正弦电压和电流相量法基础
正弦量与相量法的基本概念
目
CONTENCT
录
• 正弦量定义与性质 • 相量法基础 • 正弦量与相量法的转换 • 交流电路中的相量法应用 • 相量法在电机控制中的应用 • 正弦量与相量法的实验验证
01
正弦量定义与性质
定义
总结词
正弦量是随时间按正弦规律变化的量 ，通常用复数表示。
详细描述
正弦量是随时间变化的物理量，如交 流电电压、电流等。在数学上，正弦 量通常用复数表示，其实部表示幅值 大小，虚部表示相位。
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相量法在电机控制中的应用
利用相量法可以简化电机控制中的数学模型，方便分析和 设计控制策略。通过将交流电机等效为直流电机，可以使 用成熟的直流电机控制方法进行控制。
控制算法
利用相量法，可以设计出各种控制算法，如PI控制器、模 糊控制器等，实现对电机的精确控制。
案例分析：无刷直流电机控制
无刷直流电机
无刷直流电机是一种采用电子换向器的直流电机，具有高效、调速范围宽、维护方便等优 点。
乘法运算
两个正弦量的乘法运算可以通 过复数乘法实现，即对应相量 直接相乘。
除法运算
两个正弦量的除法运算可以通 过复数除法实现，即对应相量 直接相除。
运算规则
在进行相量运算时，应遵循复 数的运算法则和运算顺序。
03
正弦量与相量法的转换
转换公式
正弦量与相量法转换公式
$I = I_m angle theta$，其中 $I$ 是 正弦量，$I_m$ 是相量，$theta$ 是 初相角。
信号处理
在信号处理领域，相量法可用 于分析信号的频谱和滤波器的 设计。
04
交流电路中的相量法应用
正弦量与相量法的基本概念
解：
•
U 1 = 220
0 ,
•
U 2 = 220
120
+ •
•
U 1 + U2 = 220
0
220 120
-120o
•
U2
•
•
U1+ U2
= 220 (cos0 + j sin 0 ) + 220[cos(120 ) + j sin(120 )] = 110 j190.5 = 1102 + (190.5)2 arctan 190.5 = 220 60
复常数
A(t)包含了三要素：I， ， 复常数包含了I , 。
•
称 I = I 为正弦量 i(t) 对应的有效值相量。
13
•
i(t) = 2I cos(t + ) I = I
正弦量的有效值相量表示:
以正弦量的有效值作为相量的模 正弦量的初相位作为相量的幅角
•
u(t) = 2U cos(t + ) U = U
注意:只适用正弦量
Im = 2I
i(t) = Im cos(t + ) = 2I cos(t + )
同理: u(t ) = Um cos(t + ) = 2U cos(t + )
★ 正弦量的有效值与最大值之间有固定的 2 关系，即
Im = 2I U m = 2U
10
二、 相 量 法 的 基 本 概 念
110
u1(t ) + u2 (t ) = 2 220cos(t 60 )
19
•
•
U 1 U2 = 220
0
220 120
电工基础相量法基础
?
I
?
100?
30 o
A
?
U ? 220? ? 60o V
(2) 乘除运算 —— 采用指数形式或极坐标形式比较方便
若A1=|A1| ej? 1=|A1|? ?1 A2=|A2| ej? 2==|A2|? ?2
? ? A1 ?A2 ? A1 A2 e j??1?? 2 ? ? A1 A2 ? ?1 ? ? 2
? ? A1 ?
A2
A1 e j??1?? 2 ? ? A2
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
类似的正弦量电压也对应相量
u(t ) ? 2U sin(? t ? ? u )
U?? Ue j? ? U? ?
上面是按有效值定义的相量，还可以按最大值定义相量。
6-3 相量的应用
i ? 141.4sin(314t ? 30o )A u ? 311.1sin(314t ? 60o )V 对应相量
U=220V， ? Um? 311V； U=380V， ? Um? 537V。
6-2 正弦量
注意： （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有 效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但 绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电 器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均 为有效值。 （3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效
对A(t)取虚部：i(t ) ? 2I sin(? t ? ? ) 正弦电流
任一个正弦时间函数都有与其对应的唯一复数函数。
i(t) ? 2I sin(? t ? ? ) ? A(t) ? 2Ie j(? t?? ) 复常数
A(t)还可以写成： A(t) ? 2Ie j? e j? t? 2I?e j? t
正弦交流电路的相量表示法
03
相量表示法的应用
相量与复数的关联
01
相量是复数的一种表示形式，其 实部表示电压或电流的有效值， 虚部表示其相位角。
02
通过复数运算，可以方便地计算 正弦交流电路中的电压、电流和 阻抗等参数。
相量在电路分析中的应用
利用相量图，可以直观地分析正弦交 流电路中的电压、电流和阻抗之间的 关系。
通过相量法，可以简化正弦交流电路 的计算过程，提高计算效率和精度。
02
正弦交流电路的基本概念
正弦交流电的产生
交流发电机
通过机械能转换为交流电，发电 机转子旋转产生磁场，定子切割 磁力线产生感应电动势，从而产 生正弦交流电。
交流调压器
通过改变磁通量或改变匝数来调 节输出电压，从而产生正弦交流 电。
正弦交流电的特性
01
02
03
周期性
正弦交流电的电压、电流 等参数随时间按正弦规律 变化，具有周期性。
通过相量图，可以直观地理解电路的相位 关系和阻抗的性质。
03
02
简化了正弦交流电路的分析过程，使得计算 变得直观和方便。
04
局限性
相量法仅适用于线性时不变系统，对于非 线性或时变系统，相量法不再适用。
05
06
对于多频输入信号，相量法可能无法准确 描述信号的频谱特性。
未来研究方向
01
深入研究非线性电路和时变系统的相量表示法，以扩展相量法 的应用范围。
VS
电动机的启动和制动
利用相量法，可以研究电动机的启动和制 动过程，为电动机的控制提供理论支持。
滤波器问题
滤波器的频率响应
通过相量法，可以分析滤波器的频率响应特 性，从而设计出符合要求的滤波器。
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
正弦量的三要素及相量表示法基尔霍夫
三 相位差
第五章
正弦电流电路
相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，即初相位 之差。
i
u
如：
u
t
i
u U m sin t u
i I m sin t i 则相位差为：
t u t i u i
第五章 正弦电流电路 两个正弦量的相位关系
上述相量图是根据平行四边形法则进行加、减获得的。实际上， 可采用三角形法则作图。如下图所示。
I1
0
I2
I I1 I 2
0
I2
I1
I I1 I 2
两相量相加
两相量相减
第五章 正弦电流电路
5.4基尔霍夫定律的相量形式
一 基尔霍夫电流定律（KCL） 瞬时值形式：
i 0
0 相量形式（同频率的正弦量） ： I
◆周期量：每个值在经过相等的时间间隔后循环出现的 时变电压和电流。 ◆交流量：一个循环内波形面积平均值为零的周期量。
u i i
O
t
时变电压
O
t
周期量
O
t
交流量
第五章 正弦电流电路 二 正弦量的三要素
正弦量：按正弦规 律变化的交流量。 设正弦电流
Im
i
O
T
2
t
i I m sin(ωt ψ )
二 基尔霍夫电压定律（KVL）
瞬时值形式：
u 0
相量形式（同频率的正弦量） ： U 0
第五章 正弦电流电路 二 旋转矢量与正弦量 设正弦量: i I m sin(ωt ψ )
j B ω t1
0
i
Im
初中九年级(初三)物理 第五章正弦交流电路中的电压、电流相量法
第6章正弦交流电路学习指导与题解一、基本要求1．深刻理解正弦交流电压和电流波形图和瞬时值表示式中的三要素，频率f、角频和周期T的关系。
熟练掌握从波形图写出正弦量的瞬时值表示式，和从正弦量的瞬时值表示式绘出它的波形图。
1．熟练掌握两同频率正弦量的相位关系，包括相位差、超前与滞后的概念，及相位差的计算。
2．倍关系。
3．熟练掌握进行复数的直角坐标形式与极坐标形式之间的互相变换，和复数的四则运算。
5．深刻理解正弦电压和电流的相量的概念。
熟练掌握正弦电压、电流的瞬时值表示式与频域相量之间的对应变换与反变换关系。
即能从正弦电压、电流的瞬时值表示式写出它们的相量。
也能从正弦电压、电流的相量写出它们的瞬时值表示式。
6. 熟练掌握正弦交流电路中，KCL，KVL的相量形式。
能用相量写出正弦交流电路中的KVL方程和KCL方程。
7. 掌握电感元件和电容元件伏安关系的两种形式和储能公式。
熟练掌握R，L，C元件伏安关系相量形式，明确这三种元件电压与电流的相位关系。
交接电感、电容元件的电压和电流有效值的大小与频率有关，以及电感和电容在直流作用下的稳态表现。
8. 熟练掌握阻抗与导纳的定义，R，L，C三种元件的阻抗与导纳，即电感的感抗和电容的容抗，并会进行计算。
会把正弦交流电路交换为它的相量模型。
掌握无源二端网络的阻抗与导纳，及阻抗与导纳的等效变换关系。
能作出无源二端网络的等效相量模型。
9. 能用相量和相量图法求解串、并联简单的正弦交流电路。
10. 熟练掌握应用相量法分析计算正弦交流电路。
包括用阻抗串、并联及分压、分流公式计算不含受控源电路某一支路的电压和电流；用节点分析法和网孔分析法求解含受控源复杂正弦交流电路中各支路的电压和电流；用戴维南定理求解正弦交流电路中某一支路的电压和电流；应用叠加定理求解多电源正弦交流电路中的电压和电流。
11．熟练掌握电路中R，L，C元件的功率特性。
能根据电阻电压和电流的有效值计算它们的平均功率。
了解电感和电容元件的能量与外电路不断往返交换的特点，能根据电感和电容电压和电流的有效值计算它们的无功功率，掌握无功功率与储能平均值的关系。
正弦电路的电压电流及相量表示
解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为
=（-180o）-（- 45o ）= -135o＜0
所以u（t）滞后i1（t）135o 。
电压u（t）与电流i2（t）的相位差为
= -180o - 60o = -240o 由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位 差应为 = -240o+360o = 120o＞0，因此u（t）超前 i2（t）120o 。
四、正弦量的有效值 有效值的提出： 正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正 弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个 周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上 产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压 u （t）的有效值。用大写字母“U”表示。 有效值的定义式：
1 U T
本讲作业
1、复习本讲内容；
2、预习下一讲内容——正弦电路的相量分析法； 3、书面作业：习题8-1，8-2，8-4，8-5。
8.2 正弦量的相量表示
一、相量表示法的提出 前面学过的解析式（三角函数表示法）和正弦量 的波形图（正弦曲线表示法）都不便于分析计算正弦 电路。为了解决这个问题，引入了正弦量的第三种表 示方法——相量表示法。 二、相量表示法采用的形式 相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。
三、相量表示方法 模等于正弦量的有效值（或振幅），幅角等于 正弦量的初相的复数，称为该正弦量的相量。相量 用该正弦量的符号上加一圆点“ · ”来表示，说明它 是时间的函数，以便与一般复数相区别。 振幅相量 相量的模为正弦量的振幅，称振幅相量，以 I m 、 Um 等表示。其振幅相量表达式为
将u3（t）的解析式整理如下： u3（t）= 5cos（100πt + 60o） = 5sin（100πt + 60o + 90o） = 5sin（100πt + 150o ）V 所以得到
第五章相量法基础
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
一个正弦量可以用它的最大值 U m I m 角频率
u i
和初相角
三个要素唯一地确定。
（1）最大值 U m ，
量瞬时值中的最大量值，也就是 sin(t u ) 1
I m 是正弦量 u
和
i
的振幅。正弦 和
§5-6正弦电流电路中的电阻 在正弦电流电路中，电路仍然适用欧姆定律和基尔霍夫定律。 （1）电压和电流关系 关联参考方向下，设 u 2U sin( t ψu ) ,则电流为
2U sin( t ψu ) u 2U i sin( t ψ u ) 2 I sin( t ψ i ) R R R
§5-5正弦量的相量
欧拉公式
e j cos j sin
其虚部为 sin Im[e j ]
正弦电压 u (t ) 2U sin(t ) ，则
u (t ) 2U sin( t ) Im[ 2Ue j (t ) ] e jt ] 上式中， Im[ 2Ue j e jt ] Im[ 2U
1
2
A1 A2 A1 e j1 A2 e j2 A1 A2 e j (1 2 ) A1 A2 1 2
A1 e j1 A1 1 A1 j (1 2 ) A1 A1 e 1 2 j 2 A2 A2 2 A2 A2 A2 e
p R u R i 2U R sin t 2 I sin t
URI URI cos 2t 0
由于 cos 2t 1 ，所以 p U RI U RI cos 2 t 0 所以电阻是一个耗能元件。
电路理论基础第二版第八章 正弦电压和电流、相量法基础ppt课件
设 A a 1 j a 2,B b 1 j b 2
则 A B ( a 1 b 1 ) j ( a 2 b 2 )
+j A+B+C
+j -B
B C
A +1
A-B A A-B +1
B
乘除运算（采用极坐标或指数坐标方便）
设 A a 1 j a 2 a e j a,B b 1 j b 2 b e j b
则 A B ( a 1 j 2 ) ( a b 1 j 2 ) b ( a 1 b 1 a 2 b 2 ) j ( a 1 b 2 a 2 b 1 )
量的相量表示 8.3 相量法引理 8.4 基尔霍夫定律的相量形式 8.5 电路元件伏安特性的相量形式 8.6 例题
重点
1.同频率正弦量相位差的5种情况(同相、超前、滞后、方相和正交) 2.复数（向量）的几种表示(4种) 3. 基尔霍夫定律的相量方程与时域方程的区别与联系 4. 电路元件（电阻、电感和电容）伏安特性的相量形式
恒定电流 I2通过电阻R，R在T时间 内吸收的电能为
w2 I22RT
I2
R
若有
I22T
T 0
i12
dt
即
则有 w2 w1
I2
1 T
T 0
i12dtI
工程上提到正弦量的大小一般是指有效值
8.2 正弦量的向量表示 8.2.1 复数的运算
1.直角坐标形式：
A a 1 ja 2 (j 1 )
其中 a1 、 a2 均为实数， a1 是A的实部， a2 是A的虚部。
iImco (s ti)
振幅 Im Im 是电流 i 的最大值。
角频率
是 i 的相角随时间变化的速度，称为角频率。
第5章 正弦交流电路相量法
a 1 b1 a 2 b 2
2 1
b
2 2
j
a 2 b1 a 1 b 2 b1 b 2
2 2
A B
A B
e
j ( a b )
( a b )
几何意义：
j
B A 1 A/B
8
二、正弦量的三要素
凡是按正弦规律变化的电压、电流等都称为正弦量。（即 能用sin或cos表示的电压、电流）。 i
1
i
（与t无关）。
（ 相位差）是区分两个同频率正弦量的重要标志之一。
5.2 正弦量6
电压超前电流，即电压先达到最大值。
u
i
0,
u
i 0,
i
电流超前电压，即电流先达到最大值。 电压与电流同相。
u
0,
u
i
+
L
5.1 正弦量的基本概念
一、复数的几种表达形式
<一> 代数形式:
A a 1 ja 2
5.1 复数1
j 1
j
A
1
<二> 三角形式：
A A (cos j sin )
A
a1 a 2
2
2
为模（或幅值）；
tg
a2 a1
称为A的幅角。
<三> 指数形式：
A Ae
i 1 dt (Re
5.3 相量法的基础5
2 I 1 cos( t 1 )dt
j t
i1 I 1 I 1 e
j 1
正弦量的相量表示法
第九讲 正弦量的相量表示法一、相量法的引入1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。
2、正弦量的复数表示法：假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y ab arctgb a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅；复数的幅角：表示电压的初相。
正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。
3-2-1 正弦电压和电流的相量2、正弦电压相量与正弦电压的关系（1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。
（2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。
实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影（3）正弦量与相量表示法的相互关系三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i ， A )120314cos(10)(2︒--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。
解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1︒+=t t i 的相量为A 605A e 560j m1 ∠==I用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。
将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图3-2-2。
从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。
im m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=−→←+=∠=−→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A)180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=−→−+=+︒+-=--=I t t t t i图3-2-2 例3-2-1相量图 电压电流相量：可为最大值相量，也可为有效值相量（U 及I ）。
第4讲正弦交流电的基本概念、相量表示法
P 1
T pdt 1
T
UI(1 cos 2 ωt)dt
UI
T0
T0
P UI I 2R U 2 p R
+
+
单位：瓦（W）
O
P
ωt
通常测量的或铭牌标注的功率均指有功功率
作业
P49 练习题2.2.1、 P87 练习题3.1.1。
u Ri RI m sin ωt Um sin ωt
⑴电压与电流同频率、同相 ψu ψi 0
⑵最大值、有效值伏安关系： Um U R
Im I
⑶波形关系
ui u
⑷相量关系
i
U U0 I I0 O
ωt
UI
U I
R
欧姆定律的相量表示式： U RI
则 Um 220 2e V j30
U 220 e V j30
⒉ 相量图
相量图：按照各个正弦量的大小和相位关系画出的
若干个相量的图形。
例：U 22030V I 560 A
只有同频率的正弦量才能
I
U
画在同一相量图上，可不画坐
60
标轴。
30
⒊ 旋转因子“j” 当 90时，则
ui
i
i
_
_
+
Ｏ
-
+
+
t
_
u
-
R
u
-
R
正半周
负半周
图中虚线箭头代表电流的实际方向； 代表电压的实际方向（极性）。
正弦量：正弦电压和电流等物理量统称为正弦量。
正弦量的特征表现在：
变化的快慢 大小 初始值
电路基础-§3-2正弦量的相量表示法
第三章正弦交流电路§3-2 正弦量的相量表示法前面讲述过正弦量的两种基本表示方法，分别用解析式和波形图表示。
前者方便于求出正弦量的瞬时值，而后者形象直观。
但在进行几个正弦量的加减等运算时，用这两种表示法分析就显得比较复杂。
在正弦交流电路中,所有的电压、电流、电动势都是和电源同频率的正弦量，也就是说频率往往是已知的，只要确定了这些正弦量的最大值（有效值）和初相，那么正弦量就完全确定了。
由此，在本节引入正弦量的相量表示法，就是利用复数来表示正弦交流量的一种方法。
它是交流电路分析计算中最为方便的一种。
一、复数（一）复数的四种表示形式1、复数的代数形式。
jba A +=2、复数的三角形式)sin (cos sin cos ψψψψj A A j A A +=+=ψj eA A =ψ∠=A A 3、复数的指数形4、复数的极坐标形式（二）复数的运算1、加减运算复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
设两个复数：11111ψ∠=+=A jb a A 22222ψ∠=++=A jb a A )()()()(2121221121b b j a a jb a jb a A A ±+±=+±+=±2、乘除运算通常情况下，将复数转化为极坐标形式（或指数形式）来进行乘除运算，更加方便些。
相乘运算时，乘积的模等于各复数的模相乘，乘积的辐角等于各复数幅角相加；相除运算时，商的模等于各复数的模相除，商的辐角等于各复数幅角相减。
即)(2121221121ψψψψ+∠=∠⨯∠=A A A A A A )(212121ψψ-∠=A A A A32.17101j A -=566.82j A +=212121,,A A A A A A -【例3-4】已知两复数求602032.17101-∠=-=j A3010566.82∠=+=j A 7.834.1232.1234.1)532.17()66.810(21∠=+=----=-j j A A 29023010602021j A A =-∠=∠-∠=1002.173302003010602021j A A -=-∠=∠⨯-∠= 解二、正弦量的相量表示法在正弦量的三要素中，只有有效值（或最大值）和初相两个要素是待求的未知量，而数学中的每个复数对应着唯一的模和幅角两个要素，因此，频率已知的正弦量和复数之间存在着对应的关系。
电路分析第08章.相量法
w1 w2
不能比较相位差
(4) i1(t ) 5 cos(100 t 300 ) i2 (t ) 3 cos(100 t + 300 )
i2 (t ) 3 cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
则:
A1 A2
A1 e jq1
A2 e jq2
A1
A e j(q1 +q2 ) 2
A1 A2 q1 + q 2 乘法：模相乘，幅角相加。
A1 A2
| A1 | θ 1 | A2 | θ 2
| A1 | e jθ1 | A2 | e jθ 2
| A1 | e j( θ 1θ 2 ) | A2 |
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w
d dt
2
f
2
T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
i
T
(3) 初相位(initial phse angle)qi
反映正弦量的计时起点时 的相角，常用角度表示。
qi
Im O
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，幅角相减。
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(3) 旋转因子：
复数 ejq =cosq +jsinq =1∠q
Im
A• ejq
q A
0
Re
A• ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ，而模不变。故
第五章 正弦交流电路中的电压、电流、相量法
.
i(t) Ii(t)
2
Im
.
I
wt
.
u(t) U u(t)
相量也可以用振幅值来定义。
2 ImU. wt
2. 相量图及参考相量
在复平面上可用一个矢量表示相量， 该矢量称正弦量的相量 图(也简称相量)， 其符号与相量相同， 如图5.6(a)所示。画几个同 频率正弦量的相量图时， 可选择某一相量作为参考相量先画出， 再根据其它正弦量与参考正弦量的相位差画出其它相量。 参考相 量的位置可根据需要， 任意选择。
5.11 双口网络
重点：
• 相位差 • 正弦量的相量表示 • 复阻抗复导纳 • 相量图 • 用相量法分析正弦稳态电路 • 正弦交流电路中的功率分析
5. 1 正弦量的基本概念
一. 正弦量的三要素：
i + u_
i(t)=Imsin(w t +y )
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im
2 I e 2 I j 2 I j(wt )i
cos(wt i )
sin(wt i )
上式的虚部恰好是正弦电流i， 即
i I m
2 e 2 I m Ie e 2 I m I e j(wt)i
ji jwt
. jwt
上式中， Im［ ］是“取复数虚部”的意思， 而
.
I Ie j(wti ) I i
e jωt = /ωt 是一个旋转因子。 相量
..
2 I Im
乘以 /ωt
表示
相量 m以ω为角速度沿逆时针方向旋转， t=0时， 幅角位于φ i 处。
旋转相量在虚轴上的投影 I sin(ω2t+φi )为正弦量的瞬时值。
电工基础正弦交流电路的相量分析法5.5 相量分析法
第２ 、３点是如何正确画出相量图的主要依据．
二.用相量图法求解电路
１.参考相量的选择 （１）对于串联电路，选电流为参考相量 （２）对于并联电路，选电压为参考相量 （３）对于混联电路，参考相量选择比较灵活， 可根
据已知条件综合考虑 （４）较复杂的混联电路，常选末端电压或电 流为参考相量．
(b)设： U U0V， 先画出参考相量 U ，依据
Ｒ、Ｌ、Ｃ各元件电压电流相位关系，依次画出
可I分R 别、I定L 性、I画C 出相如量图，4由-36IL(a)I
C,IL
、(b)
IC及IL IC 三种情况 、(c)所示相量
图，最后电路ＫＣＬ方程 I IR IL IC
I IR IL
画出相量图如图4－35(b)所示．由直角三角形
ＯＡＢ可得
IL
I2
I
2 R
52 32 4A
电流表读数为４Ａ．
此题也可按比例用几何方法画出相量图，然后用量尺
测出 IL 的长度值即为电流表读数．
例 4-14 定性画出ＲＬＣ串联电路和ＲＬＣ并联电路的 相量图，它们的电路相量图模型如图4-36(a)和图
根据题意可知 I UR 与 U 同相，且UC U UR 由相量图
可求得 UC 。在电容元件上 I1 超前UC90，且 I2 I I1 ，
从而画出 I1 及 I2 。在 R2 上UR2与 I2 相同，
又 UX 2 UC UR2 ，可画出 UR2 和 UX 2 。
cos 2 I I 2 17.32 20
UX 2
U
2 C
U
2 R2
正弦交流电路中的正弦电压和电流等物理量
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➢电感元件的功率
瞬时功率 p>0，电感元件吸收能量; p<0，电感元件释放能量。 电感元件不消耗电能， 它是一种储能元件。
平均功率
感性无功功率:工程中为了表示能量交换的规模大小，将电感瞬时
功率的最大值定义为电感的无功功率 。
2020/6/28
用QL表示 ,基本单位是乏（Var）。
用初始位置的有向线段画出的
若干个同频率正弦量相量的图
形。
2020/6/28
【例3-4】试写出表示uA=220sin 314t V,uB=220sin（314t-120°） V和 uC=220sin（314t+120°) V的相量，并画出相量图。
解 :分别用有效值相量 U、&A 和U&B 表U&示C 正弦电压uA、uB和uC， 则
2
U Um 2
例：已知 少？
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u=220 2sin(ωt+φ)V ，求最大值和有效值为多
2.频率与周期
周期T:正弦量变化一次所需的时间（秒）。 频率f:每秒内变化的次数称为，单位赫兹（Hz）。
f 1 T
工频:我国采用50 Hz作为电力标准频率。 角频率:交流电在1秒钟内变化的电角度。
U&A 220 0o 220 V
U&B
220 120o 220( 1 j 2
3) V 2
U&C
220 120o 220( 1 j 2
3) 2
V
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3.3 交流电路基本元件与基本定律
一、交流电路基本元件 1.电容元件
i C du dt
电容元件有隔直流通交流的作用。
-正弦电压和电流
弦电流的函数表达式如式(10－1)所示，其波形图如图所示。
(a) 初相>0的情况 (b) 初相=0的情况
(c) 初相<0的情况
上式中的Im是正弦电流的最大值，称为正弦电流的振 幅(取正值)。上式中的ω表示每单位时间变化的弧度数，称 为正弦电流的角频率，其单位为弧度/秒(rad/s)。由于正弦 量的一个周期对应2弧度，角频率与周期T 和频率f的关系 为
解：电压u(t)与电流i1(t)的相位差为
电压 u(t)与电流i2(t)的相位差为
习惯上将相位差的范围控制在 -180°到+180°之间， 我们不说电压u(t)与电流i2(t)的相位差为-240 ，而说电压 u(t)与电流i2(t)的相位差为(360-240)=120。
三、正弦电压电流的相量表示
(a)电流i1(t)超前于电流i2(t) 图10-3 (b)电流i1(t)滞后于电流i2(t)
(a) 同相
(b) 正交
(c) 反相
同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况。
1. 同相:如果相位差=1-2=0,称电流i1(t)与电流i2(t)同
相，如图(a)所示；
2. 正交:如果相位差=1-2=/2，称电流i1(t)与电流
(a) 初相>0的情况 (b) 初相=0的情况
(c) 初相<0的情况
我国供电系统使用的正弦交流电，其频率f=50Hz(赫
兹)，周期T=1/f=20ms。式(10－1)中的(ωt+i)称为正弦电 流的相位，其中i =(ωt+i)|t=0是t=0时刻的相位，称为初相。
初相的取值范围通常在-到+之间，其数值决定正弦电流 波形起点的位置。
电子科大《电路分析》第10章 正弦稳态分析
解： 2f 100 rad / s
u1 (t ) 50 cos(100t 30)V u2 (t ) 100 cos(100t 150)V
今后我们所见到的正弦波无非以三种形式来描述：
u2 (t ) 100 cos(100t 150)V I1m 560 A 2. I m I m I cos I sin I1m 6 j 7 A 3. I m m m
§10-4 三种基本电路元件伏安关系的相量形式
电阻:
U m RI m ,
U RI
U RI ,
u i
同相 正交
正交
电感:
U m jLI m ,
U jLI
U LI ,
u i 90
I jCU
电容:
I m jCU m ,
12 90,13 210, 23 120
13 150
规定相位差
二、正弦电压电流的相量表示
由欧拉公式有:
e
j
cos j sin
e
j (t )
cos(t ) j sin( t )
U e j 令U m m
§10-3 基尔霍夫定律的相量形式
虽然相量法将微分方程在正弦激励下的特解化成了
复数方程的求解，但对高阶电路，微分方程的建立仍是
一件很困难的工作。
对正弦激励下的电路，能否象直流激励下的电阻电 路那样，用观察法直接写出复数方程，回答是肯定的. 只要引入KCL, KVL和元件VCL的相量形式及相量模 型，就可以将电阻电路的所有分析方法推广到正弦稳态 电路。
一、简单推导
i1 i2 i3 0
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I
1 T
T 0
I
2 m
c
os2
(t
i )dt
1 T
I
2 m
T 1 cos2(t i ) dt
0
2
Im 2
0.707Im
同样可推得正弦电 压 u 的有效值为：
U
Um 2
0.707Um
有效值 的物理意义：
周期电流 i1通过电阻R，R在一周
i1
期时间T内吸收的电能为
R
w1
T 0
(1)
uC (0 ) uC (0 ) 0
(2)
(1) 式通解为：
iS
R
uC (t) uCh uCP
其中
t
uCh k e RC
(t=0)
设 uC p UCm cos(t u )
(3)
+
C uC
-
uC p U Cm sin(t u )
(4)
将(3)、(4)代入(1)式，化简可得：
UCm (1 R)2 (C)2 cos(t u arctg(CR))
求 u 与 i 的相位差 。
解： (120 o ) 120 o 240 o 即 120 o
u 超前 i (2 / 3) 弧度 。
8.2.4 正弦电压、电流的有效值
以电流为例讨论。
若周期电流 i 的周期为 T ，则其有效值 I定义
为：
I 1 T i2 (t)dt
T0
正弦电流 i Im cos( t i ) 的有效值为：
i12 Rdt
R
T 0
i12
dt
恒定电流 I2通过电阻R，R在T时间 内吸收的电能为
w2
I
2 2
RT
I2
R
若有 I22T
T 0
i12
dt
则有 w2 w1
即 I2
1
T
T 0
i12
dt
8.3复数的表示方法和复数运算
8.3.1 复数的表示方法 8.3.2 复数的运算
8.3.1 复数的表示方法
直角坐标形式：
A a1 ja 2 ( j 1)
其中 a1 、 a2 均为实数， a1 是A的实部， a2 是A的虚部。
向量表示：
+j
a ：复数A的模 ：复数A的辐角
a2
a
A
有：
a1
+1
i
i Im cos(t i )
+ u - u Um cos(t u )
8.2.2 正弦量的三要素
i Im cos(t i )
振幅 Im Im 是电流 i 的最大值。 角频率
是 i 的相角随时间变化的速度，称为角频率。
单位：弧度 / 秒，或写作 (1 / 秒)
电流 i 的频率为 f (赫兹、周 / 秒) ，周期为 T(秒) ， 有如下关系
u
t
i
ui 0 , u 与 i 同相
u
t
i
ui 0 , u 超前 i
u
i
ui 0 ,
t
u 滞后 i
u
t
i
ui , u 与 i 反相
ui 2 , u 与 i 正交
例1：已知 u1 10 sin(314 t 120 o ) (V ) u2 100 cos(314 t 30o ) (V )
uC 暂态分量
由于u与i 有关，而i 与计时起点（即开关动作的 时刻）有关 ，因此开关动作时刻的不同将会影响暂态
分量的大小。
8.2 正弦电压和电流
8.2.1 正弦电压和电流 8.2.2 正弦量的三要素 8.2.3 同频率正弦量的相位差 8.2.4 正弦电流、正弦电压的有
效值
8.2.1 正弦电压和电流
uC (t) UCm cos(u )e RC UCm cos(t u )
自由分量 (暂态分量)
强制分量 (稳态分量)
自由分量的绝对值随时间按指数规律衰减，因此 又称为暂态分量。
强制分量是与电源同频率的正弦量，当 t = ，响 应中只剩下该正弦分量，此时称电路进入了正弦稳态。
(工程上认为，时间为3 或4 时，电路已进入稳态。)
求 u1 与 u2 的相位差 。 解：u1 10sin(314t 120o ) 10cos(314t 210o )
10cos(314t 150o ) (V )
150 o 30 o 120 o
即 u1 超前 u2 (2 / 3) 弧度 。
例2：已知 u Um cos(t 120 o ) (V ) i Im cos(t 120 o ) ( A)
暂态分量的初值与 u i arctg(CR) 有关。
若 u 2 ，则暂态分量为零，电路直接进入稳态；
若 u 0 或 u ，则暂态分量初值为 U cm ，暂 态分量在最初一段时间绝对值较大，使 uc 在这段时间 某些瞬时可能产生过电压。下图 为u=0 时uc 波形图。
稳态分量
t
-UC m
I sm cos(t i )
(5)
比较(5)式两边可得：u i arctg(CR)
UCm
I sm
(C)2 (1 R)2
即(1) 式通解为：
t
uC (t) k e RC UCm cos(t u )
代入初始条件(2)式，得： k UCm cos(u )
方程(1) 满足初始条件的解为： t
随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电 压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们
的瞬时值可用时间t 的 sin 函数或 cos 函数表示，
在以后的讨论中，均将它们表为 cos 函数。
给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要 先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确 定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。
8.1 正弦稳态电路
正弦电源作用下的一阶 电路
以一RC电路为例讨论。 电路如图，已知：
uC (0 ) 0
iS
R
(t=0)
+
C uC
-
is (t) Ism cos(t i ) ( A) (t 0)
求 uC (t) t 0
解：由KCL得方程
C
d uC dt
1 R uC
Ism cos(t i )
例: u Um cos(t u ) ,
i Im cos(t i )
u 与 i 的相位差 u i （可简计为 ）为：
ui (t u ) (t i ) u i
同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。 相位差 的单位：弧度、度。
相位差 是多值的，一般取 。
同频率正弦量相位差的几种情况
2f 2 (1 T )
初相位 i
i Im cos(t i )
i 是 t = 0 时刻 i 的相位，称为初相位（初相角） 单位：弧度、度。
由于 cos 函数是周期函数，故i 是多值的，一般
取
i
i 的值与计时起点的选择有关。
i
t
i
0
i 0
0
i
t
i 0
t
0
8.2.3 同频率正弦量的相位差