常见四边形的存在性

常见四边形的存在性

专题一、平行四边形的存在性问题

一、技巧提炼

模型：平行四边形模型探究

如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C

x

y

图1 图2

如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算

例1．（2015•贵阳）如图，经过点C （0，﹣4）的抛物线y=ax 2

+bx+c （a≠0）与x 轴相交于A （﹣2，0），B 两点．

（1）a ＞ 0，b 2﹣4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）；

（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，连接AC ，E 是抛物线上一动点，过点E 作AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）根据抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，即可做出判断；

（2）由抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式；

（3）存在，理由为：假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示；假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，可得AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，分别求出E坐标即可．【解答】解：（1）a＞0，b2﹣4ac＞0；

（2）∵直线x=2是对称轴，A（﹣2，0），

∴B（6，0），

∵点C（0，﹣4），将A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，

解得：a=，b=﹣

，c=﹣4，

∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣

x﹣4；

（3）存在，理由为：

（i）假设存在点E使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，

过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，过点E作EF∥AC，交x轴于点F，如图1所示，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，

∵抛物线y=x2﹣

x﹣4关于直线x=2对称，

∴由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4，

又∵OC=4，

∴E的纵坐标为﹣4，

∴存在点E（4，﹣4）；

（ii）假设在抛物线上还存在点E′，使得以A，C，F′，E′为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E′作E′F′∥AC交x轴于点F′，

则四边形ACF′E′即为满足条件的平行四边形，

∴AC=E′F′，AC∥E′F′，如图2，过点E′作E′G⊥x轴于点G，

∵AC∥E′F′，∴∠CAO=∠E′F′G，

又∵∠COA=∠E′GF′=90°，AC=E′F′，∴△CAO≌△E′F′G，∴E′G=CO=4，∴点E′的纵坐标是4，

∴4=x2﹣

x﹣4，

解得：x1=2+2，x2=2﹣2，

∴点E′的坐标为（2+2，4），同理可得点E″

的坐标为（2﹣2，4）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，坐标与图形性质，平行四边形的性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．

针对练习：

1.（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且

=﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）利用根据与系数的关系得出

α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案；

（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可；

（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可．

【解答】解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得，

α+β=，αβ=﹣2，

∵=﹣2，∴=﹣2，即

=﹣2，

解得：m=1，

故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2；

（2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小，∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6，

∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6），

又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称，∴E点坐标为：（4，2），

作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，

则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2），

连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N，

此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示：

延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8，