信息学奥赛 网络流算法介绍与分析
最大流在信息学竞赛中应用的一个模型--江涛
最大流在信息学竞赛中应用的一个模型江涛关键字：网络可行流最大流附加网络无源汇必要弧流的分离有上下界的最大流建模引言：最大流类的模型在当今信息学比赛中有相当广泛的应用。
但在教学中，发现很多同学对流模型的原理和变形并不掌握，只是记下经典的算法和题目，以便比赛中套用。
这当然有很大的局限性，也不是学习之正道。
本讲想通过对最大流模型，特别是附加网络的一些分析、讨论，达到抛砖引玉目的。
一、网络与流的概念一个实例：运输网络图1.1网络定义：●一个有向图G=(V，E)；●有两个特别的点：源点s、汇点t；●图中每条边(u,v)∈E，有一个非负值的容量C(u,v)记为G=(V，E，C)网络三要素：点、边、容量可行流定义：是网络G上的一个“流”，即每条边上有个“流量”P(u,v)，要满足下面两个条件：流的容量限制---弧：),(),(0vuCvuP≤≤对任意弧(u,v)---有向边流的平衡---点：除源点和汇点，对任意中间点有：流入u的“流量”与流出u的“流量”相等。
即：},{t sVu-∈∀有∑∑∈∈=-VxVxx u PuxP0),(),(网络的流量：源点的净流出“流量” 或 汇点的净流入“流量”。
即：∑∑∑∑∈∈∈∈-=-Vx Vx Vx Vx x t P t x P s x P x s P ),(),(),(),(注意，我们这里说的流量是一种速率，而不是指总量。
联系上面所说的实例，下面是一个流量为1的可行流：图1.2标准图示法：图1.3例1.1有一个n*m的国际棋盘，上面有一些格子被挖掉，即不能放棋子，现求最多能放多少个棋子“车”，并保证它们不互相攻击(即：不在同一行，也不在同一列)？分析：1)行、列限制---最多只能一个车控制；2)车对行、列的影响---一个车控制一个行和边；例子：图1.4图1.5显然，我们要求车最多，也就是求流量最大---最大流问题。
下面是一个解：图1.6即(1,3)、(2,1)、(3,2)格上各放一个车，可得到一个最优方案。
全国青少年信息学奥林匹克联赛(算法讲义)
全国青少年信息学奥林匹克联赛算法讲义算法基础篇 (2)算法具有五个特征： (2)信息学奥赛中的基本算法(枚举法) (4)采用枚举算法解题的基本思路： (4)枚举算法应用 (4)信息学奥赛中的基本算法(回溯法) (7)回溯基本思想 (8)信息学奥赛中的基本算法(递归算法) (10)递归算法的定义： (10)递归算法应用 (11)算法在信息学奥赛中的应用 (递推法) (14)递推法应用 (14)算法在信息学奥赛中的应用 (分治法) (18)分治法应用 (18)信息学奥赛中的基本算法(贪心法) (21)贪心法应用 (21)算法在信息学奥赛中的应用（搜索法一） (24)搜索算法应用 (25)算法在信息学奥赛中的应用（搜索法二） (28)广度优先算法应用 (29)算法在信息学奥赛中的应用（动态规划法） (32)动态规划算法应用 (33)算法基础篇学习过程序设计的人对算法这个词并不陌生，从广义上讲，算法是指为解决一个问题而采用的方法和步骤；从程序计设的角度上讲，算法是指利用程序设计语言的各种语句，为解决特定的问题而构成的各种逻辑组合。
我们在编写程序的过程就是在实施某种算法，因此程序设计的实质就是用计算机语言构造解决问题的算法。
算法是程序设计的灵魂，一个好的程序必须有一个好的算法，一个没有有效算法的程序就像一个没有灵魂的躯体。
算法具有五个特征：1、有穷性：一个算法应包括有限的运算步骤，执行了有穷的操作后将终止运算，不能是个死循环；2、确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义，读者理解时不会产生二义性。
并且，在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。
如在算法中不允许有“计算8/0”或“将7或8与x相加”之类的运算，因为前者的计算结果是什么不清楚，而后者对于两种可能的运算应做哪一种也不知道。
3、输入：一个算法有0个或多个输入，以描述运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定义了初始条件。
信息竞赛：网络流
需要掌握的预备知识
最大流算法：SAP或Dinic 费用流算法：SPFA流或zkw流或Dijkstra流 最大权闭合子图相关建模
总览
PartI 最大流&费用流建模 PartII 最小割建模
Part I 最大流&费用流建模
基本技巧
对点进行限制
比如说限制经过次数，限制出入关系，拆点，利用边来完成限制
Stage III TypeB [HNOI2007]紧急疏散
同样拆点，和上题一致
Stage III
网络流上的进一步拓展 TypeA
在流量分配的前提下，增加了下界和费用，达到一个类似k路径覆盖的效果 如果在限制点的流量时，也运用到了拆点技巧 路径寻找问题的建模关键在于找到一个拓扑图
Stage III TypeB [HNOI2007]紧急疏散
发生了火警，所有人员需要紧急疏散！假设每个房间是一个N M的矩形区 域。每个格子如果是'.'，那么表示这是一块空地；如果是'X'，那么表示这 是一面墙，如果是'D'，那么表示这是一扇门，人们可以从这儿撤出房间。 已知门一定在房间的边界上，并且边界上不会有空地。最初，每块空地上 都有一个人，在疏散的时候，每一秒钟每个人都可以向上下左右四个方向 移动一格，当然他也可以站着不动。疏散开始后，每块空地上就没有人数 限制了（也就是说每块空地可以同时站无数个人）。但是，由于门很窄， 每一秒钟只能有一个人移动到门的位置，一旦移动到门的位置，就表示他 已经安全撤离了。现在的问题是：如果希望所有的人安全撤离，最短需要 多少时间？或者告知根本不可能。 3<=N <=20，3<=M<=20
信息学竞赛中的算法与数据结构讲解教案
信息学竞赛中的算法与数据结构讲解教案一、引言信息学竞赛是一种基于计算机科学和数学的竞争形式，其中算法与数据结构是竞赛中最为核心和关键的内容之一。
本教案将详细讲解信息学竞赛中常用的算法和数据结构，并提供相关示例和题目，以帮助学生深入理解和掌握这些知识点。
二、算法1. 算法的概念算法是一系列解决问题的步骤或方法。
在信息学竞赛中，算法常被用于解决各种问题，如排序、查找、图遍历等。
掌握不同类型的算法对于竞赛成绩的提升至关重要。
2. 常见算法类型及其应用（1）排序算法：- 冒泡排序：通过相邻元素的比较和交换来实现排序。
- 快速排序：通过选择一个基准元素将数组分为两部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素，再分别对两部分递归排序。
- 归并排序：将数组分为若干个子数组，分别对子数组进行排序，然后再依次合并得到有序数组。
这些排序算法在竞赛中经常用到，学生需要了解它们的原理和实现。
（2）查找算法：- 二分查找：针对有序数组，在每次查找过程中将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或查找范围为空。
- 哈希表查找：通过将目标元素映射到一个固定位置来进行查找，具有较快的查找速度。
（3）图算法：- 图的遍历：深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）是图的常用遍历方法。
DFS通过递归或栈实现，BFS通过队列实现。
- 最短路径算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法分别用于求解单源最短路径和多源最短路径问题。
3. 算法示例（1）示例一：冒泡排序给定一个整数数组，按照从小到大的顺序进行冒泡排序。
```cppvoid bubbleSort(int arr[], int n) {for (int i = 0; i < n-1; i++) {for (int j = 0; j < n-i-1; j++) {if (arr[j] > arr[j+1]) {swap(arr[j], arr[j+1]);}}}}```（2）示例二：二分查找给定一个有序整数数组和一个目标值，使用二分查找算法返回目标值在数组中的下标（如果不存在则返回-1）。
信息学奥赛基本算法
原理：通过相邻元素之间的比较和交换，使得 每一轮比较后最大（或最小）的元素能够“冒 泡”到序列的一端。
空间复杂度：O(1)。
选择排序
01
原理：每次从未排序的元素中选 出最小（或最大）的元素，放到 已排序序列的末尾。
02
时间复杂度：无论最好、最坏和 平均情况，时间复杂度均为 O(n^2)。
空间复杂度：O(1)。
动态规划法
利用动态规划思想，通过状态转移方程求解 最长公共子序列。时间复杂度为O(n^2)， 空间复杂度为O(n^2)。
最大子段和问题
1 2
暴力求解法
通过枚举所有可能的子段，找出和最大的子段。 时间复杂度为O(n^3)。
分治法
将数组分成两半，分别求解最大子段和，然后合 并结果。时间复杂度为O(nlogn)。
07 总结与展望
基本算法回顾与总结
排序算法
包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排 序等，这些算法是信息学奥赛中最基本的算法之一，用于 对一组数据进行排序。
图论算法
包括最短路径算法（如Dijkstra算法、Floyd算法）、最 小生成树算法（如Prim算法、Kruskal算法）等，用于解 决与图相关的问题。
Floyd算法
适用于任意有向图，通过动态规 划思想不断更新顶点之间的最短 路径，最终得到任意两点之间的 最短路径。
SPFA算法
适用于存在负权边但没有负权环 的有向图，通过队列优化的 Bellman-Ford算法，在每次松弛 操作后判断是否存在负权环。
最小生成树问题
Prim算法
适用于稠密图，每次选择连接已访问 顶点和未访问顶点中权值最小的边， 直到所有顶点都被访问。
时间复杂度
O(n)，其中 n 为列表长度。
信息奥赛经典算法总结
信息学奥林匹克竞赛经典算法总结一．高精度1.高精度加法2.高精度减法3.高精度乘法4.高精度除法二．排序1.冒泡排序2.插入排序3.分治排序4.直接选择排序5.快速排序6.希尔排序7.归并排序8.拓扑排序9.堆排序高精度一、高精度加法（回首页）所谓的高精度运算,是指参与运算的数(加数,减数,因子……)范围大大超出了标准数据类型（整型，实型）能表示的范围的运算。
例如，求两个200位的数的和。
这时，就要用到高精度算法了。
在这里，我们先讨论高精度加法。
高精度运算主要解决以下三个问题：基本方法1、加数、减数、运算结果的输入和存储运算因子超出了整型、实型能表示的范围，肯定不能直接用一个数的形式来表示。
在Pascal 中，能表示多个数的数据类型有两种：数组和字符串。
（1）数组：每个数组元素存储1位（在优化时，这里是一个重点！），有多少位就需要多少个数组元素；用数组表示数的优点：每一位都是数的形式，可以直接加减；运算时非常方便用数组表示数的缺点：数组不能直接输入；输入时每两位数之间必须有分隔符，不符合数值的输入习惯；（2）字符串：字符串的最大长度是255，可以表示255位。
用字符串表示数的优点：能直接输入输出，输入时，每两位数之间不必分隔符，符合数值的输入习惯；用字符串表示数的缺点：字符串中的每一位是一个字符，不能直接进行运算，必须先将它转化为数值再进行运算；运算时非常不方便；（3）综合以上所述，对上面两种数据结构取长补短：用字符串读入数据，用数组存储数据：var s1,s2:string;a,b,c:array [1..260] of integer;i,l,k1,k2:integer;beginwrite('input s1:');readln(s1);write('input s2:');readln(s2);{----读入两个数s1，s2，都是字符串类型}l:=length(s1);{求出s1的长度，也即s1的位数；有关字符串的知识。
信息学奥赛算法及基础知识复习材料两篇.doc
信息学奥赛算法及基础知识复习材料两篇第1条信息学中奥赛罗算法的基本章节学过编程的人对算法这个词并不陌生。
从广义上说，算法是指用来解决问题的方法和步骤。
从程序设计的角度来看，算法是指使用编程语言的各种语句来解决特定问题而形成的各种逻辑组合。
在编程的过程中，我们在实现某些算法，所以编程的本质就是用计算机语言来构造算法来解决问题。
算法是编程的灵魂。
一个好的程序必须有一个好的算法。
没有有效算法的程序就像没有灵魂的躯体。
该算法有五个特点具有1、有限性的算法应该包括有限的操作步骤。
该操作将在执行完有限操作后终止，并且不能是死循环。
2、精确度算法的每一步都必须有一个明确的定义，当读者理解它时不会产生歧义。
此外，在任何条件下，该算法只有一条执行路径，并且对于相同的输入只能获得相同的输出。
例如，在算法中不允许诸如“计算8/0”或“将7或8加到x上”的操作，因为前者的计算结果不清楚，而后者不知道应该进行两种可能的操作中的哪一种。
3、输入一个算法有0个或更多的输入来描述操作对象的初始条件。
所谓的0输入是指算法本身定义的初始条件。
如果找到五个数字中最小的一个，则有五个输入。
4、输出算法有一个或多个输出来反映输入数据的处理结果，这是算法设计的目的。
它们是与输入有特定关系的量。
如上所述，在5个数字中找出最小的数字，它的输出是最小的数字。
如果一个程序没有输出，这个程序就没有意义。
5、可行性算法中的每个操作都应该是可行的。
原则上，该算法可以精确运行，并且可以在用笔和纸进行有限次数的操作后完成。
如何评估一个算法主要是从两个方面:一是运行算法所花费的时间；我们用时间复杂度来衡量，例如，在以下三个程序中，(1)x1(2)for I 1 tondo xx 1(3)for I 1 tondo for J1 tondo xx 1语句xx1包含基本运算“x+1”分别出现1次，n和n2，那么这三个程序段的时间复杂度分别为O(1)，O(n)，O(n2)，分别称为常数阶、线性阶和平方阶。
信息学联赛初赛基本算法介绍
信息学联赛初赛基本算法介绍汇报人：日期:•基本算法概述•排序算法•搜索算法目•图论算法•总结与展望录基本算法概述01算法的定义和重要性算法是一系列解决问题的清晰指令，它接受一些输入（参数），并产生一些输出（结果）。
重要性在信息学领域，算法是解决各种问题的核心。
一个优秀的算法可以高效地处理数据、优化资源和提高程序性能。
掌握基本算法对于参加信息学联赛的初赛至关重要。
通过穷举所有可能性来解决问题的算法，通常时间复杂度较高。
暴力算法将问题分解为若干个子问题，分别解决子问题后再合并结果的算法。
分治算法通过将问题分解为重叠的子问题，并对子问题进行记忆，避免重复计算的算法。
动态规划在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。
贪心算法算法的分类时间复杂度衡量算法执行时间的指标，通常用大O符号表示。
常见的时间复杂度包括常数时间复杂度O(1)、线性时间复杂度O(n)、对数时间复杂度O(logn)等。
空间复杂度衡量算法所需额外空间的指标，也用大O符号表示。
空间复杂度与算法中使用的变量、数组、数据结构等有关。
在设计算法时，需要权衡时间复杂度和空间复杂度的关系，以找到最适合问题要求的解决方案。
算法的时间复杂度和空间复杂度排序算法02通过依次比较相邻的两个元素，将较大的元素交换到右侧，从而将整个列表按照升序或降序排列。
原理O(n^2)，其中 n 是列表长度。
时间复杂度O(1)，只需要常数级别的额外空间。
空间复杂度稳定，即相同元素的相对位置不会改变。
稳定性原理选择一个基准元素，将列表中小于基准的元素放在左侧，大于基准的元素放在右侧，然后递归地对左右两个子列表进行快速排序。
平均情况下为 O(nlogn)，最坏情况下为 O(n^2)。
O(logn)，由于递归需要使用栈空间。
不稳定，相同元素的相对位置可能会改变。
时间复杂度空间复杂度稳定性原理时间复杂度空间复杂度稳定性O(nlogn)。
由《NOI2008志愿者招募》来看网络流（费用流）优化线性规划的一类问题
由《NOI2008志愿者招募》来看⽹络流（费⽤流）优化线性规划的⼀类问题在⽤⽹络流解线性规划前，我们需要明⽩⽹络流本质上是⼀个什么样的线性规划？⽹络流的每条边的流量相当于⼀个未知数x，0<=x<=这条边的流量上限。
⽹络流中除了超级源和超级汇的点都满⾜流量守恒，也就是∑x流⼊=∑x流出，就是线性规划中的等式。
通常情况下，我们要使x的带权和最⼩，所以每条边还有个费⽤。
1noi2008志愿者招募：申奥成功后，布布经过不懈努⼒，终于成为奥组委下属公司⼈⼒资源部门的主管。
布布刚上任就遇到了⼀个难题：为即将启动的奥运新项⽬招募⼀批短期志愿者。
经过估算，这个项⽬需要N 天才能完成，其中第i 天⾄少需要Ai 个⼈。
布布通过了解得知，⼀共有M 类志愿者可以招募。
其中第i 类可以从第Si 天⼯作到第Ti 天，招募费⽤是每⼈Ci 元。
新官上任三把⽕，为了出⾊地完成⾃⼰的⼯作，布布希望⽤尽量少的费⽤招募⾜够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计⼀种最优的招募⽅案。
1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000考虑设第i类志愿者⽤了x[i]个。
对第j天，有需求：∑x[i]∗[s[i]<=j<=t[i]]>=A[i]不等式不是很能⽹络流，我们添加变量a[i]>=0把不等式变成等式：∑x[i]∗[s[i]<=j<=t[i]]−a[i]=A[i]这样⼀共得到了n条等式，设第j条⽅程为B[j]。
把B差分后，我们会发现，每⼀个x[i]只会出现在两条⽅程中，即第s[i]条和t[i]+1条，第s[i]条中的系数是+1，第t[i]+1条中的系数是−1。
把每条⽅程看做⼀个点，对每个x[i]，让系数为+1的地⽅向系数为-1的地⽅连边，容量上限是⽆限，因为这题x[i]可以⽆限⼤，费⽤即是c[i]。
对添加的变量同样如此。
对每条⽅程j，等式右边还有⼀个系数，设它为y，此系数的意义是流出-流⼊，所以当y>0，S−>j,r=y。
高中信息学奥赛算法
高中信息学奥赛的C++题型通常包括以下几种：1.算法和数据结构：这类题目可能涉及到各种排序算法（如快速排序、归并排序等）、查找算法（如二分查找、哈希表等）、递归、动态规划等。
题目可能要求实现这些算法或者在给定的场景中使用这些算法解决问题。
2.图论：这类题目可能涉及到图的遍历（深度优先搜索、广度优先搜索）、最短路径算法（Dijkstra、Bellman-Ford等）、最小生成树算法（Kruskal、Prim等）、最短路径问题等。
3.数学与逻辑推理：这类题目可能涉及到数论、组合数学、离散概率论、数学归纳法等方面的知识，以及逻辑推理和问题解决的能力。
4.字符串处理：这类题目可能涉及到字符串的匹配、排序、分割、替换等方面的算法，以及字符串的加密和解密等。
5.数据压缩与文件处理：这类题目可能涉及到数据压缩算法（如Huffman编码、LZ77等）、文件处理（如文件的读写、文件的加密等）。
6.图像处理：这类题目可能涉及到图像的灰度化、二值化、边缘检测、特征提取等方面的算法。
7.动态规划：这类题目可能涉及到动态规划算法，包括背包问题、最长公共子序列、最长递增子序列等。
以下是一些算法的例子：1.递推法：如猴子吃桃问题。
猴子第一天摘下若干个桃子，吃了一半，还觉得不过瘾，又多吃了一个，第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。
以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。
到第十天早晨，只剩下一个桃子了。
2.贪心算法：如搬砖问题。
有36块砖，36人搬。
一个人一次只能搬1或2块砖，让所有人搬完砖，问有多少种搬法。
3.回溯法：如回溯算法在迷宫问题中的应用。
回溯算法可以找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法则在满足约束条件的基础上找出在某种意义下的最优解。
4.分支限界法：如用分支限界法求解0-1背包问题。
5.累加和累乘：比如阶乘、斐波那契数列等。
6.排序算法：比如冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序等。
7.查找算法：比如线性查找、二分查找等。
信息学奥赛——算法入门教程
递归算法应用ﻩ10
递推法应用14
算法在信息学奥赛中的应用(分治法)17
信息学奥赛中的基本算法（贪心法)20
贪心法应用ﻩ21
算法在信息学奥赛中的应用（搜索法一)ﻩ24
搜索算法应用ﻩ2４
广度优先算法应用ﻩ29
算法在信息学奥赛中的应用（动态规划法）32
动态规划算法应用ﻩ３3
算法基础篇
信息学奥赛——算法入门教程
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全国青少年信息学奥林匹克联赛
算法讲义
算法基础篇ﻩ1
算法具有五个特征：ﻩ2
信息学奥赛中的基本算法（枚举法)ﻩ4
枚举算法应用ﻩ4
信息学奥赛中的基本算法(递归算法)ﻩ10
我们通过一个简单的数值计算问题，来比较两个不同算法的效率（在这里只比较时间复杂度)。
例:求Ｎ！所产生的数后面有多少个0（中间的0不计）。
算法一:从1乘到n，每乘一个数判断一次，若后面有０则去掉后面的０，并记下0的个数。为了不超出数的表示范围,去掉与生成0无关的数,只保留有效位数,当乘完ｎ次后就得到０的个数。（ｐaｓｃal程序如下)
eｎd；
ｗｒｉｔelｎ(ｔ:6)；
end.
算法二：此题中生成O的个数只与含5的个数有关,n!的分解数中含５的个数就等于末尾O的个数，因此问题转化为直接求n!的分解数中含５的个数。
vaｒ ｔ,n：inｔeger;
begin
ｒeａdｌn(ｎ）;
t:=0;
rｅpeaｔ
n：=n div 5 ;
ｉnc(t,n); {计数器增加n｝
网络流概念及相关算法介绍
网络流概念及相关算法介绍引言实现Ford-Fulkerson的时间复杂度主要取决于如何寻找增加路径p。
Edmonds-Karp实现正是通过采用了广度优先的搜索策略得以使其复杂度达到O(V*E^2)。
由于这种算法的效率不很理想，我们在此不多着墨，而主要介绍下述push-relabel算法的思想。
五、一般性的push-relabel算法很多渐进意义下最优的算法都是采用了push-relabel算法的思想，而且很多其他的相关问题，比如最小费用流问题，也可以用这种方法很好的解决。
首先介绍的是一般性的push-relabel算法。
不同于Ford-Fulkerson方法在残留网络中寻找增加路径的方式，push-relabel算法在运行的过程中只关注某一个顶点以及它的相邻顶点，在这个过程中，它并不像Ford-Fulkerson方法保持着“流的保持”性质，而是以一个“先流”进行运作。
这个先流同样是一个V×V →R的函数，满足容量限制和斜对称性，同时，它对所有的u∈V-{s}满足f(V,u)>=0。
我们记e(u)=f(V,u)。
如果e(u)>0我们就说顶点u溢出。
为了步入正题，我们还需要介绍push-relabel算法引入的一个额外的高度函数。
设G=(V,E)是一个流网络，源点是s，汇点是t，f是G中的一个先流。
如果函数h:V→N满足h(s)=|V|，h(t)=0，而且对残留网络中所有的边(u,v)有h(u)<=h(v)+1，那么称h是一个高度函数。
正如其名称一样，push-relabel算法有两个基本操作:push和relabel。
一般性的push-relabel算法就是通过往复执行这两种操作完成的：GENERIC-PUSH-RELABEL(G)先流初始化while 存在可以执行的push或relabel操作选择一个可以执行的push或relabel操作执行。
信息学竞赛中的数据结构与算法应用
信息学竞赛中的数据结构与算法应用在信息学竞赛中，数据结构与算法是至关重要的。
数据结构是指组织和存储数据的方式，而算法则是解决问题的步骤和方法。
合理地应用数据结构与算法可以极大地提高竞赛表现，本文将探讨信息学竞赛中数据结构与算法的应用。
一、栈和队列栈和队列是最基础的数据结构之一，在信息学竞赛中应用广泛。
栈的特点是后进先出，而队列的特点是先进先出。
栈可以用于括号匹配、表达式计算等问题，而队列则适用于实现广度优先搜索等算法。
比如，在搜索最短路径的问题中，可以使用队列来实现广度优先搜索，找到最短路径。
二、链表链表是一种常见的线性结构，其中的节点通过指针相连。
链表可以分为单链表、双向链表等不同类型。
在信息学竞赛中，链表的灵活性和动态性使其成为一种重要的数据结构。
比如，在删除节点等操作频繁的场景中，链表比数组更加高效。
此外，链表还可以用于实现栈和队列等其他数据结构。
三、二叉树二叉树是一种每个节点最多有两个子节点的树形结构。
在信息学竞赛中，二叉树的应用非常广泛。
例如，二叉搜索树可以用于快速查找和排序，红黑树可以用于高效地插入和删除。
同时，二叉树的遍历算法也非常重要，包括前序遍历、中序遍历、后序遍历等，可以用于解决各种与树和二叉树有关的问题。
四、图图是由节点和边组成的一种数据结构，其中节点表示对象，边表示节点间的关系。
在信息学竞赛中，图的应用非常广泛。
例如，图可以用于描述地图、网络等实际问题，也可以用于解决最短路径、最小生成树等算法问题。
图的表示方法有邻接矩阵和邻接表两种，不同的表示方法适用于不同的场景。
五、哈希表哈希表是一种根据关键字直接访问内存存储位置的数据结构。
在信息学竞赛中，哈希表是一种非常高效的数据结构。
它可以用于查找、统计、去重等操作，时间复杂度为常数级别。
哈希表的实现有多种方式，例如开放地址法、链地址法等。
选择合适的哈希函数也对性能有很大的影响。
六、动态规划动态规划是一种将复杂问题分解成简单子问题的优化方法。
全国青少年信息学奥林匹克竞赛NOI信息学-递归与深度优先搜索DFS
0 0 0 为了防止重复递归调用，导致运行出错。我们需要定义一个数组标记方格是否已经 0 1 0 被访问过。我们以右边的迷宫为例进行说明。
100
• 假设从方格(1, 1)到达方格(3, 3) • 当以方格(1, 1)为参照时，它可以到达的方格有(1, 2)、(2, 1) • 当以方格(1, 2)为参照时，它可以到达的方格有方格(1, 1)、(1, 3) • 依此类推，就会形成(1, 1)-->(1, 2)-->(1, 1)...的重复递归调用，导致程序死循环，
2、洛谷P1141(01迷宫)--定义函数实现递推过程
10001 11010 01101 10001 01100
1. 以当前方格为参照，寻找上、下、左、右可到达的方格 2. 以上、下、左、右可到达的方格为参照，重复步骤1。直到没有可到达的方格为止
3、洛谷P1141(01迷宫)--防止程序死循环崩溃（错误分析）
2、迷宫求解-解题思路
00001 01010 01001 11011 01000
1. 以起点为参照，寻找上、下、左、右可到达的方格(没有障碍) 2. 分别以上、下、左、右可到达的方格为新的起点。回到步骤1。直到没有可到达
的方格或到达终点为止
全国信息学奥赛NOI培训教程(最新整理)
全国信息学奥赛NOI培训教程(最新整理）使用”视图”———-"文档结构图”可大大方便阅读本文档目录计算机基础知识-—-—--————-——-——--—-———————-——6第一章计算机基础常识第二章操作系统简介第三章计算机网络第四章计算机信息安全基础知识Pascal 语言----——----—————-—---———————-—--————19Pascal语言概述与预备知识第一章开始编写pascal语言程序第二章Pascal语言基础知识第三章顺序结构程序设计第四章选择结构程序设计第五章循环结构程序设计第六章数组与字符串第七章函数和过程第八章子界与枚举类型第九章集合类型第十章记录与文件类型第十一章指针第十二章程序调试常用算法与策略-————-—————---——--—-———————-—---———56第一章算法的概念第二章递归第三章回溯第四章排序第五章查找第六章穷举策略第七章贪心算法第八章分治策略数据结构--—-—--—---——-———--——-—-———-—————-—101第一章什么是数据结构第二章线性表第三章栈第四章队第五章树第六章图动态规划-————--————--——————-——-—-—-———--—-—144第一章什么叫动态规划第二章用动态规划解题第三章典型例题与习题第四章动态规划的递归函数法第五章动态规划分类1数学知识及相关算法第一章有关数论的算法第二章高精度计算第三章排列与组合第四章计算几何第五章其它数学知识及算法图论算法-———--————-—-——-——---—---———-———-——192第一章最小生成树第二章最短路径第三章拓扑排序（AOV网）第四章关键路径（AOE网）第五章网络流第六章图匹配搜索算法与优化—-—-——----—-——--—-—--—————————-—-—-218第一章双向广度优先搜索第二章分支定界法第三章A＊算法青少年信息学奥林匹克竞赛情况简介信息学奥林匹克竞赛是一项旨在推动计算机普及的学科竞赛活动，重在培养学生能力，使得有潜质有才华的学生在竞赛活动中锻炼和发展。
信息学奥赛算法合集之《排序网络》
排序网络过去，我们学习了许多关于串行计算机的排序算法（如堆排序、快速排序），这种类似的计算机每次只能执行一个操作。
而今天，我所要介绍的排序算法是基于计算上的一种排序网络模型的基础之上的。
在这种网络模型中可以同时执行多个比较操作。
首先，我们要熟悉几个概念● 排序网络是总能对其输入进行排序的比较网络。
● 一个比较网络仅由比较器和线路构成。
● 比较器是具有两个输入x 和y 以及两个输出x'和y'的一个装置且执行下列函数： x'=min(x,y)y'=max(x,y)我们通常把比较器画为一竖垂直线，如图1所示。
输入在左面，输出在右面，较小的输入值在输出端的上部，较大的输入值在输出端的下部。
因此，我们可以认为比较器对其两个输入进行了排序。
我们假定每个比较操作占用的时间为O(1)。
换句话说，我们假定自出现输入值x 和y 到产生输出值x'和y'之间的时间为常数。
● 线路把一个值从一处传输到另一处。
它可以把一个比较器的输出端与另一个比较器的输入端相连，在其他情况下它要么是网络的输入线，要么是网络的输出线。
● 比较网络就是一个由线路互相联接着的比较器的集合，我们把具有n 个输入的比较网络画成一个由n 条水平线组成的图，比较器则垂直地与两条水平线相连接。
每个比较器的输入端要么与网络的n 条输入线路a 1,a 2,……,a n 中的一条相连，要么与另一个比较器的输出端相连接。
类似地，每个比较器的输出端要么与网络的n 条输出线路b 1,b 2,……,b n 中的a 14 2 1 1 b 1A Ca 2 2 4 3 2b 2Ea 3 1 1 2 3b 3B Da 4 3 3 4 4b 4图 2一条相连，要么与另一个比较器的输入端相连接。
互相连接的比较器主要应满足如下要求：其互相连接所成的图中必须没有回路。
只有当同时有两个输入时，比较器才能产生输出值。
在每个比较器均运行单位时间的假设下，我们可以对比较网络的“运行时间”作出定义，这就是从输入线路接收到其值的时刻到所有输出线路收到其值所花费的时间。
信息学奥赛网络流算法介绍与分析
信息学奥赛网络流算法介绍与分析网络流算法是指一类用于解决网络中最大流、最小割等问题的算法。
最大流问题是指在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量，而最小割问题则是指在网络中找到一个割，使得源节点和汇节点之间的最小边权和。
网络流算法的核心思想是建立一个虚拟的可行流网络，然后通过不断调整网络中各个边的流量来达到最优解。
以下是三种常见的网络流算法介绍与分析。
1. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最经典的网络流算法之一，也是很多网络流算法的基础。
它通过不断寻找增广路径来求解最大流问题。
增广路径是指在残余网络中存在的一条从源节点到汇节点的路径，其各边的残余容量大于0。
通过不断增加该路径上的流量，直到找不到增广路径为止，就可以得到最大流量。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度取决于增广路径的寻找方式，一般情况下为O(fE)，其中f为最大流量，E为网络中的边数。
2. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的改进算法，它使用广度优先来寻找增广路径。
在每次寻找增广路径时，Edmonds-Karp算法总是选择路径上经过的边权最小的边作为增广路径中的瓶颈边。
这种选择策略保证了每次增加的流量都是最小的，从而使得算法的收敛速度更快。
Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V为网络中的节点数，E为网络中的边数。
3. Dinic算法Dinic算法是一种快速求解最大流问题的算法，它基于分层残余网络的概念。
分层残余网络是指在残余网络上按照路径长度构建的一种分层结构。
Dinic算法首先通过BFS构建分层残余网络，然后使用DFS在分层残余网络上增广路径。
与Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法相比，Dinic算法避免了重复增广路径的情况，从而大大减少了算法的时间复杂度。
Dinic算法的时间复杂度为O(V^2E)，其中V为网络中的节点数，E 为网络中的边数。
网络流算法在信息系统中的应用研究
网络流算法在信息系统中的应用研究第一章引言信息系统是现代社会不可或缺的重要组成部分，在各个领域得到广泛应用。
随着信息技术的不断发展，信息系统的规模和复杂度不断增加，对系统效率和性能的要求也越来越高。
网络流算法作为一种高效的解决方案，在信息系统中的应用研究逐渐受到关注。
本文将对网络流算法在信息系统中的应用进行综述，并探讨其优势和挑战。
第二章网络流算法基础2.1网络流算法概述网络流算法是一种求解网络中最大流、最小割等问题的算法，其基本思想是将网络建模成图，通过不断调整边界条件，找到最优解。
常见的网络流算法有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法、Dinic算法等。
2.2网络流算法的应用领域网络流算法广泛应用于交通网络、电力网络、通信网络等领域。
在交通网络中，网络流算法可以用于优化交通流、提高交通效率；在电力网络中，可以用于实现电力输送的最优路径规划；在通信网络中，可以用于解决网络拥堵问题等。
第三章网络流算法在信息系统中的应用3.1数据传输优化在信息系统中，数据传输是一个常见且重要的任务。
通过运用网络流算法，可以确定最佳的数据传输路径，最大限度地减少传输时间和损耗。
例如，在分布式系统中，可以利用网络流算法来解决任务分配问题，确保任务在系统中的传输最优化，提高整体性能。
3.2负载均衡在分布式计算系统和云计算平台中，负载均衡是保证系统性能稳定的关键。
网络流算法可以在系统中动态分配任务和资源，将负载均衡优化到最佳状态。
通过合理分配工作负载，可以提高资源利用率，减少响应时间，确保系统的高可用性和稳定性。
3.3电力系统调度电力系统是信息系统中的一个重要组成部分。
通过网络流算法，可以优化电力系统中的传输路径和调度计划，实现电能的高效输送和分配。
通过合理规划和调度，可以降低系统能耗，提高供电可靠性。
3.4数据中心网络优化数据中心作为信息系统的核心，承载着大量的数据处理和存储任务。
网络流算法可以用于优化数据中心网络拓扑结构、优化网络带宽分配、提高数据传输效率。
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(由流量平衡)
=0
结论3
任意割的流量等于整个网络的流量. 证明: f(S,T) = f(S,V) – f(S,S) (由辅助定理1) = f(S,V) (由辅助定理1) = f(S,V) + f(S – s,V) (同上) = f(s,V) (由辅助定理2) = |f| (由|f|的定义)
结论4
(0,4)
t
(0,2)
大致的思路：从源点出发， 逐步推进。 称当前状态下不满足流量 平衡的结点为“溢出的结 点”.(对于结点u,f(V,u) > 0) 令e(u) = f(V,u),称为u点的 赢余，直观地描述，就是 “流入的比流出的多多 少”。e(v1)=4,e(v2)=3。 不断将溢出的结点中的赢 余往后继点推进,直到赢余 都聚集在t.
例1
s 3 4 2 2
v1 2
t
v2
2
从残量网络中可以 清楚地看到： 因为存在边(s,v2) = 3,我们知道从S到 v2还可以再增加2 单位的流量； 因为存在边(v1,t) = 2,我们知道从v1到t 还可以再增加2单 位的流量。
后向弧
s 3 4 2 2
v1 2
t
v2
2
其中像(v1,s)这样的边 称为后向弧,它表示从v1 到s还可以增加4单位的 流量。 但是从v1到s不是和原 网络中的弧的方向相反 吗？显然“从v1到s还 可以增加4单位流量” 这条信息毫无意义。那 么，有必要建立这些后 向弧吗？
uV
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络 流.
最大流问题
定义一个网络的流量（记为|f|）=
f ( s, v )
vV
最大流问题，就是求在满足网络流性质 的情况下，|f|的最大值。
残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网 络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量 网络的容量。 r(u,v) = c(u,v) – f(u,v) 通俗地讲：就是对于某一条边（也称 弧），还能再有多少流量经过。 Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集.
预流推进算法
下面将介绍一个更直观且时间效率 更优的算法.
一个直观的想法
如果给你一个网络流,让你手算出它的最 大流,你会怎么算? 一般人都会尝试着从源点出发,让每条边 的流量尽可能得大,然后一点点往汇点推, 直到遇到一条比较窄的弧,原先的流量过 不去了,这才减少原先的流量.
例2.一个直观的想法
s (4,4) (0,2) v1 v2 (3,3)
s (4,4) (2,2) v1 v2 (3,3)
(0,4)
t
(2,2)
此时e(v2)=3.正确的回 推法是往(v2,s)推1,往 (v2,v1)推2,然后使得这 2个单位的赢余可以从 (v1,t)推到t上。 但程序没有全局观,它 万一往(v2,s)推了3个单 位怎么办?我们总不能 尝试所有的可能性吧, 那样就变成搜索了.
么存在这样一种可能性: 尽管找不到增广路径了,但由于前面的错 误决策,导致f还没有到达最大流,却不能 通过修改当前流来得到最大流. 但由于最大流最小割定理的三个条件互 相等价(1->2,2->3,3->1), 一个流是最大 流当且仅当它没有增广路径.
增广路算法的效率
设n = |V|, m = |E| 每次增广都是一次BFS,效率为O(m) 所以,总共的时间复杂度为O(m*f*) 其中f*为增广次数. 怎么求f*?
k的上界
如果要让一条曾经的临界边(u,v)再次成为临界边, 则必须有一条增广路径包含边(v,u).因为每次增广 之后临界边就消失,要让他再次成为临界边至少要 让他再次在残量网络中出现,即(v,u)要被增广. 结合上面的结论可以证明,当算法取的增广路总是 残量网络中的最短路,任意一条边成为临界边的次 数至多为n/2-1. 因此,增广路算法的效率为O(f*m) = O(km^2) = O(nm^2). (这只是个上界,一般情况是达不到的) 备注中为增广路算法我的代码实现。数组u是残量 网络的容量。
为什么要建立后向弧
显然，例1中的画出来的不是一个最大流。 但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径 经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最 大流。 注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。 如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。 从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错 误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误 的行为（让2单位的流从v1流到v2)
例2.一个直观的想法
s (4,4) (2,2) v1 v2 (3,3)
(0,4)
t
(2,2)
如果多推了一些流量, 我们可以再把它推回 来. (如e(v2)=3,但这3 个单位的赢余已经没 地方去了,只能推回 来.)(沿着后向弧)这副 图是原网络而不是残 量网络,因此没把后项 弧画出来)
程序没有全局观?!
1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T)
3 -> 1证明: |f| <= c(S,T) (辅助定理4) 因为我们已经有|f| = c(S,T),如果最大流的 流量是|f|+d (d>0),那么|f|+d肯定不能满 足上面的条件.
增广路算法的正确性
如果 最大流最小割定理不能从2推出3,那
h(s) = |V| h(t) = 0 对于Ef(残量网络)中的每一条边(u,v),(r(u,v)>0) h(u) <= h(v) + 1
这第三个条件看上去有些奇怪.既然r(u,v)>0,那就表示 从u到v还可以增加流量,那h(u)就应该比h(v)高才对.的 确,我们后面还将规定,只有在h(u)>h(v)的时候才能应 用推进操作(将一个结点的盈余推进到另一个结点的操 作).而高度函数为了满足其合法性,还要满足上述的这 三个条件.后面我们将利用这三个条件证明预流推进算 法的正确性。
s 3 4 v1 2 2 v2
2
t
2
增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最 短的增广路径，然后沿着这条路径 修改流量值（实际修改的是残量网 络的边权）。当没有增广路时，算 法停止，此时的流就是最大流。 下面证明增广路算法的正确性.
将f,c,r的定义域扩展为点集
(在以后的叙述中,大写字母X,Y,S,T一般均表示 点集) f ( x, y) 点集间的流量和: f(X,Y) =
引导机制
把流推错可能导致产生的流不是最大流.
我们需要有一个能引导流的推进方向的 机制,当它发现我们先前的推进是错误的 时候,能沿着正确的后向弧回推回来. 由于建立了后向弧,正推与回推在程序中 并无却别，都是在推残量网络中的一条 边.
高度标号的引导作用
高度标号就是这样的一个引导机制. 我们规定,如果一个结点溢出了,那么他的 多余的流量只能流向高度标号比自己低 的结点.(“水往低处流”) 当然,高度标号不可能事先知道往哪些方 向推才是正确的.它将按情况动态改变自 己的值,从而正确地引导流向.
为什么要建立后向弧
当然,可以把上面说的情况当成特殊情况 来处理。但使用后向弧可以使编程简单 许多. 注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向 弧与前向弧并无区别.
增广路
增广路定义：在残 量网络中的一条从 s通往t的路径，其 中任意一条弧 (u,v)，都有 r[u,v]>0。 绿色的即为一条增 广路。
2 -> 3证明: 定义S = s ∪ {v | 在残量网络中s 到v有一条路径} ; T = V- S. 则 (S,T) 是一个割. |f| = f(S,T) (由辅助定理3) 而且,r(S,T) = 0. 假设不为0,则在残量网络中, 两个集合间必定有边相连,设在S的一端为v,在 T的一端为u. 那么,s就可以通过v到达u,那么根 据S的定义,u就应该在S中.矛盾. 所以,|f| = f(S,T) = c(S,T) – r(S,T) = c(S,T)
重标号操作
对于例2的这种情况,v2中过多的赢余最 终会沿着(v2,v1)、(v2,s)流回去(虽然他 们一开始流错了方向,但后来又被回推,等 于说是被改正了)。
只有当非源非汇的结点中的赢余全部流 到汇点或流回源点后，这个流才重新合 法。
高度函数
高度函数h(v)返回一个v的高度标号。 高度函数有三个基本条件：
xX yY
即:X中的任意一点与Y中的任意一点组成的所 有边上的流量之和.(边的方向为从X中的结点到 Y中的结点) c,r等函数都有类似的定义.(点集间的容量和、 点集间的残量网络容量和)
结论1
1.f(X,X) = 0 (由流量反对称性) 2. f(X,Y) = -f(Y,X) (有流量反对称性) 3.f(X ∪ Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (显然) 4.f(X,Y ∪ Z) = f(X,Y) + f(X,Z) (显然)
重标号操作
当一个结点有赢余(溢出了), 周围却没有 高度比它低的结点时候,我们就用重标号 操作使它的标号上升到比周围最低的结 点略高一点,使他的赢余能流出去. 赢余千万不能困在某个结点里.对于任意 一个非源非汇的结点，有赢余就意味着 它不满足流量平衡，也就意味着整个网 络流不是一个真正合法的网络流。
网络的流量小于等于任意一个割的容量.(注意 这个与辅助定理3的区别.这里是容量) 即|f| <= c(S,T) f ( x, y) xS yT 证明: |f| = f(S,T) = (由定义)
c( x, y)
<=
xS yT
(由流量限制)
= c(S,T)
1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T)
网络流
杭州学军中学 魏越闽
一些符号和定义
V表示整个图中的所有结点的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).