2018南通泰州一模数学

2018届高三年级第一次模拟考试(四)

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．

2. 已知复数z ＝1＋4i

1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．

3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．

4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．

5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．

6. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x —y 的最大值为________．

7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝8x

的焦点，则点F 到双曲线x 2

16

－

y 2

9

＝1的渐近线的距离为________． 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．

9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝

⎛⎭⎫0<φ<π

2个单

位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．

10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)

(第11题) (第12题)

12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，则AP →·AQ →

的最小值为________．

13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．

14. 已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，

ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零

点，则实数a 的取值范围是________________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分) 如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．

求证：(1) MD ∥平面PAC ； (2) 平面ABN ⊥平面PMC.

16. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152

b. (1) 求sin B 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π

12的值．

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为2

2，两条准线

之间的距离为4 2.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝8

9上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，

且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．

18. (本小题满分16分)

如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)

(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：

(2) 设∠POD ＝θ，θ∈⎝

⎛⎭⎫0，π

2.

①试用θ表示EF 的长度；

②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．

已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)

(1) 求b 关于a 的函数关系式；

(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－7

3

.

20. (本小题满分16分)

若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．

(1) 已知a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，

2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；

(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3

成等差数列，证明：{b n }是等差数列．