2018南通泰州一模数学
2018南通泰州一模数学
2018届高三年级第一次模拟考试(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x —y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________． 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)(第11题) (第12题)12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．求证：(1) MD ∥平面PAC ； (2) 平面ABN ⊥平面PMC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b. (1) 求sin B 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．18. (本小题满分16分)如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：(2) 设∠POD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.20. (本小题满分16分)若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，已知⊙O 1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T .点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M .若PM ＝3，求PT 的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ∈R ，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a >1，b >1，求b 2a －1＋a 2b －1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC ∥AD ，且AP ＝AB ＝AD ＝4，BC ＝2.(1) 求二面角PCDA 的余弦值；(2) 已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC ＝DH ，求PHPC的值．23. (本小题满分10分)(1) 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos nx ＝sin ⎝⎛⎭⎫n ＋12x 2sin 12x－12(x ∈R ，且x ≠2k π，k ∈Z)；(2) 求sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57. 658. 3 9.π610. e －2 11. 210 12. 42－4 13. 32 14. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞)15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以MD ∥AN.(3分)因为AN ⊂平面PAC ，MD ⊄平面PAC ， 所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点， 所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC ＝C ， 所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55.(6分)(2) 因为a ＝152b>b ， 所以A>B ，即0<B<π3.又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4(12分)＝－⎝⎛⎭⎫cos B cos π4－sin B sin π4＝－⎝⎛⎭⎫255×22－55×22＝－1010.(14分) 17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2c ＝42，(2分)解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ， 所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89， ① （2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分)所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ， 所以M 为AB 的中点．(6分)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k 2.(8分)所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，y M ＝k(x M ＋2)＝2k1＋2k 2，(10分) 代入x 2＋y 2＝89得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，(12分)即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． (1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)． 直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分)直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分)所以EF 的长度为f (θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(10分)②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2， 区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(3分)设sin θ＋2＝t ，则2<t<3，则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝⎛⎭⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)， 当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2. 故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x .令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分) 因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知 g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0， 所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0， 化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32，所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a ≠－32.(6分) (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)] ＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3) ＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3， 令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3.h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a ＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分)令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1.F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1.因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －t －2<－13－2＝－73， 所以M(a)<－73.(16分) 20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分) a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分)当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n .a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分)(2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分)因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，①n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立． 若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分)设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ，λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分) 所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d 3， b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d 3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d 3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ，连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T.由切割线定理得PM 2＝PC·PT ＝3.因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分)所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1CO 2＝2， 所以PT PC ＝23，即PC ＝32PT. 因为PC·PT ＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10分) B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12， 所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012.(10分) C. 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分)所以A (0，0)，B (－1，－1)，所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分)D. 解析：因为a >1，b >1，所以b 2a －1＋4(a －1)≥4b ，a 2b －1＋4(b －1)≥4a .(4分) 两式相加b 2a －1＋4(a －1)＋a 2b －1＋4(b －1)≥4b ＋4a ， 所以b 2a －1＋a 2b －1≥8.(8分) 当且仅当b 2a －1＝4(a －1)且a 2b －1＝4(b －1)时，等号成立， 即当a ＝b ＝2时，b 2a －1＋a 2b －1取得最小值为8.(10分) 22. 解析：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．(1) 由题意可知，DP →＝(0，－4，4)，DC →＝(4，－2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DP →＝0，n 1·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0. 令x ＝1，则y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23， 所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，PC →＝(4，2，－4)，DC →＝(4，－2，0)．设PH →＝λPC →＝(4λ，2λ，－4λ)，则DH →＝DP →＋PH →＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分)因为DC ＝DH ， 所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13. 因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分) 23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x 2sin 12x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x －sin ⎝⎛⎭⎫1－12x 2sin 12x ＝ 12sin 12x ×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分)②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x ×{sin ⎣⎡⎦⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12 ＝12sin 12x ×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12 ＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x 2sin 12x －12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋1＋12x 2sin 12x －12. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x 2sin 12x －12， 两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x＝12sin 212x ×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分) 所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin 2π12×[⎝⎛⎭⎫2 018＋12cos ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6cos π12]＝ 2 0152－3， 所以sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。
2018年江苏省泰州市兴化市中考数学一模试卷-普通用卷
2018年江苏省泰州市兴化市中考数学一模试卷副标题一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.16的平方根是A. B. C. 4 D. 22.下列计算错误的是A. B. C. D.3.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是A. 等边三角形B. 正六边形C. 正方形D. 圆4.在一次中学生汉字听写大赛中，某中学代表队6名同学的笔试成绩分别为75，85，91，85，95，关于这6名学生成绩，下列说法正确的是A. 平均数是87B. 中位数是88C. 众数是85D. 方差是2305.用反证法证明命题：如果，，那么，证明的第一个步骤是A. 假设B. 假设C. 假设CD和EF不平行D. 假设AB和EF不平行6.如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延的路径移动，设点E经过的路径长为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是A. B.C. D.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.5的相反数是______．8.已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为______千克．9.若某种彩票的中奖率为，则“小明选中一张彩票一定中奖”这一事件是______必然事件、不可能事件、随机事件．10.若，则______．11.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么______．12.如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______．13.若方程的两根分别为m、n，则______．14.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道、C在同一水平面上，为了测量B、C两地之间的距离，某工程队乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为，则BC两地间的距离为______15.如图，以AD为直径的半圆O经过的斜边A的两个端点，交直角边AC于点E.B、E是半圆弧的三等分点，若，则图中阴影部分的面积为______．16.已知D是等边边AB上的一点，现将折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上如图，若AD：：4，则CE：______．三、计算题（本大题共2小题，共26.0分）17.计算：；解不等式：．18.已知直线与抛物线交于点和点B，且．当时，直接写出该抛物线顶点的坐标．求点B的坐标用含m的代数式表示．设抛物线顶点为C，记的面积为S．若，求线段AB长度的取值范围；当时，求对应的抛物线的函数表达式．四、解答题（本大题共8小题，共76.0分）19.初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：在这次评价中，一共抽查了______名学生；请将条形图补充完整；如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？20.小明最喜欢吃芝麻馅的汤圆了，一天早晨小明妈妈给小明下了四个大汤圆，一个花生馅，一个水果馅，两个芝麻馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其他一切均相同．求小明吃第一个汤圆恰好是芝麻馅的概率；请利用树状图或列表法，求小明吃前两个汤圆恰好是芝麻馅的概率．21.如图，在中，，是的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母保留作图痕迹，不写作法作的平分线AM；作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF探究与猜想：若，求的度数．22.如图，在中，D是BC边的中点，分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE．求证：四边形BECF是平行四边形；若，在不添加辅助线的条件下，直接写出与面积相等的所有三角形．23.如图，点C在上，连接CO并延长交弦AB于点D，，连接AC、OB，若，．求弦AB的长；求的值．24.平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一个交点为．求k的值；，分别是该双曲线上的两点，直接写出当时，n的取值范围．25.为了迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面彩旗如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？26.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上对角线EG、FP相交于点O．若，求AE的长；连接AC，判断点O是否在AC上，并说明理由；在点P从点A到点B的运动过程中，正方形PEFG也随之运动，求DE的最小值．答案和解析【答案】1. A2. A3. A4. C5. C6. D7.8.9. 随机事件10. 211.12.13. 2614.15.16. 2：317. 解：原式；去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．18. 解：抛物线过点，得，当时，，则抛物线顶点坐标为；由题意得，，整理得，，即，解得或，点坐标为；由勾股定理可得，，，随的增大而减小，当时，有最大值405，则AB有最大值，当时，有最小值125，则AB有最小值，线段AB长度的取值范围为；设抛物线对称轴交直线与点E，抛物线对称轴为，点E在直线AB：上，，，，且，的面积，解得或，对应的抛物线的函数表达式为或．19. 56020. 解：小明吃第一个汤圆，可能的结果有4种，其中是芝麻馅的结果有2种，小明吃第一个汤圆恰好是芝麻馅的概率；分别用A，B，C表示花生馅，水果馅，芝麻馅的大汤圆，画树状图得：共有12种等可能的结果，小明吃前两个汤圆恰好是芝麻馅的有2种情况，小明吃前两个汤圆恰好是芝麻馅的概率为．21. 解：如图，AM为所作；，，平分，，而，，垂直平分AC，，，，，．22. 证明：在与中是AB中点，，，在与中，≌，四边形BFEC是平行四边形；与面积相等的三角形有、、、、．23. 解：过圆心O，，，，，，，，；设圆O的半径为r，则，，，，即，解得，，，．24. 解：直线于双曲线的一个交点为，把代入一次函数解析式，得：，即，的坐标为，把P点坐标代入，得：；根据题意得：当时，n的取值范围为或．25. 解；设每个小组有x名学生，根据题意得：，解之得，经检验，是原方程的解，且符合题意．答：每组有10名学生．26. 解：四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，，，，，，，，∽ ，，即，解得：；点O在AC上．理由：过点O分别作AD、AB的垂线，垂足分别为M、N，四边形ABCD是正方形，，四边形ANOM是矩形，，四边形EFGP是正方形，，，，，≌ ，，点O在的平分线上，是的平分线，点O在AC上．设，则，∽ ，，即，解得：，，所以DE的最小值为3．【解析】1. 解：，的平方根是，故选：A．根据平方根的概念即可求出答案，本题考查平方根的概念，属于基础题型．2. 解：A、、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、，此选项正确；C、，此选项正确；D、，此选项正确；故选：A．根据二次根式的运算法则逐一计算即可得出答案．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．3. 解：等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，A正确；正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，B错误；正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，C错误；圆是轴对称图形，也是中心对称图形，D错误；故选：A．根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4. 解：，故A错误；按大小顺序排列95，91，85，85，85，75，中间两个数为85，故B错误；出现了3次，次数最多，故众数是85，故C正确，，故D错误；故选：C．根据平均数、众数、中位数以及方差的定义进行计算即可．本题考查了平均数、众数、中位数以及方差，掌握计算方法是解题的关键．5. 解：用反证法证明时，应先设CD与EF不平行故选C．熟记反证法的步骤，然后进行判断．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．6. 解：点E沿运动，的面积逐渐变大，设菱形的变形为a，，边上的高为，，点E沿移动，的面积不变；点E沿的路径移动，的面积逐渐减小．，故选：D．分三段来考虑点E沿运动，的面积逐渐变大；点E沿移动，的面积不变；点E沿的路径移动，的面积逐渐减小，据此选择即可．本题主要考查了动点问题的函数图象注意分段考虑．7. 解：根据相反数的定义有：5的相反数是．故答案为．根据相反数的概念解答即可．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．8. 解：．故答案为：．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9. 解：若某种彩票的中奖率为，则“小明选中一张彩票一定中奖”这一事件是随机事件，故答案为：随机事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10. 解：原式，当时，原式．首先把所求的式子化成的形式，然后代入求值．本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求式子进行变形是关键．11. 解：给图中角标上序号，如图所示．，，，．故答案为：．由三角形的内角和为即可得出结合即可求出的度数，再由和为对顶角即可得出的度数．本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形的内角和为求出的度数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的内角和以及另外两角的度数求出第三个角的度数是关键．12. 解：连接CD．则，，则．故答案是：．首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．13. 解：方程的两根分别为m、n，，，．故答案为：26．根据根与系数的关系可得、，将其代入中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．14. 解：根据题意得：，，，在中，．故答案为：．首先根据题意得：，，，然后利用正切函数的定义求解即可求得答案．本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，此题难度不大，注意掌握数形结合思想应用．15. 解：连接BD，BE，BO，EO，，E是半圆弧的三等分点，，，，，，，，，，和同底等高，和面积相等，图中阴影部分的面积为：．扇形故答案为：．先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用扇形图中阴影部分的面积求出即可．此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出和面积相等是解题关键．16. 解：如图所示，连接DE，DF，由折叠可得，，，，又，，，∽ ，设，则，，，，的周长为6a，的周长为9a，，：：3．故答案为：2：3．设，则，，，，即可得到的周长为6a，的周长为9a，依据 ∽ ，即可得到，即可得出CE：：3．此题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质的综合运用，解决问题的关键是利用相似三角形的周长之比等于相似比进行计算求解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17. 先化简二次根式、代入三角函数值、计算负整数指数幂、去绝对值符号，再去括号，计算加减可得；根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质、三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质及解不等式的基本步骤．18. 把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质计算；联立一次函数、二次函数解析式，解方程组求出B点坐标；利用坐标平面内两点的距离公式计算；根据的面积计算．本题考查的是二次函数的性质、一次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤，掌握二次函数的性质、坐标平面内两点的距离的求法是解题的关键．19. 解：调查的总人数是：人，“讲解题目”的人数是：人．在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：人．根据专注听讲的人数是224人，所占的比例是，即可求得抽查的总人数；利用总人数减去其他各组的人数，即可求得讲解题目的人数，从而作出频数分布直方图；利用6000乘以对应的比例即可．本题考查扇形统计图及相关计算在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与比．20. 根据小明吃第一个汤圆，可能的结果有4种，其中是芝麻馅的结果有2种，即可得到小明吃第一个汤圆恰好是芝麻馅的概率；首先分别用A，B，C表示花生馅，水果馅，芝麻馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明吃前两个汤圆恰好是芝麻馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了树状图法与列表法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．21. 利用基本作图作AM平分；先画出几何图形，再证明，接着根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后利用平角的定义计算出，从而得到的度数．本题考查了作图复杂作图：杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了等腰三角形的性质．22. 根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定证明即可；利用三角形的面积解答即可．本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出．23. 根据勾股定理求出AD，根据垂径定理解答；根据勾股定理求出r，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及正弦的定义是解题的关键．24. 把P点坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出P点坐标，把P点坐标代入反比例解析式求出k的值即可；由题意，结合图象及反比例函数的增减性求出n的范围即可．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25. 关键描述语是：“这两个小组的每一名学生就要比原计划多做4面彩旗”等量关系为：实际每个学生做的彩旗数原来每个学生做的旗数．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26. 只要证明 ∽ ，可得由此即可解决问题；点O在AC上过点O分别作AD、AB的垂线，垂足分别为M、N，只要证明 ≌ ，可得；利用相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题；本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数最值问题，属于中考压轴题．。
泰州市2018年九年级数学一模试卷及答案
九年级数学一模试题(本试卷共150分 考试时间120分钟> 2018.4请注意：考生须将本卷答案答到答题纸上，答案写在试卷上无效！一、选择题(每题3分，共24分>1．51-的倒数是A. －5B.15C.15- D. 5 2．下列运算正确的是A ．236·a a a =B ．1122-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C4=±D ．|6|6-=3．2018年3月5日上午，国务院总理温家宝向第十一届全国人大五次会议作政府工作报告时提出，2018年中央财政要进一步增加教育投入，国家财政性教育经费支出21984.63亿元.将21984.63用科学记数法可表示为wCYKXnWsFZ A ．21.98463⨯103 B ．0.2198463⨯105C ．2.198463⨯104D ． 2.198463⨯103wCYKXnWsFZ 4．下列几何体的正视图与众不同的是5(p p 一个常数k ，即pv k =(k 为常数，0k >>，下列图象能正确反映p 与v 之间函数关系图像的是wCYKXnWsFZ6．⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4，若两圆相交，则圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是A B C DA B CDwCYKXnWsFZ7．在“走进苏馨家园奉献助残爱心”的活动中，某班50位同学捐款金额统计如下，则在这次活动中，该班同学捐款金额的中．35元8．把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 与S2的大小关系是wCYKXnWsFZA. S1 >S2B. S1 < S2C. S1 = S2D. 无法确定二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．>9. 点A(2, 3->关于原点对称的点的坐标为 .10．分解因式：3x2－27=__________ ．11.函数y=的自变量x的取值范围是__________________.12．如果关于x的方程x x a240++=有两个相等的实数根，那么a=__________.13．如图，梯形ABCD纸片，AD∥BC，现将纸片沿EF折叠，使点C 与点A重合，点D落在点G处，展开后，若∠AFG＝30°，则∠CEF图1 图2x第13题 第16题第18题wCYKXnWsFZ 14．已知实数m 是关于x 的方程x2－3x －1=０的一根，则代数式2m2－6m +2值为_____．15．我国从2018年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错(或不答>一题记-5分，小明参加竞赛得分要超过100分，他至少要答对 道题.wCYKXnWsFZ 16．如图，D 是反比例函数)0(<=k x k y 的图像上一点，过D 作DE ⊥x 轴于E ，DC ⊥y 轴于C ，一次函数y x m =-+与233+-=x y 的图象都经过点C ，与x 轴分别交于wCYKXnWsFZ18．一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE = FB = xcm 。
江苏省泰州中学2018届高三上学期摸底数学试卷 含解析
2018-2018学年江苏省泰州中学高三（上）摸底数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．已知集合A={x|x＞0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B等于．2．已知复数z满足（1+i）•z=﹣i，则的模为．3．已知+=2，则a=．4．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为．5．若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．6．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是．7．下面求2+5+8+11+…+2018的值的伪代码中，正整数m的最大值为．8．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=．9．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k ＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．10．函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为．11．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）及圆上的点A（0，﹣r），过点A的直线l交圆于另一点B，交x轴于点C，若OC=BC，则直线l的斜率为．12．已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．13．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．14．设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）证明：sinβ．16．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．17．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．18．已知椭圆Γ：．（1）椭圆Γ的短轴端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M（m，）满足m≠0，且m．①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值；（2）若圆φ：x2+y2=4．l1，l2是过点P（0，﹣1）的两条互相垂直的直线，其中l1交圆φ于T、R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q．求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程．19．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=t（S n﹣a n+1）（t为常数，且t≠0，t≠1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+S n a n，若数列{b n}为等比数列，求t的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n=4a n+1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式≥2n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20．已知函数f（x）=（e为自然数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数x使得f（1﹣x）=f（1+x），若存在求出x，否则说明理由；（3）若存在不等实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），证明：f（）＜0．2018-2018学年江苏省泰州中学高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1．已知集合A={x|x＞0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B等于．【考点】交集及其运算．【分析】直接由交集的运算性质得答案．【解答】解：由集合A={x|x＞0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B={x|x＞0}∩{﹣1，0，1，2}={1，2}．故答案为：{1，2}．2．已知复数z满足（1+i）•z=﹣i，则的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式变形得到，运用复数的除法运算化简z，从而得到，则的模可求．【解答】解：由（1+i）•z=﹣i，得：．所以，所以．故答案为．3．已知+=2，则a=．【考点】对数的运算性质．【分析】利用换底公式对等式进行化简，便可求出a值．【解答】解：，可化为log a2+log a3=2，即log a6=2，所以a2=6，又a＞0，所以a=．故答案为：．4．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为．【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图计算甲乙的平均数，利用古典概率的概率公式即可得到结论．【解答】解：由图示可知，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90，设被污损的数字为x，则乙的平均成绩为90+（﹣7﹣7﹣3+9+x）＞90，即x﹣8＞0，解得x＞8．即x=9，故所求概率为．故答案为：5．若双曲线x2﹣=1的焦点到渐进线的距离为2，则实数k的值是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值【解答】解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是．由焦点到渐近线的距离为，不妨．解得k=8．故答案为8．6．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】如图，大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，结合题意计算可得答案．【解答】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA=，OB=1所以旋转体的体积：故答案为：7．下面求2+5+8+11+…+2018的值的伪代码中，正整数m的最大值为．【考点】伪代码．【分析】根据已知中程序的功能，我们可以分析出累加项的步长为3，循环变量I的终值为2018，故2018＜m＜2018，进而可得m的最大值．【解答】解：由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于累加项的步长为3，循环变量I的终值为2018故2018＜m＜2018由于m是正整数，所以最大值为2018．故答案为：20188．向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），|﹣2|=．【考点】向量的模；平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积运算及其性质、向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵向量=（cos10°，sin10°），=（cos70°，sin70°），∴=cos10°cos70°+sin10°sin70°=cos（70°﹣10°）=cos60°=．||==1，同理=1．∴|﹣2|===．故答案为：．9．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k ＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．【考点】函数的值域．【分析】由于f（x）在定义域{x|x＞0}内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx的两个不同根．∴k=1+，令1+=g（x），令g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=1+有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．10．函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为．【考点】奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的性质．【分析】构造函数g（x）=﹣，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．【解答】解：f（x）=1﹣，x∈R．设g（x）=﹣，因为g（﹣x）=﹣==﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为211．已知圆O：x2+y2=r2（r＞0）及圆上的点A（0，﹣r），过点A的直线l交圆于另一点B，交x轴于点C，若OC=BC，则直线l的斜率为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx﹣r，求出B，C的坐标，利用OC=BC，建立方程，即可求出直线l的斜率．【解答】解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx﹣r，联立直线与圆的方程，可得B（，），∵C（，0），OC=BC，∴（）2=（﹣）2+[]2，解得k=±．故答案为：±．12．已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．【考点】解三角形．【分析】设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=9﹣3mn，利用基本不等式，可得，再利用△CDE的外接圆的半径，即可得到结论．【解答】解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=9﹣3mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．13．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．【考点】简单线性规划；函数恒成立问题．【分析】确定约束条件的平面区域，求得与原点连线的斜率的范围，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可得到结论．【解答】解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+=∴a≥1+=∴实数a的最小值是故答案为：14．设等比数列{a n}满足公比q∈N*，a n∈N*，且{a n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a1=281，则q的所有可能取值的集合为．【考点】等比数列的通项公式．【分析】依题意可求得该等比数列的通项公式a n，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，求得q=，分析即可．【解答】解：由题意，a n=281q n﹣1，设该数列中的任意两项为a m，a t，它们的积为a p，则为a m•a t=a p，即281q m﹣1•281q t﹣1=281•q p﹣1，（q，m，t，p∈N*），∴q=，故p﹣m﹣t+1必是81的正约数，即p﹣m﹣t+1的可能取值为1，3，9，27，81，即的可能取值为1，3，9，27，81，所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知0＜α＜＜β＜π且sin（α+β）=，tan=．（1）求cosα的值；（2）证明：sinβ．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；半角的三角函数．【分析】（1）利用二倍角的正切公式可求得tanα，结合0＜α＜即可求得cosα的值；（2）由于β=（α+β）﹣α，利用两角差的正弦结合已知即可求得sinβ的值，从而使结论得证．【解答】解：（1）将tan=代入tanα=得：tanα=所以，又α∈（0，），解得cosα=．（2）证明：∵0＜α＜＜β＜π，∴＜α+β＜，又sin（α+β）=，所以cos（α+β）=﹣，由（1）可得sinα=，所以sinβ=sin[（α+β）﹣α]=×﹣（﹣）×=＞．16．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．17．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入即可．（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下：【解答】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1g（x）===．（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1∴g（x）====．当21≤x≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．18．已知椭圆Γ：．（1）椭圆Γ的短轴端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点M（m，）满足m≠0，且m．①证明直线EF与y轴交点的位置与m无关；②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值；（2）若圆φ：x2+y2=4．l1，l2是过点P（0，﹣1）的两条互相垂直的直线，其中l1交圆φ于T、R两点，l2交椭圆Γ于另一点Q．求△TRQ面积取最大值时直线l1的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）①设出AM和BM的方程，与椭圆方程联立表示出E，F的坐标，用两点式写出EF的方程，令x=0即可确定与y轴的交点；②根据△BME面积是△AMF面积的5倍可推出5|MA||MF|=|MB||ME|，从而建立关于m的方程，求解即可；（2）直接设出两条直线方程，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，表示出|OP|，然后表示出△TRQ面积，利用基本不等式可求出最大值，并确定直线方程．【解答】解：（1）①A（0，1），B（0，﹣1），M （m，），且m≠0，∴直线AM的斜率为，直线BM斜率为，∴直线AM的方程为，直线BM的方程为．由得（m2+1）x2﹣4mx=0，∴x=0或x=．∴E 点的坐标为（）．由得（m 2+9）x 2﹣12mx=0，解得x=0或x=．∴F 点的坐标为（）；由已知，m ≠0，m 2≠3，∴直线EF 的斜率==．∴直线EF 的方程为，令x=0，得y=2，∴EF 与y 轴交点的位置与m 无关．②，，∠AMF=∠BME ，5S △AMF =S △BME ， ∴5|MA ||MF |=|MB ||ME |，∴，∴，（m ≠0），∴整理方程得，即（m 2﹣3）（m 2﹣1）=0，又∵，∴m2﹣3≠0，∴m2=1，∴m=±1（2）∵直线l1⊥l2，且都过点P（0，﹣1），∴设直线l1：y=kx﹣1，即kx﹣y﹣1=0．直线，即x+ky+k=0，∴圆心（0，0）到直线l1的距离为，∴直线l1被圆x2+y2=4所截的弦=；由得，k2x2+4x2+8kx=0，∴，∴．∴=．当，即时等号成立，此时直线19．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =t （S n ﹣a n +1）（t 为常数，且t ≠0，t ≠1）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =a n 2+S n a n ，若数列{b n }为等比数列，求t 的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设c n =4a n +1，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式≥2n ﹣7对任意的n ∈N *恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质；数列递推式．【分析】（1）当n=1时，S 1=t （S 1﹣a 1+1），得a 1=t ．当n ≥2时，由（1﹣t ）S n =﹣ta n +t ，得，（1﹣t ）S n ﹣1=﹣ta n ﹣1+t ．故a n =ta n ﹣1，由此能求出{a n }的通项公式．（2）由，得数列{b n }为等比数列，，由此能求出t 的值．（3）由t=，得，所以，由不等式恒成立，得恒成立，由此能求出实数k 的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，S 1=t （S 1﹣a 1+1），得a 1=t ． 当n ≥2时，由S n =t （S n ﹣a n +1）， 即（1﹣t ）S n =﹣ta n +t ，① 得，（1﹣t ）S n ﹣1=﹣ta n ﹣1+t ，②①﹣②，得（1﹣t ）a n =﹣ta n +ta n ﹣1， 即a n =ta n ﹣1，∴，∴{a n }是等比数列，且公比是t ，∴．（2）由（1）知，，即，若数列{b n}为等比数列，则有，而，故[a3（2t+1）]2=（2a2）•a4（2t2+t+1），解得，再将代入b n，得，由，知{b n}为等比数列，∴t=．（3）由，知，∴，∴，由不等式恒成立，得恒成立，设，由，∴当n≤4时，d n+1＞d n，当n≥4时，d n+1＜d n，而，∴d4＜d5，∴，∴．20．已知函数f（x）=（e为自然数的底数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数x使得f（1﹣x）=f（1+x），若存在求出x，否则说明理由；（3）若存在不等实数x1，x2，使得f（x1）=f（x2），证明：f（）＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论x的范围，假设存在x使得f（1﹣x）=f（1+x），当x=1时不成立，当x≠1时化简整理得e2x=，进一步说明x＞1，0＜x＜1，﹣1＜x＜0，x＜﹣1时不成立；（3）由于存在不等实数x1、x2，使得f（x1）=f（x2），即x1﹣lnx1=x2﹣lnx2，令g（x）=x ﹣lnx，g（x1）=g（x2），不妨设0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，g（2﹣x1）﹣g（x2）=g（2﹣x1）﹣g（x1），化简整理，设F（t）=﹣lnt，求出导数，判断单调性，得到x1+x2＞2，即可得证【解答】解：（1）f′（x）==，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）①若存在正实数x，使得f（1﹣x）=f（1+x），即有=．当x=1时等式左边等于0，右边大于0，等式不成立；当x≠1时整理得e2x=，当x＞1时，等式左边大于0，右边小于0，等式不成立，当0＜x＜1时，有e2x＜，故不存在正实数x，使得f（1﹣x）=f（1+x）；②同理可证不存在负实数x，使得f（1﹣x）=f（1+x）；③x=0时，显然满足条件，综上x=0时，存在实数x使得f（1﹣x）=f（1+x）；（3）证明：由于存在不等实数x1、x2，使得f（x1）=f（x2），即为=，即=ex1﹣x2，即有x1﹣x2=lnx1﹣lnx2，即x1﹣lnx1=x2﹣lnx2，令g（x）=x﹣lnx，g′（x）=1﹣，g（x1）=g（x2），不妨设0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，而g（2﹣x1）﹣g（x2）=g（2﹣x1）﹣g（x1）=（2﹣x1）﹣ln（2﹣x1）﹣x1+lnx1=2﹣2x1﹣ln，令=t，则t＞1，x1=，故F（t）=﹣lnt，故F′（t）=＜0，故F（t）在（1，+∞）上是减函数，故F（t）＜F（1）=0，故g（2﹣x1）﹣g（x2）＜0，又∵g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴2﹣x1＜x2，故x1+x2＞2，即＞1，则有f′（）=＜0，故f′（）＜02018年10月14日。
2018年江苏省泰州市高考数学一模试卷
2018年江苏省泰州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．(★)已知集合A={-1，0，a}，B={0，}．若B⊆A，则实数a的值为．2．(★)已知复数z= ，其中i为虚数单位，则复数z的实部为．3．(★)已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500．为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取名学生．4．(★)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．(★)某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为．6．(★★★)若实数x，y满足，则2x-y的最大值为．7．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线y 2=8x的焦点，则点F到双曲线- =1的渐近线的距离为．8．(★★)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a 2=1，a 8=a 6+6a 4，则a 3的值为．9．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，将函数y=sin（2x+ ）的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为．10．(★★)若曲线y=xlnx在x=1与x=t处的切线互相垂直，则正数t的值为．11．(★★★)如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为9 cm 2．若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为cm．（不计损耗）12．(★★★)如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，AD=1．点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ=45°，则•的最小值为．13．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-4，0），B（0，4），从直线AB上一点P向圆x 2+y 2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D．设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为．14．(★★★)已知函数f（x）= ，g（x）=x 2+1-2a．若函数y=f（g （x））有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．(★★★)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥PC，CA=CB，M是AB的中点．点N在棱PC上，点D是BN的中点．求证：（1）MD∥平面PAC；（2）平面ABN⊥平面PMC．16．(★★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a 2=b 2+c 2-bc，a=b．（1）求sinB的值；（2）求cos（C+ ）的值．17．(★★★)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4 ．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x 2+y 2= 上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．18．(★★★)如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O．规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F．（道路宽度忽略不计）（1）若PB经过圆心，求点P到AD的距离；（2）设∠POD=θ，θ∈（0，）．①试用θ表示EF的长度；②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．19．(★★★)已知函数g（x）=x 3+ax 2+bx（a，b∈R）有极值，且函数f（x）=（x+a）e x的极值点是g（x）的极值点，其中e是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式；（2）当a＞0时，若函数F（x）=f（x）-g（x）的最小值为M（a），证明：M（a）＜- ．20．(★★★)若数列{a n}同时满足：①对于任意的正整数n，a n+1≥a n恒成立；②对于给定的正整数k，a n-k+a n+k=2a n对于任意的正整数n（n＞k）恒成立，则称数列{a n}是“R（k）数列”．（1）已知a n= ，判断数列{a n}是否为“R（2）数列”，并说明理由；（2）已知数列{a n}是“R（3）数列”，且存在整数p（p＞1），使得b 3p-3，b 3p-1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n}是等差数列．一、【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．(★★★)如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T．点P为⊙O 1上一点，PM与⊙O 2切于点M．若PM= ，求PT的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．(★★★★)已知x∈R，向量是矩阵A= 的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A -1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．(★★★★★)已知a＞1，b＞1，求+ 的最小值．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．(★★★★)如图，四棱锥P-ABCD中，AP、AB、AD两两垂直，DE∥BC，且AP=AB=AD=4，BC=2．（1）求二面角P-CD-A的余弦值；（2）已知点H为线段PC上异于C的点，且DC=DH，求的值．26．(★★★★)（1）用数学归纳法证明：当n∈N *时，cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx= - （x∈R，且x≠2kπ，k∈Z）；（2）求sin +2sin +3sin +4sin +…+2018sin 的值．。
南通市、泰州市2018年高三年级第一次模拟考试含答案解析
江苏省南通市、泰州市2018届高三第一次模拟考试地理注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(综合题)两部分。
满分120分,考试用时100分钟。
2. 答题前,请考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:共60分。
(一) 单项选择题:本大题共18小题,每小题2分,共36分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
图1图1为“某日地球局部光照图(阴影部分为黑夜)”。
读图,回答12题。
1. 该日,甲地日落时间较乙地约( )A. 晚1小时B. 早2小时C. 早3小时D. 早5小时2. 该日前后,甲、乙两地( )A. 日出、日落方位相似B. 随地球自转的速度相同C. 昼长变化趋势一致D. 正午太阳高度变化趋势一致图2为“2018年1月25日南通天气预报示意图”。
读图,回答34题。
图23. 图3所示甲、乙、丙、丁四图中,符合南通1月3日海平面等压线(hPa)分布状况的是( )甲乙丙丁图3A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁图44. 图4为“大气受热过程示意图”,1月4日南通昼夜温差变小,是因为图示的( )A. ①变大、②变小B. ①变小、③变大C. ②变大、③变小D. ③变小、④变大贵州兴义地质公园拟申报世界地质公园。
图5为“贵州兴义地质园某地质景观图”。
读图回答56题。
图55. 构成图示地质构造的( )A. 岩石有气孔或流纹构造B. 岩石直接来自岩石圈底部C. 岩层可能含有煤、石油等矿产D. 岩石在高温高压条件下形成6. 塑造该地貌的地质作用依次是( )A. 水平挤压、侵蚀作用、地壳上升B. 地壳上升、水平挤压、侵蚀作用C. 侵蚀作用、地壳上升、水平挤压D. 水平挤压、地壳上升、侵蚀作用图6图6为“欧洲西南部罗讷河流域地形图”。
读图,回答78题。
7. 图示区域( )A. 地势西高东低B. 植被类型多样C. 国界线沿山脊延伸D. 大陆性气候分布广8. 若阿尔卑斯山森林大面积减少,则该区域( )A. 山地积雪大幅减少B. 罗讷河汛期流量增大C. 年降水总量增大D. 河流封冻期显著缩短表1为“2011—2015年中国和美国人口年龄结构统计表”。
2018年江苏省泰州市姜堰市中考一模数学试卷(解析版)
个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答
题卡相应位置上）
1．（3 分）﹣2 的相反数等于（ ）
A．
B．﹣
C．﹣2
D．2
【解答】解：﹣2 的相反数是﹣（﹣2）＝2． 故选：D． 2．（3 分）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D．
23．（10 分）经市场调查，发现进价为 40 元的某童装每月的销售量 y（件）与售 价 x（元）满足一次函数关系，且相关信息如下：
售价 x（元） 60
70
80
90
……
销售量 y（件） 280
260
240
220 ……
（1）求这个一次函数关系式； （2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？ 24．（10 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BAD＝90°，过 C 作 CE⊥AD
一定不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（3 分）如图，点 P 为函数 y＝ （x＞0）的图象上一点，且到两坐标轴距离
相等，⊙P 半径为 2，A（3，0），B（6，0），点 Q 是⊙P 上的动点，点 C 是 QB 的中点，则 AC 的最小值是（ ）
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分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的中位数为
．
11．（3 分）已知 a﹣b＝b﹣c＝ ，则 a﹣c＝
．
12．（3 分）如图，直线 l1∥l2，∠1＝40°，则∠2+∠3＝
2018年江苏省泰州市泰兴市济川中学中考数学一模试卷(3
2018年江苏省泰州市泰兴市济川中学中考数学一模试卷（3月份）一、选择题（每小题3分，共18分）1．﹣相反数的是（）A．B．﹣C．﹣D．2．下列运算中正确的是（）A．a+a=a2 B．a•a2=a2 C．（ab）2=a2b2 D．（a2）3=a53．已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B=20°，∠D=40°，那么∠BOD 为（）A．40° B．50° C．60° D．70°4．某校篮球班21名同学的身高如下表身高cm 180 186 188 192 208人数（个）4 6 5 4 2则该校篮球班21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（）A．186，186 B．186，187 C．186，188 D．208，1885．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“设”字对面是（）A．和B．谐C．泰D．州6．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共30分）7．函数中，自变量x的取值范围是．8．“文明城市”泰州市的总面积约为5790km2，把数5790用科学记数法表示为km2．9．分解因式：2x2﹣4xy+2y2=．10．在一个口袋中，装有质地、大小均相同、颜色不同的红球3个，蓝球4个，黄球5个，现在随机抽取一个球是红球的概率是．11．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的侧面积是．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为°．13．已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为．14．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b﹣1≤0的解集是．15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．16．如图，线段AB是半径为6.5的⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点M、N在线段AB上，MN=6，若∠MCN=45°，线段AM的长度为．三、解答题（共102分）17．（12分）（2018•泰兴市校级一模）（1）计算：（）﹣1﹣4sin60°++（3﹣π）0．（2）求不等式组的整数解．18．先化简÷（x﹣），其中x满足x2﹣5x﹣6=0．19．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此市教育局对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近50000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？20．小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同、正面分别写有1，2，3，4的四张卡片背面向上冼匀后，小伟和小欣各自随机抽取一张（不放回）．将小伟的数字作为十位数字，小欣的数字作为个位数字，组成一个两位数．如果所组成的两位数为偶数，则小伟胜；否则小欣胜．（1）当小伟抽取的卡片数字为2时，问两人谁获胜的可能性大？（2）通过计算判断这个游戏对小伟和小欣是否公平．21．（10分）（2014•通州区一模）列方程或方程组解应用题：现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装60台空调，两个安装队同时开工恰好同时安装完成，甲队比乙队平均每天多安装2台空调．求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．22．（10分）（2018•泰兴市校级一模）如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．23．（10分）（2018•泰兴市校级一模）如图，小明在大楼的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡角∠ABC=30°点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）山坡AB的坡度为；（2）若山坡AB的长为20米，求大楼的窗口P处距离地面的高度．24．（10分）（2018•泰兴市校级一模）如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2）B （﹣2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（1，a）（1）求直线AB和反比例函数的函数关系式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△OB1C1，当α为多少度时OC1⊥AB，并求此时线段AB1的长．25．（12分）（2018•泰兴市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+2的图象交坐标轴于点A和B，点M（a，0）在x轴正半轴上，以M为圆心，MO长为半径画⊙M．（1）当点M在线段OA上时①若BM平分∠OBA（如图1），求证：直线AB与⊙M相切；②若⊙M于直线AB相交于点C、D（如图2），试用含a的代数式表示CD2；（2）若⊙M于直线AB相交于点C、D，且∠CMD=120°，求a的值．26．（14分）（2018•泰兴市校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴正半轴上，点B坐标为（3，3），抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、C，交x轴负半轴于点D，与BC边的另一个交点为E，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的函数关系式；（2）点P在直线MN上，求当PE+PA的值最小时点P的坐标；（3）如图2，探索在x轴是否存在一点F，使∠CFO=∠CDO﹣∠CAO？若存在，求点F的坐标；不存在，说明理由；（4）将抛物线沿y轴方向平移m个单位后，顶点为Q，若QO平分∠CQN，求点Q的坐标．2018年江苏省泰州市泰兴市济川中学中考数学一模试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共18分）1．﹣相反数的是（）A．B．﹣C．﹣D．考点：相反数．分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：相反数的是．故选D．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易与倒数混淆．2．下列运算中正确的是（）A．a+a=a2 B．a•a2=a2 C．（ab）2=a2b2 D．（a2）3=a5考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确选项．解答：解：A、a+a=2a，原式计算错误，故本选项错误；B、a•a2=a3，原式计算错误，故本选项错误；C、（ab）2=a2b2，原式计算正确，故本选项正确；D、（a2）3=a6，原式计算错误，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等知识，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．3．已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B=20°，∠D=40°，那么∠BOD 为（）A．40° B．50° C．60° D．70°考点：平行线的性质．分析：由AB∥CD，∠B=20°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠BOD的度数．解答：解：∵AB∥CD，∠B=20°，∴∠C=∠B=20°，∵∠D=40°，∴∠BOD=∠C+∠D=60°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．4．某校篮球班21名同学的身高如下表身高cm 180 186 188 192 208人数（个）4 6 5 4 2则该校篮球班21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm）（）A．186，186 B．186，187 C．186，188 D．208，188考点：众数；中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．解答：解：众数是：186cm；中位数是：188cm．故选C．点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“设”字对面是（）A．和B．谐C．泰D．州考点：专题：正方体相对两个面上的文字．分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“建”与面“州”相对，面“和”与面“泰”相对，“谐”与面“设”相对．故选：B．点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：由四边形ABCD是正方形，证得△ADE≌△BAF，进而证得BF=AE，利用两角对应相等易得△AOE∽△ABF，那么问题得解．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠B=90°，∵DE⊥AF，∴∠ADE+∠DAO=∠DAO+∠OAF=90°∴∠ADE=∠OAE，在△ADE和△BAF中，，∴△ADE≌△BAF，∴BF=AE，∵AE=AB，∴BF=AB，设BF=1，则AB=2，∴AF=，∵∠AOE=∠B=90°．∠OAE=∠FAB，∴△AOE∽△ABF，∴．故选C．点评：本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和相似三角形的判定与应用；把所求的线段的比进行相应的转移是解决本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）7．函数中，自变量x的取值范围是x≤2．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：2﹣x≥0，解得：x≤2．故答案是：x≤2．点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．“文明城市”泰州市的总面积约为5790km2，把数5790用科学记数法表示为 5.8×103km2．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将5790km2用科学记数法表示为5.8×103．故答案为：5.8×103．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．分解因式：2x2﹣4xy+2y2=2（x﹣y）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式（常数2），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：2x2﹣4xy+2y2，=2（x2﹣2xy+y2），=2（x﹣y）2．故答案为：2（x﹣y）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用完全平方公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．10．在一个口袋中，装有质地、大小均相同、颜色不同的红球3个，蓝球4个，黄球5个，现在随机抽取一个球是红球的概率是．考点：概率公式．分析：用红球的个数除以所有球的个数即可求得抽到红球的概率．解答：解：∵共有3+4+5=12个球，其中红球有3个，∴P（摸到红球）==，故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的侧面积是12π．考点：圆锥的计算．分析：先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积=12π，然后得到圆锥的侧面积．解答：解：∵扇形的面积==12π，∴圆锥的侧面积为12π．故答案为：12π．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为80°．考点：三角形的内切圆与内心．分析：连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．解答：解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°∴∠A=20°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=90°，∴∠DOF=160°，∴∠DEF的度数为80°．点评：此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出∠DOF=150°是解题关键．13．已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为3．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系，先求出x1+x2与x1x2的值，然后再把它们的值整体代入所求代数式求值即可．解答：解：根据题意可得x1+x2=﹣=5，x1x2==2，∴x1+x2﹣x1•x2=5﹣2=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了根据与系数的关系，利用一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=是解题关键．14．已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b﹣1≤0的解集是x≥0．考点：一次函数与一元一次不等式．分析：根据一次函数y=kx+b的图象过点（0，1），得出y的值小于1的点都符合条件，从而得出x的解集．解答：解：∵kx+b﹣1≤0，∴kx+b≤1，∵y=kx+b的图象过点（0，1），∴由图象可知y≤1，∴kx+b﹣1≤0的解集是x≥0．故答案为：x≥0．点评：本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，在解题时要注意与函数的图象移动相结合是解题的关键．15．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．考点：勾股定理．专题：新定义．分析：“有趣中线”分别三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为1．但是不符合较短的一条直角边边长为1，只能为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可．解答：解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AC上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为AB边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边BC上的中线，如图所示，AB=1，设AD=2x，则BD=x，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD2=AB2+BD2，即（2x）2=12+x2，解得：x=，则这个三角形“有趣中线”长等于．故答案为：．点评：此题考查了勾股定理，以及新定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．16．如图，线段AB是半径为6.5的⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点M、N在线段AB上，MN=6，若∠MCN=45°，线段AM的长度为或．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：分类讨论．分析：作DA⊥AB，使DA=BN，连接DC，DM，根据旋转的性质求得∠ACD=∠BCN，DC=NC，然后证得△DMC≌△NMC，求得DM=MN=6，设AM=x；则AD=BN=AB﹣AM ﹣MN=7﹣x，根据勾股定理得出x2+（7﹣x）2=36，进而就可求得线段AM的长度．解答：解：作DA⊥AB，使DA=BN，连接DC，DM，∵线段AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，∴=，∠ACB=90°，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠DAC=∠NBC=45°，在△ADC和△NCB中，∴△ADC≌△NCB（SAS），∴∠ACD=∠BCN，DC=NC，∵∠MCN=45°∴∠ACM+∠BCN=45°∴∠ACM+∠ACD=45°即∠MCD=45°=∠MCN，在△DMC和△NMC中，∴△DMC≌△NMC（SAS），∴DM=MN=6，设AM=x；则AD=BN=AB﹣AM﹣MN=7﹣x根据勾股定理AM2+AD2=DM2x2+（7﹣x）2=362x2﹣14x+13=0，解得x=，∴AM的长度为或．故答案为或．点评：本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．三、解答题（共102分）17．（12分）（2018•泰兴市校级一模）（1）计算：（）﹣1﹣4sin60°++（3﹣π）0．（2）求不等式组的整数解．考点：实数的运算；零指数幂；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：（1）原式=2﹣2+3+1=+3；（2），由①得：x≥﹣2，由②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，则不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．先化简÷（x﹣），其中x满足x2﹣5x﹣6=0．考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=•=，∵x满足x2﹣5x﹣6=0，即（x﹣6）（x+1）=0，∴x1=6，x2=﹣1，∴当x=6时，原式==．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此市教育局对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了200名学生；（2）将图①补充完整；（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近50000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据A级的人数是50人，所占的百分比是25%，根据百分比的意义即可求得总人数；（2）利用总人数减去其它组的人数，即可求得C级的人数，进而补全直方图；（3）C级所占的圆心角的度数用360度乘以对应的百分比即可求得；（4）利用总数50000乘以对应的比例即可求解．解答：解：（1）抽查的总人数是：50÷25%=200（人）；（2）C级的人数是：200﹣50﹣120=30（人）．；（3）C级所占的圆心角的度数是：360×（1﹣25%﹣60%）=54°；（4）学习态度达标的人数是：50000×=42500（人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同、正面分别写有1，2，3，4的四张卡片背面向上冼匀后，小伟和小欣各自随机抽取一张（不放回）．将小伟的数字作为十位数字，小欣的数字作为个位数字，组成一个两位数．如果所组成的两位数为偶数，则小伟胜；否则小欣胜．（1）当小伟抽取的卡片数字为2时，问两人谁获胜的可能性大？（2）通过计算判断这个游戏对小伟和小欣是否公平．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．分析：（1）找出十位数字为2的所有等可能的情况数，进而求出两人获胜的概率，比较即可得到结果；（2）这个游戏对小伟和小欣是公平的．根据题意，由（1）的图表，分别计算两人谁获胜的可能性，比较可得答案．解答：解：（1）列表得：数字 1 2 3 41 ﹣﹣﹣12 13 142 21 ﹣﹣﹣23 243 31 32 ﹣﹣﹣344 41 42 43 ﹣﹣﹣共有3种等可能的情况数，其中P（小伟胜）=，P（小欣胜）=，∴小欣获胜的可能性大．（2）这个游戏对小伟和小欣是公平的．理由如下：由（1）可知共有12种等可能结果，其中偶数占6个，奇数占6个，∴P（小伟胜）=，P（小欣胜）=，∴这个游戏对小伟和小欣是公平的．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（10分）（2014•通州区一模）列方程或方程组解应用题：现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装60台空调，两个安装队同时开工恰好同时安装完成，甲队比乙队平均每天多安装2台空调．求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．考点：一元一次方程的应用．分析：设乙安装队每天安装x台空调，则甲安装队每天安装（x+2）台空调，根据两个安装队同时开工恰好同时安装完成，即所用的时间相等，即可列方程求解．解答：解：设乙安装队每天安装x台空调，则甲安装队每天安装（x+2）台空调，根据题意得：=，解方程得：x=20，经检验x=20是方程的解，并且符合实际．∴x+2=22．答：甲安装队每天安装22台空调，乙安装队每天安装20台空调．点评：本题考查了列方程解应用题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．22．（10分）（2018•泰兴市校级一模）如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．分析：（1）首先根据全等三角形的判定定理ASA证得：△DEG≌△BFH，根据对应边相等证得DG=BH，从而得出AG=CH，判断出四边形AGCH是平行四边形，继而得出结论；（2）根据等高三角形面积的比等于底的比，相似三角形面积的比等于对应边比的平方即可求出结果．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADC=∠ABC，∴∠E=∠F，∠EDG=∠FBH，在△DEG与△BFH中，，∴△DEG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，∴AD﹣DG=BC﹣BH，即CH=AG，又∵AG∥CH，∴四边形AGCH为平行四边形；（2）∵DE=CD，∴DE=CE，=，∵DG∥BC，∴===，∴=．点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，知道三角形面积的比分为相似三角形面积的比和非相似三角形面积的比是解题的关键．23．（10分）（2018•泰兴市校级一模）如图，小明在大楼的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡角∠ABC=30°点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）山坡AB的坡度为1：；（2）若山坡AB的长为20米，求大楼的窗口P处距离地面的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）坡角的正切函数值即为坡度，依此即可求解；（2）先利用平行线的性质得出∠PBH=∠DPB=60°，由平角的定义求出∠ABP=180°﹣∠ABC ﹣∠PBH=90°．再证明△ABP是等腰直角三角形，那么BP=AB=20米，然后在直角△PBH 中利用三角函数即可求解．解答：解：（1）∵山坡的坡角∠ABC=30°，∴山坡AB的坡度为tan30°==1：；（2）由题意得PD∥HC，AB⊥BP，PH⊥HC，∠DPA=15°，∠DPB=60°，AB=20米．∵PD∥HC，∴∠PBH=∠DPB=60°，∴∠ABP=180°﹣∠ABC﹣∠PBH=180°﹣30°﹣60°=90°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=60°﹣15°=45°，∴BP=AB=20米，在Rt△PBA中，∵∠PHB=90°，∠PBH=60°，∴PH=PB•sin∠PBH=20×=10（米）．答：大楼的窗口P处距离地面的高度为10米．故答案为1：．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，以及坡度坡角问题，其中涉及到平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确利用三角函数是解题的关键．24．（10分）（2018•泰兴市校级一模）如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2）B （﹣2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（1，a）（1）求直线AB和反比例函数的函数关系式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△OB1C1，当α为多少度时OC1⊥AB，并求此时线段AB1的长．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO﹣∠COH即可求出∠ACO的度数．（3）过点B1作B1G⊥x轴于点G，先求得∠OCB=30°，进而求得α=∠COC1=60°，根据旋转的性质，得出∠BOB1=α=60°，解直角三角形求得B1的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB1的长．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（0，2），B（﹣2，0）代入得：，解得：，故直线AB解析式为y=x+2，将D（1，a）代入直线AB解析式得：a=3，则D（1，3），将D坐标代入y=中，得：m=3，则反比例解析式为y=；（2）联立两函数解析式得：，解得：或，则C坐标为（﹣3，﹣），过点C作CH⊥x轴于点H，在Rt△OHC中，CH=，OH=3，tan∠COH==，∠COH=30°，在Rt△AOB中，tan∠ABO===，∠ABO=60°，∠ACO=∠ABO﹣∠COH=30°；（3）过点B1作B1G⊥x轴于点G，∵∠ABO=60°，∠COH=30°，∴∠OCB=30°，∵OC1⊥AB，∴∠COC1=60°，∴α=60°．∴∠BOB1=60°，∵OB1=OB=2，∴OG=1，B1G=，∴B1（﹣1，），∴AB1==2．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与x轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．（12分）（2018•泰兴市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+2的图象交坐标轴于点A和B，点M（a，0）在x轴正半轴上，以M为圆心，MO长为半径画⊙M．（1）当点M在线段OA上时①若BM平分∠OBA（如图1），求证：直线AB与⊙M相切；②若⊙M于直线AB相交于点C、D（如图2），试用含a的代数式表示CD2；（2）若⊙M于直线AB相交于点C、D，且∠CMD=120°，求a的值．考点：圆的综合题．分析：（1）①首先过点M作ME⊥AB于点E，由BM平分∠OBA，根据角平分线的性质，可证得ME=MO，即可证得直线AB与⊙M相切；②首先过点M作ME⊥AB于点E，连接MC，由一次函数y=﹣x+2的图象交坐标轴于点A 和B，即可求得点A与B的坐标，则可得△AEM是等腰直角三角形，继而表示出ME的长，然后由垂径定理与勾股定理求得表示CD2；。
南通一模数学
南通一模数学集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]2018届高三年级第一次模拟考试(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若BA ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x —y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x216－y29＝1的渐近线的距离为________． 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)(第11题) (第12题)12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．求证：(1) MD∥平面PAC ； (2) 平面ABN⊥平面PMC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b. (1) 求sin B 的值； (2) 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π12的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：(2) 设∠POD＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，已知⊙O 1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T .点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M .若PM ＝3，求PT 的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ∈R，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a >1，b >1，求b 2a －1＋a 2b －1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC ∥AD ，且AP ＝AB ＝AD ＝4，BC ＝2. (1) 求二面角PCDA 的余弦值；(2) 已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC ＝DH ，求PHPC的值．23. (本小题满分10分)(1) 用数学归纳法证明：当n∈N *时，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos nx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12x 2sin 12x－12(x ∈R，且x ≠2k π，k ∈Z)； (2) 求sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57. 658. 3 9. π6 10. e －211. 210 12. 42－413. 3 2 14. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞)15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点， 所以MD ∥AN.(3分)因为AN 平面PAC ，MD 平面PAC ， 所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点， 所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC 平面PMC ，MC 平面PMC ，PC ∩MC ＝C ， 所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB 平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分)在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝b sin B得 sin B ＝basin A ＝215×32＝55.(6分) (2) 因为a ＝152b>b ， 所以A>B ，即0<B<π3.又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4(12分)＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos B cos π4－sin B sin π4＝－⎝⎛⎭⎪⎫255×22－55×22＝－1010.(14分) 17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a2c ＝42，(2分)解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ， 所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89， ①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分)所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分) 方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ， 所以M 为AB 的中点．(6分)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k2.(8分)所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，y M ＝k(x M ＋2)＝2k1＋2k 2，(10分)代入x 2＋y 2＝89得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，(12分) 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． (1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)． 直线PB 的方程为 y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分)直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分)所以EF 的长度为 f(θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(10分)②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2， 区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(3分)设sin θ＋2＝t ，则2<t<3， 则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)， 当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2. 故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x.令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1.f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分)因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0，所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0，化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32，所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x－(x 3＋ax 2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x－(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x－3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x－3， 令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3.h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分)令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1. F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分) 令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1.因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分) 所以m(t)<－e －t－2<－13－2＝－73，所以M(a)<－73.(16分)20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分)a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分) 当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n . a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n . 所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分) (2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1， 数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分) 因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4， 所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1， 所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，① n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立；若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立．若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分) 设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d] ＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ. 所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ， λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ， λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1， 以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分)所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d3，b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d3，所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d3，所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ， 连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T.由切割线定理得PM 2＝PC·PT＝3. 因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分) 所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1CO 2＝2，所以PT PC ＝23，即PC ＝32PT.因为PC·PT＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10分)B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12，所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012.(10分)C. 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分) 所以A (0，0)，B (－1，－1)，所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分) D. 解析：因为a >1，b >1， 所以b 2a －1＋4(a －1)≥4b ，a 2b －1＋4(b －1)≥4a .(4分) 两式相加b 2a －1＋4(a －1)＋a 2b －1＋4(b －1)≥4b ＋4a ，所以b 2a －1＋a 2b －1≥8.(8分)当且仅当b 2a －1＝4(a －1)且a 2b －1＝4(b －1)时，等号成立，即当a ＝b ＝2时，b 2a －1＋a 2b －1取得最小值为8.(10分)22. 解析：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)． (1) 由题意可知，＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)． 设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝2. 所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)， 所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23，所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)． 设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分) 因为DC ＝DH ，所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13.因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分)23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x2sin 12x－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫1－12x2sin 12x＝12sin 12x×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分) ②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12x2sin 12x－12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12x2sin 12x－12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x×{sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12 ＝12sin 12x×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12 ＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x2sin 12x－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1＋12x2sin 12x－12. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018＋12x 2sin 12x－12，两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x ＝12sin 212x×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分)所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin2π12×[⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12π6cos π12]＝2 0152－3， 所以sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。
〖中考零距离-新课标〗2018年江苏省泰州市中考数学第一次模拟试题及答案解析一
2018年江苏省泰州市中考数学一模试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．下列各数中，是无理数的（）A．0 B．2πC．D．2．下列运算中，正确的是（）A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5C．5a2﹣4a2=1 D．5a2b﹣5ba2=03．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜﹣24．下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．5．如图，点O是△ABC的重心，则C△DOE：C△BOC的值为（）A．B．C．D．6．下列命题是真命题的是（）A．方差越大，说明数据就越稳定B．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形一定全等D．圆内接四边形对角互补二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．若使二次根式有意义，则x的取值范围是．8．据不完全统计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过65000000人，把65000000用科学记数法表示为．9．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直角边分别交直线b于B、C两点．若∠1=50°，则∠2的度数是°．10．二次三项式3x2﹣4x+6的值为9，则x2﹣x+5的值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若EF=8，则CD的长为．12．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化规律如图．（图中OABC为一折线），这个容器的形状是．13．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为cm2．14．将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到821个正方形，则需要操作的次数是．15．如图，△ABC的边BC长是8，BC边上的高AD′是4，点D在BC运动，设BD长为x，请写出△ACD的面积y与x之间的函数关系式．16．已知如图，正方形ABCD中，AD=4，点E在CD上，DE=3CE，F是AD上异于D 的点，且∠EFB=∠FBC，则tan∠DFE= ．三、解答题（共10小题，满分102分）17．（1）计算：（﹣2）2+|﹣|﹣2sin60°﹣；（2）求不等式组的正整数解．18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．19．我校为了迎接体育中考，了解学生的体育成绩，从全校500名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试，其中“跳绳”成绩制作图如下：成绩段频数频率160≤x＜170 5 0.1170≤x＜180 10 a180≤x＜190 b 0.14190≤x＜200 16 c200≤x＜210 12 0.24表（1）根据图表解决下列问题：（1）本次共抽取了名学生进行体育测试，表（1）中，a= ，b= c= ；（2）补全图（2），所抽取学生成绩中中位数在哪个分数段；（3）“跳绳”数在180以上，则此项成绩可得满分．那么，你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分？20．江苏卫视《最强大脑》曾播出一期“辨脸识人”节目，参赛选手以家庭为单位，每组家庭由爸爸妈妈和宝宝3人组成，爸爸、妈妈和宝宝分散在三块区域，选手需在宝宝中选一个宝宝，然后分别在爸爸区域和妈妈区域中正确找出这个宝宝的父母，不考虑其他因素，仅从数学角度思考，已知在某分期比赛中有A、B、C三组家庭进行比赛：（1）选手选择A组家庭的宝宝，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率；（2）如果任选一个宝宝（假如选A组家庭），通过列表或树状图的方法，求选手至少正确找对宝宝父母其中一人的概率．21．某校九年级准备购买一批笔奖励优秀学生，在购买时发现，每只笔可以打九折，用360元钱购买的笔，打折后购买的数量比打折前多10本．（1）求打折前每支笔的售价是多少元？（2）由于学生的需求不同，学校决定购买笔和笔袋共80件，笔袋每个原售价为10元，两种物品都打八折，若购买总金额不低于400元，问最多购买多少支笔？22．如图，AE∥BF，先按（1）的要求作图，再按（2）的要求证明（1）用直尺和圆规作出∠ABF的平分线BD交AE于点D，连接BD，再作出BD的中点O（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接（1）所作图中的AO并延长与BE相交于点C，连接DC，求证：四边形ABCD 是菱形．23．如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．（1）求点B到AC的距离；（2）求线段CD的长度．24．如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2），AC⊥x轴于C，连结BC．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；（3）在平面内是否存在一点D，使四边形ABDC为平行四边形？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x正半轴，以点A为圆心作⊙A，点M（4，4）在⊙A上，直线y=﹣x+b与圆相切于点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．（1）直接写出b的值和点B的坐标；（2）求点A的坐标和圆的半径；（3）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．26．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA=10，cos∠COA=．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为，当t= 时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．下列各数中，是无理数的（）A．0 B．2πC．D．【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：A、0是有理数，故A错误；B、2π是无理数，故B正确；C、=2是有理数，故C错误；D、是有理数，故D错误；故选：B．2．下列运算中，正确的是（）A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5C．5a2﹣4a2=1 D．5a2b﹣5ba2=0【考点】合并同类项．【分析】直接利用合并同类项法则计算，进而判断得出答案．【解答】解：A、3a+2b无法计算，故此选项错误；B、2a3+3a2无法计算，故此选项错误；C、5a2﹣4a2=a2，故此选项错误；D、5a2b﹣5ba2=0，正确．故选：D．3．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜﹣2【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程没有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程没有实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＜0，解得：m＞2，故选C．4．下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．【考点】展开图折叠成几何体．【分析】根据题意确定出折叠后能围成正方体的即可．【解答】解：折叠后能围成正方体的是．故选C．5．如图，点O是△ABC的重心，则C△DOE：C△BOC的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的重心．【分析】根据点O是△ABC的重心可知DE是△ABC的中位线，故可得出DE=BC，再由重心的性质可知OD=OC，OE=OB，据此可得出结论．【解答】解：∵O是△ABC的重心，∴DE是△ABC的中位线，OD=OC，OE=OB∴DE=BC，∴C△DOE=DE+OD+OE=（BC+OC+OB）=C△BOC，∴C△DOE：C△BOC=．故选A．6．下列命题是真命题的是（）A．方差越大，说明数据就越稳定B．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形一定全等D．圆内接四边形对角互补【考点】命题与定理．【分析】分别根据方差的意义、可能性的大小、全等三角形的判定与性质及圆内接四边形的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、方差越大，说明数据就越不稳定，故本选项错误；B、“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中可能有95人做对，故本选项错误；C、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、圆内接四边形对角互补是真命题，故本选项正确．故选D．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）7．若使二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2x﹣4≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．8．据不完全统计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过65000000人，把65000000用科学记数法表示为 6.5×107．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将65000000用科学记数法表示为：6.5×107．故答案为：6.5×107．9．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直角边分别交直线b于B、C两点．若∠1=50°，则∠2的度数是40 °．【考点】平行线的性质．【分析】先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BAC=90°，∠1=50°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣50°=40°．∵直线a∥b，∴∠2=∠3=40°．故答案为：40°．10．二次三项式3x2﹣4x+6的值为9，则x2﹣x+5的值 6 ．【考点】代数式求值．【分析】先根据已知条件求出x2﹣x的值，然后整体代入进行计算即可得解．【解答】解：∵3x2﹣4x+6的值为9，∴3x2﹣4x+6=9，∴x2﹣x=1，∴x2﹣x+5=1+5=6．故答案为：6．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若EF=8，则CD的长为8 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2EF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．【解答】解：∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴AB=2EF=2×8=16，∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，∴CD=AB=×16=8．故答案为：8．12．均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面的高度h随时间t的变化规律如图．（图中OABC为一折线），这个容器的形状是③．【考点】函数的图象．【分析】这是一个用函数来描述事物变化规律的问题，先比较OA、AB、BC三段的变化快慢，再比较三个容器容积的大小，就会把问题解决．【解答】解：从左面图象可以看出，OA上升较快，AB上升缓慢，BC上升最快．从右面容器可以看出图①下面容积最大，中间容积较大，上面容积最小．图②下面容积最小，中间容积最大，上面容积较大．图③下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小．因为均匀注水，故选③．13．如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，则该圆锥的侧面积为108πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．【解答】解：设AO=B0=R，∵∠AOB=120°，弧AB的长为12πcm，∴=12π，解得：R=18，∴圆锥的侧面积为lR=×12π×18=108π，故答案为：108π．14．将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到821个正方形，则需要操作的次数是205 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形…，以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n+1个正方形，由此规律代入求得答案即可．【解答】解：∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形，…，以此类推，根据以上操作，若第n次得到821个正方形，则4n+1=821，解得：n=205，故答案为：205．15．如图，△ABC的边BC长是8，BC边上的高AD′是4，点D在BC运动，设BD长为x，请写出△ACD的面积y与x之间的函数关系式y=﹣2x+16 ．【考点】函数关系式．【分析】直接利用三角形面积求法得出y与x之间的函数关系即可．【解答】解：由题意可得，△ACD的面积y与x之间的函数关系式为：y=AD′•DC=×4×（8﹣x）=﹣2x+16．故答案为：y=﹣2x+16．16．已知如图，正方形ABCD中，AD=4，点E在CD上，DE=3CE，F是AD上异于D的点，且∠EFB=∠FBC，则tan∠DFE= ．【考点】正方形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】根据∠EFB=∠FBC，延长EF，BC相交于T，得到等腰△TBF，连接点T和MB 的中点O，由△BAF∽△TOB，得到BF2=2AF•BT，设CT=k，由DF∥CT，得==3，得出FD=3k，列出方程求出k，即可求出∠DFE的正切．【解答】解：如图：延长EF交BC的延长线于T，设FB的中点为O，连TO，则OT⊥BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=BC=AB=4，∠D=ABC=∠A=90°，∵∠ABF+∠OBT=90°，∠OTB+∠OBT=90°，∴∠ABF=∠OTB，则△BAF∽△TOB，∴=，∵OB=BF，∴BF2=2AF•BT，设CT=k，∵CD=AD=4，DE=3EC，∴DE=3，EC=1，∵DF∥CT，∴==3，∴DF=3k，AF=4﹣3k，BT=4+k，∴42+（4﹣3k）2=2×（4﹣3k）（4+k），整理得到：15k2﹣8k=0，∴k=或0（舍弃）．∴tan∠DFE===k=．故答案为．三、解答题（共10小题，满分102分）17．（1）计算：（﹣2）2+|﹣|﹣2sin60°﹣；（2）求不等式组的正整数解．【考点】实数的运算；一元一次不等式组的整数解；特殊角的三角函数值．【分析】（1）直接利用利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质化简各数，进而求出答案；（2）分别解不等式，进而得出不等式组的解集．【解答】解：（1）原式=4+﹣﹣2=4﹣2；（2）∵不等式①的解集是：x＞﹣，不等式②的解集是：x＜5，∴原不等式组的解集是：﹣＜x＜5，∴原不等式组的正整数解是1，2，3，4．18．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=×=a+1．当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．19．我校为了迎接体育中考，了解学生的体育成绩，从全校500名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试，其中“跳绳”成绩制作图如下：成绩段频数频率160≤x＜170 5 0.1170≤x＜180 10 a180≤x＜190 b 0.14190≤x＜200 16 c200≤x＜210 12 0.24表（1）根据图表解决下列问题：（1）本次共抽取了50 名学生进行体育测试，表（1）中，a= 0.2 ，b= 7 c= 0.32 ；（2）补全图（2），所抽取学生成绩中中位数在哪个分数段；（3）“跳绳”数在180以上，则此项成绩可得满分．那么，你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．【分析】（1）根据第一组的频数是5，对应的频率是0.1据此即可求得总人数；（2）根据中位数的定义即可求解；（3）利用总人数500乘以对应的比例即可求解．【解答】解：（1）抽测的人数是：5÷0.1=50（人），a==0.2，b=50×0.14=7，c==0.32．故答案是：50，0.2，7，0.32．（2）所抽取学生成绩中中位数在190～200分数段；（3）全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分的人数是×500=350（人）．答：全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分的人数是350人．20．江苏卫视《最强大脑》曾播出一期“辨脸识人”节目，参赛选手以家庭为单位，每组家庭由爸爸妈妈和宝宝3人组成，爸爸、妈妈和宝宝分散在三块区域，选手需在宝宝中选一个宝宝，然后分别在爸爸区域和妈妈区域中正确找出这个宝宝的父母，不考虑其他因素，仅从数学角度思考，已知在某分期比赛中有A、B、C三组家庭进行比赛：（1）选手选择A组家庭的宝宝，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率；（2）如果任选一个宝宝（假如选A组家庭），通过列表或树状图的方法，求选手至少正确找对宝宝父母其中一人的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）因为3组家庭都由爸爸、妈妈和宝宝3人组成，所以选手选择A组家庭的宝宝，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率是其中的三分之一；（2）设三个爸爸分别为A，B，C，对应的三个妈妈分别为A′，B′，C′，对应的三个宝宝分别为A″，B″，C″，通过画树形图即可求出任选一个宝宝，最少正确找对父母其中一人的概率．【解答】解：（1）∵3组家庭都由爸爸、妈妈和宝宝3人组成，∴选手选择A组家庭的宝宝，在妈妈区域中正确找出其妈妈的概率=；（2）设三个爸爸分别为A，B，C，对应的三个妈妈分别为A′，B′，C′，对应的三个宝宝分别为A″，B″，C″，以A″为例画树形图得：由树形图可知任选一个宝宝，最少正确找对父母其中一人的情况有5种，所以其概率=．21．某校九年级准备购买一批笔奖励优秀学生，在购买时发现，每只笔可以打九折，用360元钱购买的笔，打折后购买的数量比打折前多10本．（1）求打折前每支笔的售价是多少元？（2）由于学生的需求不同，学校决定购买笔和笔袋共80件，笔袋每个原售价为10元，两种物品都打八折，若购买总金额不低于400元，问最多购买多少支笔？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）根据打折后购买的数量比打折前多10本，进而得出等式求出答案；（2）利用购买总金额不低于400元，得出不等关系进而求出答案．【解答】解：（1）设笔打折前售价为x，则打折后售价为0.9x，由题意得：+10=解得：x=4，经检验，x=4是原方程的根，答：打折前每支笔的售价是4元；（2）设购买笔y件，则购买笔袋80﹣y件，由题意得：400≤4×0.8y+10×0.8×（80﹣y）解得：y≤50，答：最多购买50支笔．22．如图，AE∥BF，先按（1）的要求作图，再按（2）的要求证明（1）用直尺和圆规作出∠ABF的平分线BD交AE于点D，连接BD，再作出BD的中点O（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接（1）所作图中的AO并延长与BE相交于点C，连接DC，求证：四边形ABCD 是菱形．【考点】菱形的判定；作图—复杂作图．【分析】（1）用作一个角的角平分线和一条线段的中点的作法作图；（2）欲证明四边形ABCD是菱形，只需推知平行四边形ABCD的对角线互相垂直即可．【解答】解：（1）如图．（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADO=∠CBO．在△ADO与△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（ASA），∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．又∵AE∥BF，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．又∵点O是BD的中点，∴AO⊥BD，即AC⊥BD．∴平行四边形ABCD是菱形．23．如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．（1）求点B到AC的距离；（2）求线段CD的长度．【考点】解直角三角形的应用．【分析】过点B作BE⊥AC于点E，在直角三角形AEB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，在直角三角形CEB中，利用锐角三角函数定义求出BE与CE的长，由AE+CE 求出AC的长，即可求出CD的长．【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，∴AE=60×=30m，在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，∴BE=CE=30m，∴AC=AE+CE=（30+30）m，在Rt△ADC中，sinA=，则CD=（30+30）×=（15+15）m．24．如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2），AC⊥x轴于C，连结BC．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；（3）在平面内是否存在一点D，使四边形ABDC为平行四边形？若存在，请求出点D坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）把A坐标代入一次函数解析式求出m的值，确定出一次函数解析式，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例函数解析式；（2）由题意，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）存在，理由为：由四边形ABDC为平行四边形，得到AC=BD，且AC∥BD，由AC 与x轴垂直，得到BD与x轴垂直，根据A坐标确定出AC的长，即为BD的长，联立一次函数与反比例函数解析式求出B坐标，即可确定出D坐标．【解答】解：（1）把A（1，2）代入y=mx得：m=2，则一次函数解析式是y=2x，把A（1，2）代入y=得：k=2，则反比例解析式是y=；（2）根据图象可得：﹣1＜x＜0或x＞1；（3）存在，理由为：如图所示，四边形ABDC为平行四边形，∴AC=BD，AC∥BD，∵AC⊥x轴，∴BD⊥x轴，由A（1，2），得到AC=2，∴BD=2，联立得：，消去y得：2x=，即x2=1，解得：x=1或x=﹣1，∵B（﹣1，﹣2），∴D的坐标（﹣1，﹣4）．25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x正半轴，以点A为圆心作⊙A，点M（4，4）在⊙A上，直线y=﹣x+b与圆相切于点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．（1）直接写出b的值和点B的坐标；（2）求点A的坐标和圆的半径；（3）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）将点M 的坐标代入直线y=﹣x+b 的解析式可求得b 的值，由b 的值可得到直线的解析式，然后令y=0可求得点B 的横坐标，于是得到点B 的坐标；（2）由相互垂直的两条直线的一次项系数为﹣1，可设直线AM 的解析式为y=x+c ，然后将点M 的坐标代入可求得c 的值，然后令y=0可求得点A 的横坐标，最后依据两点间的距离公式可求得圆A 的半径．（3）如图1所示：连接AF 、AM ．先证明四边形AFEM 为正方形，于是可求得ME=5，然后在△ABM 中依据勾股定理可求得MB 的长，从而可求得BE 的长，接下来，证明△AGF ∽△BGE ，由相似三角形的性质可求得答案．【解答】解：（1）∵点M 在直线y=﹣x+b 上，∴﹣×4+b=4，解得：b=7．∴直线的解析式为y=﹣x+7．∵当y=0时，﹣ x+7=0，解得：x=，∴B （，0）． （2）∵BC 是圆A 的切线，∴AM ⊥BC ．设直线AM 的解析式为y=x+c ．∵将M （4，4）代入y=x+c 得+c=4，解得：c=，∴直线AM 的解析式为y=x ﹣．∵当y=0时， x ﹣=0，解得x=1，∴A （1，0）．∵由两点间的距离公式可知AM==5，∴圆A 的半径为5．（3）如图1所示：连接AF 、AM ．∵BC 、EF 是圆A 的切线，∴AM⊥BC，AF⊥EF．又∵BC⊥EF，∴∠AME=∠MEF=∠EFA=90°．∴四边形AFEM为矩形．又∵AM=AF，∴四边形AFEM为正方形．∴ME=AF=5．∵在Rt△AMB中，MB==，∴BE=BM﹣ME=．∵∠AFG=∠BEG=90°，∠AGF=∠BGE，∴△AGF∽△BGE．∴即．∴=3．26．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA=10，cos∠COA=．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为（6，8），当t= 时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据菱形的性质得出OA=OC，再根据三角函数求出点C的坐标即可；（2）根据面积公式列出函数关系式，注意动点运动时的几种情况，得出自变量的取值范围；（3）根据被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的，画出图示，分几种情况进行讨论解答．【解答】解：（1）∵菱形OABC中，OA=10，∴OC=10，∵cos∠COA=，∴点C的坐标为：（6，8），∵动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，∵OA=10，∴t=时，N点与A点重合；（2）①，②，③，④8＜t≤10，S=104﹣8t；（3）S菱形=80，直线OB过原点（0，0），B点（16，8），故直线OB解析式为，直线OB与PQ、MN分别交于E、F点，如图：①当0＜t≤6，，，，，若，则，，若，则，，②当6＜t≤8，，，，，若，则，t=0（舍），若，则，t3=8；③8＜t≤10，不存在符合条件的t值．2016年6月2日。
江苏省泰州市高考数学一模试卷
江苏省泰州市高考数学一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分）已知A={x|x＜﹣2}，B={x|x＞m}，若A∩B有且只有一个子集，则m的范围是________．2. （1分）(2017·长宁模拟) （若复数（a+i）（1+i）在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a=________．3. （1分） (2018高二下·溧水期末) 如图是一个算法流程图，则输出的的值是________．4. （1分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．5. （1分） (2018高二下·泰州月考) 为了了解某校学生一学期内的课外阅读情况,现随机统计了名学生的课外阅读时间,所得样本数据都在内（单位:小时),其频率分布直方图如图所示.若该样本在为的频数为100,则的值为________．6. （1分） (2018高二上·苏州月考) 双曲线 - =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．7. （1分）(2017·南京模拟) 已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）= tanx的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．8. （1分） (2016高二上·忻州期中) 在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．9. （1分） (2017高一下·惠来期中) 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P 是AB的中点，则 =________．10. （1分） (2019高二上·怀仁期中) 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.11. （1分）等比数列{an}的公比0＜q＜1，a172=a24 ，则使a1+a2+…+an＞++…+成立的正整数n 的最大值为________12. （1分）(2019·肇庆模拟) 在平面凸四边形中，（为常数），若满足上述条件的平面凸四边形有且只有个，则的取值范围是________．13. （1分） (2017高二下·定州开学考) 设函数f（x）=x2+lnx，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ax+b，则a+b=________．14. （2分） (2018高一上·浙江期中) 若函数在上有且只有1个零点，则t的取值范围为________；若在上的值域为，则 ________．二、解答题 (共8题；共75分)15. （10分）(2016·运城模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，且a= ，请判断△ABC的形状，并说明理由．16. （10分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．17. （10分）(2018·辽宁模拟) 设函数 .（1）设的解集为集合，求集合；（2）已知为集合中的最大自然数，且（其中为正实数），设 .求证： .18. （10分）(2017·巢湖模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x ﹣2）2+y2= 的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程，（2）过点P（0，2）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB 为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．19. （10分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）=xlnx﹣ x2（a∈R）．（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个相异极值点x1、x2，求证： + ＞2ae．20. （10分）(2017·长沙模拟) 已知函数f（x）=xex﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．21. （10分）(2017·甘肃模拟) 持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．纯电动续驶里程R（公100≤R＜150 150≤R＜250R＞250里）补贴标准（万元/辆）2 3.6 44（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程；（2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．22. （5分）已知：在梯形ABCD中，如图，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．用三段论证明：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共8题；共75分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
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2018届高三年级第一次模拟考试(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x —y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝8x的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________． 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)(第11题) (第12题)12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．求证：(1) MD ∥平面PAC ； (2) 平面ABN ⊥平面PMC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b. (1) 求sin B 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．18. (本小题满分16分)如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：(2) 设∠POD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.20. (本小题满分16分)若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，已知⊙O 1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T .点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M .若PM ＝3，求PT 的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ∈R ，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a >1，b >1，求b 2a －1＋a 2b －1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC ∥AD ，且AP ＝AB ＝AD ＝4，BC ＝2.(1) 求二面角PCDA 的余弦值；(2) 已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC ＝DH ，求PHPC的值．23. (本小题满分10分)(1) 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos nx ＝sin ⎝⎛⎭⎫n ＋12x 2sin 12x－12(x ∈R ，且x ≠2k π，k ∈Z)；(2) 求sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57. 658. 3 9.π610. e －2 11. 210 12. 42－413. 32 14. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞)15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以MD ∥AN.(3分)因为AN ⊂平面PAC ，MD ⊄平面PAC ， 所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点， 所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC ＝C ， 所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55.(6分)(2) 因为a ＝152b>b ， 所以A>B ，即0<B<π3.又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4(12分)＝－⎝⎛⎭⎫cos B cos π4－sin B sin π4＝－⎝⎛⎭⎫255×22－55×22＝－1010.(14分) 17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2c ＝42，(2分)解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ， 所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89， ① （2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分)所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ， 所以M 为AB 的中点．(6分)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k 2.(8分)所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，y M ＝k(x M ＋2)＝2k1＋2k 2，(10分) 代入x 2＋y 2＝89得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，(12分)即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． (1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)． 直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分)直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分)所以EF 的长度为f (θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(10分)②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2， 区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(3分)设sin θ＋2＝t ，则2<t<3，则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝⎛⎭⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)， 当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2. 故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x .令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分) 因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知 g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0， 所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0， 化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32，所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a ≠－32.(6分) (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)] ＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3) ＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3， 令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3.h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a ＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分)令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1.F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1.因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －t －2<－13－2＝－73， 所以M(a)<－73.(16分) 20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分) a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分)当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n .a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分)(2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分)因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，①n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立． 若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分)设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ，λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分) 所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d 3， b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d 3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d 3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ，连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T.由切割线定理得PM 2＝PC·PT ＝3.因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分)所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1CO 2＝2， 所以PT PC ＝23，即PC ＝32PT. 因为PC·PT ＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10分) B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12， 所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012.(10分) C. 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分)所以A (0，0)，B (－1，－1)， 所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分)D. 解析：因为a >1，b >1，所以b 2a －1＋4(a －1)≥4b ，a 2b －1＋4(b －1)≥4a .(4分) 两式相加b 2a －1＋4(a －1)＋a 2b －1＋4(b －1)≥4b ＋4a ， 所以b 2a －1＋a 2b －1≥8.(8分) 当且仅当b 2a －1＝4(a －1)且a 2b －1＝4(b －1)时，等号成立， 即当a ＝b ＝2时，b 2a －1＋a 2b －1取得最小值为8.(10分) 22. 解析：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．(1) 由题意可知，DP →＝(0，－4，4)，DC →＝(4，－2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DP →＝0，n 1·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0. 令x ＝1，则y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23， 所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，PC →＝(4，2，－4)，DC →＝(4，－2，0)．设PH →＝λPC →＝(4λ，2λ，－4λ)，则DH →＝DP →＋PH →＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分)因为DC ＝DH ，所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13. 因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分) 23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x 2sin 12x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x －sin ⎝⎛⎭⎫1－12x 2sin 12x ＝ 12sin 12x ×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分)②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x ×{sin ⎣⎡⎦⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12 ＝12sin 12x ×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12 ＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x 2sin 12x －12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋1＋12x 2sin 12x －12. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x 2sin 12x －12， 两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x＝12sin 212x ×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分) 所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin 2π12×[⎝⎛⎭⎫2 018＋12cos ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6cos π12]＝ 2 0152－3， 所以sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。