八个无敌模型—全搞定空间几何的外接球和内切球问题
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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图1图2图3
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)
2(c
b
a
R+
+
=，即2
2
2
2c
b
a
R+
+
=，求出R
例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A．π
16B．π
20C．π
24D．π
32
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是π9
解：（1）16
2=
=h
a
V，2
=
a，24
16
4
4
42
2
2
2=
+
+
=
+
+
=h
a
a
R，π
24
=
S，选C；
（2）9
3
3
3
42=
+
+
=
R，π
π9
42=
=R
S
（3）在正三棱锥S ABC
-中，M N
、分别是棱SC BC
、的中点，且MN
AM⊥,若侧棱SA=则正三棱锥ABC
S-外接球的表面积是。π
36
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：
如图（3）-1，取BC
AB,的中点E
D,，连接CD
AE,，CD
AE,交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，∴⊥
SH平面ABC，∴AB
SH⊥，
BC
AC=，BD
AD=，∴AB
CD⊥，∴⊥
AB平面SCD，
∴SC
AB⊥，同理：SA
BC⊥，SB
AC⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2， MN
AM⊥，MN
SB//，
∴SB
AM⊥， SB
AC⊥，∴⊥
SB平面SAC，
∴SA
SB⊥，SC
SB⊥， SA
SB⊥，SA
BC⊥，
∴⊥
SA平面SBC，∴SC
SA⊥，
故三棱锥ABC
S-的三棱条侧棱两两互相垂直，
∴36
)3
2(
)3
2(
)3
2(
)
2(2
2
2
2=
+
+
=
R，即36
42=
R，
(3)题-1
A
A
∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36
（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒
AB AC SA BAC 则该四面体的外接
球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.
C π3
40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
何体外接球的体积为 解析：（4）在ABC ∆中，7120cos 22
2
2
=⋅⋅-+=
BC AB AB AC BC ，
7=BC ，ABC ∆的外接球直径为3
7
22
37sin 2=
=∠=
BAC BC r ， ∴340
4)3
72(
)2()2(2222=
+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+
∈R c b a ,,），则
⎪⎩
⎪⎨⎧===6812
ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942
==R S ， （6）3)2(2
2
2
2
=++=c b a R ，4
3
2
=
R ，23=R
πππ2
3
83334343=⋅==R V ，
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：
第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直
径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；
第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半
径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
r C
c
B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；
图5
A
D
P O 1O
C
B
A
P