提高数学在实际生活中的应用能力。
4.培养学生的合作交流与表达能力：在小组讨论和课堂展示中，鼓励学生积极参与、分享观点，提高合作交流能力和数学语言表达能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
2.垂径定理及其应用：利用垂径定理解决实际问题，如求圆中弦长、圆半径等，并结合实际例子，让学生掌握垂径定理在几何图形中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过探究垂直于弦的直径性质，使学生能够运用几何直观感知圆中弦与直径的关系，发展空间想象力和几何思维能力。
2.提升学生的逻辑推理与论证能力：引导学生通过严密的逻辑推理证明垂径定理，培养学生严谨的数学思维和论证能力。
其次，逻辑推理是数学教学中的一个难点，也是学生容易犯错的地方。在今天的课堂上，尽管我尝试通过引导和示范来帮助学生理解垂径定理的证明过程，但仍有部分学生在推理过程中出现混乱。针对这个问题，我考虑在接下来的教学中，设计一些更具启发性的问题和案例，让学生在解决问题的过程中逐步培养严密的逻辑推理能力。

数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)教学设计

活动 3：定理的基础应用 1、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不成立的是（）
3
2、如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10cm,OE=6cm,则 AB=
cm。
3、如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径
教学内容分析
理第 1 课的定理，为考察重点，所以至少需要 2 课时来探究。垂径定理的推论（知二推三）和灵活运用及更深入的应用和拓展将在第 2 课时进行研究、探讨。
知识能力目标：探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质及证明，能够利用垂径定理的性质求线段的长、证明线段相等、角相等等问题过程与方法：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，
反馈评价
做的不太好，需要老师评讲才会。
评价量规
1、本节课在课堂教学中采取了自主、合作、探究学习的方式，由学生动手操作、讨论观察得结果从而激发学生学习的兴趣。 2、将问题抛出引导学生进一步思考、小组讨论发现证明垂径定理的方法，从而归纳得出垂径定理加深对垂径定理的理解，突出了重点。 3、基本应用的 3 题简单且典型，引导学生联系弦、半径、弦心距等条件通过做辅助线构造直角三角形解决问题，第 4 题主要利用垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用，通过这种有梯度的训练加强了学生对垂径定理，突破了难点。
1
2
图1 图2
在完成上述的操作过程后，观察图形你能发现有相等的线段和相等的弧吗？如有，能证明吗？(探究垂径定理) 学生活动设计：如图 2 所示，连接 OA、OB，得到等腰△OAB，即 OA＝OB．因 CD ⊥AB，故△OAM 与△OBM 都是直角三角形，又 OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则 AM＝BM．所以 CD 是 AB 的垂直平分线，就是说圆上的任意一点 A 在圆上都有关于直线 CD 的对称点 B，因此⊙O 关于直径 CD 对称。由于⊙O 关于直径 CD 对称，所以 A 点和 B 点关于 CD 对称，当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， AC 与 BC

人教版(2012)九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径教案

24.1.2 垂直于弦的直径③你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

④你能用几何方法证明这些结论吗？⑤你能用符号语言表达这个结论吗？3.火眼金睛：判断下列图形，能否使用垂径定理。

归纳：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。

练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

3.垂径定理推论①把条件和结论中的CD⊥AB，AE=BE互换，结论成立吗？平分弦（非直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；②你能证明这个推论吗？③条件中的非直径可以去掉吗？能不能举个例子说明④你能用符号语言表达这个结论吗？4.“知二推三”并进行练习。

（1）若CD⊥A B, CD是直径,________,_________._______（2）若 CD是直径，AE=BE，则________,_________._______（3）若CD⊥AB,AE=BE，则________,_________._______（4）若CD是直径，弧AC=弧BC，则________,_________._______灵活应用提高能力简单应用例1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．反思：从此题的解决过程中，你得到什么启示？归纳：1、两条辅助线：连半径、作弦心距2、一个Rt△：半径、半弦、弦心距3、两个定理：垂径定理、勾股定理此题由学生独立思考,并讲解思路，教师可让学生自己进行评判.并让学生板演。

此题属于基本应用，让学生了解弦心距、半弦、半径组成的直角三角形是圆中常用的直角三角形，更深入的研究在下节课中研究。

本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。

小结升华与达标训练小结升华（1）本节课你学到了哪些数学知识？（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？达标测试：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊙AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、⊙COE=⊙DOEB、CE=DEC、OE=AED、弧BD=弧BC第1题第2题2、如图，OE⊙AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=_____cm。

24.1.2垂直于弦的直径教案 2022-2023学年人教版九年级上册数学

24.1.2 垂直于弦的直径教案2022-2023学年人教版九年级上册数学本教案旨在帮助学生理解并掌握垂直于弦的直径概念，并通过实例让学生能够运用所学知识解决相关问题。

通过本教案的学习，学生将能够更深入地理解圆的性质与特点，提高数学解题能力。

一、教学目标1.理解并掌握垂直于弦的直径的概念。

2.掌握相关综合运用题的解题方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学重点和难点1.教学重点：垂直于弦的直径的概念及应用。

2.教学难点：综合运用题的解题方法。

三、教学准备1.教师准备：–教材：人教版九年级上册数学教材。

–备课笔记和教案。

–相关教学资源。

2.学生准备：–学习用具：课本、笔、纸等。

四、教学过程1. 导入通过提问和讨论，回顾圆的相关概念，如半径、直径、弧等，引导学生思考并复习相关知识。

2. 概念讲解•引入垂直于弦的直径概念，解释其定义和性质。

•强调垂直于弦的直径的特点，即垂直于弦的直径恰好经过弦的中点。

•通过实例和图示让学生更好地理解和记忆该概念。

3. 示例分析通过具体的例题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质进行解题。

教师可以选择简单的例题进行分析，逐步引导学生掌握解题方法。

示例题1：在一个圆上，弦AB的长度为6cm，弦AB的中点O到圆心的距离为4cm，求圆的半径。

解题思路：根据垂直于弦的直径的性质，弦AB的中点O到圆心的距离等于圆的半径。

所以，圆的半径为4cm。

4. 综合运用题训练设计一些综合运用题，让学生将所学知识应用到更具挑战性的问题中。

逐步提高学生的解题能力和逻辑思维能力。

练习题1：已知圆上弦CD的长度为10cm，且CD垂直于弦AB，弦AB的长度为8cm。

求圆的半径。

解题思路：根据垂直于弦的直径的性质，弦CD垂直于弦AB，且AB的长度为8cm，那么AB就是CD的直径。

所以，圆的半径为4cm。

5. 总结和归纳对本节课所学的知识进行总结和归纳，提醒学生关注垂直于弦的直径的特点和解题方法，加深对相关概念的理解。

人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径24.1.2垂直于弦的直径课程设计

人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课程设计一、教学目标通过本节课的学习，学生将会掌握以下知识点：1.理解垂直的概念；2.掌握研究圆的垂线定理；3.熟练应用垂线定理解决几何问题；4.培养学生分析问题的能力，提高思维逻辑能力。

二、教学重难点1.研究圆的垂线定理，并掌握其应用方法；2.解决几何问题时，要注意分析问题，构建几何关系模型。

三、教学步骤及课时安排第一课时1. 导入向学生介绍本节课要学习的内容，并回顾学生已经学过的内容，引导学生进入本节课的学习状态。

2. 理解垂线的概念介绍垂直的概念，并通过画图示例，帮助学生理解垂线的概念。

3. 介绍圆的垂线定理•定义圆的垂线定理；•讲解垂线定理的基本思想；•通过示例介绍如何应用垂线定理。

4. 同步练习让学生在课堂上完成几道简单的练习题，巩固所学知识。

第二课时1. 检查练习检查上一节课的练习情况，并对练习中的问题进行讲解和澄清。

2. 进一步掌握垂线定理应用方法通过三个典型例题，让学生更深入地理解垂线定理应用方法。

3. 解决实际问题通过实例，引导学生分析问题，运用垂线定理解决几何问题，并指导学生如何合理地应用所掌握的知识。

4. 同步练习让学生在课堂上完成练习题，巩固所学知识，同时检查学生是否掌握了垂线定理的应用方法。

第三课时1. 检查作业检查上一节课的作业，并就作业中出现的问题进行解答和讲解。

2. 综合练习组织学生进行综合练习，让学生充分体验综合应用垂线定理的过程，锻炼综合解题能力。

3. 安排学习后的练习安排学生进行锻炼和巩固练习，检查学生对垂线定理的掌握情况。

四、教学评估1. 课堂表现评估通过学生发言、回答问题、完成课堂练习或作业的情况，来评估学生在本节课的学习中的表现情况。

2. 能力考察评估组织学生进行综合练习，考察学生的综合解题能力，以及对垂线定理的掌握程度。

同时，将学生的平时成绩、课堂参与度、作业完成情况等综合考虑，得出最终的成绩评定。

五、教学反思本节课通过垂线定理的学习，培养了学生的分析问题的能力，并提高了学生的思维逻辑能力。

九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案2新人教版(1)

24．1．2 垂直于弦的直径教学目标1、知识目标:(1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理。

（3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想-验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。

教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。

教学难点1、垂径定理的证明。

2、垂径定理的题设与结论的区分。

教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。

教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。

整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。

令学生参与到“实验—-观察—-猜想--验证-—归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理.学生不再是知识的接受者,而是知识的发现者，是学习的主人。

教学过程教师活动学生活动教学环节设计目的情景创设情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长)为37。

4m, 拱高（弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一些实际问题转化为数学问题思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点?从实际出发,充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。

回顾旧识回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？(电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画)学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

通过复习,强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。

24.1.2 垂直于弦的直径教学设计

24.1.2 垂直于弦的直径本节内容是前面初步理解圆后的第一个重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为实行圆的计算和作图提供了方法和依据．本课时主要内容有垂直于弦的直径的性质、推论及其应用．教学时要提醒学生在使用性质时要注意：直径和直径垂直于弦这两个条件缺一不可．【情景导入】(1)请同学把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形呢？(2)请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？【说明与建议】说明：通过折叠圆的操作，探索圆的轴对称性及垂径定理，思考利用等腰三角形的性质证明圆的轴对称性．建议：学生动手操作，并分组观察、讨论和归纳操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．【归纳导入】(1)操作1：如图①，沿着圆的直径折叠圆，你有什么发现？【归纳】圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．(2)操作2：如图，将一个圆二等分、四等分、八等分．①②③(3)操作3：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两部分重合；第二步，展开，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O 上任取一点A ，过点A 作折痕CD 的垂线，沿垂线将纸片折叠；第四步，将纸打开，得到新的折痕，其中点M 是两条折痕的交点，即垂足，新的折痕与圆交于另一点B ，如图．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？【说明与建议】说明：通过对剪圆和折叠圆的操作，调动学生的积极性，活跃课堂气氛．建议：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质时注意全等图形或等腰三角形知识的复习和应用．命题角度1 垂径定理及推论的理解 1．下列说法正确的是(D)A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是(C)A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE命题角度2 直接利用垂径定理进行计算3．如图，⊙O 的直径为10，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，若OC ＝4，则弦AB 的长为(C)A ．10B ．8C ．6D ．44．如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是(D)A ．10B ．16C ．6D ．8命题角度3 垂径定理的实际应用5．如图，一个隧道的截面图为⊙O 的一部分，路面AB ＝10米，净高CD ＝7米，则此圆半径长为(D)A ．5米B ．7米C.375米D.377米 6．(鄂州中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为6米，⊙O 半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是(B)图1 图2 A ．1米B ．(4－7)米C ．2米D ．(4＋7)米魔术蛋魔术蛋是九块板，这九块板合起来是一个椭圆，形如鸟蛋，用它可以拼出各种鸟形，因而又名“百鸟拼板”．要制作一个魔术蛋，先绘制一个椭圆形鸟蛋：上部为半圆，下部为椭圆．1．作一个圆，圆心为O ，并通过圆心，作直径AB 的垂线MN.2．连接AN ，并适当延长，再以A 为圆心，AB 的长为半径作圆弧交AN 的延长线于点C. 3．连接BN ，并适当延长，再以B 为圆心，BA 的长为半径作圆弧交BN 延长线于点D. 4．以N 为圆心，NC 为半径，作圆弧CD ，于是下部成为椭圆．5．在OM 上作线段MF 等于NC.以F 为圆心，MF 为半径作圆弧，交AB 于点G ，H ，连接FG ，FH ，这样魔术蛋便制好了．活动一：学生动手操作把事先准备好的一张圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你有什么发现？由此你能得到什么结论？试一试！师生活动：学生动手操作，教师观察操作结果，在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性．结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．活动二：出示问题从上面的动手操作可知，如图，如果⊙O 的直径CD 垂直于弦AA ′，垂足为M ，那么点A 和点A ′是对称点，把⊙O 沿着直径CD 折叠时，点A 与点A ′重合，你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗？并说明理由．师生活动：学生进行观察、分析，通过合情推理总结结论，教师指导学生分析题目中的条件和结论．教师用多媒体演示，学生尝试归纳垂径定理后，教师补充、完善，最后用几何语言进行描述．教师板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何语言：∵CD ⊥AA ′，CD 是⊙O 的直径， ∴AM ＝MA ′，AC ︵＝A ′C ︵，AD ︵＝A ′D ︵. 活动三：教师针对图形，提出问题1：垂径定理是由几个条件得到几个结论？师生分析得：①直径；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧．问题2：把垂径定理中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？学生讨论、交流，并用语言进行总结，教师引导、点拨，得到结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【典型例题】例1 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定正确的是(D)A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DE C.AC ︵＝AD ︵D ．OE ＝BE例2 如图，在⊙O 中，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E.若AB ＝6，OE ＝7，则⊙O 的直径为(D)A.10 B ．210 C ．4 D ．8师生活动：教师引导学生分析，圆心到弦的距离为，连接半径，从而构造直角三角形进行解答．例3 解答赵州桥的问题．教师引导学生分析：根据赵州桥的实物图画出几何图形，如图．教师总结：在圆中解决有关弦长或半径的问题，常需要作垂直于弦的半径或过圆心向弦作垂线段，把垂径定理和勾股定理结合，得到半径r ，弦心距d ，弦长a 之间的关系：r 2＝d 2＋(a 2)2.学生书写解答过程，教师做好点评．【变式训练】1.如图，⊙O 中弦AB 长为8，OC ⊥AB ，垂足为E.若CE ＝2，则⊙O 半径长是(D)A ．10B ．8C ．6D ．52．如图，一根排水管道的横截面是半径为13 cm 的圆．排水管内有水，若水面宽度AB ＝24 cm ，则水管中水的最大深度为8 cm.3．已知⊙O 的直径CD ＝100 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96 cm ，则AC 的长为(B)A ．36 cm 或64 cmB ．60 cm 或80 cmC ．80 cmD ．60 cm师生活动：学生思考，小组讨论，教师作适当引导，使学生能运用转化思想、分类讨论思想解决问题.A．12.5 B．13 C．25 D．263．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于(A)A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.1.课堂小结：(1)你在本节课的学习中有哪些收获？有哪些进步？(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？教师讲解主要内容：在圆内求弦的长度，常常需要过圆心作弦的垂线段，利用勾股定理进行解答．2．布置作业：(1)教材第83页练习第2题，教材第89～90页习题24.1第8，9，10，11题．(2)补充题(选做)：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16 m时，拱顶高出水平面4 m，货船宽12 m，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.。

九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径(教案)

九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径【知识与技术】1.经过察看实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决相关的证明与计算问题 .【过程与方法】经过研究垂径定理及其推论的过程，进一步领会和理解研究几何图形的各样方法 .【感情态度】1.联合本课特色，向学生进行爱国主义教育和美育浸透.2.激发学生研究、发现数学识题的兴趣和欲念.【教课要点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些相关证明，计算和作图问题 .【教课难点】垂径定理及其推论 .一、情境导入，初步认识你知道赵州桥吗？它是 1300 多年前我国隋代建筑的石拱桥，是我国古代人民勤奋与智慧的结晶 .它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中心点到弦的距离）为 7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第 82 页图）【教课说明】赵州桥问题充足表现了数学与应用数学的关系，认识我国古代人民的勤奋与智慧，要解决此问题需要用到这节课的知识，这样较好地调换了学生的踊跃性，开启了学生的思想，成功地引入新课.二、思虑研究，获得新知1.圆的轴对称性问题 1 用纸剪一个圆，沿着圆的随意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能获得什么结论？【教课说明】学生经过自己着手操作，概括出圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 .2.垂径定理及其推论问题 2 请同学们达成以下问题：如右图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径CD.使 CD⊥AB ，垂足为 E.（1）右图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么呢？（2）你能发现图中有哪些等量关系？谈谈原因.【教课说明】问题（ 1）是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用，也是为问题（ 2）作下铺垫，垂径定理是依据圆的轴对称性得出来的.问题（ 2）可由问题（1）获得，问题（ 2）由学生合作沟通达成，培育他们合作沟通和主动参加的意识 .【概括结论】垂径定理：垂直于弦的直径均分弦，而且均分弦所对的两条弧（优弧、劣弧） .数学语言：如上图，在⊙O 中， AB 是弦，直径 CD 垂直于弦 AB.∴AE=BE.AC BD 。

24.1.2垂直于弦的直径教学设计

24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、教学目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.二、教学过程探究剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴结论证明：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.在△OAA′中，∵OA=OA′∴△OAA′是等腰三角形又AA′⊥CD∴AM=MA′即CD是AA′的垂直平分线这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.从前面的证明我们知道,如果⊙O的直径CD⊥AB，垂足为M，那么点A与B对称点.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?线段: AE=BE弧：，AC BC AD BD==这样，我们就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言：∵ CD 是⊙O 的直径，AB 为弦，CD ⊥AB ，垂足为E .∴ AE =BE ，AC BC AD BD ==，. 垂径定理的几个基本图形：定理辨析：想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（1）是（2）不是，因为没有垂直（3）是（4）不是，因为CD 没有过圆心定理推论如果把垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的题设与结论交换一下，所得命题是否成立？所得命题：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.已知：AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使AM =BM . 求证（1）CD ⊥AB（2）AC BC AD BD 与相等吗？与相等吗？证明:（1）连接AO ,BO ,则AO =BO又AE =BE ，∴△AOE ≌△BOE （SSS ） ∴∠AEO =∠BEO =90° ∴CD ⊥AB（2）由垂径定理可得AC BC AD BD ==，垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 几何语言：∵ CD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦(不是直径)，且AE =BE∴ CD ⊥AB ，AC BC AD BD ==，思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.➢ 特别说明：圆的两条直径是互相平分的.例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m ，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m ，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？解：如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R .经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点C ，连接OA .根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高. 由题设可知，AB =37m ，CD =7.23m 所以，AD =12AB =12×37=18.5(m )，OD =OC -CD =R -7.23 在Rt △OAD 中，由勾股定理，得OA 2=AD 2+OD 2即 R 2=18.52+(R -7.23)2解得 R ≈27.3(m )因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m 练习1.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm .求⊙O 的半径. 解：过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，连接OA .∴AE=BE=12AB=12×8=4(cm)在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2即 42+32=AO2解得AO=5cm因此，⊙O的半径为5cm.三、课堂小结在利用垂径定理解题时，通常需要作___弦心距___，构造___直角三角形_______，把__垂径 __定理和_ 勾股___定理结合起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长a之间的关系式2222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.四、作业布置见精准作业设计五、板书设计。

人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教学设计

2.重点：运用垂径定理解决实际问题。
难点：学生在解决具体问题时，能够将垂径定理与所学知识综合运用，形成系统的解题思路。
3.重点：培养学生的几何直观和空间想象能力。
难点：如何设计教学活动，使学生在探索圆的性质过程中，提升几何直观和空间想象能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
在教学开始时，通过展示生活中的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生观察并思考其中所包含的几何性质。在此基础上，提出本节课要探讨的问题：垂直于弦的直径有哪些性质？
3.注重培养学生的几何直观和空间想象能力，帮助他们将几何知识与实际图形相结合，更好地理解和运用垂径定理。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，分享解题思路和经验，提高他们的合作能力和交流能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：垂直于弦的直径的性质及其应用。
难点：如何引导学生发现并理解垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧这一性质，并能灵活运用该性质解决相关问题。
4.布置课后作业，要求学生运用垂径定理解决实际问题，巩固课堂所学。
5.教师对本节课的教学进行反思，为下一节课做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的垂径定理及其应用，特此布置以下作业：
1.请同学们完成课本第24.1.2节后的习题1、2、3，并尝试用垂径定理解决实际问题。
2.设计一道关于垂径定理的应用题，要求包含弦长、圆心角等元素，并尝试自己解答。
3.结合生活中的圆形物体，观察并思考其中可能涉及的垂径定理问题，将观察到的现象和问题记录下来，下节课与同学们分享。
4.针对本节课的学习内容，撰写一篇学习心得，内容包括：你对垂径定理的理解、学习过程中的困难与收获、对今后学习的期望等。
5.预习下一节课的内容，提前了解圆中其他相关性质，为课堂学习做好准备。

人教版九年级数学上册24.1.2：垂直于弦的直径教学设计

24.1.2垂直于弦的直径（第一课时）教学设计【教学目标】1、知识目标：(1)通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；(2)掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；(3)能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。

2、能力目标：(1)在研究过程中，进一步体验“实验、归纳、猜想、证明”的方法；(2)在解题过程中，注重发散思维的培养。

3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。

【教学重点】探索并证明垂径定理。

【教学难点】利用垂径定理解决有关计算、证明问题.【教学方法】引导发现法、直观演示法【教学用具】圆形纸片，圆规，三角尺，PPT 课件，实物展台【教学过程】一、创设问题情境，激发学习兴趣：1．出示赵州桥图片：我国隋代工匠李春建造的赵州桥，距今已有1400多年历史，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的勤劳与智慧。

2．创设问题情境：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦AB 的距离，也叫弓高）为7.23米。

请问：桥拱的半径（即AB 所在圆的半径）是多少？通过本节课的探究和学习，老师相信大家一定能够解决这一问题。

（图1）3. 出示学习目标：( 1 ) 通过动手操作，使学生发现圆的轴对称性.（2）探索垂径定理，并会用它解决有关的证明与计算问题。

二、尝试操作，发现定理：（一）活动一：实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（二）活动二：操作思考1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？我们可以发现：（1）上图是轴对称图形，其对称轴是直径CD 所在的直线．（2）相等的线段：AE=BE ，相等的弧：A ⌒C=B ⌒C,A ⌒D=B ⌒D 。

24.1.2 垂直于弦的直径教案

24.1.2 垂直于弦的直径教案一、【教材分析】教学目标知识技能1.使学生理解圆的轴对称性 .2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题.过程方法1.经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.2.在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法，锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活.情感态度让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现.教学重点垂径定理、推论及它们的应用.教学难点对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.二、【教学流程】教学环节问题设计师生活动二次备课情景创设请大家观察教材上的图片并思考问题：你知道赵州桥吗？你能给大家介绍一下有关它的历史及构造吗？创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣了解我国古代人民的勤劳与智慧.自主探究问题一用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？让学生动手操作，观察、思考、交流，归纳得出圆的特性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在（或过培养学生动手、动脑、动口探究问题的能力问题二1、观察、思考并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.问题三圆心）的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条.教师提出问题，学生画图、思考，并回答提出的问题.教师参与小组活动，指导帮助学生，鼓励学生大胆试验、猜想，并共同给出验证过程.小组交流，根据直径的特征，容易给出直径的名字——垂直于弦的直径，师生共同归纳出特殊直径的性质，并给出教师出示图形，学生思考、解答，说出哪些图形能使用垂径定理?教师出示题目，学让学生积极参与探究知识的整个过程，更有利于对知识点的理解与掌握.给学生足够的发挥空间，利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解.强化结论的命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？生画图探究说明命题不正确，通过交流、修改，进一步得出垂径定理的推论.使用条件：平分非直径弦的直径.尝试应用1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.求证：AC＝BD.变式1：隐去（图1）中的大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD（写出答案，不证明）3、请用所学知识解决求赵州桥拱半径的问教师出示题目，学生思考、解答学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结.学生交流，师生互动.对于第2题的解答，要求学生一题多解:法1：连接OA、OB、OC、OD，证△OAC≌△OBD法2：作OE⊥CD，垂足为E，利用垂径定理证明.要求：（1）正确画通过问题的训练，加深学生对垂径定理的理解及应用，同时强调辅助线的作法的重要性.经过一题多解、变式训练，锻炼学生发散思维及举一反三、触类旁通解决问题的能力.题.出图形，连接半径，构造直角三角形；（2）利用垂径定理的知识解决问题.补偿提高1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.2、见教材第90页习题24.1第9题教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.学有余力的学生选做，达到培优的目的.小结与作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获？作业：1、必做题教材第83页练习1，2题2、选做题教材第90页习题24.1第10题教师提出问题，学生回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.供学生课后探讨、研究.使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.三、【板书设计】24.1.2 垂直于弦的直径四、【教后反思】本节课从介绍赵州桥的历史及构造入手，引起学生的学习兴趣和本课主题.再结合折纸、观察圆的对称性、利用对称性质验证一系列的过程，形象直观地抓住了定理，降低了单纯介绍定理的难度，同时让学生经历观察、思考、探索、交流、归纳的全过程，感受成功的喜悦.然后让学生通过对命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”的判断与修改，进一步得出垂径定理的推论，并强化结论的使用条件，为推论的正确理解和应用打好基础，锻炼了学生的思维的严密性和逻辑思维能力.最后让学生就赵州桥的半径计算问题，建立数学模型，添加辅助线构造直角三角形，利用垂径定理进行计算，真正让学生体会到学会数学的重要性.。

垂直于弦的直径(一)数学教案

垂直于弦的直径（一）数学教案
标题：垂直于弦的直径（一）数学教案
I. 教学目标
1. 理解并掌握垂直于弦的直径的性质。

2. 能够运用所学知识解决相关问题。

3. 培养学生的观察力、分析能力和解决问题的能力。

II. 教学重点和难点
1. 重点：理解垂直于弦的直径的性质。

2. 难点：运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

III. 教学过程
1. 导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出今天的主题——垂直于弦的直径。

2. 新知探究：
a) 定义讲解：在圆中，如果一条直线与某条弦相交并且垂直，那么这条直线就叫做这条弦的垂线。

b) 性质讲解：在一个圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径将把这条弦平分，并且这条直径是这条弦的垂线。

3. 实例解析：通过具体的实例，让学生理解并掌握垂直于弦的直径的性质。

4. 练习巩固：设计一些相关的练习题，让学生自己尝试解答，从而加深对知识点的理解。

5. 小结：回顾本节课的学习内容，强调垂直于弦的直径的性质的重要性。

IV. 作业布置
设计一些与垂直于弦的直径的性质相关的习题，供学生回家后进行复习和巩固。

V. 教学反思
在教学过程中，要注意观察学生的学习情况，及时调整教学方法和策略，确保学生能够理解和掌握所学的知识。

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第24章圆(教案)24.1.2 垂直于弦的直径教案

24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。