算法合集之《左偏树的特点及其应用》
左偏树
合并
C ← Merge(A,B) 将左偏树A ①与左偏树B合并为一棵新的左偏树C为 左偏树的合并。 基本的思想是，假设key(A)<key(B)，则将B与A的右 子树进行合并，用合并后的左偏树作为A的右子树， 这时如果A的右子树的距离大于了左子树则交换A的 左右子树，同时更新A的距离。当然，如果A与B其 中之一为空，则可直接返回另一棵子树。 由此可见，左偏树的合并操作是递归执行的。
问题提出
我们之前所学的优先队列——二叉堆，支持的操作 有：插入、查询、删除。 如刚才当我们需要用到 合并 操作的时候，二叉堆 合并，往往会成为算法的瓶颈。 因此我们说，二叉堆不是一种可并堆。 那么，有没有一种优先队列，即支持基本的插入、 查询、删除操作，又能在较短的时间内完成两个堆 的合并呢？ 这里介绍一种可合并堆：左偏树。
0 9
合并
下面是一个合并的例子：
dis key 3 1 8 1
0 5 9
0 0 20 0 50
合并
下面是一个合并的例子：
dis key 3 1 8 1
0 5 9
0 0is key 3 1 0 5 0 9 0 20 0 50
1
此时3的右子节点的 距离大于了左子节 点，所以交换
8
合并
可以发现，我们合并始终是沿着最右边的那条路径 进行的。 而一棵左偏树最右边的边数-1，便是这棵左偏树的 距离。 而一个N个节点的左偏树，其距离最多为log(n+1)-1 所以，经过的边数最多为log(n+1) 即左偏树的合并操作的复杂度为O(logN)
C
A
A.L
C.L
C.R
合并
将下图所示两个左偏树合并。
平衡二叉树用途
平衡二叉树用途介绍平衡二叉树是一种特殊的二叉树数据结构，它的所有节点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
平衡二叉树可以有效地支持高效的检索、插入和删除操作。
它在很多应用领域都有广泛的用途。
二叉查找树平衡二叉树是一种特殊的二叉查找树，也称为AVL树。
二叉查找树是一种有序的二叉树，它的每个节点都包含一个关键字，左子树的所有节点的关键字小于根节点的关键字，右子树的所有节点的关键字大于根节点的关键字。
二叉查找树的一个重要应用是在数据库中实现索引。
数据库的索引是为了快速查找和排序数据而创建的，通过将数据存储在一个有序的平衡二叉树中，可以实现较快的检索。
平衡二叉树的性质平衡二叉树具有以下几个重要的性质：1.每个节点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
2.所有节点的左子树和右子树也都是平衡二叉树。
3.节点的左子树和右子树的高度差不超过1，称为平衡因子。
这些性质保证了平衡二叉树的高度始终保持在较小的范围内，使得它的插入、删除和查找操作都能在较快的时间内完成。
平衡二叉树的插入操作平衡二叉树的插入操作是通过不断地进行左旋和右旋操作来保持树的平衡性。
插入操作的大致过程如下：1.在树中找到插入位置，并插入新节点。
2.从插入位置向上回溯到根节点，检查每个节点的平衡因子。
3.如果平衡因子超过1或小于-1，说明树失去平衡，需要进行旋转操作来恢复平衡。
平衡二叉树的删除操作平衡二叉树的删除操作也需要进行左旋和右旋操作来保持树的平衡性。
删除操作的大致过程如下：1.在树中找到待删除节点。
2.如果待删除节点没有子节点，直接删除即可。
3.如果待删除节点有一个子节点，将子节点替换为待删除节点。
4.如果待删除节点有两个子节点，找到待删除节点的后继节点，将后继节点替换为待删除节点，然后删除后继节点。
在删除操作中，需要注意维护平衡二叉树的平衡性，需要根据情况进行旋转操作来恢复平衡。
平衡二叉树的优点平衡二叉树具有以下几个优点：1.高效的查找操作：平衡二叉树的平衡性保证了树的高度较小，因此查找操作的时间复杂度为O(logN)，其中N表示树中节点的数量。
leetcode树算法总结
LeetCode树算法总结1. 简介LeetCode是一个在线编程平台，提供了大量的算法题目用于练习和学习。
树是其中一个重要的数据结构，在LeetCode上有很多与树相关的算法题目。
本文将对LeetCode树算法进行全面总结，包括重要观点、关键发现和进一步思考。
2. 树的基础知识在深入讨论LeetCode树算法之前，我们先回顾一下树的基础知识。
2.1 树的定义树是一种非线性的数据结构，由节点和边组成。
每个节点可以有多个子节点，但只能有一个父节点（除了根节点）。
没有父节点的节点称为根节点，没有子节点的节点称为叶子节点。
2.2 二叉树二叉树是一种特殊的树，每个节点最多只能有两个子节点。
这两个子节点分别称为左子节点和右子节点。
2.3 二叉搜索树（BST）二叉搜索树是一种特殊的二叉树，满足以下条件： - 左子树所有值小于等于当前节点值 - 右子树所有值大于等于当前节点值 - 左右子树也都是二叉搜索树二叉搜索树的一个重要性质是，对于任意节点，它的左子树中的所有节点值都小于它，右子树中的所有节点值都大于它。
这个性质使得在二叉搜索树中进行查找、插入和删除操作非常高效。
2.4 二叉树的遍历在LeetCode树算法中，经常需要对二叉树进行遍历。
常见的遍历方式有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。
•前序遍历（Preorder Traversal）：先访问当前节点，然后递归地访问左子树和右子树。
•中序遍历（Inorder Traversal）：先递归地访问左子树，然后访问当前节点，最后递归地访问右子树。
•后序遍历（Postorder Traversal）：先递归地访问左子树和右子树，然后访问当前节点。
3. 树算法题目分类LeetCode上的树算法题目可以分为以下几个类别：3.1 根到叶子节点路径问题这类问题要求从根节点到叶子节点的路径上找出满足某种条件的路径。
通常使用深度优先搜索（DFS）来解决。
例题：路径总和（Path Sum）给定一个二叉树和一个目标值，判断是否存在从根节点到叶子节点的路径上的节点值之和等于目标值。
各种二叉树的介绍
各种二叉树的介绍
二叉树是一种常见的数据结构，每个节点最多只能有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。
根据二叉树的不同特性和限制，可以将其分为多种类型，包括普通二叉树、满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树等。
普通二叉树：这是最基本的二叉树形式，每个节点最多有两个子节点，且没有特定的限制条件。
满二叉树：在满二叉树中，所有叶子节点都在最后一层，且节点总数为2^n-1，其中n为层数。
也就是说，除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。
完全二叉树：完全二叉树的所有叶子节点都在最后一层或倒数第二层，且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续。
如果将满二叉树从右至左、从下往上删除一些节点，剩余的结构就构成完全二叉树。
平衡二叉树（AVL树）：平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它要求每个节点的左子树和右子树的高度差绝对值不超过1，且每个子树也必须是一棵平衡二叉树。
这种树的查找效率通常高于普通二叉树，因此常用于需要频繁查找的场景。
此外，还有一些特殊的二叉树，如红黑树、B树、B+树等，它们具有不同的特性和应用场景。
红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它的左右子树高度差有可能大于1，但通过对节点进行旋转和重新着色等操作，可以保持树的平衡性。
B树和B+树则常用于数据库和文件系统中，它们支持对节点进行分裂和合并操作，以满足快速查找、插入和删除数据的需求。
总之，二叉树是一种非常有用的数据结构，它可以用于实现各种算法和应用，如排序、搜索、压缩、加密等。
不同类型的二叉树具有不同的特性和应用场景，需要根据具体需求进行选择和使用。
左偏堆的特点及其应用
时间复杂度：O(log n)。
空间复杂度：O(1)。
04 左偏堆的应用实例
数据压缩
数据压缩
左偏堆可以用于数据压缩，通过调整堆结构，将数据压缩成更小 的存储空间，提高存储效率。
高效压缩
由于左偏堆的特性，它可以在常数时间内完成插入和删除操作，使 得数据压缩和解压缩过程非常高效。
适用场景
适用于需要大量数据存储和传输的场景，如视频、音频、图片等数 据的压缩。
左偏堆的算法实现相对简单， 不需要复杂的操作或数据结构 。这使得它在许多情况下成为 一种实用的选择。
左偏堆只需要常数级别的额外 空间，使其在处理大规模数据 时具有较高的内存效率。
缺点分析
空间限制
不适合动态数据
左偏堆需要预先分配足够的空间来存储所 有元素，这可能在一些情况下是一个限制 因素。
由于左偏堆的特性，它可能不适合处理动 态数据集，因为每次插入或删除元素都需 要重新调整堆的结构。
1 2
PageRank算法
左偏堆可以用于实现搜索引擎的PageRank算法， 根据网页之间的链接关系计算网页的权重。
链接分析
左偏堆可以快速分析网页之间的链接关系，计算 出每个网页的PageRank值。
3
适用场景
适用于搜索引擎、网络爬虫、链接分析等场景， 用于评估网页的重要性和排名。
05 左偏堆的优缺点分析
优先队列的实现
01
02
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优先队列
左偏堆可以用于实现优先 队列，根据元素的优先级 进行排序，使得优先级高 的元素能够优先处理。
快速插入和删除
左偏堆的插入和删除操作 非常高效，适用于需要频 繁插入和删除元素的优先 队列。
适用场景
适用于任务调度、网络流 量控制等需要处理优先级 较高的场景。
数据结构与算法的高级应用专升本试题
数据结构与算法的高级应用专升本试题1、请简述树（Tree）的特点及其在计算机科学中的应用。
树是一种非线性的数据结构，由节点和边组成。
树的特点包括：每个节点有零个或多个子节点，唯一一个节点称为根节点，除根节点外的其他节点被分为若干个不相交的子树。
在计算机科学中，树结构广泛应用于各个领域。
例如，文件系统的目录结构可以用树来表示，每个目录都可以看作一个节点，而文件则是树的叶节点。
此外，树还常用于计算机网络中的路由算法，数据库中的索引结构，以及编译器中的语法分析等。
2、请说明二叉树（Binary Tree）的定义及其特点。
二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点，并且左子节点和右子节点的顺序是确定的。
二叉树的特点包括：- 每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
- 左子树和右子树都是二叉树，且是互不相交的。
- 二叉树可以为空树，即不包含任何节点。
- 二叉树中的节点个数等于左子树节点个数加右子树节点个数再加一（根节点）。
3、请解释二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）的定义及其特点。
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的值都大于其左子树中的所有节点的值，且小于其右子树中的所有节点的值。
二叉搜索树的特点包括：- 对于任意节点，它的左子树中的节点值都小于该节点的值。
- 对于任意节点，它的右子树中的节点值都大于该节点的值。
- 左子树和右子树都是二叉搜索树。
二叉搜索树的特点使得在其中进行查找、插入和删除操作非常高效，时间复杂度为O(logn)。
因此，二叉搜索树常被用作索引结构、排序等场景中。
4、请描述红黑树（Red-Black Tree）的定义及其特点。
红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它在二叉搜索树的基础上通过对节点之间的染色来保证树的平衡性。
红黑树的特点包括：- 每个节点要么是红色，要么是黑色。
- 根节点必须是黑色。
- 每个叶节点（NIL节点，空节点）都是黑色。
介绍二叉排序树的结构和特点
介绍二叉排序树的结构和特点二叉排序树，也称为二叉搜索树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构，其主要特点是左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点。
在二叉排序树中，每个节点都存储着一个关键字，而且所有的关键字都不相同。
二叉排序树的结构如下：1.根节点：二叉排序树的根节点是整个树的起始点，其关键字是最大的。
2.左子树：根节点的左子树包含着小于根节点关键字的所有节点，且左子树本身也是一个二叉排序树。
3.右子树：根节点的右子树包含着大于根节点关键字的所有节点，且右子树本身也是一个二叉排序树。
二叉排序树的特点如下：1.有序性：二叉排序树的最重要特点是有序性。
由于左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点，所以通过中序遍历二叉排序树，可以得到一个有序的序列。
2.快速查找：由于二叉排序树是有序的，所以可以利用二叉排序树进行快速查找操作。
对于给定的关键字，可以通过比较关键字与当前节点的大小关系，逐步缩小查找范围，最终找到目标节点。
3.快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
插入操作可以通过比较关键字的大小关系，找到合适的位置进行插入。
删除操作可以根据不同情况，分为三种情况处理：删除节点没有子节点、删除节点只有一个子节点和删除节点有两个子节点。
4.可以用于排序：由于二叉排序树的有序性，可以利用二叉排序树对一组数据进行排序。
将数据依次插入二叉排序树中，然后再通过中序遍历得到有序序列。
二叉排序树的优缺点如下：1.优点：(1)快速查找：通过二叉排序树可以提供快速的查找操作，时间复杂度为O(log n)。
(2)快速插入和删除：由于二叉排序树的有序性，插入和删除操作比较简单高效。
(3)可以用于排序：通过二叉排序树可以对一组数据进行排序，时间复杂度为O(nlog n)。
2.缺点：(1)受数据分布影响：如果数据分布不均匀，可能导致二叉排序树的高度增加，从而降低了查找效率。
(2)不适合大规模数据：对于大规模数据，二叉排序树可能会导致树的高度过高，从而影响了查找效率。
图解数据结构9左偏树
十三、左偏树（Leftist Tree）树这个数据结构内容真的很多，上一节所讲的二叉堆，其实就是一颗二叉树，这次讲的左偏树（又叫“左翼堆”），也是树。
二叉堆是个很不错的数据结构，因为它非常便于理解，而且仅仅用了一个数组，不会造成额外空间的浪费，但它有个缺点，那就是很难合并两个二叉堆，对于“合并”，“拆分”这种操作，我觉得最方面的还是依靠指针，改变一下指针的值就可以实现，要是涉及到元素的移动，那就复杂一些了。
左偏树跟二叉堆比起来，就是一棵真正意义上的树了，具有左右指针，所以空间开销上稍微大一点，但却带来了便于合并的便利。
BTW：写了很多很多的程序之后，我发觉“空间换时间”始终是个应该考虑的编程方法。
:)左偏左偏，给人感觉就是左子树的比重比较大了，事实上也差不多，可以这么理解：左边分量重，那一直往右，就一定能最快地找到可以插入元素的节点了。
所以可以这样下个定义：左偏树就是对其任意子树而言，往右到插入点的距离（下面简称为“距离”）始终小于等于往左到插入点的距离，当然了，和二叉堆一样，父节点的值要小于左右子节点的值。
如果节点本身不满，可插入，那距离就为0，再把空节点的距离记为-1，这样我们就得出：父节点的距离= 右子节点距离+ 1，因为右子节点的距离始终是小于等于左子节点距离的。
我把距离的值用蓝色字体标在上图中了。
左偏树并一定平衡，甚至它可以很不平衡，因为它其实也不需要平衡，它只需要像二叉堆那样的功能，再加上合并方便，现在来看左偏树的合并算法，如图：这种算法其实很适合用递归来做，但我还是用了一个循环，其实也差不多。
对于左偏树来说，这个合并操作是最重要最基本的了。
为什么？你看哦：Enqueue，我能不能看作是这个左偏树的root和一个单节点树的合并？而Dequeue，我能不能看作是把root节点取出来，然后合并root的左右子树？事实上就是这样的，我提供的代码就是这样干的。
Conclusion：左偏树比同二叉堆的优点就是方便合并，缺点是编程复杂度略高（也高不去哪），占用空间稍大（其实也大不去哪）。
数学 树的种类
数学树的种类数学中的树是一种常见的数学结构，它在计算机科学、图论和离散数学等领域有着广泛的应用。
树是由节点和边组成的，节点之间的关系是一种层次结构，每个节点可以有多个子节点，但只能有一个父节点。
树可以分为不同的种类，每种树都有其特殊的性质和应用。
一、二叉树二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树的特点是每个节点的子节点有且只有两个，且子节点的顺序是固定的。
二叉树的遍历方式包括前序遍历、中序遍历和后序遍历。
二叉树的应用非常广泛，例如在排序算法中的二叉搜索树、哈夫曼树等。
二、平衡树平衡树是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左右子树的高度差不超过1。
平衡树的设计旨在保持树的平衡，使得树的高度尽可能小，从而提高树的查询效率。
常见的平衡树包括AVL树、红黑树等。
平衡树的插入和删除操作会通过旋转操作来保持树的平衡。
三、B树B树是一种多叉树，每个节点可以包含多个子节点。
B树的特点是每个节点可以存储多个元素，并且元素是有序的。
B树的应用非常广泛，特别适用于在磁盘等外部存储设备上进行数据管理，例如文件系统、数据库索引等。
四、二叉堆二叉堆是一种特殊的二叉树，它满足堆的性质，即父节点的值总是小于或等于子节点的值。
二叉堆可以用来实现优先队列等数据结构，常见的操作包括插入和删除最小元素。
二叉堆可以通过数组来实现，具有较高的效率和较小的空间复杂度。
五、树状数组树状数组是一种特殊的数据结构，用于高效地计算前缀和。
树状数组可以用来解决一类问题，例如统计数组中某个区间的元素和、求逆序对数等。
树状数组的主要操作包括更新和查询，它的时间复杂度都是O(logn)。
六、Trie树Trie树，也称为字典树或前缀树，是一种用于高效存储和查找字符串的数据结构。
Trie树的每个节点表示一个字符，从根节点到叶子节点的路径表示一个字符串。
Trie树的特点是可以快速地查找具有相同前缀的字符串，常见的应用包括字典、搜索引擎等。
《 数据结构第六章
2中序遍历：
若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作： (1) 中序遍历左子树； (2) 访问根结点； (3) 中序遍历右子树。
中序遍历二叉树的递归算法如下：
1 void InOrder(BiTree bt)
2 { /*中序遍历二叉树bt*/
1
1
2
4
5
3
6
7
2
4
5
3
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15
8
9 10 11 12 13 14
(a) 满二叉树
(a)完全二叉树
•6.1.3 二叉树的性质
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 证明： 用数学归纳法。
性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k≥1）。
满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并 且所有叶子结点都在同一层上，称作满二叉树。
顺序表示：从二叉树的根开始，层间从上到下，层内从左到右，逐层进行 编号（1，2，……，n）。
(a)满二叉树
(b)非满二叉树
满二叉树的特点有： 叶子只能出现在最下一层。 非叶子结点的度一定是2。 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子最多。
1 void PreOrder(BiTree bt) 2 { /*先序遍历二叉树bt*/ 3 if(bt==NULL) return; 4 Visite(bt->data); 5 PreOrder(bt->lchild); 6 PreOrder(bt->rchild); 7}
/*递归调用的结束条件*/ /*访问结点的数据域*/ /*先序递归遍历bt的左子树*/ /*先序递归遍历bt的右子树*/
算法合集之左偏树的特点及其应用
左偏树的特点及其应用广东省中山市第一中学黄源河【摘要】本文较详细地介绍了左偏树的特点以及它的各种操作。
第一部分提出可并堆的概念，指出二叉堆的不足，并引出左偏树。
第二部分主要介绍了左偏树的定义和性质。
第三部分详细地介绍了左偏树的各种操作，并给出时间复杂度分析。
第四部分通过一道例题，说明左偏树在当今信息学竞赛中的应用。
第五部分对各种可并堆作了一番比较。
最后总结出左偏树的特点以及应用前景。
【关键字】左偏树可并堆优先队列【目录】一、引言 (2)二、左偏树的定义和性质 (2)2.1优先队列，可并堆 (2)2.1.1优先队列的定义 (2)2.1.2可并堆的定义 (2)2.2左偏树的定义 (3)2.3左偏树的性质 (4)三、左偏树的操作 (5)3.1左偏树的合并 (5)3.2插入新节点 (7)3.3删除最小节点 (8)3.4左偏树的构建 (8)3.5删除任意已知节点 (9)3.6小结 (12)四、左偏树的应用 (13)4.1例——数字序列（Baltic 2004） (13)五、左偏树与各种可并堆的比较 (15)5.1左偏树的变种——斜堆 (15)5.2左偏树与二叉堆的比较 (16)5.3 左偏树与其他可并堆的比较 (16)六、总结 (19)【正文】一、引言优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队列都有着广泛的应用。
二叉堆是一种常用的优先队列，它编程简单，效率高，但如果问题需要对两个优先队列进行合并，二叉堆的效率就无法令人满意了。
本文介绍的左偏树，可以很好地解决这类问题。
二、左偏树的定义和性质在介绍左偏树之前，我们先来明确一下优先队列和可并堆的概念。
2.1优先队列，可并堆2.1.1优先队列的定义优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。
优先队列的节点至少要包含一种性质：有序性，也就是说任意两个节点可以比较大小。
树的应用算法与数据结构
树的应用算法与数据结构
二叉树（Binary Tree）是一种树形数据结构，其具有以下特性：
1.每个节点最多只能有两个子节点，即左右子树；
2.每个节点只有一个父节点，根节点除外；
3.每个节点的左右子树也都是二叉树。
二叉树广泛应用在各种算法和数据结构中，由于其结构简单，操作方便，空间复杂度低，故被称为“天然数据结构”。
本文将介绍常见的二叉树应用算法和数据结构，针对其应用算法和数据结构的优点也一并进行介绍。
一、二叉树应用算法
1.二叉树：
二叉树（Binary Search Tree，BST）是指一棵空树或者具有以下性质的二叉树：若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。
二叉树的特性可以大大提高查找操作的效率，它是一种用于实现排序操作的非常有效的方法。
2.平衡二叉树：
平衡二叉树（AVL Tree）是指一棵空树或者具有以下性质的二叉树：任意节点的两棵子树的深度相差不能超过1，即本质上每个节点的左右子树深度相差不能超过1、它使得二叉树性能得到优化，改进了二叉树在插入或删除操作时可能出现的不平衡问题。
3.红黑树：。
树状数据结构的应用案例分析
树状数据结构的应用案例分析树状数据结构是计算机科学中一种非常重要的数据结构，广泛应用于各个领域。
本文将通过分析几个实际应用案例，来说明树状数据结构在解决复杂问题、提高效率和组织数据方面的作用。
1. 文件系统文件系统是计算机中存储和组织文件的一种方式，其中树状数据结构被广泛应用。
以Unix文件系统为例，文件系统由目录和文件构成，可以被看作是一棵树。
根目录作为树的根节点，每个目录作为一个子节点，而文件则是叶子节点。
通过树的结构，可以方便地实现文件的查找、遍历和组织。
2. 网页索引在搜索引擎中，树状数据结构被用于构建网页索引，以提高搜索效率。
通过将网页按照关键词进行索引，可以将网页的内容存储在树状结构中。
通过建立倒排索引，将关键词与对应的网页建立映射关系，可以快速地根据搜索关键词找到相关的网页。
这种树状数据结构的应用，大大提高了搜索引擎的效率和准确性。
3. 路由表在网络通信中，路由表用于寻找最佳路径来转发数据包，树状数据结构被广泛应用于路由表的构建和管理。
通过将不同的网络节点和子网信息存储在树的节点中，可以方便地进行路由选择。
树状数据结构的使用，使得路由表的查找和更新更加高效和灵活。
4. 组织结构在企业或组织中，树状数据结构可以用于组织结构的表示。
以公司组织为例，可以将公司的整体结构表示为一棵树。
顶层节点为公司的总部，每个分支代表一个部门，而叶子节点则代表具体的职位和员工。
通过树的结构，可以方便地查找和管理组织中的各个部门和人员。
5. 嵌套标签语言在网页开发中，树状数据结构常常用于表示嵌套标签语言，如HTML和XML。
这些标签语言通过嵌套的方式来表达网页或文档的结构。
树状数据结构的使用，使得网页内容的解析、渲染和操作更加方便和高效。
综上所述，树状数据结构在文件系统、网页索引、路由表、组织结构以及嵌套标签语言等方面都有广泛的应用。
通过树的结构特点，可以方便地进行数据的组织、查找和遍历，提高了各种应用场景下的效率和可扩展性。
实验三 树的应用
华北水利水电学院数据结构实验报告2012～2013学年第一学期2010级计算机科学与技术专业班级：2010134 学号：201013418 姓名：杨学成实验三树的应用一、实验题目：树的应用——哈夫曼编码二、实验内容：利用哈夫曼编码进行通信可以大大提高信道的利用率，缩短信息传输的时间，降低传输成本。
根据哈夫曼编码的原理，编写一个程序，在用户输入结点权值的基础上求哈夫曼编码。
从键盘输入若干字符及每个字符出现的频率，将字符出现的频率作为结点的权值，建立哈夫曼树，求出各字符的哈夫曼编码。
要求：1．输出存放哈夫曼树的数组HT的初态和终态；2．输出每个字符的哈夫曼编码；3．输入由上述若干字符组成的字符串，对电文进行编码并输出；4．（选作）输入电文的哈夫曼编码，进行译码并输出。
三、程序源代码：#include <iostream.h>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>typedef struct{char date;int weight;int parent,lchild,rchild;}HTNode ,*HuffmanTree;typedef char * *HuffmanCode;void Select(HuffmanTree HT,int i,int &s1,int &s2){int m1,m2,k;m1=m2=10000;s1=s2=0;for (k=1;k<=i;k++){if((HT[k].parent==0)&&(HT[k].weight<m1)){m2=m1;s2=s1;m1=HT[k].weight;s1=k;}else if((HT[k].parent==0)&&(HT[k].weight<m2)){m2=HT[k].weight;s2=k;}}}void main (){char str[81],str2[81];HuffmanTree HT;HuffmanCode HC;int w[81], n,i,s1,s2,m,c,f;printf ("请输入编码字符的个数:");scanf("%d",&n);printf("\n编码字符:");cin>>str;printf("\n请输入字符对应的权重:");for (i=0;i<n;i++){scanf("%d",&w[i]);}if(n<=1) return;m=2*n-1;HT=(HuffmanTree) malloc ((m+1)*sizeof(HTNode));for(i=1;i<=n;++i){HT[i].date=str[i-1];HT[i].weight=w[i-1];HT[i].parent=0;HT[i].lchild=0;HT[i].rchild=0;}for(;i<=m;++i){HT[i].date='-';HT[i].weight=0;HT[i].parent=0;HT[i].lchild=0;HT[i].rchild=0;}cout<<" HT的初态"<<endl;cout<<"-------------------------------------------------------------"<<endl;cout<<" date weight parent lchild rchild"<<endl;cout<<"-------------------------------------------------------------"<<endl;for(i=1;i<=m;i++){printf("%4c %4d %4d %4d %4d\n" ,HT[i].date,HT[i].weight,HT[i].parent,HT[i].lchild,HT[i].rchild);cout<<"-----------------------------------------------------------"<<endl;}for (i=n+1;i<=m;++i){Select(HT,i-1,s1,s2);HT[s1].parent=i;HT[s2].parent=i;HT[i].lchild=s1;HT[i].rchild=s2;HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;}cout<<" HT的终态"<<endl;cout<<"-------------------------------------------------------------"<<endl;cout<<" date weight parent lchild rchild"<<endl;cout<<"-------------------------------------------------------------"<<endl;for(i=1;i<=m;i++){printf("%4c %4d %4d %4d %4d\n" ,HT[i].date,HT[i].weight,HT[i].parent,HT[i].lchild,HT[i].rchild);cout<<"-------------------------------------------------------------"<<endl;}HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char *));char *cd=(char *)malloc(n*sizeof(char));cd[n-1]='\0';for (i=1;i<=n;++i)int start=n-1;for(c=i,f=HT[i].parent;f!=0;c=f,f=HT[f].parent) if(HT[f].lchild==c)cd[--start]='0';else cd[--start]='1';HC[i]=(char *) malloc ((n-start)*sizeof(char));strcpy(HC[i],&cd[start]);}free(cd);cout<<"字符的编码"<<endl;for (i=1;i<=n;i++){printf("%c : %s\n",HT[i].date,HC[i]);}printf("请输入上述字符组成的任何字符串：");cin>>str2;for (i=0;str2[i]!='\0';i++){for (int j=1;j<=n;j++){if (str2[i]==HT[j].date)cout<<HC[j];}}cout<<endl<<"请输入哈夫曼电文的编码:";cin>>str2;char str4[81];int k=0,tr=0;for (i=0;str2[i]!='\0';i++)int a=i, t=0;char str3[81];tr=0;str3[t]=str2[i];t++;str3[t]='\0';for(;strlen(str3)<n;){for (int j=1;j<=n;j++){if( strcmp(str3,HC[j])==0){str4[k]=HT[j].date;k++;tr=1;}}if (tr==1)break;i++;str3[t]=str2[i];t++;str3[t]='\0';}}if (tr==0){cout<<"It is error.";str4[k]='\0';}else{str4[k]='\0';cout<<str4;}cout<<endl;}四、测试结果：五、小结（包括收获、心得体会、存在的问题及解决问题的方法、建议等）注：内容一律使用宋体五号字，单倍行间距对我来说，数据结构这门课还是有点难度。
左偏树的特点及其应用
b
23
ak+1
s1
s2 …… sm-1 s’ms-1ms’m
例题：数字序列 —— 算法分析
下面考虑数据结构的选取 我们需要维护若干个有序集，并能够高效完成
下面两个操作：
– 合并两个有序集 – 查询某个有序集的中位数
进一步分析，加入一个元素后，发生一连串合 并操作，合并后有序集的中位数不会比原来大
因此，每个有序集内只保存较小的一半元素， 查询中位数操作转化为取最大元素操作。
24
例题：数字序列 —— 算法分析
现在，我们需要合并、取最大元素和删除三种 操作，而这些都是可并堆的基本操作。
下表列出了几种可并堆相应操作的时间复杂度
操作 取最小节点
插入 删除最小节点
合并
二叉堆 O(1) O(log N) O(log N) O(N)
由于合并次数比较多，二叉堆的合并操作太慢 了，总时间复杂度也无法令人满意。
二项堆和Fibonacci堆某些操作比左偏树快，但 对于本题，三者的总时间复杂度均为O(nlogn)
二项堆和Fibonacci堆的空间需求比较大，编程 实现也远没有左偏树简单。
相比之下，本题用左偏树实现，时空复杂度都 可以接受，编程实现也非常简单，是十分理想 的选择。
71
18
24
8
37
17
18
26
左偏树的操作 —— 合并
下面是一个合并的例子：
Merge (3, 6)
16
0 10
3? 62
12
7
18
24
8
37
17
18
26
《离散数学》树及其应用
最小瓶颈支撑树
A
10
E
7
3
2
C 9D
8
B5
4 F
A MST
E
3
2
C 9D
B5
4 F
A
E
7
3
2
C 9D
8
B
F
A
E
7
9
C
D
8
B5
4
F
45
最小瓶颈支撑树
定理
无向连通赋权图的最小支撑树一定是最小 瓶颈支撑树，但最小瓶颈支撑树不一定是 最小支撑树
46
最小瓶颈支撑树
证明 —— MST一定是MBST
C
42
博鲁夫卡算法
思考：
该算法能否用来寻找最小支撑森林?
10 B D A 55
12 C E
6
FH
28
10
J
11 5
3 G 12 I
K
43
最小瓶颈支撑树
设 ( G, W ) 是无向连通赋权图，G 的所 有支撑树中权值最大的边的权值最小 的支撑树称为 G 的最小瓶颈支撑树（ minimal bottleneck spanning tree, MBST）
58
单源最短道路
迪杰斯特拉算法 Dijkstra ( G ) 输入：赋权简单连通图 G=(V, E)，起点 s 输出：G 的最短道路树 T=(VT, ET) 1. VT ，ET ，d(s) 0 2. 对于所有 vV{s}，d(v) 3. 若 VT = V，则输出 T = (VT , ET)，否则 3.1. 在集合 VVT 中选取 d(v) 值最小的顶点v
u2
v
u3
57
数据结构实验十三
数据结构实验十三引言概述：数据结构实验十三是数据结构课程中的重要实践环节，通过这次实验，学生将会深入了解和掌握树这一数据结构的基本概念和操作。
本文将从树的基本概念、树的遍历、树的查找、树的插入和树的删除等五个部分进行详细介绍和分析。
一、树的基本概念：1.1 树的定义：树是一种重要的非线性数据结构，由n(n≥0)个节点组成的有限集合，其中一个节点被称为根节点，其余节点被划分为m(m≥0)个互不相交的子集T1、T2、...、Tm，每个子集本身又是一棵树。
1.2 树的特点：树是一种递归结构，具有唯一的根节点、每个非根节点有且仅有一个父节点、每个节点可以有零个或多个子节点等特点。
1.3 树的应用：树结构在计算机科学领域中有着广泛的应用，如文件系统、数据库索引、编译器中的语法分析树等。
二、树的遍历：2.1 前序遍历：从根节点开始，先访问根节点，然后递归遍历左子树和右子树。
2.2 中序遍历：从根节点开始，先递归遍历左子树，然后访问根节点，最后递归遍历右子树。
2.3 后序遍历：从根节点开始，先递归遍历左子树和右子树，最后访问根节点。
三、树的查找：3.1 二叉搜索树查找：根据当前节点的值与目标值的大小关系，递归地在左子树或右子树中查找目标值。
3.2 平衡二叉搜索树查找：通过旋转操作保持树的平衡性，提高查找效率。
3.3 B树查找：多路搜索树，每个节点可以拥有多个子节点，适用于磁盘存储等场景。
四、树的插入：4.1 二叉搜索树插入：根据当前节点的值与待插入节点的值的大小关系，递归地在左子树或右子树中插入新节点。
4.2 平衡二叉搜索树插入：通过旋转和调整操作保持树的平衡性，避免出现不平衡情况。
4.3 B树插入：根据B树的特性，将新节点插入到叶子节点上，并保持树的平衡性。
五、树的删除：5.1 二叉搜索树删除：根据当前节点的值与待删除节点的值的大小关系，递归地在左子树或右子树中删除目标节点。
5.2 平衡二叉搜索树删除：通过旋转和调整操作保持树的平衡性，避免出现不平衡情况。
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左偏树的特点及其应用广东省中山市第一中学黄源河【摘要】本文较详细地介绍了左偏树的特点以及它的各种操作。
第一部分提出可并堆的概念，指出二叉堆的不足，并引出左偏树。
第二部分主要介绍了左偏树的定义和性质。
第三部分详细地介绍了左偏树的各种操作，并给出时间复杂度分析。
第四部分通过一道例题，说明左偏树在当今信息学竞赛中的应用。
第五部分对各种可并堆作了一番比较。
最后总结出左偏树的特点以及应用前景。
【关键字】左偏树可并堆优先队列【目录】一、引言 (2)二、左偏树的定义和性质 (2)2.1 优先队列，可并堆 (2)2.1.1 优先队列的定义 (2)2.1.2 可并堆的定义 (2)2.2 左偏树的定义 (3)2.3 左偏树的性质 (4)三、左偏树的操作 (6)3.1 左偏树的合并 (6)3.2 插入新节点 (8)3.3 删除最小节点 (9)3.4 左偏树的构建 (9)3.5 删除任意已知节点 (10)3.6 小结 (13)四、左偏树的应用 (15)4.1 例——数字序列（Baltic 2004） (15)五、左偏树与各种可并堆的比较 (18)5.1 左偏树的变种——斜堆 (18)5.2 左偏树与二叉堆的比较 (19)5.3 左偏树与其他可并堆的比较 (19)六、总结 (22)在线代理|网页代理|代理网页|【正文】一、引言优先队列在信息学竞赛中十分常见，在统计问题、最值问题、模拟问题和贪心问题等等类型的题目中，优先队列都有着广泛的应用。
二叉堆是一种常用的优先队列，它编程简单，效率高，但如果问题需要对两个优先队列进行合并，二叉堆的效率就无法令人满意了。
本文介绍的左偏树，可以很好地解决这类问题。
二、左偏树的定义和性质在介绍左偏树之前，我们先来明确一下优先队列和可并堆的概念。
2.1优先队列，可并堆2.1.1优先队列的定义优先队列(Priority Queue)是一种抽象数据类型(ADT)，它是一种容器，里面有一些元素，这些元素也称为队列中的节点(node)。
优先队列的节点至少要包含一种性质：有序性，也就是说任意两个节点可以比较大小。
为了具体起见我们假设这些节点中都包含一个键值(key)，节点的大小通过比较它们的键值而定。
优先队列有三个基本的操作：插入节点(Insert)，取得最小节点(Minimum) 和删除最小节点(Delete-Min)。
2.1.2可并堆的定义可并堆(Mergeable Heap)也是一种抽象数据类型，它除了支持优先队列的三个基本操作(Insert, Minimum, Delete-Min)，还支持一个额外的操作——合并操作：H ← Merge(H1,H2)Merge( ) 构造并返回一个包含H1和H2所有元素的新堆H。
前面已经说过，如果我们不需要合并操作，则二叉堆是理想的选择。
可惜合并二叉堆的时间复杂度为O(n)，用它来实现可并堆，则合并操作必然成为算法的瓶颈。
左偏树(Leftist Tree)、二项堆(Binomial Heap) 和Fibonacci堆(Fibonacci Heap) 都是十分优秀的可并堆。
本文讨论的是左偏树，在后面我们将看到各种可并堆的比较。
在线代理|网页代理|代理网页|2.2左偏树的定义左偏树(Leftist Tree)是一种可并堆的实现。
左偏树是一棵二叉树，它的节点除了和二叉树的节点一样具有左右子树指针( left, right )外，还有两个属性：键值和距离(dist)。
键值上面已经说过，是用于比较节点的大小。
距离则是如下定义的：节点i称为外节点(external node)，当且仅当节点i的左子树或右子树为空( left(i) = NULL或right(i) = NULL )；节点i的距离(dist(i))是节点i到它的后代中，最近的外节点所经过的边数。
特别的，如果节点i本身是外节点，则它的距离为0；而空节点的距离规定为-1 (dist(NULL) = -1)。
在本文中，有时也提到一棵左偏树的距离，这指的是该树根节点的距离。
左偏树满足下面两条基本性质：[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。
即key(i)≤key(parent(i)) 这条性质又叫堆性质。
符合该性质的树是堆有序的(Heap-Ordered)。
有了性质1，我们可以知道左偏树的根节点是整棵树的最小节点，于是我们可以在O(1) 的时间内完成取最小节点操作。
[性质2] 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。
即dist(left(i))≥dist(right(i)) 这条性质称为左偏性质。
性质2是为了使我们可以以更小的代价在优先队列的其它两个基本操作（插入节点、删除最小节点）进行后维持堆性质。
在后面我们就会看到它的作用。
这两条性质是对每一个节点而言的，因此可以简单地从中得出，左偏树的左右子树都是左偏树。
由这两条性质，我们可以得出左偏树的定义：左偏树是具有左偏性质的堆有序二叉树。
下图是一棵左偏树：在线代理|网页代理|代理网页|在线代理|网页代理|代理网页|2.3 左偏树的性质在前面一节中，本文已经介绍了左偏树的两个基本性质，下面本文将介绍左偏树的另外两个性质。
我们知道，一个节点必须经由它的子节点才能到达外节点。
由于性质2，一个节点的距离实际上就是这个节点一直沿它的右边到达一个外节点所经过的边数，也就是说，我们有[性质3] 节点的距离等于它的右子节点的距离加1。
即 dist( i ) = dist( right( i ) ) + 1 外节点的距离为0，由于性质2，它的右子节点必为空节点。
为了满足性质3，故前面规定空节点的距离为-1。
我们的印象中，平衡树是具有非常小的深度的，这也意味着到达任何一个节点所经过的边数很少。
左偏树并不是为了快速访问所有的节点而设计的，它的目的是快速访问最小节点以及在对树修改后快速的恢复堆性质。
从图中我们可以看到它并不平衡，由于性质2的缘故，它的结构偏向左侧，不过距离的概念和树的深度并不同，左偏树并不意味着左子树的节点数或是深度一定大于右子树。
下面我们来讨论左偏树的距离和节点数的关系。
[引理1] 若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。
证明：由性质2可知，当且仅当对于一棵左偏树中的每个节点i ，都有 dist(left(i)) = dist(right(i)) 时，该左偏树的节点数最少。
显然具有这样性质的二叉树是完全二叉树。
[定理1] 若一棵左偏树的距离为k ，则这棵左偏树至少有2k+1-1个节点。
证明：由引理1可知，当这样的左偏树节点数最少的时候，是一棵完全二叉树。
距离为k 的完全二叉树高度也为k ，节点数为2k+1-1，所以距离为k 的左偏0 12 183 1 12 1 18 0 24 0 18 0 37 0 33 06 1 14 0 21 0 17 0 6 223 0 260 10 1key distNode:keydistL R树至少有2k＋1-1个节点。
作为定理1的推论，我们有：[性质4] 一棵N个节点的左偏树距离最多为⎣log(N+1)⎦ -1。
证明：设一棵N个节点的左偏树距离为k，由定理1可知，N ≥2k+1-1，因此k ≤⎣log(N+1)⎦ -1。
有了上面的4个性质，我们可以开始讨论左偏树的操作了。
在线代理|网页代理|代理网页|三、左偏树的操作本章将讨论左偏树的各种操作，包括插入新节点、删除最小节点、合并左偏树、构建左偏树和删除任意节点。
由于各种操作都离不开合并操作，因此我们先讨论合并操作。
3.1左偏树的合并C ← Merge(A,B)Merge( ) 把A,B两棵左偏树合并，返回一棵新的左偏树C，包含A和B中的所有元素。
在本文中，一棵左偏树用它的根节点的指针表示。
在合并操作中，最简单的情况是其中一棵树为空（也就是，该树根节点指针为NULL）。
这时我们只须要返回另一棵树。
若A和B都非空，我们假设A的根节点小于等于B的根节点（否则交换A,B），把A的根节点作为新树C的根节点，剩下的事就是合并A的右子树right(A) 和B了。
合并了right(A) 和B之后，right(A) 的距离可能会变大，当right(A) 的距离大于left(A) 的距离时，左偏树的性质2会被破坏。
在这种情况下，我们只须要交换left(A) 和right(A)。
在线代理|网页代理|代理网页|最后，由于right(A) 的距离可能发生改变，我们必须更新A的距离：dist(A) ← dist(right(A)) + 1不难验证，经这样合并后的树C符合性质1和性质2，因此是一棵左偏树。
至此左偏树的合并就完成了。
下图是一个合并过程的示例：合并流程在线代理|网页代理|代理网页|我们可以用下面的代码描述左偏树的合并过程：Function Merge(A, B)If A = NULL Then return BIf B = NULL Then return AIf key(B) < key(A)Then swap(A, B)right(A) ← Merge(right(A), B)If dist(right(A)) > dist(left(A))Thenswap(left(A), right(A))If right(A) = NULL Then dist(A) ← 0Else dist(A) ← dist(right(A)) + 1return AEnd Function下面我们来分析合并操作的时间复杂度。
从上面的过程可以看出，每一次递归合并的开始，都需要分解其中一棵树，总是把分解出的右子树参加下一步的合并。
根据性质3，一棵树的距离决定于其右子树的距离，而右子树的距离在每次分解中递减，因此每棵树A或B被分解的次数分别不会超过它们各自的距离。
根据性质4，分解的次数不会超过⎣log(N1+1)⎦ + ⎣log(N2+1)⎦ -2，其中N1和N2分别为左偏树A和B的节点个数。
因此合并操作最坏情况下的时间复杂度为O( ⎣log(N1+1)⎦ + ⎣log(N2+1)⎦ -2) = O(log N1 + log N2)。
3.2插入新节点单节点的树一定是左偏树，因此向左偏树插入一个节点可以看作是对两棵左偏树的合并。
下面是插入新节点的代码：Procedure Insert(x, A)B ← MakeIntoTree(x)A ← Merge(A, B)End Procedure由于合并的其中一棵树只有一个节点，因此插入新节点操作的时间复杂度是O(logn)。
在线代理|网页代理|代理网页|在线代理|网页代理|代理网页| 3.3 删除最小节点由性质1，我们知道，左偏树的根节点是最小节点。
在删除根节点后，剩下的两棵子树都是左偏树，需要把他们合并。