算法合集之《信息学竞赛中概率问题求解初探》

f ( )( x
i 1 i
n
i
xi 1 ) A | 而不
管ξ i 的取值，我们就称函数 f 在[a,b]上可积，称 A 为函数 f 在[a,b]上的定积分，记为

b
a
f ( x) dx 。一个实用的结论是：任意连续函数在任意闭区间上都是可积的。
Newton-Leibniz 公式： 设连续函数 f 在[a,b]上有定义， 则
1.2 随机变量
如果对样本空间 S 中的任意事件 e，都有唯一的实数 X(e)与之对应，则称 X=X(e)为样 本空间 S 上的随机变量，其中离散型随机变量与连续型随机变量较常见。 1.2.1 离散型随机变量及其概率分布 取值范围为有限或无限可数个实数的随机变量称为离散型随机变量。设离散型随机变 量 X 取值 xi 时的概率为 pk (k=1,2,…),则称 X 的所有取值以及对应概率为 X 的概率分布， 记做 P{X=xk} = pk （k=1,2,…） 。常见的离散型随机变量的概率分布有两点分布，二项分布， 几何分布，超几何分布，泊松分布。 1.2.2 连续型随机变量及其概率分布 如果 X 是在实数域或区间上取连续值的随机变量，设 X 的概率分布函数为 F(x)=P{X≤ x}，若存在非负可积函数 f(x)，使对任意的 x，有 F ( x )
F (0, b) 1
( b≥0 )
C rp Cbq F (r , b) Max ( (1 F (r p, b q))) m 1 m Min( r b , 3) C 0 p r , 0 q b , p q m r b
其中
(1)
C rp Cbq 是取到 p 个红球，q 个蓝球的概率。F(red,blue)就是我们要的答案。为了解决 C rm b
a b ab a Cn Cna Cn Cab (a b n) 。因为
f ( x1 , x 2 ,..., x N ) f1 ( x1 ) f 2 ( x2 )... f N ( x N ) 就是一个合法的联合概率密度函数。
1.3 数学期望
1.3.1 离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量 X 的分布律为 P{X=xk} = pk（k=1,2,…）,若

| x
正文
1 基础知识
1.1 样本空间、事件和概率 样本空间 S 是一个集合，它的元素称为基本事件。样本空间的一个子集被称为事件， 根据定义，所有基本事件互斥。 概率：如果有一种事件到实数的映射 P{}，满足： 1） 对任何事件 A，P{A}≥0 2） P{S}=1 3） 对两个互斥事件，P{A∪B}=P{A}+P{B} 则可称 P{A}为事件 A 的概率。上述三条称为概率公理。
IOI2009 冬令营论文 梅诗珂
走进概率的世界
——信息学竞赛中概率问题求解初探
安徽省合肥一中 梅诗珂
摘要
信息学中许多算法的设计都与概率有关。 信息学竞赛中求概率或期望的问题也占有相当 的分量，并且具有较大的难度。本文应用组合数的性质、误差分析、补集转化和函数分段等 方法和技巧，求解了四个例题，从而总结了概率问题的一般特点与对应策略。
1.4 积分 积 分 ： 设 函 数 f 在 闭 区 间 [a,b] 上 有 定 义 ， 记 区 间 [a,b] 的 一 个 分 割 π 为 (x0=a,x1,x2,…,xn=b)(x0<x1<x2<…<xn)，记||π ||=Max(xi-x(i-1))（1≤i≤n） ，我们任 取ξ i∈[x(i-1),xi](1≤i≤n)为区间[x(i-1),xi]的代表，如果存在一个数 A，使得对任意 小的з >0,都存在δ >0，只要分割π 满足||π ||<δ ,都有 |
1
IOI2009 冬令营论文 梅诗珂 3.2 例四：Random Shooting ........................................... 4 总结................................................................. 感谢 ....................................................................... 参考文献.................................................................... 附录 ....................................................................... 附录 1 区域体积的表示 .................................................. 附录 2 例三方法一中区域体积公式的证明 ................................. 附录 3 论文原题 ........................................................ 12 16 16 16 16 16 17 17

D
f ( x1 , x2 ,..., x N )dx1dx2 ...dxN ，其中等式右端表
示 N 重积分，就称 f(x1,x2,…,xN)是 N 为随机向量(X1,X2,…,XN)的联合概率密度函数。如 果有 X1,X2,…,XN 互相独立，并且分别有概率密度函数 f1(x1),f2(x2),…,fN(xN)，那么
k 1
k
p k | 存在，则
称
x
k 1
k
pk 为 X 的数学期望，简称期望，记为 E(X)。
1.3.2 连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x),若广义积分



| xf ( x ) | dx 收敛，则称



xf ( x)dx 为连续型随机变量 X 的数学期望，记为 E(X)。
2.1 例一：LastMarble1
题目描述： 有 red 个红球，blue 个蓝球在一个袋子中。两个玩家轮流从袋子中取球，每个人每次 可以取 1，2 或 3 个球，但在他把球拿出袋子之前，他并不知道所取球的颜色。每次球被取 出袋子后，它们的颜色被公布给所有人。取走最后一个红球的人输。现在已知有人在游戏开 始前取走了 removed 个球，并且谁也不知道球的颜色。在两个玩家都采取最优策略时，先手 的胜率是多少？ 约束条件： 1≤red,blue≤100 , 0≤removed≤red-1。 分析： 当 removed=0 的时候，这个问题是很普通的动态规划问题。我们只需设 F(r,b)代表现 在剩 r 个红球，b 个蓝球，面对当前局面的玩家所能得到的最大胜率。那么：

b
a
f ( x)dx F (b) F (a) ,
其中 F(x)是 f(x)的任一个原函数。
3
IOI2009 冬令营论文 梅诗珂
下面， 我们将分别对离散型随机变量与连续型随机变量两种情况举两个例子进行分析。
2 关于离散型随机变量的问题
关于离散型随机变量的问题，在信息学竞赛中出现过多次了，比如 NOI2005 的《聪聪与 可可》 ，NOI2006 的《神奇口袋》 ，NOI2008 的《赛程安排》 。这类问题对算法设计要求往往不 高，只要证明出了关键的定理，问题就被解决了。解决这类问题，就一定要对离散型随机变 量的常见分布的性质比较熟练。 下面，我们来看一道关于最大胜率的例题。

x

f (t ) dt ，则称 X 为连续型随
机变量，称 f(x)为 X 的概率密度函数。要注意，概率密度不是概率。常见的连续型随机变
2
IOI2009 冬令营论文 梅诗珂 量分布有均匀分布，正态分布，指数分布。 1.2.2.1 连续型随机向量及其概率分布 如果 X1,X2,…,XN 都是连续型随机变量，则称(X1,X2,…,XN)为 N 维随机向量，其概率 分 布 函 数 为 F(x1,x2, … ,xN)=P{X1 ≤ x1,X2 ≤ x2, … ,XN ≤ xN} 。 若 存 在 非 负 可 积 函 数 f(x1,x2,…,xN)使得 F ( x1 , x2 ,..., x N )
removed>0 的情况，我们需要
定理一：在 red 个红球，blue 个蓝球中先取 a 个球，再取 b 个球，剩余不同颜色的
球数的概率分布与先取 b 个球， 再取 a 个球所对应的剩余不同颜色的球数的概率分布是相同 的。
1
TopCoder SRM 349 div one 1000 4
IOI2009 冬令营论文 梅诗珂 证明：这个定理看上去很显然，因为先取 a 个球再取 b 个球应当是与直接取(a+b)个球 等价的，现在我们用代数方法证明。首先证明
关键字
概率，随机变量，连续，离散，概率密Βιβλιοθήκη Baidu，积分
目录
摘要 ........................................................................ 1 关键字 ...................................................................... 1 目录 ....................................................... 错误！未定义书签。 正文 ........................................................................ 2 1 基础知识.............................................................. 2 1.1 样本空间、事件和概率 ............................................. 2 1.2 随机变量......................................................... 2 1.2.1 离散型随机变量及其概率分布 ................................. 3 1.2.2 连续型随机变量及其概率分布 ................................. 3 1.3 数学期望......................................................... 3 1.3.1 离散型随机变量的数学期望 ................................... 3 1.3.2 连续型随机变量的数学期望 ................................... 3 1.4 积分............................................................. 3 2 关于离散型随机变量的问题 .............................................. 4 2.1 例一 LastMarble ................................................... 4 2.2 例二 Randomness .................................................. 6 3 关于连续型随机变量的问题 .............................................. 8 3.1 例三 RNG......................................................... 8 3.1.1 方法一 ..................................................... 8 3.1.2 方法二 .................................................... 10 3.1.2 比较两种方法 .............................................. 11